空间向量的距离和夹角公式
空间向量的夹角和距离公式讲课
a ?b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
;
a // b ? a1 ? ? b1, a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3精品?PP0T ;
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
精品PPT
三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A
线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
uuuur OM
?
1
uuur (OA
?
2
uuur OB)
?
1 2
??(3 , 3 ,1)
?
?1,
0 , 5??? ?
? ??
解: 建立如图的空间直角坐标系O ? xyz, 得
11
z
A(1,0,0), E (1,1, ), F ( ,0,1). D
uuur FA
?
(
1
,0,
?
1),
uu2ur
FE
?
(
2
1 ,1,?
1
).
A F1
1
C1 B1 E
2
22
D
O
C y
uuur | FA |?
5
,|
uuur FE
|?
6 .
A
B
x
uuur uuu2r FE gFA
§9.6 空间向量的夹角和距离公式
精品PPT
一、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3)则 a ? b ? (a 1? b1, a2 ? b2, a3 ? b3) ;
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
向量法求空间距离和角
—的平而角“a®牆用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解 法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向 量进入高中教材，为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,木专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.(1)求异而直线所成的角.=arcsinli I/II H I法一、在Q 内N 丄/,在0内b 丄/,其方向如图，则二面角设方、乙分别为异而直线a 、b 的方向向量, a 则两异而直线所成的角 a — arccos 1 而Q 所成的角方向向量，；；是平而&的法 (3)求二而法二、设入云是二而角a-/-0的两个半平而的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角a-1-p的平而角a =arccos彳"22求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异而直线间的距离、线而距离；而而距离都可化为点而距离来求.（1）求点而距离法一、设;;是平面Q的法向量，在a内取一点B,则A■ ■■I“・•到&的距离d =1 AB II cos 0\=空叫\n\法二、设AO丄a于O,利用AO丄a和点0在&内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出I走1・（2）求异而直线的距离二 ___ ?—法一、找平而0使比0且砂0,则异而直线a、b的距离就转化为直线a到平面0的距离，又转化为点A到平面0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设方、b分别为异面直线a、b的方向向量,求；；（万丄方，齐丄乙），则・・D于点而距异而直线a、b的距离心而llcos弘空叫（此方法移植丨川(I )求异而直线DE 与FG 所成的角;rh 向量法求空间距离和角例1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-gCQ 中,分别是棱4久心的中点•(II )求g 和ffiEFBD 所成的角;(III)求Q 到面EFBD 的距离解：(I )记异而直线DE 与g 所成的角为—则&等于向量码运的夹角或其补角,■ D E.FC 、|cos a =1—:_ I \DE\.\FC {\(II)缈初万冷万石)•(两霸頁艸坐标系D-小, —I 一 ・• II DE bl FC [丨呢= (1,0,2),面= (220)设面E 単翌進|=二・・・a 回風X^s£=("l ) A /5V5 5— _v 、 DE ・H = 0<DB • /z = 0得 7 = (-221)又 BC ； = (-2,0,2)记g 和而EFBD 所成的角为&则 sin 0 =1 cos 〈BC], n) 1=1 ."9 ? 1=I BC { II7? I 2 ・•・Bq 和面EFBD 所成的角为冬.4(III)点目到ffiEFBD 的距离d 等于向量丽;在而EFBD 的法向量上的投影的绝对值,BiTl 33.完成这3道小题后, 总结：例2・己知A BCD 是边长为1的正方形，四边形DA ・ q=0DC ・ q = 0向量法求空间距离和角设计说明：1・作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系 的多而体 正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异而直线的距离，并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求).角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.AA'B'B 是矩形，平丄平面A3CD 。
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
则
cos
θ＝|cos<n1，n2>|
＝
|n1·n2| |n1|·|n2|
0，2π
自主学习
图（1）直线与平面所成角 图（2）平面与平面所成角
自主学习
思考 1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
思考 2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
B→C·n＝0
－ 3x＋y＝0
由
，得
，
A→1C·n＝0
y－ 3z＝0
→
取 n＝(1，
3，1)，故
sin
θ＝|cos〈E→F，n〉|＝
|EF·n| →
＝45.
|EF|·|n|
因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为35.
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
例 6-变式 如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝ 3，
1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1 t 22 ·cos 60°，
所以 t＝1，所以点 E 的位置是 AB 的中点．
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
角度2：线面角 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
例 6 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°， ∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F 分别是 AC，A1B1 的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值．
(2)范围：异面直线所成角的范围是0，π2，故两直线方向向量夹角的余弦 值为负时，应取其绝对值．
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)
2 30
.
5
4.求点到平面的距离
①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)
D1
P35-2(3).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F
分别是线段DD1的中点，求点A1到平面AEB1的距离.
B1
A1
析 : 设点A1到平面AEB1的距离hA1 .
C1
E
VA1 AEB VB1 AEA1 ,
a
2 8
4
C1
A
C
B
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量 及直线l的方向向量 )
2
d a (
②等面积法(将点线距离视为三角形的高)
a l 2
)
|l |
[变式]棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点，
求点M到直线AD1的距离的最小值.
D1
析 : 建系Dxyz , A(a,0,0), D1 (0,0, a ), 设M (0, x, x )
AB (0,2,0), AC1 (2,2,2), AB AC1 4, | AB | 2, | AC1 | 2 3,
D
C
2
A
B
点B到直线AC1的距离为 AB (
AB AC1 2
4 2 2 6
) 4(
)
3
2 3
| AC1 |
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量 及直线l的方向向量 或单位方向向量 )
D1
a a
析 : 建系Dxyz, A(a,0,0), D1 (0,0, a ), M (0, , )
2 2
a a
用空间向量研究距离,夹角问题公式
用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究，空间向量提供了一种有效的方法。
空间向量是指具有方向和大小的矢量，可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。
首先，我们来讨论两个点之间的距离问题。
在空间向量中，两个点的距离可以通过计算它们的欧几里得距离来确定。
欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直线距离。
如果我们将两个点表示为向量A和向量B，那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算：
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中，Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标，Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。
通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的距离。
接下来，让我们来看一下关于夹角问题的公式。
在空间向量中，可以使用两个向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。
如果我们将两个向量表示为向量A和向量B，它们的夹角可以通过以下公式计算：
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中，向量A·向量B表示两个向量的点积，|向量A|和|向量B|分别表示向量A 和向量B的模长。
通过这个公式，我们可以确定两个向量之间的夹角。
通过使用上述的距离和夹角问题的公式，我们可以将空间向量用于研究并解决各种几何和物理问题。
这些公式能够提供详细而完整的信息，帮助我们深入了解空间中不同物体之间的距离和夹角关系。
无论是在几何学、物理学还是其他相关领域，空间向量的研究都具有重要的应用价值。
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例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
A
B
x
(09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點E
是正方形BCC1B1的中心，點F、G分別是棱 C1D1, AA1的
1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、
D1B的中點，求證：EF⊥ DA1
D1 A1
F
C1
B1
D A
E
C B
練習
1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 求證：DB1⊥ 平面ACD1
D1 A1
AD
C1 B1
C B
2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90º， ∠BAC=30º，
d( A,B) (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2、兩個的向量夾角公式
a b|
a|
|
b|
cos
a, b
cos
a,
b
|
a a|
b |b |
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5) ，求： (1) 線段AB的中點坐標和長度； (2) 到A、B兩點距離相等的點P(x , y , z)的坐標 x , y , z滿足的條件。
O
y
uFuGuur1 0 ,1，1，FE 1 ,1，1，
uFuEuur1 uuu0r ,1，1， uuuur uuuur
x
FG1 FE 0 1 1 0, FG1 FE1 0 1 1 0
FG1 FE,FG1 FE1
又FE I FE1 F
FG1 面FEE1
(09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點E
學習目標
1、掌握兩點間的距離公式和空間向量的夾角 公式；
2、能利用向量法證明線線垂直和線面垂直問 題；
3、能利用向量法求兩異面直線所成角。
1、距離公式
(1) 向量的長度(模)公式
設
a
(a1,
a2
,
a3
),
b
(b1
,
b2
,
b3
)，則
|
a|2
a
a
a12
a22
a32
| b |2 b b b12 b22 b32
中 (2)點證．明設：點直E線1,FGG1分1⊥別平是面點FEE,EG1在；平面DCC1D1z內的F正投影
(3)求異面直線E1uGuur1與EuuAur所成uu角uur的正弦值.
(2)证明：分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则 G
G1
E1 E
G1u(u0uur,0,1),F 0,1, 2uu,urE1(0, 2,1),E 1, 2,1
是正方形BCC1B1的中心，點F、G分別是棱 C1D1, AA1的
中 (2)點證．明設：點直E線1,FGG1分1⊥別平是面點FEE,EG1在；平面DCC1D1z內的F正投影
(3)求異uuu面ur直線E1G1與uuEurA所成角的正弦值.
(3)u解uuu：rE1uGuu1r 0 ,2，0，EA 1 ,2，1，
G1
Eu1uGuu1r EA 0uuu1r 22 01 4 , G
E1 E
| E1G1 | 2 , | EA| u6uuu.r uuur
O
y
cos
uuuur E1G1
,
uuur EA
|
uuEu1uGr1 EuAuur E1G1 | | EA |
4 2
6
6 3
.
x
uuuur uuur sin E1G1 , EA
1 ( 6 )2 3
3 3
因此，E1G1与EA所成角的正弦值是
3 3
.
課堂小結
1、基本知識： (1) 向量的長度公式與兩點間的距離公式； (2) 向量的夾角公式。
2、思想方法：用向量坐標法計算或證明幾何問題 (1) 建立直角坐標系；
(2) 把點、向量坐標化； (3) 對向量計算或證明。