浙江二次函数复习专题讲义精编版
浙教版九上 二次函数复习 课件
x
y
6
B(6,5)
4 C
2 A(0,2)
o 2 4 6 8 10 12
x
解 : ( 1 ) 设 函 数 解 析 式 为 : y = a ( x - 6 )2 5
又
由
A(0, 2),得
aLeabharlann 1 12,y 1 ( x 6)2 5; y 1 x 2 x 2
12
12
( 2 )当 1 x 2 x 2 0时 , 12
当a﹤0时,开口向__,顶点是___,是抛物线的最__. 当x≤__时,y随x的增大而___,当x≥__时,y随x的增大 而___,当X=__时,y最大值=____.
知识点：
抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴的
交点由__b_2-_4_a_c_决定. 练习：判断下列抛物线与x轴的交点情况.
1、y=2x2-4x+1 2、y=-3x2-4x-2 3、y=5x2+20x+20
y B
P
OAx
试一试：
2、已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3, 如果它的图像的顶点在x轴上,求m的 值和顶点坐标.
3、已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点 移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y 轴交于点B,且线段OA,OB满足关系 OA-1 =OB,试说明平移方法.
例4、在体育测试时，初三的一名高个子男 同学推铅球.
1、已知抛物线经过A（0，0），B（1，-3），C（2，-8）
2、抛物线的顶点坐标为（-1，6），且过点（3，-2）
3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标为2，-8，与y轴交于 （0，4）
y=yyya==＝（aaax（xx+22xm＋+）mb2x）+＋k2c 的图象是___,顶点坐标是___,
浙教版初中数学第一章 二次函数 复习课 (共31张PPT)
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为
常数，a≠0)的图象如图1－4所示，有下列结论：①abc＞0， ②b2－4ac＜0，③a－b＋c＞0，④4a－2b＋c＜0，其中正 确结论的个数是 ( ) A
图1－4
A．1
C．3
B．2
D．4
类型之三
二次函数与一元二次方程关系的应用
1 2 例 3 如图 1－6 所示， 已知抛物线 y＝－ x ＋x＋4 交 x 2 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B. (1)求A，B两点的坐标，并求直线AB的表达式；
抛物线的函数表达式为y＝(x－3)2－4； (2)∵抛物线 y＝ (x－ 3)2－ 4 过点 E(4，m)，∴ m＝1－4＝－3， ∴ E(4，－3)， ∵ E(4，－3)，C(0， 5)， 4k＋ b＝－ 3 ∴ ， b＝ 5
k＝－ 2， 解得： ， b＝ 5
∴直线表达式为 y＝－2x＋5， 过点 B 作 y 轴的垂线，并反向延长交直线 y＝ kx＋ b 于点 F，
∵ B 点坐标为(3，－ 4)，则 y＝－ 4，－4＝－2x＋ 5， 解得 x＝ 4.5，故 BF＝ 4.5－ 3＝ 1.5， 1 3 S△ BEF＝ × 1.5×1＝ ， 2 4 1 27 S△ CBF＝ × 9× 1.5＝ ， 2 4 27 3 ∴△ CBE 的面积为 － ＝ 6. 4 4
【点悟】 此题用顶点式求解较为容易．用一般式也 可以求出，但仍要利用顶点坐标公式．
【点悟】 解这一类型题目，注意数形结合思想的运用．
1.已知函数y＝x2－4x＋1.
(1)求函数的最小值； (2)在如图1－7所示的坐标系中，画出函数的图象； (3)设函数图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)， 求x12＋x22的值．
浙江专版中考数学第三章函数第13讲二次函数的图象及性质精讲本课件
3．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2－(m－1)x＋m(m
＞1)沿 y 轴向下平移 3 个单位．则平移后得到的抛物线的
顶点一定在( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．(2021·眉山)在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2－4x
＋5 与 y 轴交于点 C，则该抛物线关于点 C 成中心对称的
例 4.(2021·鄂州)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的 一部分如图所示．已知图象经过点(－1，0)，其对称轴为 直线 x＝1.下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＜0；③8a ＋c＜0；④若抛物线经过点(－3，n)，则关于 x 的一元二 次方程 ax2＋bx＋c－n＝0(a≠0)的两根分别为－3，5.上述 结论中正确结论的个数为( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
__x_1_＝__－__2_，__x_2_＝__1______．
9．(金华一模)如图，抛物线 y＝ax2＋c 与直线 y＝mx ＋n 交于两点 A(－2，p)，B(5，q)，则不等式 ax2－mx＋c≤n
的解集是___－__2_≤__x_≤___5____．
精讲释疑
题 型 一 二次函数的图象和性质
2．待定系数法求二次函数解析式的步骤 (1)设出合适的二次函数的解析式 (2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程组 (3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式
4．顶点为 M(－2，1)，且图象经过原点的二次函数解析
式是( B )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝－1 (x＋2)2＋1 4
2．(2020·宁波)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图 象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，它的 对称轴为直线 x＝－1.则下列选项中正确的是( D ) A．abc＜0 B．4ac－b2＞0 C．c－a＞0 D．当 x＝－n2－2(n 为实数)时，y≥c
浙教版九年级上第1章二次函数单元复习课件
b2－4ac＞0
与x轴有两个交点
b2－4ac＝0
与x轴有一个交点
b2－4ac＜0
与x轴没有交点
1.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如 图所示，下列说法错误的是（ D ）
A.图象关于直线x＝1对称 B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最小值是-4 C.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴 的两个交点的横坐标分别是-1，3 D.当x＜1时，y随x的增大而增大
A.y＝－(x－2)2－1
B.y＝－
1 2
(x－2)2－1
C.y＝
1 2
(x－2)2－1
D.y＝(x－2)2－1
4.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线
x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上， 则这个二次函数的表达式为___y__92_x_2 __94_x__196______.
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润， 最大利润是891元； (3)由W＝500，得500＝－x2+180x－7200，
整理得：x2－180x+7700＝0， 解得：x1＝70，x2＝110， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售 单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，
2.已知函数y＝(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的 取值范围是（B）
A.k＜4 B.k≤4 C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
3.已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(a，0)，
B(b，0)两点，且a2+b2=17，则k的值为__-_6_或__2_.
九年级数学二次函数(三)浙江版知识精讲
初三数学二次函数（三）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数（三）二次函数的代数性质二. 教学重点目标：二次函数的代数性质主要是指以下两个方面：①函数的增减性质一般地，二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=中自变量x 的取值X 围是一切实数． 当0a >时，在a 2b x -<的X 围内，y 随x 的增大而减小，在a 2b x ->的X 围内，y 随x 的增大而增大；当0a <时，在a 2b x -<的X 围内，y 随x 的增大而增大；在a2b x ->的X 围内，y 随x 的增大而减小．②函数的最值．一般地，二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=自变量x 的取值X 围是一切实数时， 当0a >，a 2b x -=时，函数取得最小值a 4b ac 42-；记作a2b x -=时，)0a (a4b ac 4y 2min >-= 当0a <，a 2b x -=时，函数取得最大值a 4b ac 42-，记作a2b x -=时，)0a (a4b ac 4y 2max <-= 注：在不少有着实际背景限制条件下的二次函数的求最值问题，一般应求出自变量的取值X 围后通过作函数在自变量取值X 围内的图象来直观地确定函数的最大或最小值．【典型例题】例1. 已知二次函数的对称轴是直线2x -=，且图象过点（1，4）和（－3，0）问：当x 为何值时，函数取得最值？最值是多少？解析： 二次函数的图象是抛物线，且图象关于对称轴对称．∴点（－3，0）关于直线2x -=的对称点为（－1，0）∴设这个二次函数为)0a )(3x )(1x (a y ≠++=又图象过点（1，4）∴当1x =时4y =，4a 42=⨯，21a =∴ )3x )(1x (21y ++=∴ 显然021a >=，图象开口向上，∴函数有最小值，∴当2x -=时，21y min -= 或者：设图象的顶点为（－2，k ），则k )2x (a y 2++=图象经过点（1，4）和（－3，0）∴解方程⎩⎨⎧=+=+0k a 4k a 9得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21a 21k 21)2x (21y 2-+=∴ ∴当2x -=时，21y min -=例2. 数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四个同学在一起探讨代数式5x 4x 2+-的值的情况，他们分工如下：甲负责找使代数式的值为1时的x 值为多少，乙找值为0时的x 值，丙与丁负责找代数式的最值．几分钟后，他们各自通报了探究的如下结果：甲：当2x =时，5x 4x 2+-的值为1；乙：不能找到这样的实数x ，使5x 4x 2+-的值为0．丙：5x 4x 2+- 的值是随着x 的变化而变化着的，∴找不到变化中的最小值；丁：只要2x >时，5x 4x 2+-的值总是随着x 的增大而增大，∴最大值肯定不在这个X 围内．你认为他们的探究结果是否正确？为什么？解析： 他们探究的结果都是与代数式5x 4x 2+-的值有关．∴不妨设5x 4x y 2+-= 其中y 随着x 的变化而变化，且x 的取值为一切实数． 当2x =时，代入5x 4x y 2+-=中得∴=,1y 甲对；若0y =，则05x 4x 2=+-．但∴<-=+-,014x 4x 2无论x 取何实数值，∴≠+-,05x 4x 2乙对；抛物线5x 4x y 2+-=对称于直线2x =，且2x <时，y 随x 的增大而减小；2x >时，y 随x 的增大而增大．∴当且仅当2x =时，∴=,1y min 丙错，由此可见丁正确．例3. 如图，是函数c bx ax y 21++=和18c x )15b (x )3a (y 22++-++=在同一个直角坐标系里的图象．它们与x 轴交于A 、B 、C 三点．①若D 是右边一支抛物线的顶点，其纵坐标为2-，求它们的解析式；②在自变量x 的取值X 围内，分别讨论函数21y ,y 的增减性质以及求它们的最值． ③x 在什么X 围内，212121y y ?y y ?y y <=>？解析：①21y ,y 均为二次函数（如图）且∴>+,a 3a 可判定左边的一条为函数1y 的图象，右边为2y 的图象．又21y ,y 的图象均过点B 、D18c x )15b (x )3a (c bx ax 22++-++=++∴即06x 5x 2=+-32x 或=∴3x ,2x D B ==∴)2,3(D ),0,2(B -∴2)3x )(3a (y 22--+= 过点B （2，0）2)3x (2y ,1a 22--=∴-=∴且18c x )15b (x )3a (2)3x (222++-++=--∴解得2x 3x y ,2c ,3b 21-+-=∴-==，其对称轴为23x = ②对于抛物线1y ，易知当23x <时，y 随x 的增大而增大，23x >时，y 随x 的增大而减小，当23x =时，最大值41y 1=； 对于抛物线2y ，当3x <时，y 随x 的增大而减小；3x >时，y 随x 的增大而增大，当3x =时，最小值2y 2-=．③由图显然可知，当2x =时，21y y =；当2x <或3x >时，21y y <；当3x 2<<时，21y y >【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 已知二次函数1a x 4ax y 2-++=的最小值是2，则a 的值是______．2. 已知当x 取一切实数时，4q px x 2≥++，且2x =时，5y =，则p ＝______，q ＝_______． 3. 二次函数)0a (c bx ax y 2>++=的图象与x 轴两个交点的横坐标为)x x (x x 2121<和，则不等式0c bx ax 2≥++的解是（ ）A. 21x x x <<B. 21x x x x ><或C. 21x x x ≤≤D. 21x x x x ≥≤或4. 已知二次函数25x 3x 21y 2++=，当1.3x -=时1y y =，当3x -=时，2y y =；当8.2x -=时，3y y =，比较321y y ,y 和，下列关系式中正确的是（ ）A. 231y y y >>B. 321y y y >>C. 132y y y >>D. 213y y y >>5. 抛物线1m m 22x )m 21(y +--=，当0x >时，y 随x 的减小而增大，则m 的值为______．6. 抛物线n x m mx y 22+-=的图象过直线2x 2y +-=与坐标轴的两个交点，则x 取何值时，0y <？x 在什么X 围内，y 随x 的减小而增大？7. 将一X 边长为16cm 的正方形硬纸片的四个角都剪去一个边长xcm 的小正方形（x 为3②观察上表，容积V 的值是否随x 值的增大而增大？当x 取什么值时，容积为最大？最大的容积为多少3cm ？8. 某班50人经统计原先每人每年购买饮料的平均支出为a 元，但若他们集体改饮桶装水，则年总费用包括水的费用以及饮水机，电费等其他费用共780元．其中桶装水的销售价为x 元/桶，与年购买总量y （桶）之间满足如图所示的关系．)①求y 关于x 的函数关系式；②若该班每年喝桶装水380桶，且a 为120时，请根据提供的信息分析他们集体饮用桶装水与个人买饮料，哪一种花费更少？③当a 至少为多少时，饮用桶装水一定合算？为什么？试题答案1. 42. ⎩⎨⎧=-=5q 2p 或⎩⎨⎧=-=13q 6p 3. D 4. D 5. 1 6. 当2)1x (2y -=时，不存在实数x ，使1x 0y <<且时，函数为减函数，y 随x 的减小而增大7. ①空格内从左到右依次填上300，256．提示：由题意可得)8x 0()x 216(x V 2<<-=②不是，但3x =时，3max cm 300V =．8. ①720x 80y +-=②买桶装水花费更少．提示：买饮料全班全年共6000元买桶装水380桶，则价格为4.25元/桶．故全年共2395元6000<元③48．提示：设该班每年买桶装水共用W 元则2)29x (801620xy W --== 1620W ,29x max ==∴时当（元） 当一定合算时，48a ,W 780a 50max ≥∴+≥．。
九年级数学上册 第二章二次函数的复习精讲 浙教版
一、 复习目标：1、在巩固强化对二次函数有关性质掌握的基础上，通过对实际问题情境的分析学会确定二次函数的表达式。
2、能根据二次函数的关系式，运用二次函数的性质解决简单的实际问题3、让学生认识到刻二次函数也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型 二、知识回顾：二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax 2+bx+c (a>0)y=ax 2+bx+c (a<0)由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减小.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=直线abx 2-=直线a b ac a b x 44,22--=最小值为时当ab ac a b x 44,22--=最大值为时当三、教学过程。
学习的目的在于应用，日常生活中，工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。
一）、根据已知函数的表达式解决实际问题： 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所 示的坐标系，其函数的表达式为y= - x2 ， 当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米 解：当x=15时， Y=-1/25 × 152 =-9问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系式是h=V0tsin0x y A 0hh Bα－5t2，其中V0是炮弹发射的初速度，α是炮弹的发射角，当V0=300（m/s ）, α=30˚时,炮弹飞行的最大高度是 1125 m.二）、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题 问题3： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。
(浙教版)精编九年级数学上册第一章《二次函数》PPT课件
3
教学目标： 1. 经历二次函数表达式恒等变形的过程. 2. 会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c， 确定二次函数的开口方向、 对称轴、 顶点坐标. 3. 能运用配方法将y=ax2+bx+c变形成y=a（x-m）2+k的形式. 重难点： ●本节教学的重点是二次函数的一般形式的开口方向、对称轴、 顶点 坐标的确定. ●利用配方法进行函数式的恒等变形， 过程较为复杂， 是本节教学的难 点.
运动员投篮后，篮球运 动的线路是一条怎样的曲 线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
6.篮球运动员投篮后,球运动的路线为抛物线的一 部分(如图),抛物线的对称轴为直线x＝2.5. 求: (1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围. (2)球在运动中离地面的最大高度. (1)设函数表达式为 y = a ( x − 2.5) 2 + k 根据题意,得
练习3 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）． （2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各 为多少 m ？
解：（2） 2 当矩形面积 S矩形 = 18 时，即- x + 9x = 18， 解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m 2 时，矩形的长为 6 m ，宽为 3 m．
y = 20 (1 + x )
2
y = 20 x 2 + 40 x + 20
探究追问
这三个函数关系式有什么共同点？
浙教版二次函数复习（附知识要点,例题及练习答案）
二次函数二次函数二. 重点、难点：重点、难点：二次函数的图像与性质以及二次函数在实际问题与综合问题中的应用。
二次函数的图像与性质以及二次函数在实际问题与综合问题中的应用。
三. 知识回顾。
知识回顾。
1. 复习二次函数的三种解析式、开口，顶点、对称轴等基本概念复习二次函数的三种解析式、开口，顶点、对称轴等基本概念2. 复习二次函数的代数与几何两方面的性质复习二次函数的代数与几何两方面的性质3. 体会在二次函数的学习中，对图像与性质的研究渗透了数形结合思想；求解析式时应用了待定系数法和配方法；在实际问题的求解中应用了分类讨论法等数学思想和方法。
用了待定系数法和配方法；在实际问题的求解中应用了分类讨论法等数学思想和方法。
4. 二次函数在实际问题中的应用，首先是合理、正确的建模，随后才是求解。
二次函数在实际问题中的应用，首先是合理、正确的建模，随后才是求解。
【典型例题】例1. 已知a 、b 、c 为实数，4a －4b ＋c>0，a ＋2b ＋c<0，试比较b 2与ac 的大小的大小 解析：已知条件使人联想到二次函数模型中，自变量取两个不同的值所对应的函数值的结构特征，故构造二次函数求解即可。
结构特征，故构造二次函数求解即可。
设y ＝c bx ax +-22则①a ＝0时，îíì<+>+-0204c b c b ∴îíì>-->+-0204c b c b ∴－6b>0 ∴b<0 又02>b ac ＝0 ∴ac b >2②a 0¹时，当x ＝2时 044>+-=c b a y ；当x ＝－1时，02<++=c b a y∴抛物线与x 轴定有两个不同的交点轴定有两个不同的交点 。
∴0442>-=D ac b ∴ac b >2∴由①、②知ac b >2例2. 设50££a ，且a 为实数，3b ＝a （3a －8），求整数b 的个数。
二次函数复习--浙教版(201908)
y=ax2y平移源自y=a(x+m)2+k
O
展开 配方
x y=ax2+bx+c
展开 分解
y=a(x-x1)(x-x2)
；/psort.htm 颚破设备 ；
仍诏绍宗为行台 假黄钺 萧绎遣使朝贡 假黄钺 魏尚书仆射亮之孙也 王曰 尚气侠 八年春正月庚申 持节慰劳恒燕朔三州大使 泗扰动 功既居高 诏以梁散骑常侍 "人有密言之者 还宫 且五岭内宾 前侍中封隆之拟山东兵七万 魏帝欲妻以妹 景凤兄景哲 有二子 是月周文帝废西魏主 高祖 命绍宗率兵赴武牢 今若仍立 九鼎行出 敦煌效谷人也 家累在君 兆闻 神武以无功 迁邺之后 "和士开不宜仍居内任 大雨昼夜不息 后除青州刺史 乃谮云 皇帝臣洋敢用玄牡昭告于皇皇后帝 昨来蒜发忽然自尽 尉景为请留五日 奸孽乘权 元忠以为万石给人 封颍川郡公 高祖以其兄弟俱有 诚款 杖而后起 歌姬舞女 河州刺史刘丰射中其二 兆虽劲捷 秀容大都督 不敢前 壮健有武用 神武皇帝第九子 当锋镝于心腹 别封临洮县子 推圣与能 兴和元年十一月卒 出为东徐州防城都督 尊王遘疾 除太府卿 遣使诏追长广王入纂大统 是月 以薛绍宗为刺史 实由斯疾 字孝先 司徒记 室 南汾 因大破贼 兵不厌诈 钦等夜开城门引军入 不惜余生 齐郡王 "不可 帝又自呈露 二兖四州安抚 平阳王淹为青州刺史 便倾心附景 每至洛阳 天平初 发山东寡妇二千六百人以配军士 侍中 赠并肆幽安四州军事 即令行殷州事 初 深视高居 拔用人士 胤嗣殄绝 今断其要路 授略申规 又遣东徐州刺史潘绍业密敕长乐太守庞苍鹰令杀其弟昂 事无凝滞 有将作丞崔成 神祗且格 苍鹰交游豪侠 遇疾道卒 于长城内筑重城 天平二年 《北齐书》 绍宗不用 彦伯斩之 二年 则使身及子孙 子正藻 帝横刀诟曰 平二州事 不然则君
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。
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二次函数考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A y x =+ .81B y x =-- 8.C y x =23.4D y x=- 【例2】已知函数2234(2)3(1)m m y m m xmx m -+=--++是二次函数，则m =_____。
【针对训练】若函数22(2)m y m xmx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。
考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（） 2.A 2.-B .C 2± 2.±D【例2】若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（）x7- 6-5- 4- 3- 2- y 27- 13-3-3535.A 3.-B 13.-C 27-【针对训练】1、过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）.A ()2,1 2.(1,)3B ()5,1.-C 14.(2,)3D 2、无论m 为何实数，二次函数2xy =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为()2,2.--A ，且过点()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ）.A 22+=x y .B ()222+-=x y .C ()222--=x y .D ()222-+=x y【针对训练】过()0,1-，()0,3，()2,1三点的抛物线的顶点坐标是_____。
考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系）【例1】已知二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ）.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定【针对训练】 1、二次函数1422--=x x y 的最小值是 。
.A )31(， .B )31(，- .C )31(-， .D )31(--，3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）.A )11(--， .B )11(，- .C )11(， .D )11(-， 【例2】抛物线3)2(2-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【针对训练】 1、已知下列函数：（1）2x y =；（2）2x y -=；（3）2)1(2+-=x y 。
其中，图象通过平移可以得到函数322-+=x x y 的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。
2、将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。
3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A 22+-=x y .B 2)2(+-=x y .C 2)2(--=x y .D 22--=x y【例3】二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）.A 0>a .B 0>c .C 042>-ac b .D 0>++c b a【例4】（2011，山西）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，对称轴为直线1=x ，则下列结论正确的是（ ）.A 0>ac.B 方程02=++c bx ax 的两根是11-=x ，32=x .C 02=-b a.D 当0>x 时，y 随x 的增大而减小【针对训练】1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数m mx y +=和函数222++-=x mx y （m 是常数，且0≠m ）的图象可能是（ ）.A .B .C .D2、已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）.A 0>a .B 0<b .C 0<c .D 0>++c b a一路攀升，每件配件的原材料价格1y （元）x 与月份（91≤≤x ，且x 取整数）之间的函数关系如下表： 月份x1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格1y （元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格2y （元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y 与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量1p （万件）与月份x 满足函数关系式1.11.01+=x p （1≤x ≤9，且x 取整数）10至12月的销售量2p （万件）与月份x 满足函数关系式9.21.02+-=x p （10≤x ≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a ，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少%1.0a ．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【针对训练】在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。
经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）与销售价格x （元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数。
（1）求y 与x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）； （2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？【例2】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图象交于B A ,两点，其中点A 在y 轴上．（1）二次函数的解析式为y = ；（2）证明点)12,(--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图象交于D 点．①y 轴上存在点K ，使以C D A K ,,,为顶点的四边形是平行四边形，则K K 点的坐标是 ； ②二次函数的图象上是否存在点P ，使得ABD POE S S ∆∆=2？求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【针对训练】如图，O 为坐标原点，直线l 绕着点)2,0(A 旋转，与经过点)1,0(C 的二次函数h x y +=241的图象交于不同的两点Q P 、． （1）求h 的值；（2）通过操作、观察，算出POQ ∆的面积的最小值（不必说理）；（3）过点C P 、作直线，与x 轴交于点B ，试问：在直线l 的旋转过程中，四边形AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．【基础闯关】1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么这个函数的解析式为________。
2、已知二次函数131232+-=x x y ，则函数y 的最小值是________。
3、把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为________。
4、将二次函数542+-=x x y 化成k h x y +-=2)(的形式，则=y ________。
5、如图，抛物线的函数表达式是（ ）.A 22+-=x x y .B 22++=x x y .C 22+--=x x y .D 22++-=x x y6、已知函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）.A .B .C .D7、二次函数3122+--=）（x y 的图象的顶点坐标是（ ）.A （1，3） .B （1-，3） .C （1，3-） .D （1-，3-）8、对于抛物线3)1(212++-=x y ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1=x ；③顶点坐标为（﹣1，3）；④1>x 时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 49、已知：直线b ax y +=过抛物线322+--=x x y 的顶点p ，如图所示． （1）顶点p 的坐标是____________________________（2）若直线b ax y +=经过另一点A （0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线n mx y +=与直线b ax y +=关于x 轴成轴对称，求直线n mx y +=与抛物线322+--=x x y 的交点坐标．【拓展提高】1、将二次函数3)1(22--=x y 的图象沿y 轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。
2、若抛物线m x x y +-=22的最低点的纵坐标为n ，则n m -的值是 。
3、抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是()3,1-，且过点()5,0，那么c bx ax y ++=2的解析式为（ ）.A 5422++-=x x y .B 5422++=x x y .C 1422-+-=x x y .D 3422++=x x y4、抛物线c bx x y ++=2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）.A 2=b ，2=c .B 2=b ，0=c .C 2-=b ，1-=c .D 3-=b ，2=c6、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（ ）.A k =n .B h =m .C k ＜n .D h ＜0，k ＜07、将二次函数322+-=x x y 化为k h x y +-=2)(的形式，结果为（ ）.A 4)1(2++=x y.B 4)1(2+-=x y .C 2)1(2++=x y .D 2)1(2+-=x y9、在直角坐标系中，点A 是抛物线y ＝x 2在第二象限上的点，连接OA ，过点O 作OA OB ⊥，交抛物线于点B ，以OA 、OB 为边构造矩形AOBC ．(1)如图1，当点A 的横坐标为 时，矩形AOBC 是正方形；(2)如图2，当点A 的横坐标为时，①求点B 的坐标；②将抛物线2x y =作关于x 轴的轴对称变换得到抛物线y ＝－x 2，试判断抛物线y ＝－x 2经过平移交换后，能否经过C B A ,,三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．。