高数期中答案
西南交通大学2014－2015学年第(1)学期期中考试解答
课程代码 6011310 课程名称 高等数学I 考试时间 90分钟
阅卷教师签字：
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，将编号填在题末的括号中）
(本大题分5小题, 每小题6分, 共30分)
1.
11
1lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭极限的值是（ ） 1
12
A B e C D ． ． ．
．0 答（ C ）
2.
()0
lim 1cos x
x x →-极限 的值是（ ）
1
01A B C D -
． ． ．2 ．e 答（ B ）
3.
()
()()f x dx '=
⎰
()()()()A f x B f x C f x c D f x c ''++． ． ． ．
答（ A ）
4.
=（ ） 442233331323
3432
A x
B x c
C x
D x c
----++． ． ． ． 答（ D ）
5.
()()()
1
()11n f x x n x n a x
=
--按的幂展开阶泰勒公式中的次项的系数是 1
.1..
.(1)!()
n A B n
C D n - 答 D
班 级 学 号 姓 名
密封装订线 密封装订线 密封装订线
二 、计算题（3个小题，每题10分，共30分）
6.
x
⎰
解：3
1(1)3x
x =
+⎰
………5分 =3
32
2(1)9
x C ++ ………10分 7. 2cos sin cos x
dx x x
+⎰ 解：2cos sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x x dx dx x x x x ++-=++⎰⎰………3分 (sin cos )
sin cos d x x dx x x
+=++⎰⎰ ………6分
ln sin cos x x x c =+++ ………10分
8. 已知曲线()y f x =与sin y x =
在原点相切，求n 解：由条件知：(0)0f =，(0)1f '=。
………4分
1
0n
n n u +=→==== ………10分 三 、 解答题（2个小题，每小题10分，共20分）
9. 在曲线6
1(0)3
y x x =
>上求一点，使得该点处的法线在y 轴上的截距最小。
解：52y x '=，法线51
()2Y y X x x
-=--；………2分
法线在y 轴上的截距6
41()32x b x x
=+ ………5分
011()b x x '=⇒==-与舍， ………7分
4
610()10b x x x
''=
+，所以(1)0b ''>。
(1)b 为极小值。
………9分 由驻点惟一知(1)b 为最小值。
因此曲线在1
(1,)3
处的法线在y 轴上的截距最小。
…10分
10. 设函数2441
(),(0)9x f x x x +=-≠ ，
求：（1）()f x 在极值点处的曲率。
（2）()f x 函数曲线的拐点。
解： 32()4
x f x x +'=-，4
3
()8x f x x
+''=。
………2分 ()02f x x '=⇒=-， ………3分
（1）1
(2)02
f ''-=
>，故2x =-是()f x 的极小值点，………5分 322
(2)1
2
[1((2))f k f ''-=
=
'+-； ………7分 （2）()03f x x ''=⇒=-，()f x ''在点3x =-左右异号，故(3,1)--为曲线拐点。
………10分
四、 证明题（2个小题，每小题10分，共20分）
11. 已知()f x 在0x =的一个邻域中连续，0()
lim
21cos x f x x
→=- ，证明在0x =处()f x 取得
极小值。
证：由已知0
lim ()(0)x f x f →= ，而由0()
lim
21cos x f x x
→=-知0lim ()0x f x →= 故(0)0f =
………4分
0()
lim
201cos x f x x
→=>- 1cos 0x -≥∴ ()f x 在0x =的一个邻域中由极限的保号性，有
()0f x >， ………8分
即()(0)f x f > 故在0x =处()f x 取得极小值. ………10分 证毕。
（注意：此题没有()f x 在0x =的一个邻域中可导的条件，故用导数及洛必达法则是错误的） 12. 设0120n a a a a ++++=L ，证明：存在()0,1ξ∈，使得
201223(1)0n n a a a n a ξξξ+++++=L
证明：构造函数2
3
1
012()n n f x a x a x a x a x
+=++++L ，………4分
()f x 在区间[0,1]上连续，()f x 在区间(0,1)上可导，(0)(1)0f f == 由罗尔定理，存在
()0,1ξ∈，使得()0f ξ'= 即201223(1)0n n a a a n a ξξξ+++++=L ………10分
证毕。
2011级高数II期中考试试卷及答案
B．
∫ dy ∫
1
2
4
y
y2
f ( x, y )dx
C．∫1 dy ∫y f ( x, y)dx
y2
D． ∫1
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
y
y
2 2 5．设L为 x=y2从y = -1到y = 1的一段弧，则 ∫L y dx − x dy =
(
A
)
2 − A． 5
1 B．− 5
1 C． 5
∫∫ xydσ = ∫ dy∫ 2 xydx
D −1 y
2
y+ 2
x2 = ∫ y dy −1 2 y2
2
Y+2
y=x-2
=
∫ [y( y + 2)
2 −1
2
− y 5 dy
]
=
45 8
2 2 4. 计算三重积分 ∫∫∫zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x + y 与平面
∂u y = ∂y ( x + y) 2
∂ 2 u a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） ( = ∂x∂y ( x + y) 4
∂ 2 u − 2 y( x + y) = ∂y∂x ( x + y) 4
∂2u ∂2u = ∂x∂y ∂y∂x
a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） −2 y( x + y) ( =
4．若L是椭圆
x = a cos θ ，取逆时针方向，则 y = b sin θ
∫
L
y d x − x d y = − 2πab
广东工业大学12届高数大一第一学期期中考试试卷及答案
高数A 期中测试题答案一、填空题（每小题4分，共20分） 1. 设γβα,,为给定的实数，则=++∞→γβαn n n)1(lim解： =++∞→γβαn n n)1(lim αβγβαααe nn nn n =++⋅⋅∞→)()1(lim 。
2．设)(x f y =是由方程1-=yxe y 所确实的隐函数，则==0|x dxdy解：两边同时对x 求导，有''y xe e y yy+=，得yyxe e y -=1'，又0=x 时，1-=y ，于是==0|x dxdy 110|1--===-e xe e y x y y 。
3．若,3)(',2)(==a f a f 则=--+→h h a f h a f h )()2(lim220 解： ha f h a f a f h a f h )]()([)]()2([lim 22220----+→h a f h a f h 2)()2(lim 2220-+=→h a f h a f h ---+→)()(lim 22036)(')(6|)]'([32====a f a f x f a x 。
4．设)()(x f xee f y =，其中f 可微，则=dy _______xde 。
解：因为dx e de x x=，有dx e de dxx x ==，于是])([)(x f x e e f d dy =)()()()(x f x x x f de e f e df e +=)()()(')()(x df e e f de e f e x f x x x x f += dx x f e e f de e f e x f x x x x f )(')()(')()(+=x x x f x x x x f de e x f e e f de e f e -+=)(')()(')()( x x x x x f de e x f e f e f e ])(')()('[)(-+=。
大学高数考试题及答案详解
大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分是：- A. \( \frac{1}{3} \)- B. \( \frac{1}{2} \)- C. \( \frac{3}{4} \)- D. \( \frac{2}{3} \)答案： C详解：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
因此，正确答案为 C。
2. 题目：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是： - A. 1- B. 0- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \infty \)答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
因此，正确答案为 A。
二、填空题1. 题目：如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 \)，那么\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = \) ________。
答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 \( c \) 是一个常数，那么\( \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx \)。
因此，\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 \)。
2. 题目：函数 \( g(x) = e^x \) 的导数是 \( g'(x) = \)________。
西安交大历年大一下学期期中考试(高数 大学物理)试题及答案 pro
5、一致连续性：设A R 是一个紧集，f：A R是连续函数，则f在A上一致连续， 即 0， = （）>0，使得 x1， x 2A，当 x1 -x 2 时，恒有 f（x1） -f（x 2） 6、方向导数：若 lim 导数，记作 f（x 0 +tel） -f（x 0） 存在，则称此极值为f在点x 0处沿 l方向的方向 t 0 t
极值的必要条件： 设 n 元函数 f 在点 x 。可微，且 x 。为 f 的极值点，则必有
f ( x0 , y0 ) 0
微分公式：
df ( x0 ) f ' ( x0 )x
微分运算法则：
f g在x处可微，并且 D( f g )( x) Df ( x) Dg ( x) f , g 在x处可微，并且 D f , g ( x) ( f ( x))T Dg ( x) ( g ( x))T Df ( x) uf在x处可微，并且 D(uf )( x) uDf ( x) f ( x) Du ( x) 若f:R R 3 ,g:R R 3，则向量积f g在处可微，并且 D( f g )( x) Df ( x) g ( x) f ( x) Dg ( x)
） 。 D．无极
A．无定义； 限；
B．连续；
C．有极限但不连续；
三、 （10 分）设函数 f (u, v) 可微， z z( x, y) 是由方程 z xy f ( xz , yz ) 确 定的可微函数，求
z z , ； x y
7
四、 （10 分）讨论函数 f ( x, y) xy 在 (0,0) 处的连续性、可导性、可微 性。 五、 （10 分）在曲面 : z x2 2 y 2 上求一点 p( x0 , y0 , z0 ) ，使它到平面