高数期中答案

西南交通大学2014－2015学年第(1)学期期中考试解答

课程代码 6011310 课程名称 高等数学I 考试时间 90分钟

阅卷教师签字：

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，将编号填在题末的括号中）

(本大题分5小题, 每小题6分, 共30分)

1.

11

1lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭极限的值是（ ） 1

12

A B e C D ． ． ．

　．0 答（　C ）

2.

()0

lim 1cos x

x x →-极限　的值是（ ）

1

01A B C D -

． ． ．2 ．e 答（　B ）

3.

()

()()f x dx '=

⎰

()()()()A f x B f x C f x c D f x c ''++． ． ． ．

答（　A ）

4.

=（ ） 442233331323

3432

A x

B x c

C x

D x c

----++． ． ． ． 答（　D ）

5.

()()()

1

()11n f x x n x n a x

=

--按的幂展开阶泰勒公式中的次项的系数是 1

.1..

.(1)!()

n A B n

C D n - 答 D

班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

二 、计算题（3个小题，每题10分，共30分）

6.

x

⎰

解：3

1(1)3x

x =

+⎰

………5分 =3

32

2(1)9

x C ++ ………10分 7. 2cos sin cos x

dx x x

+⎰ 解：2cos sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x x dx dx x x x x ++-=++⎰⎰………3分 (sin cos )

sin cos d x x dx x x

+=++⎰⎰ ………6分

ln sin cos x x x c =+++ ………10分

8. 已知曲线()y f x =与sin y x =

在原点相切，求n 解：由条件知：(0)0f =，(0)1f '=。 ………4分

1

0n

n n u +=→==== ………10分 三 、 解答题（2个小题，每小题10分，共20分）

9. 在曲线6

1(0)3

y x x =

>上求一点，使得该点处的法线在y 轴上的截距最小。 解：52y x '=，法线51

()2Y y X x x

-=--；………2分

法线在y 轴上的截距6

41()32x b x x

=+ ………5分

011()b x x '=⇒==-与舍， ………7分

4

610()10b x x x

''=

+，所以(1)0b ''>。(1)b 为极小值。………9分 由驻点惟一知(1)b 为最小值。因此曲线在1

(1,)3

处的法线在y 轴上的截距最小。…10分

10. 设函数2441

(),(0)9x f x x x +=-≠ ，

求：（1）()f x 在极值点处的曲率。（2）()f x 函数曲线的拐点。

解： 32()4

x f x x +'=-，4

3

()8x f x x

+''=。 ………2分 ()02f x x '=⇒=-， ………3分

（1）1

(2)02

f ''-=

>，故2x =-是()f x 的极小值点，………5分 322

(2)1

2

[1((2))f k f ''-=

=

'+-； ………7分 （2）()03f x x ''=⇒=-，()f x ''在点3x =-左右异号，故(3,1)--为曲线拐点。

………10分

四、 证明题（2个小题，每小题10分，共20分）

11. 已知()f x 在0x =的一个邻域中连续，0()

lim

21cos x f x x

→=- ，证明在0x =处()f x 取得

极小值。

证：由已知0

lim ()(0)x f x f →= ，而由0()

lim

21cos x f x x

→=-知0lim ()0x f x →= 故(0)0f =

………4分

0()

lim

201cos x f x x

→=>- 1cos 0x -≥∴ ()f x 在0x =的一个邻域中由极限的保号性，有

()0f x >， ………8分

即()(0)f x f > 故在0x =处()f x 取得极小值. ………10分 证毕。

（注意：此题没有()f x 在0x =的一个邻域中可导的条件，故用导数及洛必达法则是错误的） 12. 设0120n a a a a ++++=L ，证明：存在()0,1ξ∈，使得

201223(1)0n n a a a n a ξξξ+++++=L

证明：构造函数2

3

1

012()n n f x a x a x a x a x

+=++++L ，………4分

()f x 在区间[0,1]上连续，()f x 在区间(0,1)上可导，(0)(1)0f f == 由罗尔定理，存在

()0,1ξ∈，使得()0f ξ'= 即201223(1)0n n a a a n a ξξξ+++++=L ………10分

证毕。