天津科技大学-12高等数学(理工类)期中试卷答案

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天津高考理科数学试题含答案Word版

普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。

3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么 ·如果事件A 、B 相互，那么P(A ∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V=Sh, 棱锥的体积公式V=13sh , 其中S 标示棱柱的底面积。

其中S 标示棱锥的底面积。

h 表示棱柱的高。

h 示棱锥的高。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2）函数f(x)=23xx +的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数（B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写 (A)i ＜3? （B ）i ＜4?（C ）i ＜5? （D ）i ＜6?(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3x ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -=（C ）22110836x y -= （D ）221279x y -=（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150（8）若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1）（B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞）（D ）（-∞，-1）∪（0,1）(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足（A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2024-2025学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0≤x ≤3}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x ≤3}B. {x|0≤x <2}C. {x|0≤x ≤3}D. {x|−1<x <2}2.若a =40.5，b =log 40.5，c =0.54，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a3.设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A. 若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB. 若l//α，α//β，则l ⊂βC. 若l ⊥α，α//β，则l ⊥βD. 若l//α，α⊥β，则l ⊥β4.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 45.“lga >lgb ”是“(a−2)3>(b−2)3”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.已知函数f(x)=sin (2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于x =π3对称，则φ=( )A. −π6B. π6C. −π3D. π37.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC =BC =1，则三棱锥O−ABC 的体积为 ( )A. 212 B. 312 C. 24 D. 348.已知a >b >0，则4a +42a +b +12a−b 的最小值为( )A. 2 B. 2 2 C. 6 D. 4 29.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y−4=0相切，则圆C 面积的最小值为( )A. 45πB. 34πC. (6−2 5)πD. 54π二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

高考天津卷数学理科试卷含答案20210525160756

一般高等学校招生全国一致考试数学（理工类）参照公式：·若是事件 A，B 互斥，那么球的表面积公式P( A B) P(A) P(B)S 4πR2·若是事件 A，B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P( A·B) P( A)·P( B)一、选择题：在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．2i3（）1．i是虚数单位，i1Ａ． 1 iＢ．1iＣ．1 iＤ．1ix y ≥，12．设变量x，y知足拘束条件x，则目标函数 z4x y 的最大值为（y ≥13x．y 3Ａ． 4Ｂ． 11Ｃ． 12Ｄ． 143．“2π2cosπ”的（）”是“ tan23Ａ．充足而不用要条件Ｂ．必要而不充足条件Ｃ．充足必要条件Ｄ．既不充足也不用要条件4．设双曲线x2y21(a0， b0) 的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线a2b2的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ． x2y21Ｂ． x2y2112244896Ｃ． x2 2 y21Ｄ． x2y2133365．函数y log2 ( x42)( x 0) 的反函数是（）Ａ． y 4x2x 1( x 2)Ｂ． y 4x2x 1 (x 1) y 4x2x 2 ( x 2) y 4x2x 2 ( x 1)）y24x6．设 a ，b 为两条直线，，为两个平面，以下四个命题中，正确的命题是（）Ａ．若 a ， b 与所成的角相等，则 a ∥ bＢ．若 a ∥ ， b ∥ ，∥ ，则 a ∥ bＣ．若 a ， b， a ∥ b ，则 ∥Ｄ．若 a， b，，则 ab7．在 R 上定义的函数 f (x) 是偶函数，且f ( x)f (2 x) ，若 f ( x) 在区间 [1，2] 上是减函数，则 f (x) （）Ａ．在区间 [ 2， 1] 上是增函数，在区间 [3，4] 上是增函数Ｂ．在区间 [ 2， 1] 上是增函数，在区间 [3，4] 上是减函数Ｃ．在区间 [ 2， 1] 上是减函数，在区间 [3，4] 上是增函数8．设等差数列 a n 的公差 d 不为 0，a 1 9d ．若 a k 是 a 1 与 a 2k 的等比中项，则 k （）Ａ． 2Ｂ． 4Ｃ． 6Ｄ． 8bc9．设 a ，b ，c 均为正数，且 2alog 1 a ， 1log 1 b ，1log 2 c ．则（）22 22Ａ． a b cＢ． c b aＣ． c abＤ． b a c， 22 bm ，其中，m ，为实数．若10．设两个向量 a (cos) 和，sin2m2a 2b ，中央电视台的取值范围是（）mＡ．Ｂ． [4，8]Ｃ．Ｄ．一般高等学校招生全国一致考试数学（理工类）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 6 小题，每题4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．12．一个长方体的各极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13．设等差数列a n 的公差 d 是 2，前 n 项的和为 S n ，则 lima n2S n n 2．n14．已知两圆 x 2 y 2 10 和 ( x1)2 ( y 3)220 订交于 A ，B 两点，则直线 AB 的方程是．A15．如图，在 △ ABC 中， BAC 120°，AB 2，AC 1，D 是边 BC 上一点， DC2BD ，则 AD ·BC．BDC16．如图，用 6 种不相同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不相同，则不相同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题：本大题共 6 小题，共76 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 2cos x(sin x cos x) 1， x R ．（Ⅰ）求函数f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数f ( x) 在区间π 3π上的最小值和最大值．，8 418．（本小题满分 12 分）已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．（Ⅰ）求取出的 4 个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的散布列和数学希望．19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD中， PA 底面ABCD AB AD ，AC CD ， ABC 60°，，PA AB BC ， E 是 PC 的中点．（Ⅰ）证明 CD AE ；P（Ⅱ）证明 PD 平面 ABE ；（Ⅲ）求二面角 A PD C 的大小．EADBC20．（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)2ax 2a21( x R ) ，其中a R．x1（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线y f ( x) 在点 (2， f (2)) 处的切线方程；（Ⅱ）当 a0时，求函数 f ( x) 的单一区间与极值．21．（本小题满分14 分）在数列 a 中，a12， a n 1a n n 1(2 )2 n ( n N ) ，其中0 ．n（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）求数列a n的前 n 项和 S n；（Ⅲ）证明存在k N ，使得an 1≤ak 1对随意 n N均建立．a n a k22．（本小题满分14 分）设椭圆 x2y21(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1， F2， A 是椭圆上的一点，a2b2AF2 F1F2，原点O到直线 AF1的距离为1OF1．3（Ⅰ）证明 a2b ；（Ⅱ）设 Q1， Q2为椭圆上的两个动点， OQ1OQ2，过原点O作直线 Q1Q2的垂线OD，垂足为 D ，求点 D 的轨迹方程．2007 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）参照解答一、选择题：此题察看基本知识和基本运算．每题 5 分，满分 50 分．1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ8．Ｂ 9．Ａ10．Ａ二、填空题：此题察看基本知识和基本运算．每题4 分，满分 24 分．11． 212． 14π13． 314． x 3y816． 390 15．3三、解答题17．本小题察看三角函数中的引诱公式、特别角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y Asin( x ) 的性质等基础知识，察看基本运算能力．满分 12 分．（Ⅰ）解： f ( x)2cos x(sin xcos x) 1 sin 2 x cos 2x2 sin 2xπ ．4因此，函数 f ( x) 的最小正周期为 π．（Ⅱ）解法一：由于 f ( x)2 sinπ 在区间π 3π上为增函数，在区间3π 3π2x8 ，8 ，484上为减函数，又fπ0 ，f3π 2 ，f3π 2 sin3ππ 2 cosπ1 ，884244π 3π上的最大值为 2 ，最小值为1．故函数 f (x) 在区间，84解法二：作函数 f ( x) 2 sin2x ππ 9π上的图象以下：在长度为一个周期的区间，484y2Ox 2由图象得函数 f (x) 在区间π 3π，84上的最大值为 2 ，最小值为 f 3π1 ．418．本小题主要察看互斥事件、相互独立事件、失散型随机变量的散布列和数学希望等基础知识，察看运用概率知识解决实责问题的能力．满分12 分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A ，“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B ．由于事件 A， B 相互独立，且 P( A)C321C422．C42， P(B)C6252故取出的 4 个球均为黑球的概率为P( A·B)P(A)·P(B)121 25．5（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球，1 个是黑球”为事件 C ，“从甲盒内取出的 2 个球中， 1个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D ．由于事件 C， D 互斥，21112C3C·4C3C1且 P(C)2C44·， P(D)·．C42C6215C42C625故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P(C D)P(C) P(D)417 155．15（Ⅲ）解：可能的取值为 01，，2，3 ．由（Ⅰ），（Ⅱ）得P(0)11)7， P(，5151P( 3)C3·11．进而 P(2)1P(0)P(1)P(3)3．22的散布列为123P1 7 3 151510 30的数学希望 E11 7 23 3 17 ．5 1510 30619．本小题察看直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，察看空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分 12 分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD 中，因 PA底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，故PA CD ．∵ AC CD ，PA AC A ，∴CD平面 PAC ．而 AE平面 PAC ，∴CD AE ．AC PA（Ⅱ）证明：由PAABBC，ABC 60°．，可得∵E 是PC 的中点， ∴AE PC ．由（Ⅰ）知， AE CD ，且 PC CD C ，因此 AE 平面 PCD ．而 PD 平面 PCD ，∴ AE PD ．∵ PA 底面 ABCD ，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD ， AB AD ，∴AB PD ．又∵ AB AE A ，综上得 PD 平面 ABE ．（Ⅲ）解法一：过点 A 作 AMPD ，垂足为 M ，连接 EM ．则（Ⅱ）知， AE 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 EM PD ．因此 AME 是二面角 A PD C 的平面角．由已知，得 CAD30°AC a，．设可得 PAa ， AD2 3a ， PD21a ， AE2a ．332在 Rt △ ADP 中， ∵ AMPD ，∴ AM ·PDPA ·AD ，··2 3aa2 7则 AMPA AD3PDa ．21 a7PM3E在 Rt △ AEM 中， sin AMEAE 14ADAM 4 ．CB14 ．因此二面角 APD C 的大小是 arcsin4解法二：由题设 PA底面 ABCD ， PA平面 PAD ，则平面 PAD平面 ACD ，交线为 AD ．过点 C 作CF AD ，垂足为 F ，故 CF 平面 PAD ．过点 F 作 FM PD ，垂足为 M ，连接 CM ，故 CM PD ．因此 CMP 是二面角 A PD C 的平面角．由已知，可得CAD 30°AC a，，设可得 PAa ， AD2 3a ， PD21a ， CF1a ，FD3a ．3326∵△ FMD ∽△ PAD ， ∴FMFD ．PPA PD3 ·E于是， FMFD ·PA 6 a a7 a ．MPD21 14 AFD3aBC1 aCF在 Rt △CMF 中， tan CMF27 ．FM7 a14因此二面角 A PD C 的大小是 arctan 7 ．20．本小题察看导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单一性和极值等基础知识，察看运算能力及分类讨论的思想方法．满分 12 分．（Ⅰ）解：当 a1 时， f ( x)x 2x 1 ， f (2) 4 ，25又 f (x)2( x2 1)·2 2x 2， f (2)62x 2x．( x 21)2( x 2 1)225因此，曲线 yf ( x) 在点 (2， f (2)) 处的切线方程为 y4 6(x2) ，525即 6x 2 y 32 0 ．（Ⅱ）解： f ( x)2a(x 21) 2x(2ax a 2 1)2( x a)( ax 1) ．(x 2 1)2(x 2 1)2由于 a 0 ，以下分两种情况讨论．1（1）当a 0 时，令 f ( x)0 ，获取 x 1， x 2 a．当 x 变化时， f ( x) f (x) 的变a，化情况以下表：x ∞ ，111， aa(a ， ∞)aaaf ( x)f ( x)极小值极大值因此 f (x) 在区间∞ ，1， ( a ， ∞) 内为减函数，在区间1， a 内为增函数．aa函数 f (x) 在x11处获取极小值f 1，且f1a2，a a a函数 f (x) 在x21处获取极大值f (a) ，且 f (a)1．a1（2）当a0时，令 f( x)0 ，获取x1a，x2，当 x 变化时，，f ( x)的变化a f ( x)情况以下表：x∞，a a a，111， + ∞a a af (x)00 f (x)极大值极小值因此 f (x) 在区间 (∞， a) ，1， + ∞内为增函数，在区间a，1内为减函数．a a函数 f (x) 在 x1 a 处获取极大值 f ( a) ，且 f (a) 1 ．函数 f (x) 在 x21处获取极小值 f1，且f1a2．a a a21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要察看等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，察看概括、推理、运算及灵便运用数学知识剖析问题和解决问题的能力．满分14 分．（Ⅰ）解法一：a222(2)2222，a3( 222 )3(2)22 2 323，a4(2 323 )4(2)2 3 3 424．由此可猜想出数列a n的通项公式为 a n(n1) n2n．以下用数学概括法证明．（1）当n1时， a1 2 ，等式建立．（2）假定当n k 时等式建立，即a k ( k 1)k2k，那么 a k 1a1k 1(2)2 k( k 1) k2k k 12k 12k[( k1) 1]k12k1．n n任何 n N 都建立．解法二：由 a n 1a nn 1(2 )2 n (nN ) ，0 ，an 12n 1a n n2可得n 1n1，a n2na nn1，首项为 0，故 21 ，因此数列 a n因此 n 为等差数列，其公差为nn的通项公式为 a n (n 1)n2n ．（Ⅱ）解：设 T n22 33 4(n 2) n 1 (n1) n ，①T n32 43 5(n 2) n(n 1) n 1②当1 时，①式减去②式，23n( n 1) n 12n 1(n 1) n 1，得 (1)T n1T n2 n 1( n 1) n 1(n 1) n 2n n 12．(1 )21(1)2这时数列a n 的前 n 项和 S n ( n 1) n 2n n 1 2 2n 12 ．(1) 2当1 时， T nn(n 1) ．这时数列 a n 的前 n 项和 S nn(n 1)2n 12 ．22（Ⅲ）证明：经过剖析，推断数列a n 1 的第一项 a 2 最大，下面证明：a n a 1an 1a 2 24, n ≥ 2 ．③a na 12由 0 知 a n 0 ，要使③式建立，只需 2a n 1(24)a n (n ≥ 2) ，由于 (24) a n(24)(n 1)n(21)2n4 ·(n 1) n 4 2n 4( n 1) n 12n 2≥ 2n n 12n 22a n 1， n ≥ 2 ．因此③式建立．因此，存在 k 1 ，使得an1 ≤ak 1a2对随意 n N 均建立．a n a k a122．本小题主要察看椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，察看曲线和方程的关系平剖析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14 分．（Ⅰ）证法一：由题设AF2F1F2及 F1 (c，0) ， F2 (c，0)，没关系设点A(c， y) ，其中y 0．由于点A在椭圆上，有c2y21a2b2y21．a2b2，即a2b2b2b2解得，．y a，进而获取 A c a直线 AF1的方程为 y b2( x c) ，整理得 b2 x2acy b2c0．2ac由题设，原点 O 到直线AF1的距离为1OF1，即cb4b2c，334a2 c2将 c2a2b2代入上式并化简得a22b2，即 a2b ．A b2证法二：同证法一，获取点的坐标为，．c a过点 O作OB AF1，垂足为B，易知△ F1 BO ∽ △ F1 F2A，故BO F2 AOF1．F1 A由椭圆定义得AF1AF22a，又 BO 1OF1，3y因此1F2 A F2 A，A 3F1 A2a F2 AB解得 F2A a，而 F2Ab2b2a，即 a2b ．F1O F2x 2a，得a2（Ⅱ）解法一：设点 D 的坐标为( x0，y0)．当 y00 时，由 OD Q1Q2知，直线 Q1Q2的斜率为x0，因此直线 Q1Q2的方程为y0y x0( x x0 ) y0，或 y kx m ，其中 k x0， m y0x02．y0y0y0y kx ，点 Q1 ( x1， y1 )， Q2 ( x2， y2 ) 的坐标知足方程组mx22y22b2．将①式代入②式，得x22( kx m)22b2，整理得 (12k 2 ) x24kmx 2m22b20，于是x1x24km ，x1 x22m22b．12k12k 22由①式得 y1 y2 (kx1m)( kx2m)k2 x1x2 km( x1x2 )k 2k 2 2m22b2·4kmm2m22b2 k2．·12k2km12k12k2由 OQ1OQ2知 x1x2y1 y20 ．将③式和④式代入得3m22b22b2 k20 ，1 2k 23m22b2 (1 k 2 ) ．将 k x0 ，m y0x02代入上式，整理得 x02y022b2．y0y03当 y00 时，直线 Q1Q2的方程为 x x0， Q1 (x1， y1 )， Q2 ( x2， y2 ) 的坐标知足方程组x x0，x22y22b2．因此 x1x2 x0，y1，22b2x220 ．由 OQ1OQ2知 x1x2y1 y20 ，即 x022b2x020 ，2解得 x02 2 b2．32 b2．这时，点 D 的坐标仍知足 x02y0232 b2．综上，点 D 的轨迹方程为x2y23解法二：设点 D 的坐标为( x0，y0)，直线 OD 的方程为y0x x0 y0，由OD Q1Q2，垂足为 D ，可知直线Q1Q2的方程为2y2．0000x x y y x记 m x02y02（显然m 0），点 Q1 ( x，1y1)， Q2( x，2y2)的坐标满足方程组x0 x y0 y m，①x22y22b2．②由①式得 y0 y m x0 x．③由②式得 y02 x2 2 y02 y2 2 y02b2．④将③式代入④式得y02 x22(m x0 x) 22y02b2．整理得 (2 x02y02 )x24mx0 x2m22b2 y020 ，于是 x1 x22m22b2 y22x2y20 ．⑤00由①式得 x0 x m y0 y．⑥由②式得 x02 x22x02 y22x02 b2．⑦将⑥式代入⑦式得(m y0 y) 22x02 y 22x02b2，整理得 (2 x02y02 ) y22my0 y m22b2 x020 ，于是 y y2m22b2 x02．⑧12x02y02由 OQ1OQ2知 x1x2y1y22m22b2 y02m22b2 x020 ，0 ．将⑤式和⑧式代入得y022x02y022 x023m22b2 (x02y02 ) 0 ．将m x02y02代入上式，得x02y022b2．3因此，点 D 的轨迹方程为 x2y2 2 b2．3。

天津市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

天津一中2021－2022－1高二班级数学学科（理科）期中质量调查试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷 2至 3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺当!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列说法正确的是（）（A ）经过空间内的三个点有且只有一个平面（B ）假如直线l 上有一个点不在平面α内，那么直线上全部点都不在平面α内（C ）四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形（D ）用一个平面截棱锥，得到的几何体肯定是一个棱锥和一个棱台2．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）（A ）l 与1l ，2l 都不相交（B ）l 与1l ，2l 都相交（C ）l 至多与1l ，2l 中的一条相交（D ）l 至少与1l ，2l 中的一条相交3．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则由下列条件可以得到a b ⊥的是（）（A ）a α⊥，b β∥，αβ⊥（B ）a α⊥，b β⊥，αβ∥ （C ）a α⊂，b β⊥，αβ∥（D ）a α⊂，b β∥，αβ⊥42的正三角形，若该正三棱锥的表面积是33 （）（A ）23 （B ）3（C ）2 （D ）225. 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．（A ）CC 1与B 1E 是异面直线（B ）AC ⊥平面A 1B 1BA（C ）AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1 （D ）A 1C 1∥平面AB 1E6．如图1～3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（A ）63 （B ）3（C ）123（D ）1837．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为（）（A ）1:3:2（B ）1:1:1（C ）32 （D ）1:2:38. 三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA =4，AB =3，D 为AB 的中点∠ABC =90°，则点D 到面SBC 的距离等于（）A ．512B59 C ．56 D ．539．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．给出下列命题：①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6其中正确的是（）（A ）①②③ （B ）①②③⑤ （C ）②③④⑤ （D ）①③④⑤10.长方体1111ABCD A B C D -中，已知二面角1A BD A --的大小为π6，若空间有一条直线l 与直线1CC 所成角为π4，则直线l 与平面1A BD 所成角的取值范围是（）（A ）π5π[,]1212 （B ）ππ[,]122 （C ）5ππ[,]122 （D ）5π[0,]12天津一中2021-2022-1高二班级数学学科（理科）期中质量调查试卷答题纸第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）ABCABEC(第5题)111．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________．12．圆柱的底面半径和高都与球的半径相同，则球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．13．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为________3m ．14．正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将△ADC 折起，若60DAB ∠=°，则二面角D AC B --的大小为________．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．则EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为________．16．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是________．三．解答题：本大题共4小题共46分。

天津科技大学高等数学试题库(定积分)答案

定积分一、填空题难度系数0.2以下：1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 /4π .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ 2/2πa ________.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ 2/3 ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ 0 ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ 45/2 ______. 6.比较大小，120d x x ⎰__≥_____130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰___≥____1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰__≥__320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰__≤___523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 10.120d sin d d x x x =⎰ 0 . 11.2d sin d d x x x⎰ 2sin x . 12.20d sin d d x t t x⎰ 2sin x . 13.02d sin d d x x x x ⎰ 2sin x - .14.220d sin d d x t t x ⎰ 4sin 2x x . 15.()2de d x t t -=⎰________2-x e dx _________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰________sin x dx x -_________________.17.20d d t t ⎛⎫=⎪⎝⎭⎰_________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰___e _________________.19.求极限203sin d limx x t t x →=⎰____31________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→⎰21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于________2____________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =________-2____________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰_______9__________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = 2a π .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = ab π .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = 212a π .27.由圆x =0x =所围成图形的面积A =12π . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = 2 . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = 2 . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = 1 .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = 3π .难度系数0.2—0.4：1.2e d ln d x xx t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_______)ln 2e (2x x x -__________________.2.设()f x 为[1,)+∞上的连续函数，且ln 1()()d xF x f t t =⎰，则()F x '=____1()(ln )F x f x x=____. 3.求极限202(3sin )d lim3xx t t t x→+⎰4.求极限2sin 0d limxt x e t x-→=⎰______1____________.5.1211d x e x x+∞=⎰ e . 6.11()d x x x e e x --+=⎰0 .7.325245sin d 1x xx x x -=++⎰ 0 . 8.51d x x=⎰42arctan 2- . 9.设()f x 连续，且221()d x f t t x -=⎰(2)f10.若2201()d 1xt t f x t t t-+=++⎰，则(1)f '11.30(1sin )d πθθ-=⎰43π-. 12.若sin d (0)ax x x b a =>⎰，则(sin cos ) d a ax x x x -+=⎰ 2b .13.由曲线xy e =，xy -=e ，与直线1x =所围成图形的面积A =2e1e -+. 14.由曲线sin y x =，cos y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所围图形的面积A =12- .15.用定积分表示由曲线42-=x y 与直线1=x 及3=x 所围成图形的面积A =4 .16.由圆222x y a +=所围图形绕x 轴旋转一周形成一个球体，其体积值V =343a π .难度系数0.4—0.6：1.反常积分21d (ln )kx x x +∞⎰，当k 取 1k > 时收敛.2.2(d aax x -=⎰32a .3.函数0()xf x t =⎰在[0,1]上的最大值是 2 .4.由单位圆221x y +=所围图形绕y 轴旋转一周形成一个球体，其体积值V =43π .5.用定积分表示曲线方程ln y x =上对应x ≤≤一段弧长的弧长的值s =131ln 22+ .难度系数0.6以上：1.若1ln ()d xtf x t t=⎰，则1()d e xf x x '=⎰ 1 .2.设正值函数()f x 在[,]a b 上连续，则函数1()()d d ()xxabF x f t t t f t =+⎰⎰在(,)a b 上至少有 1 个根.3.一立体以抛物线2y x =与直线4x =围成区域为底，而用垂直于x 轴的平面截得的截面都是正方形，则平行截面面积()S x = 4x ；其体积V = 32 .二、单项选择题难度系数0.2以下：1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（ B ）.（A ）大于零；（B ）小于零；（C ）等于零；（D ）不能确定. 2.下列等于1的积分是（ C ）.（A ）1d x x ⎰；（B ）1(1)d x x +⎰；（C ）11d x ⎰；（D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d xx ee x -=⎰（ D ）.（A ）1e e +；（B ）2e ；（C ）2e ；（D ）1e e-. 4.22(sin +cos )d 22x xx π=⎰（ B ）.（A ）2π；（B ）12π+；（C ）2π-；（D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（ C ）.（A ）0；（B ）-1；（C ）1；（D ）2. 6.10d xm e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（ A ）. （A ）m n >；（B ）m n <；（C ）m n =；（D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ C ）.（A ）112300d d x x x x ≤⎰⎰；（B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰；（D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（ C ）.（A ）203gt ；（B ）20gt ；（C ）202gt ；（D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰，其中（ B ）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点；（B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点；（C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点；（D ）ξ是[,]a b 的中点.10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xax f t t ϕ=⎰，则（ A ）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数；（D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0baf x x =⎰且()f x 在[,]a b 连续，则（ B ）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =；（C ）存在唯一的一点x 使()0f x =；（D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ B ）.（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（ C ）.（A ）311d 2x x-⎰；（B ）30ln d x x ⎰；（C ）4tan d x x π⎰；（D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（ C ）.（A ）-1；（B ）0；（C ）1；（D ）2. 15.02sin x d t dt dx=⎰（ B ）. （A ）2sin x ；（B ）2sin x -；（C ）22sin x x -；（D ）2sin t -. 16.定积分()()d bax a x b x --=⎰（ B ）.（A ）3()6b a -；（B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -；（D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aaf x x -=⎰（ C ）.（A ）02()d af x x ⎰；（B ）0；（C ）[()()]d af x f x x +-⎰；（D ）0[()()]d a f x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且6()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （ D ）.（A ）0；（B ）4；（C ）8；（D ）16. 19.222d xe x --=⎰（ D ）.（A ）4222d u eu --⎰；（B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰；（D ）222d x e x --⎰.20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（ A ）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =0y =所围成图形的面积A =（ B ）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（ A ）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（ B ）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（Ｃ）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π.难度系数0.2—0.4：1.设ln 1()()xxF x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（ A ）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +；（B ）1(ln )()f x f x +；（C ）2111(ln )()f x f x x x -；（D ）1(ln )()f x f x-.2.下面命题中错误的是（ A ）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d baf x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界；（C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积；（D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积. 3.下列积分值为零的是（ C ）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰；（B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d xx x ππ-⎰；（D ）022cos d x x x π-⎰.4.下列反常积分收敛的是（ B ）.（A ）1x +∞⎰；（B ）211d x x +∞⎰；（C ）11d x x+∞⎰；（D ）1d x e x +∞⎰.5.下列反常积分收敛的是（ C ）.（A ）ln d e x x x +∞⎰；（B ）1d lne x x x +∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰；（D ）e x +∞⎰.6.1211dx x -=⎰（ D ）.（A ）2；（B ）-1；（C ）；（D ）不存在. 7.函数2x 在[0,2]上的平均值为（ B ）.（A ）32；（B ）32ln 2；（C ）3ln 22；（D ）3ln 2. 8.定积分340sin 2d x x π⎰的值是（ C ）.（A ）12；（B ）12-；（C ）32；（D ）32-. 9.关于反常积分1ln d x x ⎰，下列结论正确的是（ C ）.（A ）积分发散；（B ）积分收敛于0；（C ）积分收敛于-1；（D ）积分收敛于1. 10.由不等式22222a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（Ｃ）.(A) 21)a π； (B)2a ； (C) 2a π； (D) 22a π.11.由相交于点11(,)x y 及2212(,),()x y x x <的两条曲线(),()y f x y g x ==，且()()0f x g x ≥>所围图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V =（ B ）.(A) []212()()d x x f x g x x π-⎰； (B) 2122()()d x x f x g x x π⎡⎤-⎣⎦⎰；(C)⎰-21d )]()([222x x x x g x f π； (D)[]21()()d x x f x g x x π-⎰.难度系数0.4—0.6：1.设sin 20()sin d xf x t t =⎰，34()g x x x =+，当0x →时，()f x 是()g x 的（ B ）无穷小量.（A ）高阶；（B ）同阶非等价；（C ）高阶；（D ）低价. 2.设0()(1)d xt f x t e t =-⎰，则()f x （ A ）.（A ）有极小值2e -；（B ）有极大值2e -；（C ）有极大值2e -；（D ）有极小值2e -.3.设()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，()()d xaF x f t t =⎰，则（ B ）.（A ）()F x 是奇函数；（B ）()F x 是偶函数；（C ）()F x 是非奇非偶函数；（D ）（A ）、（B ）、（C ）都不对.4.12121cos lnd 1xx x x-+=-⎰（ C ）. （A ）1；（B ）-1；（C ）0；（D ）12. 5.广义积分d ()()bkaxb a x a >-⎰的收敛发散性与k 的关系是（ B ）.（A ）1k >时收敛，1k ≤时发散；（B ）1k <时收敛，1k ≥时发散；（C ）1k ≥时收敛，1k <时发散；（D ）1k ≤时收敛，1k >时发散. 6.曲线ln y x =，ln y a =，ln y b =，（0a b <<）及y 轴所围图形面积A =（Ｄ）.(A) e e ln d abx x ⎰； (B)e e e d baxx ⎰； (C)ln ln ln d bax x ⎰； (D)ln ln e d by ay ⎰.7.曲线y =4x =、0y =所围图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积=V （ C ）.(A)4d x x π⎰； (B)240d y y π⎰；(C) 2432d y y ππ-⎰； (D) 24016d y y ππ-⎰.难度系数0.6以上：1.若20tan arctan d lim0x kx t t tc x →⋅=≠⎰，则k =（ D ）.（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6.2.设()f u ''连续，已知12(2)d ()d n xf x x tf t t ''''=⎰⎰，n 应是（ C ）.（A ）2；（B ）1；（C ）4；（D ）12. 3.由心形线22cos r θ=+所围成图形的面积=A （ D ）.(A)2201(22cos )d 2πθθ+⎰； (B) 220(22cos )d πθθ+⎰； (C)201(22cos )d 2πθθ+⎰； (D) 20(22cos )d πθθ+⎰.三、计算题难度系数0.2以下：1.10(23)d x x +⎰．解：112(23)d (3)4x x x x +=+=⎰.2.2211()d x x x x-+⎰．解：22232111115()d [ln ]ln 2236x x x x x x x -+=-+=-⎰.3.0(cos )d x x e x π-+⎰．解：00(cos )d (sin )1x x x e x x e e πππ---+=+=-⎰.4.x x x d )123(124⎰-+．解：14253100324(321)d []5315x x x x x x +-=+-=⎰. 5.x a x a x ad ))((0⎰+-．解：332233()()d ()d 33a a a x a x a x a x x a x a a -+=-=-=-=⎰⎰322a -．6.x xx d )11(94+⎰．解：=-=+=+=+⎰⎰32824]232[d )1(d )11(942/39494x x x xx x x x 344． 7.x x d 1123⎰--+．解：=-=+=+----⎰2ln 01ln d 112323x x x2ln -．8.3sin()d 3x x πππ+⎰．解：333sin()d sin()d()cos()03333x x x x x ππππππππππ+=++=-+=⎰⎰.9.(sin cos )d x x x π-⎰．解：00(sin cos )d (cos sin )(11)02x x x x x ππ-=-+=----=⎰.10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰．解：3311(sin sin 2)d (cos cos 2)24x x x x x ππ-=-+=-⎰.11.x x d )sin 21(0⎰-π．解：=--+=+=-⎰)11(2cos 2d )sin 21(00ππππx x x 4-π．12.222cosd x x ππ-⎰．解：22222221cos 211cos d d sin 22222x x x x x x πππππππ---+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰． 13.20(1cos )d πθθ-⎰．解：2201cos211(1cos )d sin d d (sin 2)2222ππππθπθθθθθθθ--===-=⎰⎰⎰14．π220cos d 2θθ⎰．解：ππ22201cos cosd d 22θθθθ+=⎰⎰π201π2(sin )|24θθ+=+=． 15.40sec tan d x x x π⎰．解：440sec tan d sec 1x x x xππ==⎰．16.⎰+33/121d x x．解：=-==+⎰63arctan 1d 33/133/12ππx x x 6π． 17.⎰-2121d x x ．解：=-==-⎰06arcsin 1d 2/102102πx x x6π．18.1⎰．解1110d()arcsin 26xx π===⎰⎰. 19.2201d 4x x +⎰．解：2201d 4x x =+⎰82arctan212π=x .20.2120d 1x x x +⎰．解：221111022*******d d (1)d [arctan ]11114x x x x x x x x x x π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰．21.322d x ⎰．解：339222421193d (2)d (2ln )ln 222x x x x x x x =++=++=+⎰⎰．22.x xx d 12134⎰-．解：=-=+=-=-⎰⎰1817]212[d )1(d 121222132134x x x x x x x x 89． 23.4120d 1x x x +⎰．解：4120d 1x x x =+⎰1411232201111d (1)d (arctan )113x x x x x x x x x -+=-+=-+++⎰⎰ 324-=π.24.212212d (1)x x x x ++．解：212212d (1)x x x x +=+1221122221111()(arctan )(1)1x x dx dx x x x x x x ++=+=-+++3112+-=π.25.11d (21)ex x x +⎰．解：11112d d 2121ee x x x x x x =-++⎰⎰()()1111d d 2121e e x x x x =-++⎰⎰() 11ln |ln(21)|1ln 3ln(21)e ex x e =-+=+-+.26.221d (1)xx x +解：222211d 11()d (1)1x x x x x x =-++arctan 112π=-=-. 27.251(1)d x x -⎰．解：22556211111(1)d (1)d(1)(1)66x x x x x -=--=-=⎰⎰． 28.⎰-324)28(d x x．解：=-=-=---=-⎰⎰)64181(61)28(61)28()2d(821)28(d 323324324x x x x x 3847． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．解：=-==-=⎰⎰0211cos )1d(1sin d 1sin /3/2/3/2/3/22ππππππx•x x x x x 21．30.41x ⎰．解：4411122(cos1cos 2)x ==-=-⎰⎰．31.120arctan d 1xx x +⎰．解：121122000arctan 1d arctan d(arctan )(arctan )1232x x x x x x π===+⎰⎰． 32.1d e x x⎰．解：1322111222d (ln )dln (ln )(10)333eee x x x x x ===-⎰⎰＝． 33.ln3d 1x xe x e+⎰．解：ln3ln3ln30 1 d d(1)ln(1)2ln 211x x x x x e x e e ee =+=+=++⎰⎰．34.2d x xe x ．解：222200111d d (1)222x x x a xe x e x ee ===-． 35.⎰+32d 1x x x ．解：=-=+=++=+⎰⎰)18(31)1(31)d(1121d 1302/32302232x x x x x x 37．36.20sin cos d t t t π⎰．解：22220011sin cos d cos d cos cos 22t t t t t t πππ=-=-=⎰⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．解：===⎰⎰πππ050404sin 51dsin sin d sin cos x x x x x x 0．38.20x π⎰．解：222000sin d sin d sin d x x x x x x x πππππ==-⎰⎰⎰⎰4cos cos 20=+-=πππx x .39.102d x x e x ⎰．解：102d x xe x =⎰2ln 112)2ln()2(10+-=e e e x.40.51x ⎰．t =，则212,d d 33t x x t t -==.于是4544122212224d d 3333x t t t t t =⋅===⎰⎰⎰.41.41x ⎰．解：令t x =，则t t x t x d 2d ,2==.于是422211112d 1321d 2[ln(1)]21ln 112t t x t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-=-+=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 42.x xx d 191⎰+．解：令t x =，则2t x =，t t x d 2d =，于是t t t t t t x xxd )111(2d 12d 13131291⎰⎰⎰++-=+=+2331142ln(1)t t =-++42ln2=+．43.x xx d 4511⎰--．解：令t x =-45，则4/)5(2t x -=，2/d d t t x -=，于是3231132311(5)11d (5)d (5)8883t t t x x t t t t --=-=-=-=⎰⎰⎰61．44.x x d tan 32⎰π．解：223330tan d (sec 1)d tan 033x x x x xπππππ=-=-=-=⎰⎰33π-．45.224cot d x x ππ⎰．解：224cot d x x ππ=⎰41)cot ()1(csc 24242πππππ-=--=-⎰x x dx x .46.设函数21,1,()112x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求定积分20()d f x x ⎰.解：12223212118()d (1)d d ()2263x x x f x x x x x x =++=++=⎰⎰⎰. 47.设函数3,01,()2,12x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求定积分20()d f x x ⎰.解：12212210137()d 3d 2d 222x f x x x x x x =+=+=⎰⎰⎰.48.设函数⎩⎨⎧≥<=.11e )(x x x x f x ，，，，求定积分x x f d )(20⎰.解：=-+-=+=+=⎰⎰⎰2121e 2ed de d )(2121021120x x x x x x f x x21e +． 49.624d x x -⎰．解：466462222424114d (4)d (4)d (4)(4)422x x x x x x x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰．50.x x d cos 0⎰π．解：/220/22cos d cos d cos d sin sin x x x x x x xxπππππππ=-=-⎰⎰⎰10(01)2=---=．51.20sin d x x π⎰．解：2200sin d sin d (sin )d x x x x x x ππππ=+-⎰⎰⎰20cos cos 224x x πππ=-+=+=.52.1ln d e ex x ⎰．解|：()()1111111ln d (ln )d ln d ln ln eeeeeex x x x x x x x x x x x =-+=--+-⎰⎰⎰21112(1)e e=-+=-.53.d t te t π⎰．解：0d d d 1t t t t tte t t e te e t e e e e ππππππππππ==-=-=+-⎰⎰⎰.54.x x x d e 10⎰-．解：=--=+-=----⎰⎰110110e e1d e ed e xx x xx x x x e21-． 55.cos d x x x π⎰．解：cos d dsin sin sin d cos 2x x x x x x xx x xπππππ==-==-⎰⎰⎰．56.x x d ln e 1⎰．解：=--=-=⎰⎰)1e (e d ln d ln e 1e1e1x xxx x x x 1． 57.10arctan d x x x ⎰．解：21121020011arctan d arctan 221x x x x x x dx x =-+⎰⎰214-=π． 58.求极限02ln(1)d limx x t t x→+⎰．解：0200ln(1)d ln(1)11limlimlim 22(1)2x x x x t t x x x x →→→++===+⎰．59.求下列极限2d limx t x e t x→⎰．解：220d limlim 1x t x x x e t e x→→==⎰．60.设0()sin d xf x t t =⎰，求(0f '），(4f π'）．解：()sin f x x '=，(0=sin0=0f '），(=sin 442f ππ'=）． 61.计算由曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成平面图形的面积. 解： 00sin d (cos )2A x x x ππ==-=⎰.62.计算由曲线xy e =与x 轴、y 轴及直线1x =围成平面图形的面积. 解： 11d ()1x x Ae x e e ===-⎰.63.求由直线x y =与曲线x y =围成的平面图形的面积A .解：dx x x A )(10-=⎰16=.难度系数0.2—0.4：1.x x xd 31102⎰+-．解：=+-=+-=+-⎰3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 31103102πx x x x x 43ln 2136+π． 2.⎰--112d x x x ．解：121d x x x --=⎰012210()d ()d x x x x x x --+-⎰⎰16165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x . 3.⎰-40sin 1d πxx．解：=-+=+=+=-⎰⎰121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4/040240πππx x xx x x x 2． 4.x x x d 1222⎰+-．解：21211d (1)d (1)d x x x x x x x =-=-+-⎰⎰⎰⎰=+=-+--=2121)1(21)1(2121212x x 1． 5.22d 22xx x -++⎰．解：()()00022222d 12211x dxarctg x x x x ---==+++++⎰⎰ ()24411πππ=+=--=arctg arctg ．6.x x x d 12103-⎰．解：令t x sin =，则t t x d cos d =，于是t t t t t t x x xcos d )cos (cos d cos sin d 122042023213-==-⎰⎰⎰ππ1525131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t ．7.⎰+31221d xxx ．解：令t x tan =，则t t x d sec d 2=，于是=-===+⎰⎰⎰3/4/3/4/23/4/223122]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t xx x 3322-． 8.⎰-12122d 1x xx ．解：令t x sin =，则t t x d cos d =，于是=--=-==-⎰⎰⎰4cot d )1(csc d cot d 12/4/2/4/22/4/212122πππππππt t t t t x xx 41π-． 9.⎰-2122d 1x x x ．解：令t x sec =，则t t t x d sec tan d =，于是⎰⎰⎰-==-3/03/022122d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x xx 3/0]sin sec tan [ln πt t t -+=23)32ln(-+=． 10.220cos d x x x π⋅⎰．解：22222000cos 2111cos d ()d cos 2d 222x x x x x x x xdx x x ππππ+⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰⎰2π=. 11.120arctan d 1x xx x ++⎰ ．解：111222000arctan arctan d d d 111x x xx x x x x x x +=++++⎰⎰⎰ 2112200111ln(1)(arctan )ln 222232x x π=++=+.12.21e x ⎰．解：22211ln )1)e e x x =+==⎰⎰.13.x π⎰．解：22cos d cos d cos d )x x x x x x x x ππππππ===-⎰⎰⎰⎰202sin )x x πππ=-=14.x x x d sin 02⎰π．解)d sin sin (2d cos 2cos d sin 02022x x xx x x x xx x x x ⎰⎰⎰-+=+-=ππππππ4cos 2202-=+=πππx ．15.⎰41d ln x xx ．解：=--=-=-=⎰⎰)12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41414141x x xxx x x xx 42ln 8-．16.10x ⎰．解：令t =，2x t =，d 2d x t t =，111110002d 2[]2d 22[]2t t t t x te t te e t e e ==-=-=⎰⎰⎰． 17.⎰210d arcsin x x ．解：⎰⎰--=21022/10210d 1arcsin d arcsin x x x xx x x =-+=2/102112x π12312-+π． 18.10ln(1)d x x x +⎰．解：112001ln(1)d ln(1)d 2x x x x x +=+⎰⎰121200111ln(1)d 221x x x x x=+-+⎰101111ln 2(1)d 2214x x x =--+=+⎰． 19.x x x d cos e 2/0⎰π．解：因为x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/02/02/0⎰⎰-=πππx x x x xx xx d cos e 1e d cos e cos e e 2/022/02/02⎰⎰--=-+=πππππ，有=⎰x x x d cos e 22/0π1e 2-π，所以=⎰x x x d cos e 2/0π)1e (212-π．20.求由d cos d 0yxte t t t +=⎰⎰所决定的隐函数y 对x 的导数d d y x. 解：等式两边同时对x 求导，得d cos 0d yy e x x +=，即d cos d y y x x e=-. 21.设隐函数()y y x =由方程22330ln 40y t x e dt y --++=⎰所确定，求d d yx. 解：等式两边同时对x 求导，得422d d 3230d d y y y x yey x x --+=，解得422d 3d 23y y x x ye y-=-. 22.求由方程1d sin d 202=+⎰⎰x y t tt t t 确定的函数)(x y y =的导数xyd d . 解：等式两边同时对x 求导，得22d sin 20d y x y x x x +⋅=，解得22sin 2d d yx x y -=. 23.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≥+=,01,1,0,11)(x x x x x f 求定积分20(1)d f x x -⎰. 解：令1-=x t ，则⎰-2d )1(x x f ⎰⎰⎰+++==--1001111d d 1d )(tt t t t t f 2ln 32)1ln()1(3210012/3+=+++=-t t .24.设函数1,0,1()1,0,1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩ 求定积分20(1)d f x x -⎰.解：令1-=x t ，则⎰-2d )1(x x f 111101d ()d d 11t t f t t te t --==+++⎰⎰⎰ 0101(ln(1)ln(1)(1)t t e t ln e -=-+++=+.25.ln320(1+)d x x e e x ⎰．解：ln3ln3223ln30156(1+)d (1+)d(1+)(1+)33x x x x x e e x e e e ===⎰⎰． 26.x x d )sin 1(03⎰+π．解：=-+=-+=+⎰⎰πππππ03023]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 34+π． 27.x x xd ln 1e1⎰+．解：=+=+=+=+⎰⎰321)(ln 321dln ln ln d ln 1e 12/3e 1e 1e1x x x x x x x 35． 28.⎰-++212102d x x x．解：=-=+=+++=++---⎰⎰)04(3131arctan 313)1()1d(102d 212122212πx x x x x x 12π． 29.⎰-++01311d x x ．解：令t x =+31，则13-=t x ，t t x d 3d 2=，于是2011003d 13(1)d 11t t t t t t -==-+++⎰⎰⎰ 2103[33ln(1)]2t t t =-++=232ln 3-．30.求函数2()d xt f x te t -=⎰的极值．解：2()x f x xe -'=，22()(12)x f x x e -''=-,令()0f x '=得函数()f x 的驻点0x =，又(0)10f ''=>，所以0x =时函数()f x 有极小值(0)=0f ．31.求极限⎰⎰→2202d cos )d sin (limx xx tt t tt．解：===⋅=→→→→⎰⎰⎰⎰1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 000400020202x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x x 1． 32.求极限3001sin lim(1)d xx tt x t →-⎰．解：323200000sin 11sin sin cos 11lim (1)d lim lim lim 33918x x x x x xt x x x x t x t x x x →→→→----====-⎰． 33.求极限42)d )1ln((limxt t xx ⎰+→．解：2432(ln(1)d )2ln(1)d ln(1)ln(1)d limlim42xxx x x t t t t x t t xx x →→++⋅++==⎰⎰⎰=414)1ln(lim0=+→x x x ．34.22(+)d xx x e x --⎰．解：2022222(+)d 0d 2d 2d 26xxx x x e x x xe x xe x e ------=+==-⎰⎰⎰⎰．35．若函数)(x f 连续，设⎰=x t t xf y 1d )(，求xyd d . 解：⎰=x t t f xy 1d )(，根据乘积求导法则，xyd d )(d )(1x xf t t f x +=⎰．36.计算反常积分411d x x+∞⎰的值．解：4433111111111d lim d lim ()lim ()3333bb b b b x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰． 37.计算反常积分0d ()kt pte e tp k +∞->⎰.解：()()0d d limd bkt pt k p t k p t b e e t e t e t +∞+∞---→+∞==⎰⎰⎰()()0111lim lim[]bk p t k p b b b e e k p k p k p --→+∞→+∞==----1p k =-． 38.判定反常积分1x ⎰的敛散性，若收敛，计算其值．解：2111lim[lim(1ttt t x --→→=-==⎰⎰．故反常积分收敛于1． 39.判定反常积分1e⎰的敛散性，若收敛，计算其值．解：11lim[arcsin(ln )]2ett et ex π--→→===⎰．故反常积分收敛于2π． 40.计算由抛物线曲线26y x =-与直线32y x =-围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为2632y x y x ⎧=-⎨=-⎩，得（-1，5），（3，-3），3323211132(632)d (3)33A x x x x x x --=--+=-++=⎰. 41.求由双曲线xy 1=及直线x y =、2=y 围成平面图形的面积. 解：取y 为积分变量，则2ln 23)ln 2(d )1(21221-=-=-=⎰y y y y y A .42.求由抛物线243y x x =-+-及它在点)3,0(-与点)0,3(的两条切线34-=x y与x y 26-=所围成区域的面积.解：如图，两切线34-=x y 与x y 26-=的交点为3,32C ⎛⎫⎪⎝⎭，所求面积为： x x x x x x x x A d )]34()26[(d )]34()34[(32322302-+---+-+---=⎰⎰498989d )96(d 32322302=+=+-+=⎰⎰x x x x x . 43.求由双曲线1=xy 与直线x y =及2=y 围成的平面图形的面积A . 解：dy y y A )1(21⎰-=3ln 22=-.44.求由曲线xe y =，xe y -=与直线1=x 围成的平面图形的面积A .解：dx e e A xx )(1--=⎰12e e=+-. 45.求由抛物线2x y =与直线x y 23+=围成的平面图形的面积A . 解：dx x x A )23(231-+=⎰-323=. 46.求由抛物线23x y -=与直线x y 2=围成的平面图形的面积A .解：dx x x A )23(213--=⎰-323=. 47.求由曲线y x =，直线1=+y x 及ox 轴围成的平面图形的面积A .解：dy y y A )2(10⎰--=56=. 48.求由曲线x y x y cos ,sin ==与直线0=x 及2/π=x 围成的平面图形的面积A .解：dx x x A ⎰-=2/0sin cos π1)=.49.求由不等式组10≤<x ，0ln ≤≤y x 所确定的平面区域的面积A . 解：10ln 1A xdx =-=⎰.50.求由不等式ax y x a 2222≤+≤所确定的平面区域的面积A .解：]cos 42121[22/3/223/02θθθπππd a d a A ⎰⎰+=22(3a π=-. 51.计算由两条曲线23y x =-与2y x =围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为232y x y x⎧=-⎨=⎩，得（-3，-6），（1，2）23233d )23(1323132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--⎰x x x x x x A .52.求由曲线2x y =，1=x 及ox 轴围成的区域绕ox 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：140x V x dx π=⎰5π=53.求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形分别绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解：所求的体积140d 5x V x x ππ==⎰.54.求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解：所求的体积1(1)d 2y V y y ππ=-=⎰.55.求由曲线2x y =，1=x 及ox 轴围成的区域绕oy 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：10(1)2y V y dy ππ=-=⎰.56.求由曲线2x y =与2y x =围成的区域绕ox 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：1403()10x V x x dx ππ=-=⎰. 57.求由曲线2x y =与2y x =围成的区域绕oy 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：1403()10y V y y dy ππ=-=⎰.58.求底半径为r ，高为h 的圆锥题体积V . 解： 2201()3hr V x dx r h h ππ==⎰. 59.一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 围成区域为底，而用垂直于ox 轴的平面截得的截面都是等边三角形，求该立体体积. 解：20V ==⎰60.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面成α角，计算这个平面截下的圆柱体体积. 解： 22312()tan tan 23RR V R x dx R αα-=-=⎰. 61.计算曲线x y ln =从3=x 到8=x 一段的弧长S .解：dx x S ⎰+=83211131ln 22=-. 62.计算曲线)3(31x x y -=从1=x 到3=x 一段的弧长S . 解：dx x xS ⎰+=31)1(2143=. 63.计算曲线dt t t y x ⎰+=022从0=x 到5=x 一段的弧长S . 解：dx x S ⎰+=50)1(352=. 64.计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==的全长. 解：/243sin cos 6S a t tdt a π==⎰.难度系数0.4—0.6：1.1x ⎰．解：11222x ==⎰⎰⎰12212316π==． 2．已知⎰=='=201d )(0)2(21)2(x x f f f ，，，求定积分⎰''102d )2(x x f x ．解：⎰⎰'-'=''10102102d )2()2(21d )2(x x f x x f x x x f x⎰+-'=1010d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ⎰+-=1d )2(2141x x f ．对积分⎰10d )2(x x f ，令t x =2，则21d )(21d )2(2010==⎰⎰t t f x x f ，所以0212141d )2(102=⋅+-=''⎰x x f x ． 3．若22lim 4d xxax x a x e x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求c 值. 解：左式22lim 1xa x a e x a -→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭．右式2222(2)d(2)2d x x aax e x x e +∞+∞--=--=-⎰⎰2222222(2d )22d )x x a x aa ax e xe x a e x e +∞+∞+∞----=--=-⎰⎰22222222(d )(221)ax x x aaa exee x a a e +∞+∞----=--=++⎰由，左式=右式，有222(221)xx a a ee --∴++=，得0a =或1a =-．4.求函数203()d 1xtf x t t t =-+⎰在区间[0,1]上的最大值与最小值．解：23()1xf x x x '=-+，令()0f x '=得0x =在01（，）内无驻点，又(0)0f = 11220033(21)1(1)d d 121t t f t t t t t t -+==-+-+⎰⎰。

天津一中11-12学年高二上学期期中考试理科数学试题(精品资料).doc

A BC S E F 【最新整理，下载后即可编辑】天津一中2011—2012学年第一学期期中高二数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（） A ．6B ．12 3C ．24D ．32．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为（）A ．433B ．163C ．643D ．323．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A ．至多只能有一个是直角三角形B ．至多只能有两个是直角三角形C ．可能都是直角三角形D ．必然都是非直角三角形4．对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （） A ．平行 B ．垂直 C ．异面 D ．相交 5．已知m n ，是两条不同直线,αβγ，，是三个不同平面，正确命题的个数是（）①若αγ⊥，βγ⊥，则α//β ②若m α⊥，n α⊥，则m //n ③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若m //α，n //α，则m //n ⑤若m //α，m //β，则α//βA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） A ． 90° B ．45° C ．60°D ．C AD B F7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知平行六面体1111OABC O A B C -，OA a =，OC c =，1OO b =，D 是四边形OABC 的中心，则（） A ．1O D a b c =-++ B ．11122O D b a c =--- C ．11122O D a b c =--D ．11122O D a b c =-+10．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（）A ．直线AB 上 B ．直线AC 上 C ．直线BC 上D ．△ABC 内部二、填空题（每题4分，共24分）11．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的体积为__________．12．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为． 13．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于． 16．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为．三、解答题(共4题，46分)17．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF//平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD（1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大A BCD E A 1B 1C 1D 1小；（2）证明平面AMD ⊥平面CDE ；（3）求二面角A-CD-E 的余弦值．20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（1）证明：1A C ⊥平面BED ；（2）求二面角1A DE B --的余弦值大小．参考答案：一、选择题：1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A二、填空题： 11．485π12．13．13141516．2三、解答题： 17．证明：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点， ,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面 ∴直线EF ‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面所以，平面BEF ⊥平面PAD 。

天津科技大学《高等数学》(一

天津科技大学高等数学一?二自测题9答案一填空题三解答题天津科技大学高等数学一?二检测题答案内接长方体体积为v体积则目标函数为xyz由实际意义半球的内接长方体体积有最大值所以当第一卦限的内接点为天津科技大学高等数学一?二检测题答案天津科技大学高等数学一?二检测题101答案一填空题天津科技大学高等数学一?二检测题102一答案一填空题天津科技大学高等数学五?二检测题102二答案一填空题天津科技大学高等数学一?二检测题103答案一填空题xdzdz天津科技大学高等数学一?二检测题104答案一计算题
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天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题答案
法线方程为：
x 3 y 1 z 3 ． 1 3 1
天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题 9-6 答案
一、填空题
1． ( 2, 2) ， 8 ； 2． ( 1, 1) ， 0 ．
二、选择题
1．(A)； 2．(C)； 3．(B)； 4．(D)．
3．解：方程两边对 y 求导，有
x 2 y
1 xyz
( yz
x xz ) ， y
即
xyz
x x x xz 2 xyz 2 xyz yz xz ．解得 . y y y xyz yz
4．解：方程两边微分得 2xdx 2ydy 2zdz
1 dz z
一、选择题
1. (A) 二、解答题 1．解：令 F ( x, y ) xy ln y 1, 则 Fx y, Fy x
1 y
F dy x dx Fy
y x 1 y

y2 1 xy
由原方程 x 0, y e
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天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题答案

天津市2023-2024学年高一上学期期中联考试题数学含解析

2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则A B = （）A.{}15x x -<<B.{}15x x <<C.{}1x x >- D.{}1x x >2.设:0p x >，:13q x <<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式25240x x +-<的解集是（）A.{8x x <-或}3x > B.{3x x <-或}8x >C.{}38x x -<< D.{}83x x -<<4.已知0.91.213, 1.2,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A .a c b<< B.c b a<< C.c<a<b D.b<c<a5.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.26.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则()()04f f +=（）A.11B.11- C.13D.13-7.已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(3)()g x x f x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-88.设(),0,a b ∈+∞，则下面的不等式不正确的是（）A.2b a a b+≥ B.1122a b a b+≥++C.222a b ab +≥ D.22b a a ba b+≥+9.已知函数()32e 1x f x x =-+，则不等式()()212f x f x +->-的解集为（）A .1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题p ：01x ∃≥，2000x x -<，则命题p 的否定为______.11.函数()()01x f x x+=的定义域为______.12.已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.13.已知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数=a ______.14.已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______.15.已知函数()()()()214112x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为______.三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算()1122013342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算7log 23log lg 25lg 47+++.17.已知集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤.（1）当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使A B A = 成立的a 的取值范围.18.设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数(),0x f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式()()21221f x m x x m <-+--.19.已知函数()321x af x =-+是定义域在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知函数()f x 的定义域为R ，并且满足下列条件：①()11f -=；②对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；③当0x >时，()0f x <.（1）证明：()f x 为奇函数.（2）解不等式()()2222f x x f x +-->-.（3）若()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则A B = （）A.{}15x x -<<B.{}15x x <<C.{}1x x >- D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则{}15A B x x ⋂=<<.故选：B.2.设:0p x >，:13q x <<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为{}0x x >{}13x x <<，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3.不等式25240x x +-<的解集是（）A.{8x x <-或}3x >B.{3x x <-或}8x >C.{}38x x -<< D.{}83x x -<<【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为()()2524380x x x x +-=-⋅+<，所以83x -<<，即不等式25240x x +-<的解集是{}83x x -<<.故选：D.4.已知0.91.213, 1.2,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.c b a<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为01.21b ==，0.90.9133c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为3x y =在R 上单调递增，1.20.90>>，所以 1.20.903331>>=，即a c b >>.故选：D.5.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.6.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则()()04f f +=（）A.11B.11- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】由()f x 为R 上的奇函数可得()00f =，()()44f f =--，代入计算即可求解.【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()44f f =--，又当0x <时，()31f x x =-，所以()()()4443113f f =--=--⨯-=，所以()()0401313f f +=+=.故选：C.7.已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(3)()g x x f x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-8【答案】D 【解析】【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出()g x 的表达式，然后再求()g x 的最小值.【详解】因为幂函数()f x x α=的图像过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以155α=，得1α=-，所以1()f x x =，则3()(3)()1g x x f x x =-=-显然在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以所求最小值为11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：D8.设(),0,a b ∈+∞，则下面的不等式不正确的是（）A.2b a a b+≥ B.1122a b a b+≥++C.222a b ab +≥ D.22b a a ba b+≥+【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，(),0,a b ∈+∞，由2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于B ，取1a b ==，1121122213a b a b+=+=<+=+=+，不正确；对于C ，由222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于D ，由不等式33222()()0a b a b ab a b a b +--=+-≥，可得3322a b a b ab +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，两边同除ab ，可得22b a a b a b+≥+成立，正确；故选：B9.已知函数()32e 1xf x x =-+，则不等式()()212f x f x +->-的解集为（）A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()2f x f x -+=-，问题转化为()()21f x f x ->-，再判断函数()f x 的单调性，利用单调性求解即可得解.【详解】()32e 1x f x x =-+ ，()()33222e 1e 1x xf x x x -∴-=--=-+-++，()()2f x f x ∴-+=-，所以不等式()()212f x f x +->-可转化为()()21f x f x ->-，又3y x =在R 上单调递增，e x y =在R 上单调递增，进而2e 1xy =-+在R 上单调递增，所以函数()f x 在R 上单调递增，21x x ∴->-，解得13x >，所以原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题p ：01x ∃≥，2000x x -<，则命题p 的否定为______.【答案】1x ∀≥，20x x -≥，【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p ：01x ∃≥，2000x x -<的否定为1x ∀≥，20x x -≥.故答案为：1x ∀≥，20x x -≥11.函数()()01x f x x+=的定义域为______.【答案】()(]1,00,2- 【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式组求解可得.【详解】由题可知220100x x x x ⎧-++≥⎪+≠⎨⎪≠⎩，解得12x -<≤且0x ≠，所以()f x 的定义域为()(]1,00,2- .故答案为：()(]1,00,2- 12.已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则{}13x x -<<{}12x x m -<<+，所以，23m +>，解得1m >.因此，实数m 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.13.已知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数=a ______.【答案】1-或2.【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即21510,2a a a +--==（舍去），或152a =（舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.14.已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，将原式化为2822a b a b+++，再由基本不等式，即可得到结果.【详解】因为0a >，0b >，且1ab =，所以1188284222222ab ab a b a b a b a b a b a b +++=++=+≥==+++，当且仅当2822a b a b +=+时，即212a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或212a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，等号成立，所以11822a b a b+++的最小值为4.故答案为：415.已知函数()()()()214112x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解.【详解】对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在R 上为减函数，可得21002142a a aa a ⎧⎪-<⎪>⎨⎪⎪-+≥⎩，解得21112a ≤<，所以实数a 的取值范围为21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算()1122013342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算7log 23log lg 25lg 47+++.【答案】（1）52-.（2）112.【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式11232221315221412222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯+=-+=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）原式()32333311log 32lg 52lg 222lg 5lg 222lg102222222=+++=+++=++=++=.17.已知集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤.（1）当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使A B A = 成立的a 的取值范围.【答案】（1）{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.（2）6a <-或25a ≤≤.【解析】【分析】（1）利用交集、并集运算求解即可；（2）由A B A = 得A B ⊆，分类讨论列不等式组求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}311A x x =≤≤，又{}320B x x =≤≤，所以{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，又集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤，当A =∅时，2135a a ->+，即6a <-，这时A B ⊆.当A ≠∅时，有21352133520a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得25a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为6a <-或25a ≤≤.18.设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数(),0x f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式()()21221f x m x x m <-+--.【答案】18.(]4,0-19.答案见解析.【解析】【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且Δ0<；（2）因式分解后对参数m 分类讨论即可.【小问1详解】①若0m =，此时10-<恒成立；②若0m ≠，要使得210mx mx --<恒成立，则2Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<，所以(]4,0m ∈-；【小问2详解】()2211221mx mx m x x m --<-+--，即()2220x m x m -++<，即()()20x x m --<，若m>2，则解集为()2,m ；若2m =，此时不等式无解；若2m <，则解集为()m,219.已知函数()321x af x =-+是定义域在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）6（2）()f x 在(),-∞+∞上是增函数，证明见解析（3）()6,+∞【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性得(0)302af =-=，解得a 的值；最后代入验证；（2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.【小问1详解】函数()321xaf x =-+是定义域在R 上的奇函数，由(0)302a f =-=，得6a =，即有()()321632121x x x f x -=-=++，下面检验：()()()()()()32132123122121212x xxx xx xxf x fx ------⋅--====-+++⋅，且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，故符合；【小问2详解】()f x 在(),-∞+∞上是增函数.证明如下：设任意12x x <，()()()()()12121212622663321212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由于12x x <，则12022x x <<，即有()()()121262202121x x x x -<++，则有()()12f x f x <，故()f x 在(),-∞+∞上是增函数；【小问3详解】因为对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，所以2(2)(2)f t f t k -<--对于[]1,2t ∈-恒成立，因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以2(2)(2)f t f k t -<-对于[]1,2t ∈-恒成立，又()f x 在R 上是增函数，所以222t k t -<-，即222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，而函数()222g t t t =+-在[]1,2-上的最大值为()26g =，所以6k >，所以实数k 的取值范围为()6,+∞.20.已知函数()f x 的定义域为R ，并且满足下列条件：①()11f -=；②对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；③当0x >时，()0f x <.（1）证明：()f x 为奇函数.（2）解不等式()()2222f x x f x +-->-.（3）若()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()4,1-（3）(][),66,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）用赋值法先求出()0f ，再令y x =-即可得证；（2）先证明函数在R 上是减函数，再求得()22f =-，最后将不等式()()2222f x x f x +-->-转化为2340x x +-<求解即可；（3）将题意转化为2560m mt -->，[]1,1t ∈-恒成立即可.【小问1详解】由题意函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，令0x y ==，则(00)(0)(0)2(0)f f f f +=+=，故(0)0f =.令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=，故()()f x f x -=-.故()f x 为奇函数.【小问2详解】任取12,R x x ∈，且12x x >.由题意120x x ->，()120f x x -<，()()()()1121122f x f x x x f x x f x =-+=-+，故()()()12120f x f x f x x -=-<，即()()12f x f x <，又12x x >，故()f x 在R 上为减函数.因为()11f -=，所以()11f =-，()()211112f f =+=--=-，故()()2222f x x f x +-->-即()()()2222f x x f x f ++->，即2222x x x ++-<，化简可得2340x x +-<，解得()4,1x ∈-.【小问3详解】由（2）知()f x 在[]1,1-上为减函数，故()f x 在[]1,1-上最大值为()11f -=.要使()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，则2551m mt --≥，即2560mt m -+-≥对任意[]1,1t ∈-恒成立.又256y mt m =-+-是关于t 的一次函数，故只需()2251605160m m m m ⎧-⨯-+-≥⎨-⨯+-≥⎩，即()()()()160610m m m m ⎧-+≥⎪⎨-+≥⎪⎩，解得(][),66,m ∈-∞-+∞ .。

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天津科技大学-12高等数学(理工类)期中试卷答案
2022-2022学年第一学期本科试卷答案
第1页（共7页）
年级：2022专业：工科各专业课程号：1101020510
7.已知df(某)
d某,则f(某).2
1某
答:arctan某C.注：答为arctan某扣1分8.当n时，如果in答:2.
k
1n
与
为等价无穷小，则k.n
3某1,某1，
9.若函数f(某)在(,)上连续，则a.
a,某1.
答:2.
10.设函数f(某)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间a,b内至少存在一点，使得f()=.
f(b)f(a
).
a
二、单项选择题（每小题3分,共18分）答:
1.若极限lim某n0，而数列{yn}有界，则数列{某nyn}（Ａ）.
n
(A)收敛于0；(B)收敛于1；(C)发散；(D)收敛性不能确定.2.某0是函数f(某)
的（C）间断点.12某
(A)可去；(B)跳跃；(C)无穷；(D)振荡.3．设函数f(某)某(某1)(某
2)(某2022)，则f(0)（C）.(A)n!；(B)2022!；(C)2022!；
(D)2022!.4．若函数f(某)、g(某)都可导，设yf[g(某)]，则
dy
（B）.d某
(A){f[g(某)]}g(某)；(B)f[g(某)]g(某)；(C)f[g(某)]g(某)；(D)f[g(某)].
5．若函数f(某)与g(某)对于开区间(a,b)内的每一点都有
f(某)g(某)，则在开区间(a,b)内必有（D）(其中C为任意常数).
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2022-2022学年第一学期本科试卷答案
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年级：2022专业：工科各专业课程号：1101020510 11(2)
某cot某lim解：原式=lim(3分)
某0某0in某co某1
某
某1
limlim1．(6分)某0in某某0co某
4.limn
解：设某n
1n1n1
22
1n
12n
2
1n
2
1nn
2
，(1分)
则，某n
2
1yn；(2分)1nn
2
某n
nn
2
1nn
2
nnn
2
11/n
(3分)zn，
因为limynlimzn1，(4分)
n
n
由夹逼定理lim
111
2n2n2nn2n
1.(6分)
第4页（共7页）
2022-2022学年第一学期本科试卷答案
第5页（共7页）
年级：2022专业：工科各专业课程号：1101020510
arcin(a某),某0,
五.（8分）已知函数f(某
)2在某0点可
某2某b,某0
导,求常数a、b的值.
解：要使f(某)在某0处可导，必须f(某)在某0处连续，(1分)而f(0)limarcin(a某)0；f(0)b.(2分)
某0
由f(0)f(0)，有b0.(3分)又f(0)lim
某0
f(某)f(0)arcin(a某)a某
limlima，(4分)某0某0某0某某
f(某)f(0)某22某
f(0)limlim2.(5分)
某0某0某0某
(0)f(0)(6分),得a2.(7分)由f(某)在某0处可导，有f
故当a0,
b2时，函数f(某)在某0处可导.(8分)
六．证明题（12分）若函数f(某)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1.证明:(1)存在(0,1)，使得f()1;
(2)存在两个不同的点a,b(0,1),使得f(a)f(b)1.证明：(1)令
g(某)f(某)某1,(1分)则g(某)在[0,1]上连续,(2分)
又g(0)10，g(1)10(3分)，由零点定理知,存在(0,1),使得
g()f()10(5分),即f()1.(6分)
(2)分别在[0,
]和[,1]上应用拉格朗日中值定理(7分),
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2022-2022学年第一学期本科试卷答案
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