弦的横振动问题
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。
理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。
②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。
将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。
③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g 是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。
弦振动——精选推荐
弦振动的实验研究弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。
用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。
对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。
比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。
对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。
同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。
欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。
本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。
预备问题1． 复习DF4320示波器的使用。
2． 什么是驻波？它是如何形成的？3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。
一、 实验目的：1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。
二、实验原理一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。
令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。
若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程()2222tydx dx x y T ∂∂=∂∂ρ （1） 若令ρ/2T v =， 上式可写为222221tyv x y ∂∂=∂∂ （2）y 图1（2）式反映了弦的位移y 与位置x 、时间t 的关系，其中)/(ρT v =代表了在弦线上横波传播的波速。
弦振的转换方式
弦振的转换方式一、引言在自然界中，弦振是一种常见的物理现象。
弦振的转换方式，即弦振从一种形式转变为另一种形式的过程，可以用来说明许多现象和事件的变化过程。
本文将以人类的视角，采用生动的语言，详细描述弦振的转换方式。
二、弦振的基本原理弦振是指在一根绷紧的弦上，由于外力的作用，弦产生的振动现象。
弦振的转换方式主要有以下几种：机械能转换、能量传递、波的传播等。
三、机械能转换1. 弦振的转换方式之一是机械能的转换。
当弦受到外力作用时，弦上的能量将会发生转换。
例如，当我们用手指敲击一根绷紧的弦时，外力将会使弦产生振动，机械能将从手指传递到弦上，形成弦振。
2. 机械能转换的过程中，弦上的能量会由势能转换为动能。
在弦振的过程中，弦上的每一个微小部分都会沿着弦的方向来回振动，使得弦上的能量不断地从势能转换为动能，再从动能转换为势能。
四、能量传递1. 弦振的转换方式之二是能量的传递。
当弦上的能量转换为动能时，这些能量会以波的形式传播出去。
波的传播是通过弦上的粒子间的相互作用来实现的。
2. 波的传播过程中，能量会从弦的一端传递到另一端。
当弦上的一部分粒子受到外力作用而产生振动时，它会将振动传递给相邻的粒子，从而使得振动能量沿着弦传播。
五、波的传播1. 弦振的转换方式之三是波的传播。
当弦上的能量传递到弦的另一端时，形成了一种波动现象。
这种波动可以是横波，也可以是纵波。
2. 横波是指波的传播方向与振动方向垂直的波动形式，而纵波是指波的传播方向与振动方向平行的波动形式。
无论是横波还是纵波，它们都是由振动能量在弦上的传递而形成的。
六、结论弦振是一种常见的物理现象，它的转换方式有机械能转换、能量传递和波的传播等。
在弦振的转换过程中，能量会从势能转换为动能，然后通过波的传播形成波动现象。
这些转换方式相互作用，共同构成了弦振的全过程。
通过上述描述，我们可以更加深入地了解弦振的转换方式，并从人类的视角感受到弦振的奇妙之处。
希望本文能够帮助读者对弦振的转换方式有更清晰的认识，并激发对物理现象的更多思考。
弦线振动实验资料
分析图线，验证出结论 λ ∝ f −1 ；
（3）根据图线来求出直线的截距 b ，由已知的张力 T 值 (T = Mg)，以及截距 b 表达式
b = 1 ln T − 1 ln μ ，求出弦线密度 μ ;
（1）将振幅调节钮旋至最小处，打开信号源电源开关后，顺时针调节振幅调节钮，
使振动片 A 振动； （2）改变弦线长（移动可动滑轮 B ），使之产生振幅较大且稳定的驻波，改变振动频
率或砝码质量数次，观察波形、波长的变化情况。
2．验证弦线波波长 λ 与张力 T 的关系
（1）固定振动源的频率为一定值（100 Hz ），在砝码盘（ M 0 = 45g ）上添加不同质 量的砝码，以改变同一弦线上的张力，每改变一次张力，均要记录相应张力 T 值（T 等于
能否验证波长 λ 与张力 T 的关系？能否根据弦线密度 μ 求出振动频率 f ？如果可以，怎样
验证，怎样求？ 【课后思考题】
⒈ 弦线上调出稳定的驻波后，欲增加半波数 n 的个数，是增长还是缩短弦线长？应 增加砝码还是减少砝码？
⒉ 本实验中，若只改变振动频率，将会使弦线波波长变化还是波速变化？只改变弦 线长时，弦线波频率、波长、波速中那个量随之变化？只改变砝码质量时，情况又怎样？
验证弦线波波长与张力t的关系1固定振动源的频率为一定值100在砝码盘hzgm450上添加不同质量的砝码以改变同一弦线上的张力每改变一次张力均要记录相应张力t值t等于m为砝码和砝码盘的总质量并左右移动可动滑砝码和砝码盘的总重量即mgt轮b的位置使弦线上出现振幅较大且稳定的驻波记录当半波数n分别取5432l1时所对应的弦线长
⒊ 试设计实验方案验证弦线波波长 λ 与弦线密度μ的关系。
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。
理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。
②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。
将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。
③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的'信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。
03-1 弦的横向振动
●观察弦的自由振动同样可以发现存在着同步运动 的特征，即在运动中弦线位移的一般形状不随时间改变， 但一般形状的幅度是随时间而改变的； ●运动中弦的各点同时到达最大幅值，又同时通过平 衡位置； ●用数学的语言讲，描述弦振动的位移函数 y(x,t) 在 时间和空间上是分离的。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 2 a 2 2 F t dt Y x dx
由该式得到如下 两个方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
关于时间变量t的常微分方程。 关于空间变量 x 的常 微分方程。
d 2Y x 2 Y x 0 0 x L 2 dx 将偏微分方程转化为两个二阶常 微分方程！——分离变量法。 a
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 a 2 F t dt Y x dx 2
左端只依赖于t，右端只依赖于x，要使其对任意的t和x都 成立，必然等于同一常数。用-2表示这个常数，得
r
r 1, 2,
r 1, 2,
E=0
Yr x Dsinr x Ecosr x
因为振型只确定系统中各点振 r Y x sin x r 动幅度的相对值，其表达式无 L 需带常数因子D，取D=1。
r 1, 2,
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第二章三类典型的偏微分方程
第二章 三类典型的偏微分方程
简化假设：
在弦上任取一小段 (x, x x)它的弧长为：
s
x x x
1
(
u x
)
2
dx
y
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， u 很小，从而
x
x x
s x 1dx x
可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可
知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时
设场内热源为稳态的，即为 f(x, y, z)
流场温度不随时间变化，即T=T( x, y, z ) 则有
第二章 三类典型的偏微分方程
其中：
2T 2T 2T g(x, y, z,t) x2 y2 z2
g(x, y, z,t) f (x, y, z,t) / a2
这就是稳态方程，称为泊松方程。
c
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 三维热传导方程的推导
根据热学中的傅立叶定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
dQ k T dSdt k T nˆdSdt kT dSˆdt
n 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
S n
M V
S
热场
Q1
t2
t1
S
kT
dSˆ
dt
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
t 2 x2
2u t 2
a2
2u x2
0
令：a
E
2u P
t 2 x
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
03-1 弦的横向振动解析
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
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§8.1弦的横振动问题
一、引言
二、方程的导出
三、定解条件
1.定解条件的必要性
2.初始条件
3.边界条件
4.定解问题
四、例题
一、引言(展示)
数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。
解决任何物理问题通常分三步：
第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；
第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；
第三，给得出的结果以物理解释。
本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。
导出物理问题的偏微分方程的步骤是：
首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，
再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。
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二、方程的导出(展示1234)
在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦
是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。
这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。
设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。
在弦上任取一小段x1x2(图8。
1)，设在t时刻成为弧长。
由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即
(8.1-
1)
根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。
设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为
，则段弦的横向运动方程为
(8.1-2)
式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线
与x轴的夹角。
根据弦作微小振动的假定，有
(8.1-3)
(8.1-4)
因此，有
(8.1-5)
将上式代入(8.1-2)式,可得
由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程
(8.1-6)
讨论：
1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即
(8.1-7)
即张力与x无关。
因此，在弦作微小完全横振动的假设下，张力T既与t无关又与x无关，为一常数。
2）如果弦是均匀的，即等于常数，方程(8.1-6)化为
(8.1-8)
,
(8.1-8)称为均匀弦的强迫横振动方程。
3）如果没有外力的作用，＝0，就得到均匀弦的自由横振动方程
(8.1-9)
如果研究均匀细杆的纵向强迫振动(或自由振动)，可以得到与(8.1-8)
(或8.1-9)形式上完全一样的方程。
这里，我们不做具体推导。
仅指出，同一个方程往往描述物理本质相同的一类物理现象。
方程(8.1-8)与(8.1-9)都描述一维的振动波动过程，通常又称为一维的振动波动方程。
前者是非齐次方程，后者是齐次方程。
[例8.1– 1]匀质柔软的弦在阻尼介质中作微小完全横振动。
设单位长度
的弦所受的阻力为，其中比例常数R称为阻力系数。
试推导弦在阻尼介质中的振动方程。
解:与 推导出(8.1-6)式的过程完全类似，考虑弦上任意一段()的运动，有
利用微小完全横振动条件下，张力T与x，t都无关，且对于匀质弦ρ为常数，故有
(8.1-10)
其中。
[例8.1– 2]长为的柔软匀质的线，上端固定，下端自由。
在自身重力的作用下，线处铅直平衡位置。
试推导此线相对于竖直线的微小横振动。
解:取线的平衡位置为轴，方向向下，上端固定点取为坐标轴的原
点(图8.3)线在自身重力作用下处于铅直平衡位置时，线中的张力随位置变化，即
(8.1-11)
其中ρ为线密度，g为重力加速度。
在微振动条件下，线中的张力不随时间变化。
考虑任意时刻线上任意一小
段M1M2的运动，作用于这段线上的横向合力为
(8.1-12)
因此，该段线的运动方程为
(8.1-13)
由于的任意性，得到横向振动方程
(8.1-14)
式中。
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三、定解条件
1.定解条件的必要性
前面，我们通过具体例子说明了，如何从一个物理问题和相应的物理规律导出微分方程。
但是，方程表达的是同一类现象的共同规律，还不足以确定具体物理过程的变化。
对各个具体问题还必须研究物体(体系)所处的特定环境和历史，即边界条件和初始条件。
实际上，只要注意到在推导方程时，我们总是在某一时刻t选取物体内部不含端点或边界的任一小部分来研究其运动情况，问题就十分清楚了。
从数学上看，一个微分方程有无穷多的解，这表现为通解中含有若干个任意常数或任意函数。
我们已经知道常微分方程的一般解中含有任意常数。
对偏微分方程，其通解中会含有任意函数。
例如，考虑最简单的偏微分方程
(8.1-15)
把方程改写成
显然，与x无关，即
θ是自变量为y的任意函数，继续对y积分，得
(8.1-16)
式中φ(x)为x的任意函数，ψ(y)为y的任意函数。
将(8.1-16)代入(8.1-
15)式，方程成立，说明(8.1-16)式确实为(8.1-15)式的通解。
因此，我们必须通过初始条件及边界条件确定任意常数的数值或任意函数的具体形式。
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2.初始条件
对于一切随时间发展变化的物理问题，都必须考虑其历史，即追溯到某个初始时刻的状态—初始条件。
在弦振动方程中含有时间的二阶导数，必须给出两个初始条件。
即弦上各点的初始位移与初始速度
(8.1-17)
(8.1-18)
应该注意，初始条件必须给出整个系统的初始状态，而不只是系统中个别点的初始状态。
例如，一根长为l的两端固定的弦，在x＝c处横向拉开距离h(图8.3)，然后放手任其振动。
初始条件就是放手那个时刻的位移和速度。
初始速度显然为零，即
至于初始位移，不可以写成
因为仅弦上x＝c点的初始位移是h，其它各点的初始位移并不是h。
正确的应将初始位移表示成
(8.1-19)
或
又如长度为的均匀细杆，一端固定，另一端拉长a静止，其初始位移为
(8.1-20)
而不能写成。
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3.边界条件
边界条件反映出体系的边界上的物理状况，表明体系所处的环境。
对弦振动问题最常见的边界条件是：
直接给出位移(待求函数)在边界上的值，即第一类边界条件。
例如，研究长度为的两端固定弦的横振动。
既然两端x＝0和x＝是固定的，位移u就始终是零，即
(8.1-21)
为第一类齐次边界条件。
在最一般的情况下，边界条件可写为
(8.1-22)
为第一类非齐次边界条件，其中、均为时间t的已知函数。
在细杆的纵振动问题中，杆的x＝端受到一个沿x方向的已知外力F(t)的作用(图8.4)。
根据H o o k e定律，有
其中E为弹性模量，S为杆的横截面积。
故x＝端的边界条件为
(8.1-23)
给出了未知函数的法向导数在x＝的边界点上的值，即第二类非齐次边界条件。
如果外力F(t)＝0，即端点是自由的，则边界条件为
(8.1-24)
即第二类齐次边界条件。
4.定解问题
数学物理方程加定解条件(初始条件与边界条件)，构成定解问题。
定解问题有唯一稳定的解则称该定解问题是适定的.
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四、例题
[例8.1-1],[例8.1-2]
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