高等数学期中考试试卷及答案

高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。

（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。

（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。

（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。

（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。

（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。

（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。

2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。

3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。

(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。

5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。

四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。

dy/dx = 2cos(x)sin(x)e^(sin^2x)。

2、y=tan^2x/(1+cosx)。

dy/dx = (2tanxsec^2x(1+cosx)-tan^2xsinx)/(1+cosx)^2.3、y=ln((x^2+1)/(x^2-1))。

dy/dx = 4x/(x^2-1)^2.5、极限$\lim\limits_{x\rightarrowa}(1+x)^{\frac{1}{x}}$的值为()A)1；（B)$\ln a$；(C)$e^a$；(D)不存在．6、设在区间[a,b]上$f(x)>0,f'(x)0$，令$S_1=\int_a^bf(x)dx,S_2=f(b)(b-a),S_3=[f(b)+f(a)](b-a)$，则有（）A)$S_1<S_2<S_3$；（B)$S_2<S_1<S_3$；(C)$S_3<S_1<S_2$；(D)$S_2<S_3<S_1$．二、填空题（每题3分，共18分）1、数列极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[\ln(n-1)-\ln n]=$。

2、设函数$f(x)=\begin{cases}3\cos x,&x<5\\2x+b,&x\geq 5\end{cases}$在$(-\infty,+\infty)$内连续，则$b=$。

3、比较积分大小：$\int_1^1\ln xdx$______$\int_1^2\ln xdx$。

4、设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内有直到$n+1$阶的导数，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式：$f(x)=a+a_1x+L+a_nx^n+R_n(x)$中系数$a_k=$（$k=1,2,\cdots,n$）。

5、不定积分$\int\frac{dx}{x\sqrt{1+\tan^2x}}=$。

6、曲线$y=\frac{1}{1+x}$在点$(2,2)$处的切线方程为_______________________。

三、解答题（每题6分，共36分）1、求极限：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}\int_x^{2x}\ln(1-t)dt$；2、设函数$y=\sin^3x+\cos x+\tan\frac{x}{2}$，求$\frac{dy}{dx}$；3、已知方程$xy=e^{x+y-1}$确定$y$是$x$的函数，求$dy|_{x=1}$；4、求函数$y=2x^3+x^2-4x+3$的单调区间；5、求极限$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\int_x^{2x}\frac{\cos t^2}{t}dt$；6、计算不定积分$\int x^4\ln xdx$。

四、（本题满分7分）讨论函数$f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0\\x+1,&x<0\end{cases}$在$x=0$处的可导性。

五、（本题满分7分）证明：当$x>0$时，$1+x\ln(x+1+x^2)>1+x^2$。

六、（本题满分7分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，证明存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$b f(b)-a f(a)=[f(\xi)+\xi f'(\xi)](b-a)$。

七、（本题满分7分）求圆$x^2+y^2=R^2$内接矩形的最大面积。

1、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(2x-1)的定义域为[0.5,1]。

2、设f(x)=sin(x-1)/2x-1，则x=1点是函数f(x)的可去间断点。

3、设函数f(x)在(-∞,∞)内连续，其导数的图形如下图所示，则f(x)有两个极小值点，两个极大值点。

4、设F(x)为f(x)的原函数，则有∫f(x)dx=F(x)+c。

5、∫xf''(x)dx=xf'(x)-f(x)+c。

二、填空题（每题3分，共15分）1、a=1/3，b=1/3.2、lim(h→0)(f(2-h)-f(2))/3h=3.3、f(x)在x处可导是f(x)在x处连续的条件，f(x)在x处连续是f(x)在x处可微的条件，f(x)在x处可微是f(x)在x处可导的条件。

4、ex的带有Lagrange型余项的n阶麦克劳林公式为ex=∑k=0n(xk/k!)+Rn(x)，其中Rn(x)=exi(x-x)n+1/(n+1)。

i∈(0,1)。

5、x=-1.三、解答题（每题6分，共36分）1、使用洛必达法则，得到limx→∞sin(sinx2)/x=0，因此limx→∞sin(sinx2)dx=0.2、首先，sinx>0，因此lnsinx>0，e>1，所以xy>0.然后，sinx<1，因此sinsinx2<sinx2，所以0<sin(sinx2)/x<sinx2/x。

根据夹逼定理，得到limx→∞sin(sinx2)/x=0，因此limx→∞xylnsin x=0.3、将方程y=xy+ex+y改写为y-ex=xy+y，对两边同时求导得到dy/dx=y+xy'+e+y'，移项得到dy/dx=(1+x)y'+(1+y)e，解得y'=(dy/dx-e)/(1+x-y)。

4、y=x+1的单调区间为(-∞,-1)和(-1,∞)，凹区间为(-∞,-1/3)，凸区间为(-1/3,∞)。

5、∫e3x/x dx=1/3(e3x/x)'+2/3∫e3x/x2dx=1/3(e3x/x)'+2/9(e3x/x2)'+4/27∫e3x/x3dx=1/3(e3x/x)'+2/9(e3x/x2)'+4/81(e3x/x3)'+8/243∫e3x/x4 dx+。

=∑n=0∞(2/3)n(e3x/xn)+(2/3)n+1∫e3x/xn+1 dx。

6、将1-sinx的分母有理化，得到∫(1-sinx)/(1+cosx)dx=∫(1+cosx)/(1+cosx) dx-∫(sinx-cosx)/(1+cosx) dx=x-∫(sinx-cosx)/(1+cosx) dx，令u=1+cosx，得到∫(sinx-cosx)/(1+cosx)dx=∫(1-u)/u du=ln|1+cosx|-x。

四、（本题满分7分）在x=0处，f(x)=0.在x≠0处，f(x)=xsin(1/x)，因为limx→0f(x)=0，所以f(x)在x=0处连续。

当x≠0时，f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)/x，因为limx→0f'(x)不存在，所以f(x)在x=0处不可导。

五、（本题满分7分）对于x>0，将右边的e/x展开成幂级数，得到e/x=1/x+1/x2+1/(2x3)+。

因此e>1+x+1/2x2.对于x1+x+x2/2，因此当x>0时，e>1+x+1/2x2.1、x→0，1-cosx与x是等价无穷小；ln(1+4x)与4x是同阶但非等价无穷小。

因此，x→0时，x(1-cosx)ln(1+4x)的极限为0.2、根据链式法则，dy/dt=dy/dx*dx/dt=23a(1+t^2)^(-2)。

3、使用分部积分法，令u=x，dv=e^x*dx，则du/dx=1，v=e^x，因此原式为xe^x-∫e^x*dx=xe^x-e^x+C。

4、使用代换法，令u=x^2+1，du/dx=2x，则原式变为∫e^udu=e^u+C=e^(x^2+1)+C。

5、使用分部积分法，令u=1+lnx，dv=dx/x，则du/dx=1/x，v=lnx，因此原式为(1+lnx)lnx-∫(1/x)*lnx*dx=(1+lnx)lnx-x+C。

6、y''=(x^2-2x+3)e^-x。

7、根据隐函数求导公式，dy/dx=-[e^(y-sinxy)cosx+x*e^(y-sinxy)cosxy]/[e^(y-sinxy)cosy+y*e^(y-sinxy)cosxy]。

因此在点(π/2,0)处，dy/dx=-π/2.8、将ex-(1+x)展开为幂级数，得到ex-(1+x)=Σ(x^n/n!)-(Σx^n/n!+1)，因此ex-(1+x)>x^2/2，又因为cosxx^2/2，即ex-(1+x)>1-cosx，证毕。

9、设f(x)=ln(1+sinx)/(1+cosx)，则f'(x)=(cosx-ln(1+sinx)+sinx-ln(1+cosx))/(1+sinx+cosx+sinxcosx)>0，因此f(x)单调递增，f(0)=0，因此f(x)>0，即ln(1+sinx)/(1+cosx)>0，即ln(1+sinx)>ln(1+cosx)，即sinx>cosx，因此x>π/4.10、由于f'(x)=g(x)，因此f(x)=∫g(x)dx=∫(1+cosx)^(-1)dx=arctan(tan(x/2)-1)+C。