高等数学期中考试试卷及答案

高等数学期中考试试卷及答案

XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷

一、判断题（每题2分，共10分）

1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。（×）

2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。（×）

3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）

4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）

5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。（√）

二、填空题（每题2分，共10分）

1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）

2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）

3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点

(0,1),(1,e)的弦平行。（答案为(1.e^1)）

4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。（答案为-1/(x^2-2x+2)）

5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。（答案为

x^2/2）

三、单项选择题（每题2分，共10分）

1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。

2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。

3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。(以

上等式都不成立)

4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。

5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。

四、计算下列极限（每题6分，共18分）

1、lim(x+1-x^-1) = 2.

2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.

3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.

五、计算下列各题（每题6分，共18分）

1、y=e^(sin^2x)。dy/dx = 2cos(x)sin(x)e^(sin^2x)。

2、y=tan^2x/(1+cosx)。dy/dx = (2tanxsec^2x(1+cosx)-tan^2xsinx)/(1+cosx)^2.

3、y=ln((x^2+1)/(x^2-1))。dy/dx = 4x/(x^2-1)^2.

5、极限$\lim\limits_{x\rightarrow

a}(1+x)^{\frac{1}{x}}$的值为()

A)1；（B)$\ln a$；(C)$e^a$；(D)不存在．

6、设在区间[a,b]上$f(x)>0,f'(x)0$，令

$S_1=\int_a^bf(x)dx,S_2=f(b)(b-a),S_3=[f(b)+f(a)](b-a)$，则有（）

A)$S_1

(C)$S_3

二、填空题（每题3分，共18分）

1、数列极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[\ln(n-1)-\ln n]=$。

2、设函数$f(x)=\begin{cases}3\cos x,&x<5\\2x+b,&x\geq 5\end{cases}$在$(-\infty,+\infty)$内连续，则$b=$。

3、比较积分大小：$\int_1^1\ln xdx$______$\int_1^2\ln xdx$。

4、设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内有直到$n+1$阶的导数，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式：

$f(x)=a+a_1x+L+a_nx^n+R_n(x)$中系数

$a_k=$（$k=1,2,\cdots,n$）。

5、不定积分$\int\frac{dx}{x\sqrt{1+\tan^2x}}=$。

6、曲线$y=\frac{1}{1+x}$在点$(2,2)$处的切线方程为_______________________。

三、解答题（每题6分，共36分）

1、求极限：$\lim\limits_{x\rightarrow

0}\frac{1}{x^2}\int_x^{2x}\ln(1-t)dt$；

2、设函数$y=\sin^3x+\cos x+\tan\frac{x}{2}$，求

$\frac{dy}{dx}$；

3、已知方程$xy=e^{x+y-1}$确定$y$是$x$的函数，求

$dy|_{x=1}$；

4、求函数$y=2x^3+x^2-4x+3$的单调区间；

5、求极限

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\int_x^{2x}\frac{\cos t^2}{t}dt$；

6、计算不定积分$\int x^4\ln xdx$。

四、（本题满分7分）

讨论函数$f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq

0\\x+1,&x<0\end{cases}$在$x=0$处的可导性。

五、（本题满分7分）

证明：当$x>0$时，$1+x\ln(x+1+x^2)>1+x^2$。

六、（本题满分7分）

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，证明存

在一点$\xi\in(a,b)$，使得$b f(b)-a f(a)=[f(\xi)+\xi f'(\xi)](b-a)$。

七、（本题满分7分）

求圆$x^2+y^2=R^2$内接矩形的最大面积。