空间向量的夹角与距离公式
高三数学空间向量夹角与距离(201908)
空间向量的夹角和距离公式讲课
a ?b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
;
a // b ? a1 ? ? b1, a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3精品?PP0T ;
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
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三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A
线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
uuuur OM
?
1
uuur (OA
?
2
uuur OB)
?
1 2
??(3 , 3 ,1)
?
?1,
0 , 5??? ?
? ??
解: 建立如图的空间直角坐标系O ? xyz, 得
11
z
A(1,0,0), E (1,1, ), F ( ,0,1). D
uuur FA
?
(
1
,0,
?
1),
uu2ur
FE
?
(
2
1 ,1,?
1
).
A F1
1
C1 B1 E
2
22
D
O
C y
uuur | FA |?
5
,|
uuur FE
|?
6 .
A
B
x
uuur uuu2r FE gFA
§9.6 空间向量的夹角和距离公式
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一、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3)则 a ? b ? (a 1? b1, a2 ? b2, a3 ? b3) ;
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
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二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
空间向量的直角坐标运算律
.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。
对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。
判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。
注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。
立体几何中的向量方法求空间角和距离
§8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1． 空间向量与空间角的关系(1)已知异面直线l 1，l 2的方向向量分别为s 1，s 2，当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． (2)已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2，当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． (3)已知直线l 的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，则直线l 与平面π的夹角θ满足：sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|. 2． 距离公式点到直线的距离公式：d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2.点到平面的距离公式：d ＝|P A →·n 0|.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π2]．( √ )(5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) 2． 已知二面角α－l －β的大小是π3，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.2π3 B.π3C.π2D.π6答案 B解析 ∵m ⊥α，n ⊥β，∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π2]，∴m ，n 所成的角为π3.3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1答案 B解析 P 点到平面OAB 的距离为 d ＝|OP →·n||n |＝|－2－6＋2|9＝2，故选B.4． 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为_____________． 答案41133解析 ∵n·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32，|a |＝4＋9＋9＝22，∴cos 〈n ，a 〉＝n·a |n|·|a |＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133. 5． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么平面α与β的夹角为________． 答案 90°解析 不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，如图， 作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝22a ，PF ＝22b ，∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0， ∴EM →⊥FN →，∴平面α与β的夹角为90°.题型一 求异面直线所成的角例1 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC 1→、AE →所成的角来求． 答案 B解析 建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)， ∴BE →＝(0，－1,1)， CD 1→＝(0，－1,2)，∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.题型二 求直线与平面所成的角例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点． (1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立 坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．(1)证明 以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)， 则A (1,0,0)，B (0,1,0)．设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，m 2，0. 可得PE →＝⎝⎛⎭⎫12，m 2，－n ，BC →＝(m ，－1,0)． 因为PE →·BC →＝m 2－m2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解 由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C ⎝⎛⎭⎫－33，0，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，E ⎝⎛⎭⎫12，－36，0， P (0,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0.因此可以取n ＝(1，3，0)．又P A →＝(1,0，－1)， 所以|cos 〈P A →，n 〉|＝24.所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 思维升华 利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(2013·湖南)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．方法一 (1)证明 如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ， 而B 1D 平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)解 因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连接A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，从而A 1B 1⊥AD 1. 又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形． 于是A 1D ⊥AD 1，故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D . 由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1. 故∠ADB 1＝90°－θ， 在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB . 从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BC AB ，即AB ＝DA ·BC ＝ 3.连接AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217， 即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.方法二 (1)证明 易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建 立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)， C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)， 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .(2)解 由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)， B 1C 1→＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 题型三 求两个平面的夹角例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求平面A 1CD 与平面A 1CE 夹角的正弦值．思维启迪 根据题意知∠ACB ＝90°，故CA 、CB 、CC 1两两垂直，可以C 为原点建立空 间直角坐标系，利用向量求两个平面的夹角．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF 平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正 方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.所以平面A 1CD 与平面A 1CE 夹角的正弦值为63. 思维升华 求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为[0，π2]．如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ；(2)求平面ABP 与平面ACP 夹角的余弦值．(1)证明 如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)， B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0，2)，D (－12，12，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量， 则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.所以z 1＝0，x 1＝y 1，取y 1＝1，得n 1＝(1,1,0)． 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AC 的一个法向量， 则由n 2·P A →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2. 取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)． 因为n 1·n 2＝(1,1,0)·(－2，2，1)＝0， 所以n 1⊥n 2.从而平面POD ⊥平面P AC . (2)解 因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量为n 3＝(0,1,0)．由(1)知，平面P AC 的一个法向量为n 2＝(－2，2，1)． 设向量n 2和n 3的夹角为θ， 则cos θ＝n 2·n 3|n 2|·|n 3|＝25＝105.所以平面ABP 与平面ACP 夹角的余弦值为105. 题型四 求空间距离例4 已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．思维启迪 所求距离可以看作CG 在平面GEF 的法向量的投影． 答案61111解析 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则CG →＝(0,0,2)，由题意易得平面GEF 的一个法向量为n ＝(1,1,3)， 所以点C 到平面GEF 的距离为d ＝|n ·CG →||n |＝61111.思维升华 求点面距一般有以下三种方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．(2012·大纲全国改编)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则点A 到平面BED 的距离为 ( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 D解析 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， C (0,2,0)，C 1(0,2,22)，E (0,2，2)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BED 的法向量． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝2x ＋2y ＝0n ·DE →＝2y ＋2z ＝0.取y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)为平面BED 的一个法向量． 又DA →＝(2,0,0)，∴点A 到平面BED 的距离是 d ＝|n ·DA →||n |＝|－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1.利用空间向量求角典例：(12分)(2013·江西)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 夹角的余弦值． 思维启迪 (1)可利用判定定理证明线面垂直；(2)利用AD 、AP 、AB 两两垂直建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量夹角求两个平面BCP 、DCP 夹角的余弦值． 规范解答(1)证明 在△ABD 中，因为E 为BD 的中点， 所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1， 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA .[2分]故EF ⊥AD ，AF ＝FD ， 又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，[4分]所以GF ⊥AD ， 故AD ⊥平面CFG .[6分](2)解 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32， 故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.[8分]设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CP →＝0n 1·BC →＝0即⎩⎨⎧－32x 1－32y 1＋32z 1＝012x 1＋32y 1＝0令y 1＝－3，则x 1＝3，z 1＝2，n 1＝(3，－3，2)． [9分] 同理求得面DCP 的法向量为n 2＝(1，3，2)，[10分]从而平面BCP 与平面DCP 夹角θ的余弦值为 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝44×22＝24.[12分]利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系． 第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标． 第四步：计算向量的夹角(或函数值)． 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范．(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．方法与技巧1．用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算．2．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．失误与防范1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1如图所示，则直线B 1D 和CD 1所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°答案 D解析 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线CD 1、B 1D 的方向向量分别是CD 1→＝(－1,0,1)， B 1D →＝(－1,1，－1)，cos 〈CD 1→，B 1D →〉＝1＋0－12×3＝0，∴直线B 1D 和CD 1所成的角为90°.2． 如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案 D解析 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . 又∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，从而AC ⊥SB . 故A 正确；易知B 正确；设AC 与DB 交于O 点，连接SO .则SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO ，又OA ＝OC ，SA ＝SC ，∴∠ASO ＝∠CSO . 故C 正确；由排除法可知选D.3． (2013·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin π3＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OPOA＝3， 又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.4． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22答案 B解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1， 则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 所以平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为23.5． 在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC的距离为( )A.63B.33a C.a 3D.6a答案 B解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则 P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点 P 到平面ABC 的距离．∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心， 可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，a 3. ∴PH ＝⎝⎛⎭⎫a 3－02＋⎝⎛⎭⎫a 3－02＋⎝⎛⎭⎫a 3－02＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 二、填空题6． 已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面夹角的大小为________．答案 π4解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝22，∴〈m ，n 〉＝π4.∴两平面夹角的大小为π4.7． 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1 所成的角是________． 答案 60°解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.8． 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________． 答案3510解析 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，F (12，1,0)，D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1→＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1.∴n ＝(1,0,2)． 又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.三、解答题9． 如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，P A 与平面ABD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4， CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值． 解 (1)建立如图空间直角坐标系，∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)．由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角， ∴∠P AD ＝60°.在Rt △P AD 中，由AD ＝2，得PD ＝23，∴P (0,0,23)． (2)∵P A →＝(2,0，－23)，BC →＝(－2，－3,0)， ∴cos 〈P A →，BC →〉＝2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×0413＝－1313，∴异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值为1313.10．(2013·天津)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱 AA 1的中点． (1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．方法一 如图，以点A 为原点，以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)， B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明 易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝ 0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)． 设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)， 所以AM ＝ 2.方法二 (1)证明 因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1平面 A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE 平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)解 过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ， 所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423， 所以sin ∠B 1GC 1＝217， 即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解 连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角． 设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有 MH ＝26x ，AH ＝346x . 在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2， 得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1， 由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°， 得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ， 整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)． 所以线段AM 的长为 2.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP的夹角大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝P A ＝1，知A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)由题意得，AD ⊥平面ABP ，设E 为PD 的中点，连接AE ，则AE ⊥PD ，又∵CD ⊥平面P AD ，∴AE ⊥CD ，又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面CDP .∴AD →＝(0,1,0)，AE →＝(0，12，12)分别是平面ABP 、平面CDP 的法向量， 而〈AD →，AE →〉＝45°，∴平面ABP 与平面CDP 的夹角大小为45°.2． 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．答案 155解析 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)，∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝1＋25·3＝155. 3． 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．答案 233解析 如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)，∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0n ·DB →＝2x ＋2y ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离为d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.4． 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求平面BPD 与平面ABD 的夹角．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴平面BPD 与平面ABD 的夹角为60°.5． (2013·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． (1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC .(2)解 在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5，∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 1＝03y 1－4z 1＝0 ∴取向量n 1＝(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧ B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0. 取向量n 2＝(3,4,0)∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，∴平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值为1625. (3)证明 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)，解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0则λ＝925，因此BD BC 1＝925.。
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D B
C
A
Homework:
P43：6、7、8、9
2 2 2 2 2 2
;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
| a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2
| b | b b b b2 b3
2 2 1 2
2
空间两点间的距离公式、
在空间直角坐标系中， 已知A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z 2 ),则 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) ;
2 2 2
例题
例1、已知A（3，3，1）、B（1，0，5）， 求（1）线段AB的中点坐标和长度； （2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z） 的坐标x，y，z满足的条件。
例2、在正方体ABCD-A′B′C′D′中，4B′E′ =4D′F′=A′B′ 求BE′与DF′所成的角的余弦值 。
z D′ A′ D A x
空间向量的夹角和距离公式
2004.12.16
向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a (a1 , a2 , a3 ), ( R);
F′ E′
C′
B′
C y
B
例3、求证：如果两条直线同垂直于一个平面， 则这两条直线平行。
A
z 0 α x y D
B
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于 平面α，则称这个向量垂直于平面α，，记作a⊥α。 如果a⊥α，那么向量a叫作平面α的法向量。
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ; ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 0;
夹角、
cos a, b a b | a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
A1 M C1 B1
N CAB Nhomakorabea题：已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。
例题：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C D1A1的中点，求 AB, EF 1) 2)求点A到直线EF的距离。 (用向量方法）
A1 D1 B1 C1