(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

空间向量的夹角、距离计算同步练习题一、选择题1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4)， (1 ，-4,1) ，则直线与AB 的夹角为（ C）ABCACA.30 0B.45 0C.600D.90 02. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180°解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° .3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（ ， ， ），那么这条直线与平面的夹角为 (D )A.90 0B. 60 0C.45 0D. 304. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 (A )A.30°B.60°C.45°D.90°5．在棱长为a 的正方体－1111中，是1的中点，则点1到平面 的距离是 ()ABCD A B CDMAAAMBD63036A.B.aC.D.a6a64a3DaA ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M1B ( a a, 0)解析： 以 为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为a ， 0， a ，，则1，，， ，，2→→→0，－1 →1D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ，，DM ＝ a， 0，2a2a .11－ y ＋ 2z ＝ 0，y ＝ 2z ，令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2)→，a ) ，则 A 到平面所以所以，DA ＝( a, 01111x ＋2z ＝ 0，x ＝－ 2z ，的距离是→＝ 6 . 答案： ABDMd 16a| n |6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 (B )A. 1B.C.D. 27. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ）A.B.C.D.8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( )ABCD ABEFFAABCDACA ．45°B ．30°C ．90°D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴，所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC→ → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉1＝120°. ∴ AC 与 BF 所成的角为 60°.10．在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AB ＝ 2， BC ＝2， DD 1＝ 3，则 AC 与 BD 1 所成角的余弦值为( )370 3 7070A ．0B.70C ．－70D.70解析：选 A. 建立如图坐标系，则D (0,0 ， 3) ，B (2,2,0) ， A (2,0,0) ， C (0,2,0) ，1→∴ BD ＝ ( － 2，－ 2,3) ，1→→ →→ →→ →BD · ACAC ＝ ( －2,2,0)．∴ cos 〈BD ， AC 〉＝ 1→ ＝0.∴〈 BD ， AC 〉＝ 90°，其余弦值为0.11|1|||BDACBE 与平面 B BD 所成的角的正弦值为11．在正方体 ABCD － A BCD 中， E 是 CC 的中点，则直线()1 1 111110B.10 ．－15D.15A ．－5 C555解析：选 B.建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 D (0,0,0) ，B (2,2,0) ， B 1 (2,2,2) ，E (0,2,1) →．∴ BD ＝( －2，－ 2,0) → →，BB 1＝ (0,0,2) ， BE ＝( － 2,0,1) ．→→，∴－ 2x －2y ＝ 0， x ＝－ y ，设平面 B 1BD 的法向量为 n ＝ ( x ，y ， z ) ．∵ n ⊥ BD ， n ⊥ BB 12z ＝ 0. ∴z ＝ 0.→→10n · BE令 y ＝ 1，则 n ＝( － 1,1,0) ．∴ cos 〈 n ，BE 〉＝→ ＝ 5 ，设直线 BE 与平面 B 1BD 所成角为θ，则 sin θ＝| n || BE | |cos 〈 ，→〉 | ＝ 10 .n BE 5uuur uuuur()12. 在正方体 ABCD －A B CD 中， M 、N 分别为棱 AA 和 BB 的中点，则 sin 〈 CM ， D 1 N 〉的值为 1 1 1 1 1 11 422 A. 9B.9 5C.95D.3解析：设正方体棱长为2，以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 为 z 轴建立空间直角坐标系，可知uuurCM1uuuur＝ (2 ，－ 2,1) ， D 1 N ＝ (2,2 ，－ 1) ，uuur uuuur1 uuur uuuur4 5 cos 〈 CM ， D N 〉＝－， sin 〈 CM ， D N 〉＝.1919答案： B二、填空题13. 已知 a ， b 是直线， α，β 是平面， a ⊥ α， b ⊥ β，向量 a 1 在 a 上，向量b 1 在 b上， a 1＝ (1,0,1) ，2b ＝( － 1,2,1) ，则 α， β 所成二面角的大小为 __ 90° ______．1714. 正三角形 PAB 与正方形 ABCD 所在平面互相垂直，正方形的边长为 a ，则点 D 到直线 PB 的距离是 __ 2 a ___．15．平面 α 的法向量为 (1,0 ，－ 1) ，平面 β 的法向量为 (0 ，－ 1,1) ，则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为________ ．解析：设 u ＝ (1,0 ，－ 1) ， v ＝(0 ，－ 1,1) ，则 cos θ＝± |cos 〈 u ， v 〉 | ＝±|－ 11π 2π2× 2 | ＝± 2. ∴ θ＝ 3 或 3 .π 2π答案：或3 316．已知在棱长为 a 的正方体-′′′′中，E 是BC 的中点．则直线′ 与DE 所成角的余弦值为ABCDA B C DA C________ ．解析：A (0,0 a ) C ( a a, 0) D (0 a, 0) E a →( a aa ) →如图所示建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ， a ， ，0A C， DE′，， ′ ＝， ，－2a→ →→ → 1515〉＝ A ′ C · DE＝＝ a ，－ ， 0，∴ cos 〈 ′ ，. 答案：2A CDE → →1515| A ′C | · | DE |三、解答题AE 与 CF 所成角的余弦值．17．正方体 ABCD － AB CD 中， E 、 F 分别是 A D 、 A C 的中点．求：异面直线1 1 1 11 11 1解：设正方体棱长为 2，分别取 DA 、 DC 、 DD 1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A (2,0,0) 、 C (0,2,0) 、 E (1,0,2) 、F (1,1,2) ，→ ， 则 AE ＝ ( － 1,0,2)→＝ (1 ，－ 1,2) ，∴ |→|＝5，|→|＝ 6.CFAECF→ →→→→→ → → → → → →30 AE · CF ＝－ 1＋ 0＋ 4＝ 3. 又AE · CF ＝| AE || CF |cos 〈 AE ， CF 〉＝ 30cos 〈 AE ，CF 〉，∴ cos 〈AE ， CF 〉＝ 10，30∴所求角的余弦值为 10 .18．已知正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1，棱长为 a ， E 、 F 、 G 分别是 CC 1、 A 1 D 1、 AB 的中点，求点 A 到平面 EFG的距离．解析：如图建立空间直角坐标系，3则，0， a ， a，a， 0， a ，a→ ＝ a ，－ a ， a，A ( a, 0,0) E 2 F 2 G a ， ， 0 ，∴ 2 2 2 EF→aa，EG ＝ a ，－2，－2a→→ 0，－ ， 0 ，设 n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 EFG 的法向量，则 n · EF ＝ 0GA ＝ 2 →，n · EG ＝ 0 x － 2 ＋＝ 0→ a23∴，∴ x ＝ y ＝ z ，可取 n ＝(1,1,1) ＝2x － y － z ＝ 0 ，∴ d ＝＝ a .| n |3 63即点 A 到平面 EFG 的距离为 6 a .19. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，D 为 CC 1中点．(1) 求证： AB 1⊥平面 A 1BD ； (2) 求二面角 A - A 1D - B 的余弦值．解析： (1)→ → →x ， y ， z 轴的正方向建立空间直取 BC 中点 O ，B 1C 1 中点 O 1，以 O 为原点， OB 、 OO 1、 OA 的方向分别为 角坐标系．则 (1,0,0)， ( － 1,1,0) ， 1(0,2 ， 3) ， (0,0 ， 3) ， 1(1,2,0) ，BD AAB∴ →(1,2 ，－ →→AB 1＝ 3) ， BD ＝( － 2,1,0) ， BA 1＝( － 1,2 ， 3) ． → → ∵ AB 1· BD ＝－ 2＋ 2＋ 0＝ 0，→ · →＝－ 1＋ 4－ 3＝ 0，∴ → ⊥ → ， → ⊥ → . ∴ ⊥平面 ；AB1111111(2) 设平面 A 1AD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ，→ AD ＝ ( －1,1 ，－→n · AD ＝ 0，∴→n · AA 1＝ 0.→ ．∵ → →3) ，AA 1＝ (0,2,0) n ⊥ AD ， n ⊥AA 1，－ x ＋ y － 3z ＝ 0，∴y ＝ 0， ∴x ＝－ 3z .2y ＝ 0.令 z ＝ 1，得 n ＝ ( － 3， 0,1) 为平面1的一个法向量．由 (1) 知1⊥平面1，AADABA BD→1为平面→1〉＝→＝－ 3－∴1的法向量． cos 〈 ， n · AB 13 ＝－ 6 .ABABDn AB→ 2· 2 2 416∴14.二面角 A - A D - B 的余弦值为20．如图， P － ABCD 是正四棱锥， A BCD －A 1B 1C 1D 1 是正方体，其中AB ＝ 2， PA ＝ 6.(1) 求证： PA ⊥ B 1D 1； (2) 求平面 PAD 与平面 BDD 1B 1 所成锐二面角的余弦值．解：以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，11 11 11则 D (0,0,0)， A (2,0,0) ， B (2,2,0) ， C (0,2,0) ， D (0,0,2) ， A (2,0,2) ，B (2,2,2) ， C (0,2,2) ，111 1(1,1,4) ．(1) 证明：∵uuur ＝ ( － 1,1,2)uuuur＝(2,2,0)AP ，D 1 B 1 ，P4uuur uuuur ∴ AP · D 1 B 1 ＝－ 2＋ 2＋0＝ 0，∴ PA ⊥ B 1D 1.uuur(2) 平面 BDD 1B 1 的法向量为 AC ＝ ( － 2,2,0) ． uuur uuurDA ＝ (2,0,0) ， OP ＝(1,1,2) ．uuur uuur设平面 PAD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ，则 n ⊥ DA ， n ⊥ DP .2x ＝ 0，x ＝0， ∴∴取 n ＝ (0 ，－ 2,1) ，x ＋ y ＋2z ＝ 0，y ＝－ 2z ，uuurngAC设所求锐二面角为 θ，则 cos θ＝uuurn g AC|0 －4＋0| 10 ＝ 22×5＝ 5 .21. 如图，四边形 ABCD 为正方形， PD ⊥平面 ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB = 1PD ．2（ I ）证明：平面 PQC ⊥平面 DCQ ；（ II ）求二面角Q — BP —C 的余弦值．解析： 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D — xyz .uuuruuur uuur (1, 1,0). 所以（ I ）依题意有 Q （ 1，1，0），C （ 0， 0，1）， P （ 0，2，0） . 则 DQ (1,1,0),DC (0,0,1), PQuuur uuur uuur uuur . 故⊥平面.PQ DQ0, PQ DC 0.即⊥ ， ⊥ ⊥平面又平面，所以平面PQ DQ PQ DC PQDCQ. PQPQCPQCDCQ（ IIuuur uuur ( 1,2, 1).）依题意有 B （1， 0， 1）， CB (1,0,0), BPn uuur 0, x 0,设 n CB(x, y, z) 是平面 PBC 的法向量，则 uuur 即2 y z 0.n BP 0, xuuur 0,m (1,1,1)所.以 cos m, n15 . 因此可取 nm BP (0, 1, 2). 设 m 是平面 PBQ 的法向量，则uuur可取 5m PQ0.15 . 故二面角 Q — BP — C 的余弦值为5 .22. 如图，四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝ AB ＝ 6，E 是棱 PB 的中点．(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； (2) 若 AD ＝ 3，求二面角 A - EC - D 的平面角的余弦值．5解析：设 D (0 ， a, 0) ，则 B ( 6， 0,0) ， C (6， a, 0) ，P (0,0 ， 6) ，E6， 0，6.22→ 6 6 →所以 AE ＝ 2，0，2 ，BC ＝ (0 ， a, 0) ，→ → → → →PC ＝ ( 6， 0，－ 6) ，则 AE · BC ＝ 0， AE · PC ＝ 0. 所以 AE ⊥平面 PBC .又由 AE ⊥ AD ， 故直线 AD 与平面 PBC 的距离为 →|AE |＝ 3.→ 3，则 D (0 ， 3，0) ， C ( 6， 3 ，0) ．设平面 AEC 的法向量 n 1＝( x 1， y 1， z 1) ，(2) 因为 | AD | ＝→→→→66 6x 1＋ 3y 1＝ 0，则 n6 611222 x 1＋ 2 z 1＝ 0，所以 y 1 ＝－ 2x ， z ＝－ x . 可取 z ＝－ 2，则 n ＝ ( － 2， 2， 2) ．1 11 1设平面 DEC 的法向量 n ＝ ( x ， y ， z→→) ，则 n · DC ＝ 0， n · DE ＝0.2222226，－6x 2＝ 0，→6， 0,0) →，故66所以 x 2＝0， z 2＝ 2y 2.又DC ＝ ( ，DE ＝3，22x 2－ 3y 2＋ z 2＝ 0.22n · n 266可取 y 2＝ 1，则 2＝ (0,1 ， 2) ．故 cos 〈1. 所以二面角- -的平面角的余弦值为.1， 2〉＝ ＝nnn | n 1 | ·|n 2| 3A ECD323. 如图，在四面体 ABOC 中， OC ⊥ OA ，OC ⊥ OB ，∠ AOB ＝120°，且 OA ＝ OB ＝OC ＝ 1.(1) 设 P 为 AC 的中点， Q 在 AB 上，且 AB ＝ 3AQ ，证明： PQ ⊥ OA ； (2) 求二面角 O - AC - B 的平面角的余弦值．解析： (1) 取 O 为坐标原点，以OA 、 OC 所在的直线为 x 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O — xyz .则 A (1,0,0) ， C (0,0,1)1 ， 3 P 为 AC 中点，∴ P 1 1 . ∵ → 3 ， 3， 0 ，， B － 2 ，0 .∵ ， 0， 2 AB ＝ － 2 2 2 2→ 1→1 ，3→ → →3 ，∴ → → → 31 .∴ AQ ＝AB ＝ －2 6 ，0 .又OQ ＝OA ＋ AQ ＝ 1，6 ， 0PQ ＝ OQ － OP ＝ 0， 6 ，－232∴ →·→＝3 1 ·(1,0,0)＝0.∴ ⊥ .PQ OA0， 6 ，－2PQ OA6n 1－ n 3＝ 0，(2) 设平面 ABC 的法向量 n ＝ →→ →，得33( n 1， n 2， n 3) ，则由 n ⊥ CA ， n ⊥ AB ，且 CA ＝ (1,0 ，－ 1)－ 2n 1＋ 2 n 2＝ 0. 取 n 1＝ 1，则 n ＝ (1 ， 3，1) ．又 平面 OAC 的法向量为e ＝ (0,1,0) ，∴ cos 〈 n ，e 〉＝ 1， 3，1· 0，1，05·1＝ 15 . 故二面角 — — 的平面角的余弦值为15 .5 OACB524. 在三棱锥 —中，△ 是边长为 4 的正三角形，平面 ⊥平面 ， ＝ ＝2 2， 为 的中点．S ABC ABCSAC ABC SA SC M AB(1) 求证： AC ⊥ SB ； (2) 求点 B 到平面 SCM 的距离．解析： (1) 取 AC 的中点 E ，连接 BE 、 SE ，则由已知，得 SE ⊥ AC ， BE ⊥ AC . ∴AC ⊥面 SBE .∴AC ⊥ SB .(2) 建立如图所示的空间直角坐标系．则 (0,2,0)， (0,0,2) ， (0 ，－ 2,0) ， (2 3， 0,0) ．∴( 3，－ 1,0) ．∴→＝ ( 3，－ 1，－ 2) ，CSA B MSM→3，－ 3,0) ．设 n ＝ ( x ， y, 1) 为面 SCM 的一个法向量，则n ＝ ( 3， 1,1) ．CM ＝ ( →→4 5| BM · n |∵ BM ＝ ( － 3，－ 1,0) ，∴点 B 到面 SCM 的距离为|n|＝ 5 .7。