投资风险与投资组合
第十章风险与投资组合
小结
协方差对资产组合风险的影响：正的协方差 提高了资产组合的方差，而负的协方差降低 了资产组合的方差，它稳定资产组合的收益
相关系数 0.12 0.12
投资比重 30% 70%
组合P的期望收益 =( 0.1×0.3+0.05×0.7)×100%=6.5%
组合P的方差=(0.32×0.062) + (0.72 × 0.022 ) + (2 ×0.3×0.7×0.06×0.02×0.12 ) = 0.0327
协方差与相关系数
第九章 市场风险
第一节 收益与风险概述 第二节 投资组合与分散风险 第三节 资产定价理论
第一节 收益与风险概述
价格与回报率 期望收益率
单项资产的风险 投资组合的收益 投资组合的风险
一、价格与回报率
对于单期投资而言，假设你在时间0（今天） 以价格P0购买一种资产，在时间1（明天） 卖出这种资产，得到收益P1。那么，你的投 资回报率为： r=(P1-P0)/P0
证券组合的标准差，并不是单个证券标准差的简单加权平均，证券组合 的风险不仅取决于组合内的各证券的风险，还取决于各个证券之间的关系。
五、两项资产投资组合的风险
已知证券组合P是由证券A和B构成，证券A和B的期望收 益、标准差以及相关系数如下：
证券名称 A B
期望收益率 10% 5%
标准差 6% 2%
系统风险是指整个市场承受到的风险，如经济的景 气情况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场 环境发生变化而产生的风险。
二、系统风险与非系统风险
系统风险：是指那些影响所有公司的因素引起的风险，也叫 市场风险。
非系统风险：是指发生于个别公司的特有事件造成的风险， 这种风险是可以通过多样化投资来分散的，因此，也叫可分 散风险。
投资组合分析与风险管理实践总结
投资组合分析与风险管理实践总结在当今复杂多变的金融市场中，投资组合分析与风险管理已成为投资者实现长期稳定收益的关键。
通过合理构建投资组合和有效管理风险，投资者能够在降低损失风险的同时，提高资产的增值潜力。
以下是我在投资组合分析与风险管理方面的一些实践总结。
一、投资组合分析的重要性投资组合分析是对投资者所拥有的各种资产进行综合评估和配置的过程。
其核心目标是通过分散投资，降低单一资产对整个投资组合的影响，从而实现风险与收益的平衡。
分散投资的原理在于不同资产之间的价格变动往往并非完全同步。
例如，当股票市场下跌时，债券市场可能相对稳定甚至上涨；当某些行业面临困境时，其他行业可能蓬勃发展。
通过将资金分配到不同的资产类别、地区和行业，投资组合能够在一定程度上平滑收益曲线，减少整体波动。
有效的投资组合分析还需要考虑资产之间的相关性。
相关性低的资产组合在一起能够更好地发挥分散风险的作用。
例如，黄金通常与股票市场的相关性较低，在经济不稳定时期，黄金往往能够起到保值和对冲风险的效果。
二、投资组合构建的方法1、资产配置资产配置是投资组合构建的基础。
常见的资产类别包括股票、债券、现金、房地产、大宗商品等。
根据投资者的风险承受能力、投资目标和投资期限，确定不同资产类别的比例。
例如，对于风险承受能力较低的投资者，可能会将较大比例的资金配置在债券和现金上；而对于追求高收益且能够承受较高风险的投资者，则会增加股票和房地产的配置比例。
2、行业和板块选择在确定资产类别比例后，需要进一步选择具体的行业和板块。
不同行业在经济周期中的表现各异，通过对宏观经济形势和行业发展趋势的研究，选择具有增长潜力和竞争优势的行业进行投资。
同时，也要注意避免过度集中于某个行业，以降低行业风险。
3、个股选择对于股票投资，个股的选择至关重要。
需要综合考虑公司的财务状况、盈利能力、市场竞争力、管理团队等因素。
此外，还可以运用技术分析方法，研究股票的价格走势和成交量等指标，辅助决策。
风险控制与投资组合优化
风险控制与投资组合优化在当今的金融市场中，投资者们都渴望实现资产的增值，但同时也面临着各种各样的风险。
如何有效地进行风险控制，并优化投资组合，以实现长期稳定的收益，是每一位投资者都需要深入思考和研究的重要课题。
首先，我们来谈谈什么是风险控制。
简单来说，风险控制就是在投资过程中，采取一系列措施来降低可能出现的损失。
这就好比我们在开车时系上安全带，虽然不能完全避免事故的发生，但能在事故发生时减少伤害。
在投资领域，风险控制的手段多种多样。
其一，分散投资是一种常见且有效的风险控制方法。
不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，这是投资界的经典名言。
通过将资金分散投资于不同的资产类别，如股票、债券、基金、房地产等，可以降低单一资产的波动对整个投资组合的影响。
比如，当股票市场下跌时，债券市场可能相对稳定，从而平衡了整体的投资收益。
其二，设置止损和止盈点也是重要的风险控制手段。
止损点是指当投资损失达到一定程度时，果断卖出以避免进一步的损失；止盈点则是在投资收益达到预期目标时，及时获利了结，防止市场反转导致收益回吐。
设定合理的止损和止盈点，需要结合个人的风险承受能力、投资目标以及市场情况等因素进行综合考虑。
其三，对投资标的进行充分的研究和分析也是风险控制的关键。
了解所投资的公司、行业的基本面，评估其发展前景、竞争力、财务状况等，有助于我们做出更明智的投资决策。
如果一家公司的业绩不佳、管理层混乱或者所处行业面临困境，那么投资这样的公司就可能面临较大的风险。
接下来，我们再聊聊投资组合优化。
投资组合优化的目标是在给定的风险水平下，实现投资收益的最大化，或者在给定的收益目标下，最小化风险。
这就需要我们在众多的投资标的中进行选择和配置，以达到最优的组合效果。
在进行投资组合优化时，我们需要考虑资产之间的相关性。
如果两种资产的价格走势高度相关，那么同时投资这两种资产并不能有效地分散风险。
相反，如果资产之间的相关性较低甚至负相关，那么它们组合在一起可以更好地降低风险。
第6章投资风险与投资组合
A
100
B
200
C
100
资产组合
40
0.2325
46.48
35
0.4070
43.61
62
0.3605
76.14
1
16.2% 24.6% 22.8%
22%
投资组合的期望收益率
•权重与卖空
– 组合的权重可以为正值，也可以为负值。负值意味 着卖空某种证券。
– 卖空证券与卖出自己拥有的证券并非完全一样 – 卖空通常是指投资者向经纪人（券商）借入一定数
市场模式下个别证券的期望收益率和风险
•系统风险
•非系统风险
市场模式下资产组合收益与风险的确定
•证明P103
以方差测量风险的前提及其检验
• 以方差测量投资风险的前提
– 投资收益率呈正态分布或近似正态分布是运用 计量经济模型，以标准差或方差度量投资风险 的基础。
– 只有在其背后的系统是随机的时候，标准差才 可以作为离散度的有效度量。
• 假定投资组合中各成分证券的标准差及权重一定， 投资组合风险的高低就取决于成分证券间的相关系数。 成份证券相关系数越大，投资组合的相关度高，风险也 越大；相反，相关系数小，投资组合的相关度低，风险 也就小。(书上P93两种证券的例子)
证券组合数量与资产组合的风险
• 投资组合具有降低非系统性风险的功能，但风 险降低的极限为分散掉全部非系统性风险，而 系统性风险是无法通过投资组合加以回避的。
投资者最佳组合点的选择
• 对于不同的投资来说，无差异曲线的斜率是不同的，这 取决于投资对收益与风险的态度。高度的风险厌恶者无 差异曲线的较陡；中等风险厌恶者的无差异曲线倾斜度 低于高风险厌恶者；轻微风险厌恶者的无差异曲线的倾 斜度更低。
投资组合和风险管理
投资组合和风险管理投资组合的概念投资组合是投资者通过持有多种不同的投资资产，以期达到最优投资组合的方法。
投资者希望通过投资多种投资资产来实现风险分散，降低总体风险，同时增加收益。
根据现代投资组合理论的基本原理，当投资者组合不同的投资资产时，可以通过优化分配不同的权重来最大化总收益，同时降低总体贡献风险。
风险管理与投资组合当投资者面对多样化的投资资产时，风险评估和管理变得非常重要。
要构建最优的投资组合，投资者需要了解不同投资资产的风险和预期收益，并选择在总体资产组合中占比适当的投资资产。
通过风险管理，投资者可以控制整体投资组合的风险。
风险管理可以包括多种投资策略，例如规避风险、对冲风险、多样化投资资产、限制投资额、设置止损点等等。
投资者需要根据不同的投资策略选择最适合自身风险承受能力的投资组合。
构建最优投资组合构建最优投资组合需要考虑多种因素。
除了风险和预期收益之外，还需要考虑个人投资风格和风险承受能力，以及投资目标和时间周期等。
如何选择投资资产选择最合适的投资资产是组合构建的第一步。
投资资产的种类非常多，包括股票、债券、商品、房地产、基金、外汇、期货等等。
每种投资资产有着不同的风险和收益特征，投资者应该根据自身风险承受能力和目标选择最适合自身的投资资产。
如何配置投资组合当选择好多种不同的投资资产后，就需要将它们混合起来构建投资组合。
根据现代投资组合理论，投资者可以通过最小化期望损失、最大化预期收益、建立有效边界等方法，来实现最优化的投资配置。
在投资组合构建中，也需要考虑不同资产的相关性。
如果投资组合中的不同投资资产相关性很强，那么其风险和收益之间的权衡将变得更加困难。
如何管理风险风险管理手段可以帮助投资者降低风险，控制组合的整体风险水平。
例如，通过多样化投资资产来分散风险，或是使用对冲策略来规避风险。
同时，投资者也需要进行风险评估，确定自身的风险承受能力，从而选择最适合自己的投资策略和组合配置。
投资组合理论与风险管理
投资组合理论与风险管理在现代金融学中，投资组合理论和风险管理是重要的研究领域，它们帮助投资者在追求收益的同时更好地控制风险。
本文将从投资组合的构建、风险的识别与度量、以及风险管理策略等方面，探讨投资组合理论在风险管理中的实际应用。
一、投资组合理论概述投资组合理论由哈里·马科维茨在1952年提出，旨在通过合理配置资产，最大化投资收益并最小化风险。
一个良好的投资组合，应当包含多种资产，以达到分散风险的目的。
1.1 投资组合的定义投资组合是指投资者将其资本分散投向不同类型的资产，如股票、债券、房地产等，以实现收益和风险的最佳平衡。
在构建投资组合时，投资者需要考虑每个资产的预期收益、波动率以及与其他资产的相关性。
1.2 投资组合的收益与风险投资组合的总体收益是各个资产收益的加权平均值。
设有n种资产，其预期收益为E(R1), E(R2), …, E(Rn)，权重为w1, w2, …, wn，则总体预期收益可表示为：[ E(R_p) = w_1 E(R_1) + w_2 E(R_2) + … + w_n E(R_n) ]同时，投资组合风险通常用标准差来衡量，它是各类资产收益变动程度的量度。
总风险不仅受单个资产波动性的影响，还受到资产之间相关性的影响。
因此，合理选择不同相关性的资产，可以有效降低整体投资组合的风险。
二、风险识别与度量在构建和管理投资组合时，识别和度量风险是基础步骤。
常见的金融风险包括市场风险、信用风险、流动性风险等。
2.1 市场风险市场风险指由于整体市场波动引起的损失概率，包括股票市场、债券市场等导致的价格变动。
可以通过beta系数来衡量个别资产相对于市场整体波动性的程度，Beta值大于1意味着该资产波动性高于市场，而小于1则相反。
2.2 信用风险信用风险指借款人违约或无法履行合同义务所导致的损失。
这主要影响固定收益类资产，如债券等。
在进行债券投资时，应关注发行主体的信用等级及外部评级机构发布的信息。
投资组合风险分析
投资组合风险分析在当今的金融世界中，投资组合已成为投资者分散风险、追求收益的重要手段。
然而，投资组合并非是一个简单的资产集合，其中蕴含着各种潜在的风险。
理解和分析这些风险对于投资者制定合理的投资策略、实现财富增值目标至关重要。
投资组合的风险主要来源于两个方面：单个资产的风险和资产之间的相关性风险。
单个资产的风险可以进一步细分为市场风险、信用风险、流动性风险等。
市场风险是指由于整体市场波动导致资产价格变动的风险。
比如，股票市场的涨跌会直接影响股票资产的价值。
信用风险则是指交易对手无法履行合约义务而导致的损失风险。
在债券投资中，如果发行债券的企业或政府出现信用违约，投资者将面临损失。
流动性风险指的是资产在市场上难以快速、以合理价格变现的风险。
某些小众的金融资产可能在需要变现时找不到买家，或者只能以大幅低于预期的价格出售。
资产之间的相关性风险则较为复杂。
当不同资产的价格变动呈现正相关时，它们在同一市场环境下往往会同时上涨或下跌，这在一定程度上削弱了投资组合分散风险的效果。
相反，负相关的资产在市场波动时会呈现相反的价格变动趋势，有助于降低投资组合的整体风险。
为了量化投资组合的风险，金融领域引入了一系列的指标和模型。
其中，方差和标准差是最常用的衡量风险的指标。
方差反映了资产收益的离散程度，标准差则是方差的平方根，更便于直观理解。
通过计算投资组合中各资产的权重、预期收益率和协方差矩阵，可以得出投资组合的方差和标准差。
另一个重要的模型是资本资产定价模型（CAPM）。
该模型认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）和市场平均收益率。
贝塔系数大于 1 的资产，其价格波动幅度大于市场平均水平；贝塔系数小于 1 的资产，价格波动相对较小。
通过 CAPM 模型，投资者可以评估投资组合中各项资产的风险收益特征，进而优化投资组合。
然而，仅仅依靠这些量化指标和模型来分析投资组合风险是不够的。
实际的投资环境充满了不确定性和复杂性，市场的突发事件、政策调整、宏观经济变化等都可能对投资组合产生意想不到的影响。
投资组合与风险管理
投资组合与风险管理投资组合是指将投资者的资金分配到不同的资产类别中，以达到分散风险和获得最大收益的投资策略。
而风险管理则是通过采取各种措施，对投资组合中的风险进行控制和管理，以确保投资者的长期利益。
本文将探讨投资组合与风险管理的重要性以及如何有效进行组合投资和风险管理。
一、投资组合的概念与重要性投资组合是指将资金投入到多个不同的资产中，以实现利润最大化的一种投资策略。
通过分散资金到多个不同的资产类别中，可以降低单一投资的风险，提高整体投资组合的收益。
投资组合的构建需要根据投资者的风险偏好、投资目标和资金状况来确定，以平衡风险和回报。
投资组合的重要性主要表现在以下几个方面：1. 风险分散：将资金分散投资于不同的资产类别，可以降低单一投资的风险。
当一个资产表现不好时，其他资产可以起到抵消的作用，从而降低整体投资组合的风险。
2. 收益最大化：通过将资金分配到多个不同的资产类别中，可以最大程度地获取各个资产的收益。
这样可以有效地分散投资风险，同时获得更高的回报。
3. 灵活性：投资组合的多样性使得投资者可以根据市场情况进行调整。
当某些资产表现良好时，可以加大投资份额；当某些资产表现不佳时，可以减少投资份额。
这样可以灵活应对市场波动，降低投资风险。
二、组合投资的原则组合投资是指将资金投入到不同的资产类别中，以降低风险和提高回报的投资策略。
在进行组合投资时，需要遵循以下原则：1. 多元化：通过将资金分配到不同的资产类别中，可以降低投资组合的整体风险。
不同资产类别的表现往往存在反相关性，当一个资产表现不佳时，其他资产往往能够弥补亏损，从而实现风险的分散。
2. 配置比例：投资者需要根据自身的风险承受能力和投资目标来确定不同资产类别的配置比例。
一般来说，风险承受能力高的投资者可以适当增加高风险资产的比例，而风险承受能力低的投资者则应偏向于低风险资产。
3. 定期调整：投资组合的配置并非一成不变，需要根据市场情况进行定期调整。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第6章投资风险与投资组合一、教学目的和要求本章是证券投资篇中有关证券投资组合的核心理论。
要求学生在理解投资风险与投资溢价等相关概念、以及单一资产收益与风险的计量的基础上，掌握投资组合风险与收益的计算方法，以及投资组合理论所揭示的收益风险关系的经济含义，能用投资组合理论进行投资分析；理解夏普单指数模型的假设条件，学会利用夏普单指数模型来确定资产组合的收益与风险；了解以方差测量投资风险的前提条件以及对它的实证检验。
二、内容提要第一节投资风险与风险溢价一、证券投资风险的界定二、风险的种类三、风险的来源第二节单一资产收益与风险的计量一、预期持有期收益率二、单一资产的投资风险第三节投资组合的风险与收益一、马科维兹假设二、多元化投资原理三、有效率投资组合(Efficient Portfolio)第四节夏普单指数模式一、夏普单指数模式的特征及假定二、个别证券收益率和风险的确定三、资产组合收益与风险的确定第五节以方差测量投资风险的前提及其实证检验一、用方差测量投资风险的前提二、正态性的检验三、重点、难点本章重点：马科威茨模型的假设条件；投资组合的收益与风险；效率边界；有效投资组合；夏普单指数模型下个别证券和资产组合收益和风险的确定。
本章难点：投资组合风险的计算；证券组合数量与资产组合风险的关系；马科威茨效率边界的极小微分求解方法；夏普单指数模型下资产组合收益和风险的确定；对投资收益正态性的检验。
四、各种教学设计授课时间：6\3课时授课形式：讲解与案例分析课程导入：“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”教学手段：多媒体五、讲稿内容现代投资组合理论的核心是科学地计算各种组合的风险和收益，并在此基础上选择一种投资组合，使投资者在一定风险水平之下能获得最大可能的预期收益，或在一定的预期收益水平之下能将风险降到最低。
本章将首先阐述投资风险与风险溢价的基本理论；其次将详细地介绍马科维兹的资产组合模式；最后还将介绍夏普的资产组合模式。
第一节投资风险与风险溢价一、证券投资风险的界定我们将证券投资区分为三种不同情况：确定、风险和不确定：确定情况是指可以获得有关未来时期的完全信息，未来是一个定数过程(deterministic)。
风险和不确定性指的就是有关未来信息不完全的情况。
风险指事物的发展在未来可能有若干不同的结果，但可以确定每种特定结果发生的概率。
不确定性则是指事物的发展在未来可能有若干不同的结果，而且每种特定结果发生的概率也不能确定。
实践中往往并不对风险和不确定性作严格的区分，而将两者视为同义。
简而言之，证券投资风险是指因未来的信息不完全或不确定性而带来经济损失的可能性。
二、风险的种类证券投资风险按其影响的范围以及能否分散为标志可以分为系统性风险和非系统性风险。
1、系统性风险：指引起市场上所有证券的投资收益发生变动并带来损失可能性的风险。
2、非系统性风险：指仅引起单项证券投资的收益发生变动并带来损失可能性的风险。
三、风险的来源产生投资风险的因素有很多，如政治的、经济的、社会的、科技的、自然的、道德和法律的，其中经济方面的风险主要有五种：市场风险、利率风险、购买力风险、企业经营风险和财务风险。
1、市场风险：市场风险是指证券市场价格上升与下降的变化带来损失的可能性。
2、利率风险：利率风险是指市场利率变化给证券投资带来损失的可能性。
3、购买力风险：购买力风险又称通货膨胀风险，是使物价普遍上涨，单位货币的购买力下降所带来损失的可能性。
4、企业风险：企业风险是指企业经营、财务状况以及道德选择变化等给证券投资带来损失的可能性，包括企业的经营风险、财务风险与道德风险等。
四、风险溢价风险溢价又称风险收益，是相对于无风险收益而言的。
风险溢价是指投资者因承担风险而获得的超额报酬。
在一般情况下，风险收益与风险程度成正比，风险程度越高，风险报酬也越大。
第二节单一资产收益与风险的计量一、预期持有期收益率持有期收益是指从购入证券之日至售出证券之日所取得的收益。
持有期收益率等于股息或利息加上证券出售收益除以证券购入投资额。
二、单一资产的投资风险面对收益结果的多种可能情形，我们以期望收益表示资产的投资收益。
为了计量的便利，我们可以将投资风险定义为投资预期收益的变异性或波动性(Variability)。
在统计上，预期收益的变异或波动程度即投资风险的高低可以方差σ2或标准差S表示。
第三节投资组合的风险与收益马科维兹(Marrg M. Markowitz)是现代投资组合理论的创始者，其资产组合理论奠定了现代投资组合理论的基石。
一、马科维兹假设马科维兹的资产组合理论就是用来指导大规模的私人和机构投资者如何建立一个最适合的资产组合的理论。
其主要假设如下：1、证券收益具有不确定性：分析人员不可能肯定的预测某种特定证券的收益，但是，可以预测不同结果可能出现的概率，而且一项证券投资的不确定性收益的概率分布服从于正态分布。
2、证券收益之间具有相关性：证券收益之间相关但不完全相关意味着分散化可以降低风险但不能消除风险。
3、投资者都遵守主宰原则(Dominance rule)：在同一风险水平下，投资者希望报酬率越高越好。
4、投资者都是风险的厌恶者：投资者若承受较大风险，必须得到较高的预期收益以资补偿。
5、证券组合降低风险的程度与组合证券的数目相关二、多元化投资原理1、投资组合的期望收益率(μp )某一投资组合的期望收益率是该组合中各种证券期望收益率的加权平均值。
2、投资组合的风险（1）协方差：协方差（covariance ）是测度随机变量相互关系的一种统计量，运用到投资组合分析中，可以测量各种证券风险的互动性。
（2）测量两证券投资风险之间相互关系的另一个统计指标为相关系数（correlation coefficient ）。
它等于两证券的协方差除以它们标准差的乘积所得到的商。
它是一个相对指标，可用于不同证券间风险相关程度的比较。
（3）投资组合风险的一般计算式在明确了协方差、相关系数两个范畴后，可以得出投资组合预期收益率的方差及标准差的一般表达式：21112222p p ji ij ij n i n i nj ij j i i i p S ji X X X σσσρσσσσ==≠+=∑∑∑===且 由公式可以得知，一个投资组合的风险将受到如下三个因素的影响：投资组合中个别证券风险的大小；投资组合中各项证券相关系数，或为正相关，或为负相关；证券投资比例的大小。
3、相关性（ρij ）、多元化与风险规避总起来看，当相关系数为负，或等于0，或小于1时，通过分散投资和构建资产组合，可以降低投资的风险。
实际中负相关和不相关的资产不多，应尽可能选择相关系数低的资产，以最大限度地降低投资风险。
4、证券组合数量与资产组合的风险在一个投资组合中，当各证券的标准差及每两个证券资产的相关系数一定时，减小投资风险的唯一办法，就是加入另一种证券，扩大“组合”规模。
但不是加入证券的数目越多，就越能降低风险水平，而是证券的数目增加与风险减少的程度成反比例关系。
开始加入的证券可使风险减小得多一些，以后随着证券数目的递增，风险减小的程度递减。
三、有效率投资组合(Efficient Portfolio)1、效率边界按照前面所作的假定，大多数投资者是收益率的不满足者和风险的厌恶者，它们会按主宰法则(Dominance Rules)选择投资组合。
这种按主宰法则决定的投资组合为有效率的投资组合，即在同一风险水平下，预期收益率高的投资组合为效率组合；在同一收益率水平，风险水平越低的组合为效率组合。
所有有效率投资组合的集合称为效率边界(Efficient Frontier)或效率前缘。
2、无差异曲线与最佳投资组合的选择投资者如何在有效的投资组合中选择呢？这取决于他们的投资收益与风险的偏好。
投资者的收益与风险偏好可用无差异曲线来描述。
对于不同的投资来说，无差异曲线的斜率是不同的，这取决于投资对收益与风险的态度。
将无差异曲线与有效组合集结合起来，可以得投资者的最佳投资组合。
3、马科维兹效率边界的极小微分求解法效率边界概念是马科维兹模式的基础和核心，而关于效率边界求解方法的探讨构成了马科维兹模式很主要的内容。
马科维兹投资组合模式是以下列三种分析方法来求取效率边界的：（1）图解法（Graphical ）；（2）微分法（With Calculus ）；（3）线性规划法（Quadratic Programming ）。
无论采用任何一种方法所求得的效率边界必然一样。
第四节 夏普单指数模式一、夏普单指数模式的特征及假定在进行投资组合时，使用马科维兹模式要经过大量复杂的计算才能求出效率边界。
为克服以上缺陷，夏普发展出一套简化的分析模式，并称之为对角线模式(Diagonal Model)，或单指数模式(Single-index Model)。
典型的单指数模型为市场模型。
单指数模式假设所有证券彼此不相关，即协方差为0，并假定证券的收益率与某一个指标间具有相关性。
市场模型的基本假定为股票在某一给定时期与同一时期股票价格指数（如标准·普尔500指数）的回报率线性相关。
虽然市场模式的准确程度不如马科维兹模式，但其应用却容易得多。
二、个别证券收益率和风险的确定按市场模式的假定，各种不同证券的预期收益率与股票价格线性相关，各种证券的预期收益率因此也由市场收益率决定。
这样，我们可以利用回归分析方法来计算某种证券的收益率，即：t i t I i i t i r a r εβ++=i β可用来衡量第i 种证券风险的高低。
当i β大于1时，证券的风险比市场的风险更大，这样的证券被称为进攻型证券；当i β小于1时，证券的风险比市场的风险小，这样的证券被称为防御型证券。
在单指数模型中，个别证券的期望收益率和风险的通式推演如下：i I i i i r r εβα+==)()()()(I i i i I i i i i r E E r E r E βαεβαμ+=++==∴i I i i I i i i r r V εσσβεβσ+=++=222)(三、资产组合收益与风险的确定1、资产组合的预期收益的计算按照市场模型的假定，组合资产预期收益率的变动主要取决于市场预期收益率变动的影响，而影响的大小则取决于该组合对市场收益率变动的敏感程度。
投资组合收益率期望值取决于两方面因素的总和，一是对个别证券期望的投资收益率X i a i ；二是对证券市场指数的投资收益率E(r I )X i βi 。
2、资产组合风险的计算因为在单一指数模式中假定个别证券间不相关，即0=j i ρ，据此确定投资组合风险如下： 3、组合资产数目与组合风险的关系如果将投资用于N 种资产的权重相等，且各证券资产的随机误差项互不相关，那么证券组合的风险则是这个平均值的1/N 。