有关教学设计的思考(张乃达)
浅谈“问题解决”课堂教学模式
[ 摘 要] “问题解决”教学模式是一种针对教学中不同情景提出的问题, 采用较为灵活的策略去解决问题的教学模式, 可以提高学生的创 造性思维和应用教学的意识, 促进学生能力的形成和发展。 [ 关键词] “问题解决”内涵 ; “问题解决”教学模式; 数学问题解决
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是一种再创造的过程。要把数学教学过程作为学生活动的教学形式, 鼓 励学生自己探索, 自己尝试解决问题的多种方法, 使学生获得不断创新 的能力和创造能力。常有 下列方法: 设疑— — —引 探法、猜想— — —验证 法、比较— ——归纳法。
( 四) 反思、评价 对问题解决过程、方法进行评价, 优胜劣汰, 获得新结论。或由学 生收集、整理有关假设的材料, 经分析、概括得出结论。数学问题的反 思和评价过程是师生间的双边活动, 是师生间思维的再度交汇和沟通, 是使学生的认识由低级向高级发展的又一途径。通过回味和引伸, 使学 生从不同角度运用不同的知识和方法处理问题, 把握数学问题的本质, 揭示解题规律, 优化学生的思维品质, 提高分析和解决问题能力。 ( 五) 应用新知识 产生迁移将新知识纳入认识结构中, 然后把它用于同类问题的新问 题中, 反馈矫正, 使教学重点突出。学生在获得新的概念和规律后, 教 师就及时地设计不同层次的练习, 指导学生运用新知识解题, 促进知识 迁移, 进一步加深对新知识的理解巩固。 四、 “问题解决”应用于教学的体会 数学问题解决不仅可以培养学生学习的主动性, 完善学生的各种学 习能力。而且还可进一步培养和发展学生的辨证思维能力和创造性思维 能力。在不断的数学问题解决过程中, 学生思维的深刻性、批判性、创 新、发展的科学精神得以培养和形成。主要体现在: ( 一) 教学设计重视数学实用性和规律性, 与生活实际紧密相关 用已有的知识加以改造、联想、分析、归纳, 从而产生新规律, 用 以解决实际生活中的相关问题。尤其在数学的实用性方面体现: 特别强 调出一切数学问题都是条件问题, 使学生清楚认识到使用数学规律解决 数学问题的实际问题都要注意到数学条件的存在, 从而有意识的引导学 生关注知识的发生、发展的全过程。这一数学思想对学生的数学学习无 疑是很有价值的。 ( 二) 问题解决教学能有效地提高学生的学习兴趣、培养学生的创 造思维能力 问题是进行创造活动的前提, 问题的存在能使学生产生释疑的愿望 和探究欲, 进而驱动创造力。充分体现了教师的“导”完全为学生 的 “学”服务这一现代教学思想。学生的学习兴趣和学习的积极性也大大 提高, 学生始终都处于一种能动的积极状态中, 他们乐于思考, 勤于探 究, 学会了采用多种方法去探讨问题, 作出决策, 锻炼了思维, 提高了 创造力。学生提出问题、分析问题和解决问题能力大大提高。在问题解 决教学中, 问题的解决往往是上述多种思维形式交叉运用, 互相补充, 从不同角度, 沿不同方向对问题进行思考, 从而获得解决这一问题的多 个方案或结论。可见, 问 题解决的过程正是创造性思维得到培养的 过 程。问题本身具有非常规性、开放性和应用性, 这就决定了问题解决过 程必然具有探究性和创造性。 ( 三) 问题解决教学能有助于学生形成科学探究能力 在解决问题的过程中, 学生为了找到满意的答案, 会主动探究问题 的各种可能性, 做出各种猜测或假设, 并寻找证据或设计实验来验证假 设, 直到学生能合理地解释问题。探究问题的过程是学生亲身体验类似 和科学研究的过程。在这个过程中, 学生必须学会如何处理信息, 如何 与人合作, 如何应用已有知识解决实际问题, 这些都有助于学生形成科 学的探究能力。
2013-11教学设计的几点思考
5.教师要重新认识“学习”
教育的核心即学习，学习的本质在于学 会学习，学会思考，学会创造。 三个能力 把学习作为一种责任、一种常态、一种 素质、一种追求、一种境界，在学习中学会 感悟，在学习中陶冶情操，在学习中提升人 格，在学习中增强能力，在学习中提高本领， 在学习中担当责任。
6/24/2015
6/24/2015
课堂的根本目的是促进学生的发展 • 发展就其形式而言，存在内在发展与外在发 展。内在发展是一种着重追求以知识的鉴赏 力、判断力与批判力为标志的发展。外在发 展是一种以追求知识的记忆、掌握、理解与 应用为标志的发展，可持续的发展要求把外 在发展不断转化为内在发展，使知识和智慧 共生。
余文森
6/24/2015
课堂教学这个复杂生态系统有哪些要素 数学
教师 数学
学生
环境
教师
学生
课堂教学生态的三维层次递进结构模式
教师的 教学行为
隐性 传承策略 训练技能
学生的 学习行为
探究创造 高级 联结应用 理解接受 低级
显性 传授知识 陈 述 性 知 识 简单 程 序 性 知 识
策 略 数学的 性 教学内容 知 识 复杂
——实施基于课程标准的教学 特征一: 基于标准的教学更加强调三维目标， 尤其重 视“过程与方法”的目标 （信念一：过程好了，结果不会差） 特征二:基于课程标准的教学更加重视研究学生。研究 学生是如何学习如何思考问题的？研究个体、群体 的学习活动是如何发生的？ （信念二：学生主动了结果会更好！） 特征三:重建学校的组织文化——教师团队间的民主协 商、互助共建；学校建设成为学习型组织； （信念三：通过团队的力量，引导教师走向专业化）
• 杨叔子： 没有一流的文科，就没有一流的理 科；没有一流的理科，就没有一流的 工科。大学生首先要学会做人，其次 要学会思维，第三是学习知识和技能 ；一个国家没有科技，一打就垮；没 有人文，不打自垮
充分暴露数学思维过程是数学教学的指导原则
充分暴露数学思维过程是数学教学的指导原则张乃达（江苏省扬州中学）确定数学教学的指导原则，是数学教学研究中的重大课题，它对于分析数学教学的结构，设计成功的教学程序，总结数学教学的成功经验，克服数学教学中的不良倾向，指导数学教学改革，开辟数学教学研究的新领域都具有重大意义。
本文将围绕着上述方面，作一些初步探讨。
一、数学思维过程的分析现代数学教学理论认为：数学是思维活动的过程，数学教学就是数学思维活动的教学①。
在这种教学思想的指导下，就必然要把数学教学中的思维活功当作教学研究的主要对象，并顺理成章地把暴露数学思维过程当作数学教学的指导原则。
现从数学思维的微观方面和宏观方面，对这个过程作简要的分析：（一）数学思维过程的微观分析我们把解决具体的数学问题的思维过程看成是数学思维的微观过程。
数学思维的微观结构可以作如下勾画:1.思维微观过程的阶段任何一个完整的数学思维过程都要经历发现问题—解决问题的阶段。
实际上，数学问题的解决过程，就是不断地发现问题，分析问题，直到归结为熟知的问题为止。
2.思维阶段中的层次心理学的研究表明，人们在创造性解决问题的过程中，总力求逐步缩小探索的范围。
即在如下的三个层次中不断地发现并提出新的辅助问题。
一般的解决，即基本逻辑水平的解决。
它力求明确解题的大体方向：功能的解决即基本数学方法水平上的解决，它力求力求明确解题中应用的基本数学方法（如配方法、换元法等等）。
特殊的解决即具体的解决，它力求明确解题的具体方法，技巧、程序。
在解决问题的阶段，人们往往循着上述层次来发现问题，推进解决问题的思维进程，如果思维在某一层次上受阻，则就逼使思维返回到上一个或两个层次中去。
3.思维层次中的环节和基本单元在每一个思维层次中，思维过程又表现为检索—联想—想象—评价这几个环节。
而这些环节又是由几种基本单元构成的。
例如：“检索—选择”是构成了探索活动的基本单元，“三段论”构成形式（演绎）推理的基本单元等等。
张乃达文章数学思维中的观念系统
数学思维中的观念系统张乃达（一）为了使数学知识与数学能力特别是数学思维能力同步发展，必须深入研究：在数学思维活动中，数学思维能力发展的机制。
具体地讲，要研究如下两方面的问题：第一，数学思维能力如何起作用于数学思维活动以达到迅速获取数学知识的目的？ 第二，在获取具体的数学知识的过程中怎样才能形成和发展数学思维能力？下面．，我们将从分析学生的具体数学思维过程开始，来寻求上述问题的答案。
（二）研究表明，数学思维能力是通过数学观念为中介来指导数学思维活动的。
这表现为 两个方面：第一，数学思维能力通过观念作为桥梁来作用于数学思维过程。
例1． 在△ABC 中，分别用a 、b 、c 表示A ∠、B ∠、C ∠的对边，求证：()3aA bB cC a b c π++≥++ (1) 下面是一位成绩优秀的学生通过“出声想”表现的思维过程：A B C π∠+∠+∠=，因此(1)等价于1()3aA bB cC A B C a b c ++≥++++，即要证1()()3aA bB cC a b c A B C ++≥++++。
(2)考虑到A B C 、、在问题中的对称性，可先考虑二元的情况，即证明1()()2aA bB a b A B +≥++。
可用比较法，作差22()()()()aA bB a b A B a b A B +-++=--。
(3)为了证(3)非负，只须证a b -与A B -同号。
这是很容易的。
剩下的只是推广到三元。
师问：你为什么要考虑二元情况？生答：这是先退后进，找规律。
师：能不能将本题结果再推进一步呢?学生略加思索后得到：若123...n a a a a ≤≤≤≤，123...n b b b b ≤≤≤≤，则12121122(...)(...)...n n n n a a a b b b a b a b a b n+++++++++≥ 学生能独立完成本题的解答并推广，是他正确地用“特殊化”、“一般化”的观念来指导数学思维过程的结果。
张乃达 教学设计与案例分析
能不能说，由于x＝1，2，3，4，5，…时， 相应地 y＝3，5，7，9，…就说随着x的增大， 函数值 y 也随着增大？ 如果有n个正数x1< x2<x3<··< xn，它们的 ·· ·· 函数值满足y1< y2<y3<··< yn．能不能就说在 ·· ·· 区间(0，+∞) 上随着x的增大，函数值 y 也随 着增大? 无限个呢？
给出函数单调性和单调区间的概念
(五)数学运用
1．例题
例1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间．
（1）y＝－x 2＋2； 1 （2）y ( x 0) x
1 提问：能不能说，函数 y (x≠0)在整个定义 x
域上是单调减函数？
引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证 否定结论．（如取x1=－1，x2=2）．
过程性原则：（微观设计原则）
以问题为中心，把数学教学组织为发现问 题和解决问题的过程 数学知识的发生发展过程和学生的数学 学习过程的整合：
对数学教学要充分暴露思维过程的理解； 手段和目的；发现性学习和接受性学习；反思 和暴露；提出问题的过程； 问题解决的启示；
数学知识的发生发展过程 和学生学学习过程的整合
给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个 函数的要素．
一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某 种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合 B中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B的一个函数(function)，通常记为 y＝f (x)，x ∈A． 其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做函数y＝f (x) 的定义域(domain)
t /h
●怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大 气温逐步升高”这一特征？
数学教育价值的整合 张乃达
数学教育价值的整合张乃达数学教育的价值是多层面的，因此怎样对这些不同层面的教育价值进行整合，应该是数学教学研究中的重要课题。
特别是在数学教育的规范面临着重大改革的今天，对这个课题的研究就显得更为迫切了。
下面，笔者仅就最近接触到的几个例子来做一些说明。
一道应用题大概是出于加强应用意识教育的考虑，在人教社编写的初中代数（第一册下）课本的习题中，新增了一道题：在容器里有18?SPAN>C的水6L，现在要把8L水注入里面，使容器里混合的水的温度不低于30?SPAN>C，且不高于36?SPAN>C，注入的8L水的温度应在什么范围内？看到了这道题，我就一直在想，初一的学生怎样才能解出这道问题？我们知道，这道题的解决是建立在一条物理定律的基础上的：这就是：每克水温度每升高（或降低）1?/SPAN>C所吸收（或放出）的热量是一个常数。
可是学生并没有学习过这样的定律呀？没有了物理定律为依据，学生怎样才能正确地解决这道题呢？没有了科学的依据，学生就只好借助于常识！因为学生完全可以从主观的想象出发，默认温度的变化和热量的增减之间存在着线性的关系。
对这样的关系，学生是很容易接受的，它好像是人类先天的选择，根本用不着你多说什么，他就会理解！相反地，为了让他们接受“均匀”的关系并不是普遍的关系这样一个观念却是要费很大的力气的！可以说，在人类的认识发展史上，最初总是把直觉，把常识看成真理，看成做出判断的依据的！伴随着这一切的就是愚昧与无知。
而我们科学教育的目的首先就是为了让学生确立起这样的观念：常识和感觉都是靠不住的！它们都不是判断是非的标准；为了把人们从直觉中解放出来，为了让学生建立起科学精神——它的精髓就是理性精神——我们付出了多少努力！我们不是要培养学生的创新意识吗？而创新就应该从质疑常识开始！难道为了培养学生的“应用意识”这一切（理性精神，创新意识和科学精神教育的成果）就都不重要了，就应该付出如此巨大的代价？应该指出的是，笔者并不认为，只有学生学习过的知识才可以应用，也不是说学生不可以尝试用常识或者用猜想来解决问题（如果真是这样岂不是要我们的学生“非礼勿视”了吗？）相反地我认为我们应该鼓励学生去创新，去尝试！鼓励学生用没有证明的结论去解决新问题！但是，应该让学生知道一个界限，你这样推出的结果，是带有尝试的性质的，是需要证明的（实践的证明或理论的证明）。
关于教学设计的若干思考（五篇）
关于教学设计的若干思考（五篇）第一篇：关于教学设计的若干思考关于教学设计的若干思考泰安二十二中程义云关于教学设计的若干思考一、课堂教学的本质是什么课堂教学，是教师有目的、有计划组织学生实现有效学习的活动过程。
不同的教学理念，会带来刁；同的教学活动，不同的学习效果。
在我看来，只要强调课堂教学的本质是教师组织学生学习，学习任务适应学习者，教师为学生服务，是天经地义的。
强调这一点，是为了让我们对学校教育的现状，对课程教学的现状，有一个清醒的估计，从而在设计课堂教学计划时，能够更多地调查了解学生的实际需要与实际兴趣，能够更客观、更冷静地分析学生的实际反应与教学效果。
这样才会使教学、教学计划立足于一个比较实事求是的基础上。
强调课堂教学的本质是组织学生学习，还需要进一步明确什么是学习。
按照通常的认识，学习是一个人通过经历或练习而得到的比较持久的身心变化，就是说，学习首先是一种经历，一种身心的活动过程。
而任何经历或者活动都不能脱离环境的影响，都必然在一定的环境条件下进行。
所以，一切学习，都是情境性的。
新课程方案要求教师关注过程和方法，关注教学环境的设计、活动的设计，正是从学习活动的这一特点出发的。
但是，所谓的环境，除了物理意义的存在以外，还有心理意义的存在，同样的实物展示，同样的教室布置，对一位乐在其中、深受同学、老师喜爱的学生与另一位同班级格格不入或因受到批评而深感苦恼的学生，会具有完全刁；同的意义，完全不同的心理感受。
从这个角度说，也可以讲“境由心造”，对不同的学习主体，教师所提供创造的尽管是同一或相似的物质环境，但结果是学生们面对的是不同的心理环境。
要想实现有效学习，教师就应该关注这两类环境，应该努力营造适合每位学习者的的环境，这时的课堂教学，就会从统一止向分散，从以教材为主走向以学生发展为主，从以讲授为主走句以指导学习、回答疑问为主，这是一种新型的课堂教学，”当然，这种新型的以学习者为中心的课堂教学，也并小完全是新东西，它也曾刁；时出现在民主氛围较浓的传统课堂里有时教师正按预先设计解题，然而有两位聪明的学生不接受，提出了一种出乎意料的解法，其他同学一下子炸窝了，有人赞成，有人反对，教师也蒙了，只好让提出者来说，自己尝试着在黑板上写，一边写一边向学生提问题，于是全班．(包括教师)才松了一口气，重又进入“正常”学习程序。
优化学习环境 打造高效课堂
优化学习环境打造高效课堂摘要：随着科学技术的高速发展，数学在各个领域的作用在急剧加大。
数学是培养学生理性思维品格和思辩能力的重要载体，是开发学生潜在能动性和创造力的重要基础。
但要解决职校生数学难学、学不懂，课后不会解题等问题，这就使得职校开展数学教学存在相当的困难。
本文结合实际教学，针对就提高职教数学课堂教学兴趣进行了探讨。
关键词：职业学校；环境；兴趣；提高中图分类号：g633.6 文献标识码：b 文章编号：1672-1578（2013）02-0163-01新课改下的数学课堂教学不再是简单的知识单向传递过程，而是需要教师想方设法激发学生积极主动地思维的活动。
然而近几年职校生的特点、知识水平、思维方式的现状，要把数学课堂教学内容真正地转化为学生的内在需求，优化教学环境，也起到一定的作用。
1.精心的教室布置教室是学生学习的主要场所，也是师生情感交流的心灵家园，一个教室的环境对于学生的熏陶是潜移默化的。
因此，班主任要特别注重教室环境布置的艺术性，以教室环境建设为载体，营造一个科学的育人环境。
关注每一个学生的成长和发展，在有限的空间中创造出教学的无限性。
它不仅是一门科学，同时也是一种艺术。
科学、合理、美观地布置教室，主要可以从以下几方面来进行：首先，明确主题，注意整体协调。
班主任应根据自己班级学生的学情和特点，把握教室布置整体的协调性，关键是明确主题。
比如，焊工班级的口号——过硬的技术，优良的作风。
（二）、教室的布置应充分发挥师生的合作。
合作不但能够促进师生关系，更能够体现学生的创新思维和创造能力。
（三）、教室的布置要有浓郁的文化气息。
比如，幼教班级可以把学生自己的手工制作和绘画张贴到教室的墙壁上，让学生有一种自己家的感觉。
（四）、教室布置要科学得当，要有班级特色。
布置上要得体大方，更要精益求精，培养学生的竞争意识。
（五）、根据班级情况进行动态调整。
班级管理不是一成不变的，教室布置就需要适当的更改。
比如，黑板报就需要根据情况，及时更正。
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2。学生活动
观察函数值表，你看出了什么？
3。意义建构 探究：图象关于Y轴对称的函数满足：对定 义域內的任意一个X都有f (-x) = f (x). 反之也成立吗？ 利用几何画版演示，学生观察演示过程，突 出X的任意性，产生建构定义的倾向。 4。数学理论 通过讨论，得到定义。（下略） 观察——观察——观察！为什么观察？ 用操作代替思维，掩盖了思维活动
由框架到具体的设计
图象 对称
形式化
奇（偶）函数 的定义
从普通几何语言到精确的分 析语言的转换
问题与问题串
（初始问题、问题的呈现、 问题串、问题串的结构、 案例）
初始问题
初始性（源头、动力） 生成性（活动的载体） 结构性（联系、整体） 合理性（逻辑、理性）
（设f（x）=2X，其反函数可以 抽象地表示为y=f-1（x）。但具 体的表示尚有困难。）
问题4-1 0）。 （1）当n=4，1/4时，解出X； （2）讨论n=3的情况。可以肯 定，方程的解是存在的、确定 的。利用图象可以表示出方程 的解，也可以求出它的近似值。
x=n（n＞ 解方程：2
这种认识符合实际吗？探索能贯穿始 终吗？
教学中的误区
一、问题情境 1。通过数据展现祖国60年的辉煌成就，突显数据 对于我们生活的重要作用，从而说明研究数的重 要意义， 2。数学游戏 ①把 6分成两部分，使两者乘积为8； ②将8分成两部分，使两者乘积为10； ③将10分成两部分，使两者乘积为40 从而引出实数不够用了，数的概念需要进一步发 展，实数需要扩充。数学教学案例分析（2011。7） 讲稿.doc
案例：对数函数
定位1：对指数函数的反函数的研究 路径1：反函数—指数函数反函数的存 在性—性质—表示—对数函数。 定位2：一种新的数学模型的建构 路径2：应用型问题—解决问题—对数 函数的原型—对数函数—性质—应用— 发现与指数函数的联系
定位与路径
用三角函数的语言表述圆的对称性。
案例：函数的增减性
教材定位：数学模型的建构和应用 知识：刻画变化趋势的数学模型（定性） 过程：普通语言到数学语言的转换的过程——不断形式化的过程。 路径： 形式化 图象 增减函数的定 升降 义
从普通几何语言到精确的分析语言的转换
确定中心问题：
什么叫做“随着时间的增大气温逐 步升高”？怎样用数学语言来刻画 它？
案例：函数的奇偶性（2）
2。意义建构 ●什么叫做“图象与Y轴对称”？
（导向性问题）
●怎样用分析的语言来表示 “如果点P在图象上，
那么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？
●怎样表示点P（ X，Y）关于Y轴的对称点？（- X，Y）
●怎样表示“点P （X，Y）在图象上”？ ●怎样表示“点P （X，Y）关于Y轴的对称点在图象上”？
问题1：说出气温在哪些时间段内是逐步升高 的或逐步下 降的？
主问题2：什么叫做“随着时间的增 大气温逐步升高”？怎样用数学语言 来刻画它？
问题3：对于任意的t1，t2∈[4，16]时，当t1<t2 时，是否都有 f（ t1）< f（ t2）呢？ 问题4：类比单调增函数的概念，你能给出单 调减函数的概念吗？
理论应用（提出新问题）
案例：对数函数（1）
1．提出问题
●问题1 指数函数存在反函数吗？特别 地，函数y=2X 存在反函数吗？
●问题1-1 是不是任何一个函数都存在反函 数？具备什么样的条件的函数才具有反函数？ ●问题1-2 如何通过函数的图象来判断一个函数 是否具有反函数？ 回到问题1：指数函数具有反函数吗？
没有问题，也就没有思维活动
案例：函数的奇偶性（2）
1。问题情境
●观察下列两組函数图象，从对称的角度你发 现了什么？（图象对称） ●函数 y = X4 + 1 的图象关于y轴对称吗？ 为什么？（具体问题）
●图象的对称性在函数解析式上有什
么体现？（课题性问题）
提出问题的问题串！具体问题至关重要！
问题5（1）你能找出气温图中的单调 区间吗？ （2）你能说出你学过的函数的单调区 间吗？ …… 问题6 ：证明F（X）=1/X在区间 （0，+∞）上是单调减函数 （体会形式化的作用）
问题6提出的背景是什么？
案例：函数的奇偶性（1）
1。问题情境
（1）观察图片（蝴蝶、对称的建筑、图案 等）； （2）观察下列两組函数图象，从对称的角 度你发现了什么？（图象对称）
从过程到对象
《向量的加法》的定位
定义、法则； 过程（思维）：数学化 历史（文化）：物理模型的数学化 逻辑：下定义 思想：①形数结合思想②运算的思想③结构化 思想 ④模式化思想 基本构想，即按照建立数学模型的一般过程组 织教学。 数学模型的建构
对“复数”的理解
概念：一种新的数； 过程：逻辑的建构：定义 历史：观念转变的过程； 思想：完全由思维创造的对象；
关于教学设计 的思考
张乃达
从两个案例谈起 一、教学理念 二、以问题为中心 三、定位与路径 四、问题与问题串 五、课例分析
从两个案例谈起
“复数引入”教学中的误区
在学习本节课的过程中，复数的概念如果 单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味， 学生不易接受。因此要采用“启发探究法” 教学法，问题贯穿始终，思想贯穿始终， 探究贯穿始終，让学生积极主动地建构虚 数的概念、复数的概念、复数的分类，复 数相等的充要条件等。
由课题性问题和导向性问题构成的问题串
2.解决问题（意义建构）
●问题2
既然指数函数的反函 数是存在的，你能说出它的性质 吗？
（根据指数函数的性质逐一列出其反函数 的性质。如：定义域、值域、单调性、恒 过点（1，0）等等）
问题3 指数函数的反函数 是一个什么样的函数？你能 把它表示出来吗？特别地， x的反函 你能表示出函数y=2 数吗？
对诱导公式的理解
工具：一组公式 过程：几何语言——三角函数的语言 实质：用三角函数的语言表述的圆的对称 性！ 历史：测量、计算
诱导公式的本质
背景：诱导公式是在对三角函数周期性研 究中提出来的； 实质；“诱导公式所揭示的是终边有某种 对称关系的两个角三角函数之间的关系。 换句话说，诱导公式实质是将终边对称
的图形关系”翻译“成三角函数之间 的代数关系”。
用三角的语言表述的“圆的对称性”。
价值观：对数学教育价值的认识
知识的价值； 思维的价值； 文化的价值； 应用的价值； 育人的价值。
● 学习观：对学习的理解
数学学习：“意义赋予”和“文化继 承” 即文化意义上的再发现的过程。
所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过自 身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个创造 和发现的过程，这就突出了思维的作用； 所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的活 动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化的观 念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行 的“再发现”活动，从而体现了文化的作用和学习的社会 化性质。（复数）
概念 技能 能力 态度
把归纳看成是一种机会，“以便证 明它或推翻它”，这就是我们对待 归纳的态度，而归纳的价值就在于 “在这两种情况之中我们都会学到 一些有用的东西。” ——欧拉：《纯粹数学中的观察事例》
路径
课的总体构想、框架、过程 模式 中心问题、形式
案例：对数函数 向量的加法
物理运算
数学运算
模式
形式化；普通语言——数学语言 案例：函数的增减性、奇偶性、向量的概 念、向量的加法（和）、三角函数、导数、 数列、概率、独立事件、线面垂直等等 命题：正弦定理、余弦定理、等比数列的 求和公式，点到直线的距离公式；两角差 的余弦公式； 方法：加法原理、乘法原理，数学归纳法、
解决问题的问题串 课题性问题——导向性问题——操作性问题！
●怎样用分析的语言来表示 “如果点P 在图象上，那么点P关于Y轴的对称点也 在图象上”？ 猜想：如果函数 y = f ( x )的图象关 于Y轴对称，则对于定义域内的任何x,总 有f ( x )= f ( - x )，反之亦真。 列表，电脑演示，验证猜想。（下略）
（3）在平面直角坐标系中，如 何定义任意角Α的三角函数呢？ （定义？表述？）
（如果学生有困难，则提出下面的问题）
（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不 是，能利用直角三角形的边长来定义吗？ 如图，如果角Α的终边不在第I象限又该怎 么办？ （5）我们知道，借助平面直角坐标系，就 可以把几何问题代数化，比如把点用坐标 表示，把线段的长用坐标算出来．我们还 是回到锐角三角函数的问题上，大家能不 能用平面直角坐标系中角的终边上的点的 坐标来表示定义式中的三条边长呢？（这 是一个学生可以接受的问题！）
●
种？ ●问题3-2 怎样用图象法表示指数 函数的反函数？
●问题3-2-1 （反思）上述图象是否 表示了函数的“三要素”？
●问题3-1
表示函数的方法有哪几
●问题3-3 能用列表法表示这个函 数吗？ ●问题3-4 能用解析式表示这个 函数吗？
问题3构成的问题串！
●问题4
怎样用解析法 表示指数函数的反函数？