高三数学第一轮复习导学案：平面的基本性质、空间两条直线B
高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版
1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 答案：C
2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
答案：C
4．下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是________．(写出符合要求序号)
解析：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面．可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形． 答案：①②③
2．利用公理2可证明点共线，线共点等问题．
3．求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角， 可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线， 具体可利用平行四边形对边平行，三角形或梯形的中位线与底边平行等，而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线”． 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角．
解法二：以D为空间坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，
F(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴FD1＝(－1,0,2)，OE＝(－1,1,1)，∴FD1·OE
＝3，∴cos θ＝
，
即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为
.
高三数学第一轮复习 第56课时—平面的基本性质教案
平面的基本性质一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 二．课前预习：1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 选C2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）()A 2221+()B 221+ ()C 21+ ()D 22+ 选D3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ） ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个选B4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ．答案：7个． 三．例题分析：例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．α D CBAEFHαb adcG F EAα图1∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α． 设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例3．如图，点A ，B ，C 确定的平面与点D ，E ，F 确定的平面相交于直线l ，且直线AB 与l 相交于点G ，直线EF 与l 相交于点H ，试作出平面ABD 与平面CEF 的交线．解：如图3，在平面ABC 内，连结AB ，与l 相交于点G ， 则G ∈平面DEF ；在平面DEF 内，连结DG ，与EF 相交于 点M ，则M ∈平面ABD ，且M ∈平面CEF ．所以，M 在 平面ABD 与平面CEF 的交线上．同理，可作出点N ，N 在 平面ABD 与平面CEF 的交线上．连结MN ，直线MN 即为所求．例4．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）．E· BA D· FC · · · ·E · B A l图3 GHD· FC M · ·· α DBAl证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β． 又∵α β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．四．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么 （ ）()A M 一定在直线AC 上()B M 一定在直线BD 上()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 选A2．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 ． 答案：①③3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．4．四边形ABCD 中，1=====BD DA CD BC AB ，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 ．答案：)3,0(．5．如图，P 、Q 、R 分别是四面体ABCD 的棱AB ，AC ，AD 上的点，若直线PQ 与直线BC 的交点为M ，直线RQ 与直线DC 的交点为N ，直线PR 与直线DB 的交点为L ，试证明M ，N ，L 共线．证明：易证M ，N ，L ∈平面PQR ，且M ，N ，L ∈平面BCD ， 所以M ，N ，L ∈平面PQR 平面BCD ，即M ，N ，L 共线．6．如图，P 、Q 、R 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，P ，Q ，R 三点的截面图． D作法 ⑴连接PQ ，并延长之交A 1B 1的延长线于T ； ⑵连接PR ，并延长之交A 1D 1的延长线于S ； ⑶连接ST 交C 1D 1、B 1C 1分别于M ，N ，则线段MN 为平面PQR 与面A 1B 1C 1D 1的交线．⑷连接RM ，QN ，则线段RM ，QN 分别是平面PQR 与面DCC 1D 1，面BCC 1B 1的交线． 得到的五边形PQNMR 即为所求的截面图（如图4）． 说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1． 解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．7．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1 B 1D 1＝O 1，B 1D 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵B 1D 平面A 1BC 1＝P ，∴P ∈平面A 1BC 1，P ∈B 1D ．∵B 1D ⊂平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1，且P ∈平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ，∵A 1C 1 B 1D 1＝O 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴O 1∈平面A 1BC 1，且O 1∈平面BB 1D 1D ． 又B ∈平面A 1BC 1，且B ∈平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ＝BO 1．∴P ∈BO 1．说明 一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．A 1 ABB D DC CO PC C T图4。
平面 空间两条直线高考数学第一轮复习教案 人教版 教案
ab平面 空间两条直线2007届高考数学第一轮复习教案【教学目标】1.掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三条推论，能运用它们证明空间的共点、共线、共面问题.2.了解空间两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质.3.掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）. 【知识梳理】1.平面的基本性质2..空间两条直线的位置关系3. 异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线） 画法：异面直线判定：①用定义（多用反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。
θ∈(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。
空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。
异面直线的公垂线及距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分（3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）注：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。
②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。
4.等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。
5.平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
【点击双基】1、若a 、b 是异面直线，则只需具备的条件是…………（ ）A.a ⊂平面α， b ⊄平面β，a 与b 不平行B. a ⊂平面α， b ⊄平面β，l αβ⋂=，a 与b 不公共点C.a ∥直线c ，b c A ⋂=，b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条直线Oab6002、如图，直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600，过点O 与a 、b 都成600角的直线有（ ）A.1 条B.2条C.3条D.4条3、(2004年北京朝阳区模拟题)如图，正四面体S-ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是…………（ ） A. 33 B. 23 C. 36 D. 264、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么（1） 哪些棱所长的直线与直线BA 1成异面直线？ 。
9.2 平面与空间两条直线
【点评】(1)证明点线共面的主要依据:公理1、公理2及其推
论.(2)证明点线共面的常用方法:①纳入平面法,先由公理2或 其推论确定一个平面,再由公理1证明有关点线在此平面内;
②辅助平面法,先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元
素确定平面β,最后证明平面α、β重合.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第九章
9.2 平面与空间两条直线
变式训练3 如图,已知E、E1分别是正方体AC1的棱AD、 A1D1的中点.
求证:∠C1E1B1=∠CEB.
【解析】连接EE1,∵E、E1是AD、A1D1的中点,∴A1E1∥AE,
A1E1=AE,
∴A1E1EA是平行四边形, ∴AA1∥EE1,AA1=EE1.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
;
【解析】由平行直线、相交直线、异面直线的概念可知. 【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
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第九章
9.2 平面与空间两条直线
题型3 例3
平行公理及等角定理的应用 如图,在空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、
AD上的点,且AE∶EB=AH∶HD=1∶2;F、G分别是边
第九章
9.2 平面与空间两条直线
又∵AA1∥BB1,AA1=BB1, ∴BB1∥EE1,BB1=EE1, ∴四边形E1EBB1是平行四边形, ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同, ∴∠C1E1B1=∠CEB.
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第九章
9.2 平面与空间两条直线
第九章
9.2 平面与空间两条直线
变式训练1 如图所示,不在同一平面内的两个三角形 △ABC和△A1B1C1,AB与A1B1相交于P,BC与B1C1相交于Q,AC与 A1C1相交于R,求证:P、Q、R三点共线.
高三数学第一轮复习：空间直线与平面知识精讲
高三数学第一轮复习：空间直线与平面【本讲主要内容】空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系【知识掌握】【知识点精析】（一）平面的基本性质和空间的两条直线1. 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图3）推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图4）．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图5）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系，公理2是研究平面与平面的关系，公理3及三个推论是研究有关确定平面的条件. 公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”．2. 空间中两条直线位置关系平行——在同一平面内，没有公共点；相交——在同一平面内，有且仅有一个公共点；异面——不同在任何一个平面内．公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．说明：公理4反映了平行线的传递性，它是证明等角定理的基础，也是论证平行问题的主要依据之一．3. 异面直线的判定及异面直线构成的角与距离（1）异面直线的判定方法主要有：①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）求两条异面直线所成的角的一般步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点．②求相交直线所构成的锐角（或直角，）通常在三角形中，计算这个角的大小．（3）异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度. 公垂线的确定方法：既相交又垂直．（二）空间的直线与平面1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内；（2）直线与平面平行；（3）直线与平面相交；相关概念——直线与平面所成的角①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．②直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．③直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°的角．2. 直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．a∥α，a⊂β,α∩β=b⇒ a∥b 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．即：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒ a∥α.3. 直线和平面垂直的判定与性质（1）直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，且a,b相交，l⊥a, l⊥b⇒ l⊥α．（2）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．（3）三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线的射影垂直．即：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，a⊂α，a⊥AO⇔a ⊥PO．注：三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（三）空间的平面与平面1. 平面与平面的位置关系：（1）平行——没有公共点；（2）相交——有且仅有一条公共直线.2. 平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平面平行的方法：①根据定义——证明两平面没有公共点；②判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；③证明两平面同垂直于一条直线。
高考数学一轮单元复习 第36讲 平面的基本性质、空间两条直线课件
【解答】 已知：直线a、b、c、d，a与b相交，a∩c＝A，b∩c ＝B(如图37－5)．
求证：直线a，b，c，d共面． 证明：∵a与b相交， ∴直线a、b确定一平面α. 又∵a∩c＝A，∴A∈a.
第十四页，共22页。
又∵a 平面α，∴A∈平面α. 同理B∈平面α. 又∵A∈直线c，B∈直线c， ∴直线c 平面α. 同理得直线d 平面α， 即a，b，c，d四条直线共面．
由余弦定理求得cos∠A′BE＝3 10 . 10
【点评】 (1)求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平 行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，具体步骤如下：
①利用定义构造角，主要应用平行四边形对边平行(如本例)或三 角形的中位线平行于底边(如变式题1)，可以(kěyǐ)平移一条直线， 也可以(kěyǐ)同时平移两条直线；
第十八页，共22页。
变式题1 在正方体中ABCD－A1B1C1D1，M、N为棱AB与 AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是 ( )
A. 10 15
1 B.
2
C.
6
2
D. 6 3
【解析】 D 连接BD，因为M、N为棱AB与AD的中点，所以 MN∥BD，所以∠DBD1为所求的角，设正方体的棱长为1，
第十一页，共22页。
【解答】 ∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD，EF＝ 1BD， 2
BG DH 2.
GC CH
1
∴GH∥BD，GH＝ 3BD，
∴四边形EFHG是梯形，设两腰EG，FH相交于点T.
∵EG 平面ABC，FH 平面ACD，
∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD，
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：空间直线、平面的平行
§7.4空间直线、平面的平行考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理常用结论1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．(×)教材改编题1．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.2．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是() A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂βB．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥lC．若m⊥α，l⊥m，则l∥αD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l答案AD解析对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE ∥平面DCGH ，又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH ∩平面DCGH ＝HG ，∴EF ∥HG .同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ,PD ＝AD ＝AB ＝2，CD＝4，E 为PC 的中点．求证：BE ∥平面PA D.证明方法一如图，取PD 的中点F ，连接EF ，FA .由题意知EF 为△PDC 的中位线，∴EF ∥CD ，且EF ＝12CD ＝2.又∵AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝4，∴AB 綉EF ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF .又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .方法二如图，延长DA ，CB 相交于H ，连接PH ，∵AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝4，∴HB HC ＝AB CD ＝12，即B 为HC 的中点，又E 为PC 的中点，∴BE ∥PH ，又BE ⊄平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .方法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PA D.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA ∥GH .思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1如图，四边形ABCD 为长方形，PD ＝AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别为AD ，PC的中点．设平面PDC ∩平面PBE ＝l .证明：(1)DF ∥平面PBE ；(2)DF ∥l .证明(1)取PB 中点G ，连接FG ，EG ，因为点F 为PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ，因为四边形ABCD 为长方形，所以BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以DE ∥FG ，DE ＝FG ，所以四边形DEGF 为平行四边形，所以DF ∥GE ，因为DF ⊄平面PBE ，GE ⊂平面PBE ，所以DF ∥平面PBE ；(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，又DF ⊂平面PDC ，平面PDC ∩平面PBE ＝l ，所以DF ∥l .题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.思维升华(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH 与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.题型三平行关系的综合应用例4如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.解如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以点F即为所求的点．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.设PA＝x，则PC＝2a2＋x2，由PB·BC＝PC·BE，得a2＋x2·a＝2a2＋x2·63 a，所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝3a.又CE＝a2－63a2＝33a，所以PEPC＝23，所以GECD＝PEPC＝23，即GE＝23CD＝23a，所以AF＝23a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．思维升华解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．跟踪训练3如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解(1)当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1.又OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴当A 1D1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝OD 1.因此BC 1∥OD 1，同理AD 1∥DC 1.∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DCAD .又A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.课时精练1.如图，已知P 为四边形ABCD 外一点，E ，F 分别为BD ，PD 上的点，若EF ∥平面PBC ，则()A ．EF ∥PAB ．EF ∥PBC．EF∥PCD．以上均有可能答案B解析由线面平行的性质定理可知EF∥PB.2．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0答案C解析对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，因此真命题的个数为1.3.在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB 的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是()答案AC解析对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．6.(2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形答案D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B 错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．7.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，则AC的长为________cm.答案72解析过点D 作直线AB 的平行线分别交平面β与平面γ于点M ，N ，连接AD ，BM ，CN ，ME ，NF ，如图所示，所以AD ∥BM ∥CN ，ME ∥NF ，所以AB BC ＝DM MN ＝DE EF ，因为AB ＝2cm ，DE ＝4cm ，EF ＝3cm ，所以2BC ＝43，解得BC ＝32cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝2＋32＝72(cm)．8.如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .则四边形EFGH 的形状为________．答案矩形解析因为CD ∥平面EFGH ，CD ⊂平面BCD ，平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ，所以CD ∥EF .同理HG ∥CD ，所以EF ∥HG .同理HE ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为CD ⊥AB ，所以HE ⊥EF ，所以平行四边形EFGH 为矩形．9.如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ；(2)平面BDE ∥平面MNG .证明(1)如图，设DF 与GN 的交点为O ，连接AE ，则AE 必过点O ，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.10．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP 折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC.解E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：如图，取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF.∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC.∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴EF∥BC.∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ，∴平面MEF ∥平面ABC .11.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是()A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．棱A 1D 1始终与水面所在的平面平行D ．当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值答案ACD 解析由题图，显然A 是正确的，B 是错误的；对于C ，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且FG ⊂平面EFGH ，A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)，所以C 是正确的；因为水是定量的(定体积V )．所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V ，所以BE ·BF ＝2V BC(定值)，即D 是正确的．12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且EF ∥平面PCD ，直线PD 与平面CEF 交于点H ，则线段CH 的长度为()A.2B ．2C ．22D ．23答案C 解析∵PD 与平面CEF 交于点H ，∴平面CEF ∩平面PCD ＝CH .∵EF ∥平面PCD ，∴EF ∥CH ，过点H 作HM ∥PA 交AD 于点M ，连接CM ，如图所示．∵EF ∩AP ＝F ，CH ∩HM ＝H ，∴平面AEF ∥平面CHM .∵平面AEF ∩平面ABCD ＝AE ，平面CHM ∩平面ABCD ＝CM ，∴AE ∥CM .又BC ∥AM ，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴AM ＝BC ＝2.又AD ＝4，∴M 是AD 的中点，则H 为PD 的中点，∴CH ＝CM 2＋MH 2＝22＋22＝2 2.13.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1与截面AD 1C 的位置关系是________，A 1B 与平面DD 1C 1C 的位置关系是________．答案相交平行解析A 1B 1与截面AD 1C 相交，由题意得A 1B ∥D 1C ，而A 1B ⊄平面DD 1C 1C ，D 1C ⊂平面DD 1C 1C ，所以A 1B ∥平面DD 1C 1C .14．如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是平面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC ，平面ABD 解析如图，连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，又AB ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABC ，MN ⊄平面ABD ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是()A.1，52 B.324，52C.52，2D ．[2，3]答案B 解析如图，取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上．因为A 1M ＝A 1N ＝1＋12252，MN ＝122＋122＝22，所以当点P 位于M ，N 点时，A 1P 最大，当点P 位于MN 的中点O 时，A 1P 最小，此时A 1O ＝522－242＝324，所以324≤|A 1P |≤52，所以线段A 1P 长度的取值范围是324，52.16.如图，矩形ABCD 所在平面与以BC 为直径的圆所在平面垂直，O 为BC 中点，M 是圆周上一点，且∠CBM ＝30°，AB ＝1，BC ＝2.(1)求异面直线AO 与CM 所成角的余弦值；(2)设点P 是线段AM 上的点，且满足AP ＝λPM ，若直线CM ∥平面BPD ，求实数λ的值．解(1)取AD 中点N ，连接CN ，MN ，OM ，ON ，如图，因为ABCD 为矩形，O ，N 分别为BC ，AD 中点，所以AO ∥CN ，所以∠MCN (或其补角)就是异面直线AO 与CM 所成角，因为平面ABCD ⊥平面BCM ，平面ABCD ∩平面BCM ＝BC ，在矩形ABCD 中，NO ⊥BC ，NO ⊂平面ABCD ，所以NO ⊥平面BCM ，又OM ⊂平面BCM ，所以NO ⊥OM ，在△MON 中，∠MON ＝90°，OM ＝NO ＝1，所以MN ＝2，又M 是圆周上一点，且∠CBM ＝30°，所以CM ＝1，在△MCN 中，CN ＝2，由余弦定理的推论可得cos ∠MCN ＝1＋2－22×1×2＝24，所以异面直线AO 与CM 所成角的余弦值为24.(2)如图，连接PB ，PD ，连接BD 交AC 于点Q ，连接PQ ，因为直线CM ∥平面BPD ，直线CM ⊂平面ACM ，平面BPD ∩平面ACM ＝PQ ，所以CM ∥PQ ，因为矩形ABCD 的对角线交点Q 为AC 中点，所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM中点，AP＝PM，又AP＝λPM，所以λ的值为1.。
高三数学第一轮复习讲义 平面 空间两条直线
高三数学第一轮复习讲义平面空间两条直线【知识点归纳】1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b AØaαα=∅α=Al β=）表示a α4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭Ø． 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l αØ推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形6空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 7公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．8等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等9等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等10空间两条异面直线的画法ab1A A11．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线12．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第10章 第57讲 平面的基本性质与空间两条直
1.下列四个命题： ①A l，A a，B l，B a l a； ②A a，A b，B a，B b a b AB或a与b重合； ③l a，A l A a； ④A、B、C a，A、B、C b且A、B、C不共线 a与b 重合．其中假命题有
1 2 证明：仿 1中分析，知EH / / BD. 2 若AC＝BD，则有EH＝EF . 又因为四边形EFGH 是平行四边形， 所以四边形EFGH 是菱形．
3由 2 知，由AC＝BD，得四边形EFGH 是菱形．
欲证菱形EFGH 是正方形，还要得到EFG＝90. 而EFG是异面直线AC、BD所成的角， 故还要加上条件“ AC BD ”． 所以，当AC＝BD且AC BD时， 四边形EFGH 是正方形．
面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1
的交线．
【解析】如图，平面DMN∩平面BB1C1C
＝PN，平面DMN∩平面ABB1A1＝RM.
共点、共线、共面 问题
【例2】
如 图 ， 在 正 方 体 ABCD—
A1B1C1D1 中 ， E 是 AB 的 中 点 ， F是A1A的中点，求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点．
平面；空间的四边形不可能确定一个平面．
2.已知a、b、c是三条不同的直线，有下列 四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b是异面直线，c与b是异面直线， 则a与c是异面直线； ③若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ④若a∥c，a与b是异面直线，则b与c是异 面直线． ① 其中真命题为________.
③
.
解析:①是公理1；②是公理2；④是公理3的应用，故 都正确，只有一般是平行四边形； ②四条边相等的四边形是菱形； ③有三个公共点的两个平面重合； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共 面．其中正确命题的个数有
第56讲 平面的基本性质与空间两条直线
第56讲平面的基本性质与空间直线【考点解读】1、能直观认识空间点、线、面的位置关系，理解空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理(1~3).2、了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小.【知识扫描】公理1 如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是(证明多点共线的依据)．公理3经过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2经过两条直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．1．空间两条直线的位置关系为、、．2．相交直线一个公共点，平行直线没有公共点，异面直线：不同在平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线所成的角：是指过空间任意一点O分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的角，它的取值范围是.【考计点拨】牛刀小试：1.以下命题中：①经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；②经过两条相交直线有且只有一个平面；③两条平行的直线可以确定一个平面；④三点可确定一个平面.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C2.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)． 解析：对于①可举反例，如AB ∥CD ，A 、B 、C 、D 没有三点共线，但ABCD 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②3. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查)下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面； ③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面.其中，能使命题“,x y y z x z ⊥⇒⊥ ”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】①③④能使命题“,x y y z x z ⊥⇒⊥ ”成立.4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（ ） A.12对 B.24对 C.36对 D.48对解析 如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24对 答案：B 5.下列命题中不正确的是________. ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. 答案：①② 典例分析考点一：直线和平面的概念例1．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a 、b 都平行．其中正确的命题为( )A ．①B ．②C ．③D ．①③ 解析：选C.①错，c 可与a 、b 都相交； ②错，因为a 、c 可能相交也可能平行；③正确，例如过异面直线a 、b 的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．故选C.变式训练1：下列命题中正确的有几个( )①若△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线；R P Q α CB A②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 于A 、B 、C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选C.在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．考点二：共线问题例2：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ．求证：点C 1、O 、M 共线．证明：A 1A ∥CC 1⇒确定平面A 1CA 1C ⊂面A 1C ⇒O ∈面A 1C ⇒O ∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O ∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上∴C 1、O 、M 共线规律小结：1.证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面2.证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ，即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上．∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．考点三：共面问题例3. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面．证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂βA ∈a,B ∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面规律小结：证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面；(2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF ∥A 1B A 1B ∥D 1C∴EF ∥D 1C ∴E 、F 、D 1、C 四点共面(2) 面D 1A∩面CA ＝DAACDFA 1B 1C 1D 1∴EF ∥D 1C 且EF ＝21D 1C ∴D 1F 与CE 相交 又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面AC ∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．考点四：异面直线所成的角例4. 如图在三棱锥S ABC -中090ACB ∠=，SA ABC ⊥面，2AC =，BC =，SB =。
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平面的基本性质、空间两条直线(学案)B
一、知识梳理：（必修2教材第40页-第43页）
1、平面：
（1）、平面的两个特征：，。
（2）、画法：通常用表示平面。
（3）、平面的表示方法：用一个小写的希腊字母等来表示平面，也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对的顶点的字母表示，如，。
2、平面的基本性质：
公理1：如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在
这个平面内。
这时我们就说或。
作用：
公理2：经过同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
作用：
公理2推论：
1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
公理3：如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做着两个平面的
作用：
（1）画两个相交平面时，，其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成线或。
（2）证明三点共线
（3）证明三线共点
3、两条直线的位置关系
（1）共面与异面直线：
共面直线：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内
的直线是异面直线。
（2）空间两条直线的位置关系分类：
两条异面直线所成的角：
两条异面直线的公垂线：
两条异面直线的距离：
（3）公理4（平行公理）：
（4）等角定量：
（5）符号语言：
点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作.
直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质公理一:可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
二、题型
[探究一]：平面的基本性质
例1：（1）一条直线和直线外三个点能确定的平面的个数是；
（2）已知直线a，b是异面直线，在直线a上取三点，在直线b上取5个点能确定的平面个数是；
例2：在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果直线EF与GH相交于P，由点P（）
（A）一定在直线BD上（B）一定在直线AC上
（C）在直线AC或BD上（D）不在直线AC上也不在直线BD上。
[探究二]：空间两条直线
例3：下列命题正确命题的个数是（）
（1）若两条直线与第三条直线的夹角相等，则这两条直线平行；
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（3）若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
（4）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例4：在正方体A1B1C1D1—ABCD中，若AB=BC=2，A1A=1 ，求异面直线B1D与BC1所成角的余弦值。
例5：已知ABCD是正四面体，E，F分别是AB与CD的中点。
求异面直线EF与AD所
成的角。
三、方法提升
1、空间两条直线的位置关系有：平行、相交、异面，利用它们去判断命题时要注意否定一种，另外两种都有成立的可能，如两条直线不相交，则两条直线平行或异面。
2、对于两直线垂直，要注意两直线可以相交垂直或异面垂直。
3、异面直线所成的角是立体几何中一个重要的概念，它的求法体现了立体几何将空间转化为平面的基本思想，要掌握常用解法。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
1.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是( )
A.相交．
B.异面
C.平行．
D.相交或异面．
2.a、b是两条异画直线,c、d小也是两条异面直线．，则a、c的位置关系是( )
A.相交、平行或异面．
B.相交或平行．
C.异面
D.平行或异面．
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，各侧面对角线所在的直线中与B l D成异面直线的条数是( )
A.3．
B.4．
C.5．
D.6．
4.异面直线a、b分别在平面α和β内，若l=
αI则直线l必定( )
β
A.分别与a、b相交．
B.与a、b都不相交．
C.至多与a、b中的一条相交．
D.至少与a、b中的一条相交．
5.空间四边形ABCD中AB=CD，且AB与CD成60°角，E，F分别为AC，BD的中点，则EF与AB所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°
二、填空题
6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）
7.异面直线a,b所成角为80º，过空间一点作与直线a,b所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为.
8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有对异面直线。
V 的侧棱长与底面边长相等，E是VA中点，O是底面中心，异9. 正四棱锥ABCD
面直线EO与BC所成的角是.
10.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是
①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）．
三、解答题
11.已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证b和c是异面直线．
12.已知：E、F 、G、H依次是空间四边形ABCD各边的中点．
(1)求证四边形EFGH是平行西边形；
(2)若对角线BD=2,AC=4 ，求EG2＋HF2.
13.设A是△BCD所在平面外的一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：MN∥BD.
14.如图，A、B、C、D是异面直线AB、CD上的点，线段AB=CD=4，M为AC的中点, N为BD的中点，MN=3，求异面直线AB、CO、所成角的余弦值．
15.如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别是BC和AD 的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值.。