龙格-库塔法求微分方程2

《MATLAB 程序设计实践》课程考核一、编程实现“四阶龙格－库塔（R-K ）方法求常微分方程”，并举一例应用之。

【实例】采用龙格-库塔法求微分方程：⎩⎨⎧==+-=0 , 0)(1'00x x y y y 1、算法说明：在龙格-库塔法中，四阶龙格-库塔法的局部截断误差约为o(h5)，被广泛应用于解微分方程的初值问题。

其算法公式为：)22(63211k k k hy y n n +++=+其中：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==) ,()21,21()21 ,21(),(3423121hk y h x f k hk y h x f k hk y h x f k y x f k n n n n n n n n 2、流程图：2.1、四阶龙格－库塔（R-K ）方法流程图：2.2、实例求解流程图：3、源程序代码3.1、四阶龙格－库塔（R-K）方法源程序：function [x,y] = MyRunge_Kutta(fun,x0,xt,y0,PointNum,varargin)%Runge-Kutta 方法解微分方程形为 y'(t)=f(x,y(x))%此程序可解高阶的微分方程。

只要将其形式写为上述微分方程的向量形式%函数 f(x,y): fun%自变量的初值和终值：x0, xt%y0表示函数在x0处的值，输入初值为列向量形式%自变量在[x0,xt]上取的点数：PointNum%varargin为可输入项，可传适当参数给函数f(x,y)%x：所取的点的x值%y：对应点上的函数值if nargin<4 | PointNum<=0PointNum=100;endif nargin<3y0=0;endy(1,:)=y0(:)'; %初值存为行向量形式h=(xt-x0)/(PointNum-1); %计算步长x=x0+[0:(PointNum-1)]'*h; %得x向量值for k=1:(PointNum) %迭代计算f1=h*feval(fun,x(k),y(k,:),varargin{:});f1=f1(:)'; %得公式k1f2=h*feval(fun,x(k)+h/2,y(k,:)+f1/2,varargin{:});f2=f2(:)'; %得公式k2f3=h*feval(fun,x(k)+h/2,y(k,:)+f2/2,varargin{:});f3=f3(:)'; %得公式k3f4=h*feval(fun,x(k)+h,y(k,:)+f3,varargin{:});f4=f4(:)'; %得公式k4y(k+1,:)=y(k,:)+(f1+2*(f2+f3)+f4)/6; %得y(n+1)end3.2、实例求解源程序：%运行四阶R-K法clear, clc %清除内存中的变量x0=0;xt=2;Num=100;h=(xt-x0)/(Num-1);x=x0+[0:Num]*h;a=1;yt=1-exp(-a*x); %真值解fun=inline('-y+1','x','y'); %用inline构造函数f(x,y) y0=0; %设定函数初值PointNum=5; %设定取点数[x1,y1]=ode23(fun,[0,2],0);[xr,yr]=MyRunge_Kutta(fun,x0,xt,y0,PointNum);MyRunge_Kutta_x=xr'MyRunge_Kutta_y=yr'plot(x,yt,'k',x1,y1,'b--',xr,yr,'r-')legend('真值','ode23','Rung-Kutta法解',2)hold onplot(x1,y1,'bo',xr,yr,'r*')4、程序运行结果：MyRunge_Kutta_x =0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000MyRunge_Kutta_y =0 0.3932 0.6318 0.7766 0.8645二、编程解决以下科学计算问题：（一）[例7-2-4] 材料力学复杂应力状态的分析——Moore圆。

1、程序说明：利用平面应力状态下斜截面应力的一般公式，画出任意平面应力状态下的应力圆（Moore 圆），求出相应平面应力状态下的主应力（1σ、3σ），并求出该应力状态下任意方位角α的斜截面上的应力σ、τ。

2、程序流程图：σxσyσyσxσατyxτyxτxyτxyτ3、程序代码：clear;clc;Sx=input('Sigma_x(MPa)='); %输入该应力状态下的各应力值Sy=input('Sigma_y(MPa)=');Txy=input('Tau_xy(MPa)=');a=linspace(0,pi,100); %等分半圆周角Sa=(Sx+Sy)/2;Sd=(Sx-Sy)/2;Sigma=Sa+Sd*cos(2*a)-Txy*sin(2*a); %应力圆一般方程Tau=Sd*sin(2*a)+Txy*cos(2*a);plot(Sigma,Tau,Sx,Txy,'.r',Sy,-Txy,'.r'); %画出应力圆，标出该应力状态下各应力参数line([Sx,Sy],[Txy,-Txy]);axis equal; %控制各坐标轴的分度使其相等——使应力圆变圆title('应力圆');xlabel('正应力（MPa）');ylabel('剪应力（MPa）');text(Sx,Txy,'A');text(Sy,-Txy,'B');Smax=max(Sigma);Smin=min(Sigma);Tmax=max(Tau);Tmin=min(Tau);b=axis; %提取坐标轴边界ps_array.Color='k'; %控制坐标轴颜色为黑色line([b(1),b(2)],[0,0],ps_array); %调整坐标轴line([0,0],[b(3),b(4)],ps_array);b=axis; %提取坐标轴边界line([b(1),b(2)],[0,0],ps_array); %画出x坐标轴hold onplot(Sa,0,'.r') %标出圆心text(Sa,0,'O');plot(Smax,0,'.r',Smin,0,'.r',Sa,Tmax,'.r',Sa,Tmin,'.r') %标出最大、最小拉应力、切应力点text(Smax,0,'C');text(Smin,0,'D');text(Sa,Tmax,'E');text(Sa,Tmin,'F');%-----------此部分求某一斜截面上的应力---------------------------------------------t=input('若需求某一截面上的应力，请输入1；若不求应力，请输入0：');while t~=0alpha=input('给出斜截面方向角：alpha=（角度）：');sigma=Sa+Sd*cos(2*(alpha/180*pi))-Txy*sin(2*(alpha/180*pi))tau=Sd*sin(2*(alpha/180*pi))+Txy*cos(2*(alpha/180*pi))plot(sigma,tau,'or')t=input('若还需求其他截面上的应力，请输入1；若要退出，请输入0：');endhold off%----------此部分求该应力状态下的主应力--------------------------------------------Sigma_Max=SmaxSigma_Min=SminTau_Max=TmaxTau_Min=TminSigma1=Smax %得出主应力 Sigma3=Sminl=Sx-Sa;h=Txy;ratio=abs(h/l); %求主应力平面方向角 '主应力平面方向角（角度）：' alpha_0=atan(ratio)/2*180/pi4、程序运行结果：（以MPa 20 MPa, 30 MPa, 100-===xy y x τσσ为例）Sigma_x(MPa)=100 Sigma_y(MPa)=30 Tau_xy(MPa)=-20若需求某一截面上的应力，请输入1；若不求应力，请输入0：1 给出斜截面方向角：alpha=（角度）：30 sigma = 99.8205tau =20.3109若还需求其他截面上的应力，请输入1；若要退出，请输入0：0 Sigma_Max = 105.3087Sigma_Min = 24.6970Tau_Max = 40.3109Tau_Min = -40.2963Sigma1 = 105.3087Sigma3 = 24.6970ans =主应力平面方向角（角度）：alpha_0 = 14.8724（二）实验5（椭圆的交点） 两个椭圆可能具有0 ~ 4个交点，求下列两个椭圆的所有交点坐标：(1) ()()523222=+-+-x y x ; (2) ()()43/3222=+-y x1、算法说明：此题相当于求两个二元二次方程组的解，故为便于清楚地显示出两椭圆的相对位置，用ezplot 函数把两个椭圆画在同一个坐标系中，然后利用fsolve 函数解方程组得到两椭圆的交点即方程组的解。

2、程序流程图：3、程序代码：clear; clc;ezplot('(x-2)^2+(y-3+2*x)^2-5',[-1,5, -8,8]); %画第一个椭圆hold onezplot('2*(x-3)^2+(y/3)^2-4',[-1,5, -8,8]); %画第二个椭圆grid on; %显示网格hold offf1=sym('(x-2)^2+(y-3+2*x)^2=5'); %输入两个椭圆方程f2=sym('2*(x-3)^2+(y/3)^2=4');[x,y]=solve(f1,f2,'x','y'); %联立两个椭圆方程求解交点middle=[x,y]; %合并x,y两个矩阵intersection_x_y=double(middle) %将符号解转换成数值解4、程序运行结果：。