2015年珠海市高三一模数学理考试试题(word版)
广东省珠海一中等六校2015届高三11月第二次联考数学理试题 Word版含答案
启用前：绝密2015届广东六校联盟第二次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1．已知集合1{|()1}2x A x =<,{|1}B x x =<,则AB =A. ΦB. RC. (0，1)D. (-∞，1) 2． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是A. x ∃∈R ，||0x >B. x ∀∈R ，||0x >C. x ∃∈R ，0x <D. x ∀∈R ，||0x <3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知7S =49，则26,a a 的等差中项是 A.492 B. 7 C. 7± D. 724．函数2()x f x e =在点(0，1)处的切线的斜率是A. 2eB. eC. 2D. 1 5. 已知等边ABC ∆的边长为1，则=⋅BC ABA ．21-B ．23-C ．21D ．236. 已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(--，则=αsinA. cos3-B. cos3C. sin 3-D. sin 37．数列}{n a 中，d qa a p a n n +==+11,(n ∈N *，d q p ,,是常数)，则0=d 是数列}{n a 成等比数列的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分也不必要条件8. 已知向量,OA OB 不共线，向量=OC xOA yOB +，则下列命题正确的是 A. 若y x +为定值，则C B A 、、三点共线. B. 若y x =，则点C 在AOB ∠的平分线所在直线上. C. 若点C 为AOB ∆的重心，则1=3x y +.D. 若点C 在AOB ∆的内部（不含边界），则01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+<⎩.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9．已知函数()=2ln sin f x x x +，则()2f π'＝ ．10. 已知函数3()=2f x x m +-是定义在[,4]n n +上的奇函数，则m n += .11. 右图是函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，则=ϕ .12．0214x dx --=⎰.13. 已知1a b c >>>，且a b c ，，依次成等比数列，设=log log log a b c m b n c p a ==，，，则m n p ，，这三个数的大小关系为 .14.给出下列命题：(1)设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e 29-； (2)已知函数22log (1)()+1 (1)x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()y f x m =-有3个零点，则0<m <1；(3)已知函数()12-=x x f 的定义域和值域都是[]()a b b a >,，则a b +＝1；(4)定义在R 上的函数()f x 满足(2)[1()]1()(1)23f x f x f x f +⋅-=+-=+，，则(2015)=32f -. 其中，正确命题的序号为 .参考答案1、C ；2、B ；3、B ；4、C ；5、A ；6、A ；7、D ；8、D9、4π；10、0；11、6π；12、3+23π；13、p m n >>；14、(1)(2)(3)三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且2cos 2a C b c =-． （1）求角A 的大小；（2）若21a =，4b =，求边c 的大小．解：(1)因为2cos 2a C b c =-，所以C B C A s i n s i n 2c o s s i n2-= ()C C A sin sin 2-+=C C A C A sin )sin cos cos (sin 2-+= ………………………………4分即C A C sin cos 2sin =，x3-y O 31356又因为π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以21cos =A ， 又因为π<<A 0 所以3π=A ． ………………………………8分(2) 因为A bc c b a cos 2222-+=，即221164c c =+-所以2450c c --=，解得1c =-（舍），5c =． ………………………………12分16.（本小题满分12分）已知正项等比数列}{n a 中，11=a ，且2313,,2a a a 成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n a n b ⋅-=)12(，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313,,2a a a 成等差数列知，321232a a a =+，∴02322=--q q ∵0>n a ∴2=q ………………………………4分 (1)∵11=a ∴*)(21N n a n n ∈=- ………………………………6分(2)∵n n a n b ⋅-=)12(，*)(21N n a n n ∈=-∴.2)12(2523112-⨯-++⨯+⨯+=n n n T∴.2)12(2)32(2523212132n n n n n T ⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ……………8分 ∴.2)12()2222(21132n n n n T ⨯--+++++=--.32)32(2)12(322)12(21)21(22111-⨯--=⨯---=⨯----⋅+=+-n n n nn n n n∴*).(32)32(N n n T n n ∈+⨯-= ………………………………12分17．（本小题满分14分） 已知函数1sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f ππ．（1）求()3f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（3）说明()y f x =的图像是如何由函数sin y x =的图像变换所得. 17．解： ∵1sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f ππx x x 2cos )62sin()62sin(--++=ππx x 2cos 2sin 3-= )62sin(2π-=x ………………………4分（1） ()=2sin232f ππ= ………………………6分（2） ()f x 的最小正周期为22ππ= ………………………8分 当222262k x k πππππ-≤-≤+(k ∈Z )，即63k x k ππππ-≤≤+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增，故所求单调增区间为每一个[,]63k k ππππ-+(k ∈Z ). ………………………11分 （3）解法1：把函数sin y x =的图像上每一点的向右平移6π个单位， 再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数()y f x =的图像. .………………………14分 解法2：把函数sin y x =的图像上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)， 再把所得图像上的每一点的向右平移12π个单位， 再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数()y f x =的图像. .………………………14分18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足21)1(3+=++n S S n n (n ∈N *)．(1)用a 表示2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)对任意的n ∈N *，1n n a a +>，求实数a 的取值范围．解析：(1)由条件1=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=. ………………………2分(2)由条件21)1(3+=++n S S n n 得，213(2)n n S S n n -+=≥ ………………………3分两式相减得361+=++n a a n n (2)n ≥， 解法1：故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a (2)n ≥，，，，642a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列；，，，753a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；………………………………5分 由(1)得a n a n 2662-+=；由条件2=n 得2721321=++++a a a a a ，得a a 233+=， 从而a n a n 23612+-=+，∴,13(62)(1)2n na n a n a n =⎧=⎨+--≥⎩， ………………………………9分 解法2：设1(1)()n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----则263230x x y x y -==-⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有13(1)(3)n n a n a n +-+=--∴2n ≥时，223(6)(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n n a n a -=+-⋅- ∴2,13(62)(1)2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩， ………………………………9分 (3)对任意的n ∈N*，1n n a a +>，当1n =时，由21a a >，有32(62)a a ⨯+->得4a <………①； 当2n ≥时，由1n n a a +>，有123(1)(62)(1)3(62)(1)n n n a n a --++-⋅->+-⋅-，即123(62)(1)(62)(1)n n a a --+-⋅->-⋅-若n 为偶数，则3(62)62a a -->-得94a >………②；若n 为奇数，则3(62)(62)a a +->--得154a <………③.由①、②、③得 41549<<a . …………………………………………14分19.（本小题满分14分）已知函数d cx bx x x f ++-=2331)(，设曲线)(x f y =过点(30)，，且在点(30)，处的切线的斜率等于4，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求)(x f ； （2）设)()(x f xx g '=，0m >，求函数)(x g 在]0[m ，上的最大值；（3）设t x x f x h )12()()(++'=，若4)(<x h 对[0,1]t ∈恒成立，求实数x 的取值范围． 解：（1）求导可得c bx x x f +-='2)(2 ………………………………………1分 ∵)()2(x f x f '=-'， ∴)(x f '的图像关于直线1=x 对称，∴1=b ……………2分 又由已知有：4)3('0)3(==f f ，∴31-==d c ， ………………………………4分 ∴331)(23-+-=x x x x f ………………………………………5分（2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，222,1,()(1)1, 1.x x x g x x x x x x x x ⎧-≥⎪=-=-=⎨-<⎪⎩ ………………………………………7分 其图像如图所示．当214x x -=时，122x ±=，根据图像得： （ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当11222m +<≤时，()g x 最大值为14；（ⅲ）当122m +>时，()g x 最大值为2m m -． …………………………………10分（3）t x x t x x f x h )12()1()12()()(2++-=++'=，记4)1()12()(2--++=x t x t g ，有 …………………………………………11分 当[0,1]t ∈时，4)(<x h ⇔04)1()12()(2<--++=x t x t g ，∴只要21223104)1(1204)1(0)1(0)0(22<<-⇔⎩⎨⎧<<-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--++<--⇔⎩⎨⎧<<x x x x x x g g ， ∴实数x 的取值范围为12x -<<， …………………………………………14分20.（本小题满分14分）设函数2()ln (,f x a x x bx a b =++∈R ,0)a ≠，且1x =为()f x 的极值点． （1）当1a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若()0f x =恰有两解，试求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设2()(1)2g x f x x x =+-++，证明：2*1135(N )()(1)(2)nk n nn g k n n =+>∈++∑． 解：由已知求导得：()2af x x b x '=++，1x =为()f x 的极值点，(1)0f '∴=， 20a b ++=． ………………2分 （1）当1a =时，3b =-，进而21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x-+--'=+-==，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x ∴的单调减区间为1(,1)2． ………………………………4分（2）由20a b ++=，得2b a =--，则2()ln (2)f x a x x a x =+-+ ，(0)x >，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=+-+=，(0)x >， （ⅰ）当0a <时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，则()f x 的极小值为(1)f ，ln 1x x ≤-，22()(1)(2)2f x a x x a x x x a ∴≥-+-+=--，O x y 12122+11-2则当x →+∞时，()f x →+∞，又当0x +→时，()f x →+∞， ∴要使()0f x =恰有两解，须(1)0f <，即1a >-． 因此，当10a -<<时，()0f x =恰有两解．（ⅱ）当02a <<时，()f x 在(0,)2a、(1,)+∞递增，在(,1)2a 递减， 则()f x 的极大值为()2a f ，()f x 的极小值为(1)f ．2222()ln ()(1)()(8)22422424a a a a a a a a f a a a a a =+-+≤-+-+=-， ∴当02a <<时，()02af <，此时()0f x =不可能恰有两解．（ⅲ）当2a >时，()f x 在(0,1)、(,)2a+∞递增，在(1,)2a 递减，则()f x 的极大值为(1)f ，()f x 的极小值为()2af ．(1)10f a =--<，∴当2a >时，()0f x =不可能恰有两解．（ⅳ）当2a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()0f x =不可能恰有两解．综合可得，若()0f x =恰有两解，则实数a 的取值范围是10a -<<． ………………9分 （3）当1a =时，2()(1)2ln(1)g x f x x x x =+-++=+，即证：21135ln(1)(1)(2)nk n nk n n =+>+++∑．（方法一）先证明：当2x ≥时，21ln (1)4x x <-．设21()ln (1)4h x x x =--， 212()22x x h x x x-'=-=，当2x ≥时，()0h x '<，则()h x 在(2,)+∞递减，()(2)h x h ≤，316e >，3ln164ln2∴>=，即3ln 24<，3(2)ln 204h ∴=-<，()0h x ∴<，即21ln (1)4x x <-．14112()ln (1)(1)11x x x x x ∴>=--+-+． 令1x k =+，得1112()ln(1)2k k k >-++， 则211111111352()2(1)ln(1)2212(1)(2)nnk k n nk k k n n n n ==+>-=+--=++++++∑∑． …………14分（方法二）数学归纳法：1.当1n =时，左边=1ln 2，右边=43，316e >，3ln164ln2∴>=， 14ln 23∴>，即1n =时，命题成立．2.设n k =时，命题成立，即211135ln 2ln3ln(1)(1)(2)k k k k k ++++>+++．当1n k =+时，左边=21111351ln 2ln3ln(1)ln(2)(1)(2)ln(2)k k k k k k k +++++>++++++ 右边=223(1)5(1)3118(2)(3)(2)(3)k k k k k k k k +++++=++++， 要证223513118(1)(2)ln(2)(2)(3)k k k k k k k k k ++++>+++++，即证221311835ln(2)(2)(3)(1)(2)k k k kk k k k k +++>-+++++， 即证14ln(2)(1)(3)k k k >+++，也即证1ln(2)(1)(3)4k k k +<++．令2k x +=，即证：21ln (1)4x x <-，（证法见方法一）因此，由数学归纳法可得命题成立． …………………………………………14分。
广东省中山市第一中学等七校2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2015届2014.8命题人：普宁二中 陈左华 潮阳一中 黄绵凤【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
【题文】1设集合A={2|320x x x -+=}，则满足AB={0，1，2}的集合B 的个数是( )A 1B 3C 4D 6【知识点】并集及其运算 A1【答案解析】C 解析：解：A={x|x 2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∪B={0，1，2}，则0∈B ，则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，故选：C 【思路点拨】先求出集合A 元素，根据集合关系和运算即可得到结论【题文】2. i 为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+i )(2+i )的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义L4 【答案解析】A 解析：解：复数z=（1+i ）（2+i ）=2+3i ﹣1=1+3i ，复数对应点为（1，3）．在第一象限．故选A【思路点拨】化简复数为a+bi 的形式，然后求出复数的对应点所在象限即可【题文】3．“1a =”是“函数ax sin ax cos y 22-=的最小正周期为π”的（ ）A ．必要不充分条件B ． 充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断A2,C3 【答案解析】A 解析：解：解：函数y=cos 2ax ﹣sin 2ax=cos2ax ，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos 2ax ﹣sin 2ax 的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A ．【思路点拨】化简y=cos 2ax ﹣sin 2ax ，利用最小正周期为π，求出a ，即可判断选项． 【题文】4.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5【知识点】众数、中位数、平均数K8【答案解析】C 解析：解：由题意，[5，10]的样本有5³0.06³100=30，[10，15]的样本有5³0.1³100=50，由于[10，15]的组中值为12.5，所以由图可估计样本重量的中位数12． 故选：C【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5³0.06³100=30，[10，15]的样本有5³0.1³100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．【题文】5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【知识点】程序框图L1【答案解析】C 解析：解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3； 第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5； 第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7； 第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；此时不满足条件S ＜20，程序运行终止，输出k=9． 故选：C ．【思路点拨】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S ＜20，计算输出k 的值【题文】6、由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．712 B ．14 C ．13 D ．112【知识点】定积分在求面积中的应用B13【答案解析】D 解析：解：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x 2﹣x 3）dx═，故选D【思路点拨】要求曲线y=x 2，y=x 3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x 2﹣x 3）dx 即可【题文】7． 已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x上的一个动点，则 OA OM +的取值范围是（ ）A []51，B []52，C []21，D []50， 【知识点】简单线性规划E5 【答案解析】A 解析：解：+=（﹣1，0）+（x ，y ）=（x ﹣1，y ）， 则|+|=， 设z=|+|=，则z 的几何意义为M 到定点D （1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M 位于A （0，2）时，z 取得最大值z=，当M 位于C （1，1）时，z 取得最小值z=1， 1≤z≤， 即|+|的取值范围是[1，]，故选：A【思路点拨】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M （x ，y ）到定点N （1，0）的距离，数形结合可得答案． 【题文】8．对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=； （ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=； （ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法；②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法； ③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ①②B ①③C ②③D ①②③ 【知识点】元素与集合关系的判断A1【答案解析】B 解析：解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a 、a′互为相反数；②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件； ③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a 、a′互为倒数． 故选：B【思路点拨】根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)【题文】9. 若a x f xxlg 22)(-+=是奇函数，则实数a =_________。
2015-2016年广东省珠海市高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足，则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（5分）=（）A．﹣1 B．C．1 D．3．（5分）设命题p：若2x＞3x，则x＜0，其逆否命题为（）A．若x≥0，则2x≤3x B．若x＞0，则2x＜3xC．若2x＞3x，则x≥0 D．若2x≤3x，则x＞04．（5分）现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，恰好甲乙丙各一件的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）如图是函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一段图象，则函数f（x）图象上的最高点坐标为（）A．（，2），k∈Z B．（kπ，2），k∈Z C．（2kπ﹣，2），k∈Z D．（kπ﹣，2），k∈Z6．（5分）已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则=（）A． B．C． D．8．（5分）（x2+3y﹣y2）7展开式中，x12y2项系数为（）A．7 B．﹣7 C．42 D．﹣429．（5分）执行如图的程序框图，若输入k=100，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．910．（5分）点P（x0，y0）为双曲线C：=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，＜8，则x0的范围是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．C．D．12．（5分）函数f（x）=﹣（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x0使f（x0）＜0成立，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，2+2ln2）D．（，+ln2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=．14．（5分）圆C的圆心C在x轴上，圆C经过抛物线D：y2=16x的焦点且与D 相切，则C的半径是．15．（5分）变量x，y满足，则（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：临界值表随机量变．19．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，（1）求证：AB⊥BH；（2）求二面角C﹣OH﹣F的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，求证：x1+x2＞2a．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；（2）求EF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且=2．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足，则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：复数z满足，则z+3i=2z+2i，∴z=i，则z的虚部为1．故选：C．2．（5分）=（）A．﹣1 B．C．1 D．【解答】解：==tan（60°﹣15°）=tan45°=1，故选：C．3．（5分）设命题p：若2x＞3x，则x＜0，其逆否命题为（）A．若x≥0，则2x≤3x B．若x＞0，则2x＜3xC．若2x＞3x，则x≥0 D．若2x≤3x，则x＞0【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≥0，则2x≤3x，故选：A．4．（5分）现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，恰好甲乙丙各一件的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，基本事件总数n=，恰好甲乙丙各一件包含的基本事件个数m=，∴恰好甲乙丙各一件的概率p=．故选：D．5．（5分）如图是函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一段图象，则函数f（x）图象上的最高点坐标为（）A．（，2），k∈Z B．（kπ，2），k∈Z C．（2kπ﹣，2），k∈Z D．（kπ﹣，2），k∈Z【解答】解：由图象知A=2，函数的周期T=2×（）=2×=π，即T==π，即ω=2，则函数f（x）=2cos（2x+φ），函数关于x==对称，即f（）=2cos（2×+φ）=﹣2，即cos（+φ）=﹣1，则+φ=π+2kπ，即φ=+2kπ，则f（x）=2cos（2x++2kπ）=2cos（2x+），由f（x）=2cos（2x+）=2，得cos（2x+）=1，即2x+=2kπ，则x=kπ﹣，k∈Z，即函数f（x）图象上的最高点坐标为（kπ﹣，2），k∈Z，故选：D．6．（5分）已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为（）A．B．C．D．【解答】解：棱台的体积：=．故选：A．7．（5分）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则=（）A． B．C． D．【解答】解：如图所示，取BC的中点F，连接A1F，则A1D1∥FE，且A1D1=FE，∴四边形A1D1EF是平行四边形，∴A1F∥D1E，且A1F=D1E，∴=；又=++=﹣++，∴=+﹣．故选：B．8．（5分）（x2+3y﹣y2）7展开式中，x12y2项系数为（）A．7 B．﹣7 C．42 D．﹣42【解答】解：（x2+3y﹣y2）7的展开表示7个因式（x2+3y﹣y2）的乘积，取6个因式中的x2，另一个因式中﹣y2，∴x12y2项系数为﹣=﹣7．故选：B．9．（5分）执行如图的程序框图，若输入k=100，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算P=1+2+22+…+2n﹣1的值，当p＞100时，即P=1+2+22+23+…+2n﹣1==2n﹣1＞100，解得n≥7，跳出循环；输出n的值为7．故选：B．10．（5分）点P（x0，y0）为双曲线C：=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，＜8，则x0的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得9x02﹣4y02=36，可得y02=x02﹣9，B1（0，3），B2（0，﹣3），由＜8，可得（﹣x0，3﹣y0）•（﹣x0，﹣3﹣y0）＜8，即x02+y02﹣9＜8，可得x02﹣26＜0，解得﹣2＜x0＜2，由x0≥2或x0≤﹣2，可得﹣2＜x0≤﹣2或2≤x0＜2．故选：C．11．（5分）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，底面（四分之一球）的半径R=2，故四分之一球的体积V==，半圆锥的底面面积S==2π，高h=3，故半圆锥的体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：C．12．（5分）函数f（x）=﹣（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x0使f（x0）＜0成立，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，2+2ln2）D．（，+ln2）【解答】解：设g（x）=﹣（a+1）x+1，h（x）=﹣lnx，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在曲线y=h（x）=﹣lnx的下方，画出函数的图象，如图示：，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=1，f（x0）＜0，而h（1）=﹣ln1=0，g（1）=﹣a＜0，解得：a＞，h（2）=﹣ln2，g（2）=2﹣2a﹣1＞﹣ln2，解得：a＜+ln2，故a∈（，+ln2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=1．【解答】解：∵y=|x+1|关于x=﹣1对称，f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，∴y=|ax﹣1|关于x=1对称，即当x=1时，a﹣1=0，则a=1，此时f（x）=|x+1|+|x﹣1|，则f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x），满足f（x）为偶函数，故答案为：1．14．（5分）圆C的圆心C在x轴上，圆C经过抛物线D：y2=16x的焦点且与D 相切，则C的半径是2或16．【解答】解：抛物线D：y2=16x的焦点为（4，0），设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得（4﹣a）2=r2，①联立圆的方程和抛物线的方程，消去y可得，x2+（16﹣2a）x+a2﹣r2=0，由△=0，即为（16﹣2a）2﹣4（a2﹣r2）=0，②由①②可得a2﹣24a+80=0，解得a=20（4舍去），即有r=16，又a=2，可得圆的方程为（x﹣2）2+y2=4，与抛物线相切，此时r=2．故答案为：2或16．15．（5分）变量x，y满足，则（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是[] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．（x﹣3）2+（y﹣3）2的几何意义为可行域内的动点与定点（3，3）距离的平方．∵|PA|=，而P到x轴上的点（3，0）的距离为3，点P（3，3）到直线4x+y﹣12=0的距离为．∴（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是[]．故答案为：[]．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+22﹣4ABcos60°=（AB﹣1）2+3，∴AC≥．当AB=1时取等号，满足条件．∵∠BCD=45°，∴∠ACB＜45°，又∠B=60°，∴∠BAC＞180°﹣45°﹣60°=75°，∴AC＜BC=2．综上可得：AC∈，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由…①，可得…②，由②﹣①得，即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣3=0，即a n+1﹣a n=3，又，即，∵a n＞0，∴a1=4，∴{a n}是4为首项，3为公差的等差数列，∴a n=4+3（n﹣1）=3n+1；（2），故，，两式相减可得﹣T n=8+3（4+8+…+2n）﹣（3n+1）•2n+1，=2+3（2+4+8+…+2n）﹣（3n+1）•2n+1==﹣（3n﹣2）•2n+1﹣4，∴．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：临界值表随机量变．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下：…（2分）K2==4.76∵4.762＞3.841，p（k≥3.841）=0.05∴有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．…（4分）（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，），…（5分），…（6分），…（7分），…（8分），…（9分）∴ξ的分布列为：从而ξ的分布列为…（10分），…（11分）…（12分）19．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，（1）求证：AB⊥BH；（2）求二面角C﹣OH﹣F的正弦值．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：连接BF，∵HF⊥面ABCD，∴CD⊥FH，∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，F分别是边CD中点，∴△BCD是等边三角形，故CD⊥BF，∴CD⊥平面BFH，∴CD⊥BH，∴菱形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥BH…（4分）（2）解：在平面ABCD中，过C作CM⊥EF的延长线于M，在△COH中，过C作CN⊥OH于N，连接MN∵CM⊥FH，∴CM⊥平面EFHG，∴OH⊥CM，又CN⊥OH，∴OH⊥平面CMN，∴MN⊥OH，∴∠CNM就是二面角C﹣OH﹣F的平面角…（8分）∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，EFHG是正方形，边长为2∴，∠COM=30°，∴CO=，HO=HC=，∴，，∴，∴二面角C﹣OH﹣F的正弦值为…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．【解答】解：由题意得：焦点在x轴上，c=1，a2=b2+c2，即a2=b2+1，椭圆方程变为：，将M（1，），代入椭圆方程，整理得：，解得b2=3，a2=4∴椭圆方程为：；（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=﹣y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+=1，△OPQ的面积为，|x1||y1|=，∴|x1|=，|y1|=，x12+x22=4，y12+y22=3均为定值；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，将其代入椭圆方程整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，△=（8kb）2﹣4（3+4k2）•（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，∴丨PQ丨=•=4••，点O到直线l的距离为d=，则△OPQ的面积S=•d•丨PQ丨=••4••=2•，即2•=，整理得：3+4k2=b2，满足△＞0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣）2﹣2=4，y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴y12+y22=k2（x12+x22）+2kb（x1+x2）+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3，综上可知：x12+x22=4，y12+y22=3均为定值；（3）4丨OM丨2+丨PQ丨2=（x1+x2）2+（y1+y2）2+（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，=2[（x12+x22）+（y12+y22）]=14，所以2丨OM丨•丨PQ丨≤=7，即丨OM丨•丨PQ丨≤，当且仅当21OM丨=丨PQ丨=时等号成立，因此丨OM丨•丨PQ丨的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，求证：x1+x2＞2a．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为：（0，+∞）…（1分），…（3分）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（4分）当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）；…（5分）当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为（0，a）；…（6分）当x=a时，f′（x）=0，f（a）为f（x）的极小值；（2）方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，因此f（x）必能不为单调函数，所以a＞0，…（7分）令F（x）=f（x）﹣2，则F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞），最小值F（a）＜0，∴0＜x1＜a＜x2，令g（x）=F（2a﹣x）﹣F（x），x∈[a，2a），∵g′（x）=F′（2a﹣x）﹣F′（x）=f′（2a﹣x）﹣f′（x）=…（8分）∴g（x）在[a，2a）上单调递增，且g（a）=0，∴当x∈（a，2a）时，g（x）＞0，∵2a﹣x1∈（a，2a），∴g（2a﹣x1）＞0，g（2a﹣x1）=F（x1）﹣F（2a﹣x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0…（10分）∵f（x1）=f（x2）=2，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）…（11分）∵f（x）的单调递增区间为（a，+∞），x2、2a﹣x1∈（a，+∞）∴x2＞2a﹣x1，∴x1+x2＞2a…（12分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；（2）求EF的值．【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得EA2=EF•EC…（2分）∵圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…（2分）故AE=EB…（5分）所以点E为AB的中点（2）解：连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC又在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC所以…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y﹣2）2=4，由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2=4化简得ρ=4sinθ，（2）直线l的参数方程，（t为参数）．即代入圆方程得：+9=0，设A、B对应的参数分别为t 1、t2，则，t1t2=9，于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且=2．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，且=2，可得2=+≥2，即ab≥2，当且仅当b=2a=2时取得等号，则ab的最小值为2；（2）a+2b=（a+2b）（+）=（5++）≥（5+2）=；等号成立的充要条件是a=b=，∴a+2b的最小值为；此时a=b=．。
广东省珠海一中等六校2015届高三第一次联考数学理试题_Word版含答案
AB C D2015届广东六校联盟第一次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则 z i ＋i ·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i3. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -24. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是 ( )A.3B.13C. 3-D. 13-5. 已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()()2,4,1,3,AB AC AD BD ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则( )A. 8-B. 6-C.6D.8 6. 已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为y =，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）A ．95.25万元B ．96.5万元C ．97万元D ．97.25万元7．如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,A B CD 的 中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分 成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是（ ）18．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B ；⑤若函数f (x ))ln(2a x +=A ∈，则0>a .其中的真命题有（ ）A ．①③④⑤B ．②③④⑤C ．①③⑤D ．①③④二 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(一)必做题(9～13题)9. 若不等式4|1||4|x x a a+--≥+，对任意的x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_ _. 10. 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则实数a 的值为___． 11. 已知数组（12345,,,,a a a a a ）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。
珠海市2015届高三上学期期末考试数学理答案
2 x0 则 x1 + x 2 = k1 + k 2 - 2 x0 = 2 x0 (2x 0 - 4) - 2 x 0 = - 6 2 x0 - 1 x0 - 1 3 x 3 \x = - 2 0 = …………………………………………………11 分 1 x0 - 1 x0 x0
Q x0 -
1 在 x0 Î [2 ， 4] 上为增函数 x0
x1 + x2 2
即 ( x - x0 )[ x - ( k - x0 )] = 0 得 x = x0 （舍）或 x = k - x0
\ x1 + x2 = k1 + k2 - 2 x0 …………………………………………………………………8 分
= 1， 1+ k 2 2 2 2 两边平方得 ( x0 - 1) k 2 + 2 x0 (4 - x0 ) k + ( x0 - 4) 2 - 1 = 0LL “*” …………………9 分
三、解答题:
p p ì w × + j = ìw = 2 ï ï ï 12 2 16.解： （1）由题意可得 í ，即 í p ……………………………2 分 7 p 3 p j = ïw × ï +j = 3 î ï î 12 2 ìA + B = 4 ìA = 3 由题意可得 í ，即 í ……………………………………………4 分 î - A + B = -2 îB =1 p ∴ 函数 f ( x ) 的解析式为： f ( x ) = 3sin(2 x + ) + 1 ………………………………5 分 3 a p 17 a p p 17 p 4 （2）由 f ( - ) = 可得 3sin[2( - ) + ] + 1 = ，化简得 sin(a + ) = …7 分 2 12 5 2 12 3 5 6 5 p p p p Q f (a + ) = 3sin[2(a + ) + ] + 1 = 3sin(2a + p + ) + 1 2 2 3 3 p = -3sin(2a + ) + 1 ………………………………………………………9 分 3 p p = -6sin(a + ) × cos(a + ) + 1 ……………………………………10 分 6 6 p p 2p 7p p 3 又Q a Î ( , p ) ，\ a + Î ( , ) ，\ cos(a + ) = - …………………11 分 2 6 3 6 6 5 p p p 4 3 97 ………………12 分 f (a + ) = -6 sin(a + ) cos(a + ) + 1 = -6 ´ ´ ( - ) + 1 = 6 6 6 5 5 25
2015届广东珠海市一模数学理考试试题
珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝A．5 C ．7 D ． 13 3.下列函数为偶函数的是 A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++4.若x y 、满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的最小值是ABC ．45D ．1 5.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 6. 二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是 A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 7.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是 A ．23 B ．43C ．2D ．4（第5题图）俯视图侧(左)视图正(主)视图(第7题图)1228.已知集合123{|(,,),{0,1},1,2,3}i S P P x x x x i ==∈=对于123(,,)A a a a =，123(,,)B b b b S =∈，定义A 与B的差为112233(||,||,||)A B a b a b a b -=---，定义A 与B 之间的距离为31(,)||i i i d A B a b ==-∑.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式21x x -≥的解集为 ．10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是 ． 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = ．12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为 ．13.已知平面向量a b 、满足231a b +=，则a b ⋅的最大值为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1:2C ρ=与曲线2:4sin ()2C πρθθπ=<<交点的极坐标是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，O BD ∈，CD =5BC =，则AE = ．（第15题图）三、解答题:本题共有6个小题，共80分．请写出解答的步骤与详细过程。
高三第一次质量调查(一模)考试数学(理)试题-Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范。
广东省珠海市2015届高三数学上学期9月摸底试卷 理(含解析)
广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）已知全集U={0，±1，±2}，集合M={0}，则∁U M=（）A．{±1，±2}B．{0，±1，±2}C．{0，±1}D．{0，±2}2．（5分）复数（2+i）i的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值是（）A．7 B．67 C．39 D．15254．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣3，则前5项之积是（）A．35B．﹣35C．36D．﹣365．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．16πC．D．8π6．（5分）向量=（0，1，﹣1），=（0，1，0），则与的夹角为（）A．0°B．30°C．45°D．60°7．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y其中满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀α、β∈R，均有cos（α+β）=cosα﹣cosβB．若f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数，则φ=kπ，k∈ZC．命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则命题“￢p∨q”为假命题D．x=0是函数f（x）=x3﹣2的极值点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答6小题，满分25分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．（5分）不等式|3x﹣4|≤4的解集是．10．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a=．11．（5分）=．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=﹣2py（p＞0）的焦点F，点M（p，y M）∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=．（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．（极坐标选做题）15．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为．三、解答题：本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，α∈[0，π]，求cos（α+）的值．17．（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一[15，25） a 0.75二[25，35）200 0.40三[35，45） 5 0.1四[45，55） 3 b五[55，65] 2 0.1（1）求a，b的值．（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，ξ表示其中“追星族”的人数，求ξ分布列、期望和方差．18．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、C1D1、DC中点，AB=2，AD=，AC1=3（1）求证：C1E∥平面AFC．（2）求二面角F﹣AC﹣G的正切值．19．（14分）已知数列{a n}，a n≠2，a n+1=，a1=3．（1）证明：数列{}是等差数列．（2）设b n=a n﹣2，数列{b n b n+1}的前n项和为S n，求使（2n+1）•2n+2•S n＞（2n﹣3）•2n+1+192成立的最小正整数n．20．（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3≤a≤4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（x﹣a）（k＞0）与曲线C2：y=x2﹣相切，交C1于A2、E二点．（1）若C1的离心率为，求C1的方程．（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围．（2）求证：x≥1时，x（x+1）f（x）＞．广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）已知全集U={0，±1，±2}，集合M={0}，则∁U M=（）A．{±1，±2}B．{0，±1，±2}C．{0，±1}D．{0，±2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：利用补集的定义及运算法则求解．解答：解：∵全集U={0，±1，±2}，集合M={0}，则∴∁U M={±1，±2}．故选：A．点评：本题考查集合的补集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）复数（2+i）i的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将复数化简为代数形式，再根据复数虚部的概念作答．解答：解：（2+i）i=2i+i2=﹣1+2i，根据复数虚部的概念，虚部是2故选C点评：本题考查了复数的计算，复数的实部、虚部的概念．属于基础题，复数z=a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b（勿记为bi）．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值是（）A．7 B．67 C．39 D．1525考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可．解答：解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=2，k=2，第2次判断后循环，s=6，k=3，第3次判断并循环s=39，k=4，第3次判断退出循环，输出S=39．故选：C．点评：本题考查循环结构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力．4．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣3，则前5项之积是（）A．35B．﹣35C．36D．﹣36考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设{a n}是等比数列的公比为q，则前5项之积是（a1）5q1+2+3+4=（a3）5，即可得出结论．解答：解：设{a n}是等比数列的公比为q，则前5项之积是（a1）5q1+2+3+4=（a3）5=﹣35，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．16πC．D．8π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，圆锥的底面直径为4，则底面半径r=2，高h=4，故该几何体的体积V==，故选：A．点评：本题考查学生的空间想象能力，分析出几何体是形状是解答的关键，难度不大，是基础题．6．（5分）向量=（0，1，﹣1），=（0，1，0），则与的夹角为（）A．0°B．30°C．45°D．60°考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的夹角公式即可得出．解答：解：设与的夹角为θ．=1，=，．∴cosθ===，∵θ∈[0，π]，∴θ=45°．故选：C．点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．7．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y其中满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．解答：解：在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为=1，∴所求的概率为．故选：B．点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．8．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀α、β∈R，均有cos（α+β）=cosα﹣cosβB．若f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数，则φ=kπ，k∈ZC．命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则命题“￢p∨q”为假命题D．x=0是函数f（x）=x3﹣2的极值点考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，举例说明，令α=，β=，验证即可；B，f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数⇒﹣φ=kπ+，k∈Z，从而可判断其正误；C，命题“p”为真命题⇒￢p为假命题，利用命题真值表判断即可；D，f′（x）=3x2≥0恒成立，可知函数f（x）=x3﹣2在R上单调递增，无极值点．解答：解：A，α=，β=时，cos（+）=0≠cos﹣cos，故A错误；B，若f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数，则﹣φ=kπ+，k∈Z，φ=﹣kπ﹣，k∈Z，故B错误；C，命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则￢p为假命题，故命题“￢p∨q”为假命题，正确；D，∵f′（x）=3x2≥0恒成立，故函数f（x）=x3﹣2在R上单调递增，无极值点，故D错误．综上所述，命题中是真命题的是C，故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考全称命题的真假判断及真值表的应用，考查余弦函数的奇偶性及函数的单调性与极值，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答6小题，满分25分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．（5分）不等式|3x﹣4|≤4的解集是{x|0≤x≤}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：首先对不等式去绝对值可得到﹣1≤x﹣2≤1，然后求解x的取值范围即得到答案．解答：解：由不等式|3x﹣4|≤4，首先去绝对值可得到﹣4≤3x﹣4≤4；移项后得：0≤3x≤8解得：0≤x≤．故答案为：{x|0≤x≤}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．计算量小较容易．10．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a=2．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值．解答：解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故答案为2点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．11．（5分）=e﹣1．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=，即可得出答案．解答：解：∵（e x）′=e x，∴=e﹣1．故答案为e﹣1．点评：理解微积分基本定理是解题的关键．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，代入目标函数的解析式，分别求出对应的函数值，比较后可得答案．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示，∵目标函数z=x+y∴z O=0+0=0，z A=0+1.5=1.5，z B=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值为3故答案为：3点评：本题考查的知识点是简单线性规划，角点法是解答此类问题最常用的方法，常用来求解选择和填空题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=﹣2py（p＞0）的焦点F，点M（p，y M）∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=6．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出圆的半径，M为圆心的圆与曲线C的准线相切，可得M到准线的距离为6，再结合M（p，y M）∈C，即可求出p的值．解答：解：∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，∵M为圆心的圆与曲线C的准线相切，∴M到准线的距离为6，∴﹣y M=6，∵M（p，y M）∈C，∴y M=﹣，∴p=6，故答案为：6．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：直线与圆．分析：在Rt△ABC中，利用勾股定理即可得出BC．又AB与⊙C相切与点D，连接CD，得到CD⊥AB．利用S△ABC=，即可得出⊙C的半径CD．解答：解：在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，∴==6．∵AB与⊙C相切与点D，连接CD，∴CD⊥AB．∴S△ABC=，∴=．∴⊙C的半径长为．故答案为．点评：熟练掌握勾股定理、圆的切线的性质和“等面积变形”是解题的关键．（极坐标选做题）15．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为5．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求得A到圆心C的距离AC，再加上半径，即为所求．解答：解：把点A的极坐标（2，）化为直角坐标为（2，2），把曲线C的参数方程为，消去参数，化为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1，表示以C（2，﹣2）为圆心、半径等于1的圆．求得AC=4，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为AC+r=4+1=5，故答案为：5．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点和圆的位置关系，属于基础题．三、解答题：本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，α∈[0，π]，求cos（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期；（2）由f（）=求出sin（α+）的值，考虑α的取值范围，求出α+的取值范围，从而求出cos（α+）的值．解答：解：（1）f（x）=2sinx•co sx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，x∈R∴f（x）的最小正周期为T==π．（2）∵f（）=2sin[2（）+]+1=2sin（α+）+1=，∴，∵α∈[0，π]，∴，∴，∴时，，∴．点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，解题时应注意三角函数的化简以及由值求角和由角求值时角的范围，是中档题．17．（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一[15，25） a 0.75二[25，35）200 0.40三[35，45） 5 0.1四[45，55） 3 b五[55，65] 2 0.1（1）求a，b的值．（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，ξ表示其中“追星族”的人数，求ξ分布列、期望和方差．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图能求出a=300，b=0.1．（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，ξ～B（2，），由此能求出ξ分布列、期望和方差．解答：（本小题满分12分）解：（1）由题设知[15，25）这组人数为0.04×10×1000=400，…（1分）故a=0.75×400=300，…（2分）[45，55）这组人数为0.003×10×1000=30，故b=…（3分）综上，a=300，b=0.1．…（4分）（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，ξ～B（2，）…（6分）故ξ的分布列是：ξ0 1 2p 0.81 0.18 0.01…（8分）ξ的期望是…（10分）ξ的方差是…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，是中档题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用．18．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、C1D1、DC中点，AB=2，AD=，AC1=3（1）求证：C1E∥平面AFC．（2）求二面角F﹣AC﹣G的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件推导出四边形AEC1F是平行四边形，由此能证明C1E∥平面AFC．（2）由已知得FG⊥平面ABCD，过F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，由已知得∠FHG就是二面角F ﹣AC﹣G的平面角，由此能求出二面角F﹣AC﹣G的正切值．解答：（本小题满分14分）（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E、F分别为AB、C1D1中点，∴AE∥C1F且AE=C1F，∴四边形AEC1F是平行四边形，∴C1E∥AF，…（3分）∵AF⊂平面AFC，C1E⊄平面AFC，∴C1E∥平面AFC．…（5分）（2）解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F、G分别为C 1D1、DC中点，，∴FG⊥平面ABCD，…（7分）过F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，∴AC⊥平面FGH，∴GH⊥AC，∴∠FHG就是二面角F﹣AC﹣G的平面角，…（9分）∵，在△ACG中，GH•AC=AD•CG，∴，…（11分）∴直角三角形FGH中，…（13分）∴二面角F﹣AC﹣G的正切值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（ 14分）已知数列{a n}，a n≠2，a n+1=，a1=3．（1）证明：数列{}是等差数列．（2）设b n=a n﹣2，数列{b n b n+1}的前n项和为S n，求使（2n+1）•2n+2•S n＞（2n﹣3）•2n+1+192成立的最小正整数n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明即可；（2）确定数列{b n b n+1}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．解答：（1）证明：由得…（2分）∵a n≠2，∴，∴…（5分）∴数列是公差为2的等差数列．…（6分）（2）解：由①知…（7分）∴，∴…（9分）∴=…（11分）故等价于n•2n+2＞（2n﹣3）•2n+1+192即2n+1＞64=26，故n＞5…（13分）∴使成立的最小正整数n=6．…（14分）点评：本题考查等差数列的证明，考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错裂项法求和在问题中的应用．20．（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3≤a≤4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（x﹣a）（k＞0）与曲线C2：y=x2﹣相切，交C1于A2、E二点．（1）若C1的离心率为，求C1的方程．（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由C1的离心率得a2=9，即可求出C1的方程．（2）利用韦达定理，表示出|A2E|，利用换元，导数法，即可求|A2E|取得最小值时C2的方程．解答：解：（1）由C1的离心率得a2=9…（2分）∴…（3分）（2）l与C2方程联立消y得由l与C2相切知△=k2﹣3ak=0，由k＞0知k=3a…（5分）l与C1方程联立消y得（4+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣4a2=0…①…（6分）设点E（x E，y E），则∵l交C1于A2、E二点，∴x E、a是①的二根，∴，故…（8分）∴=…（10分）令t=a2∈[9，16]，则令，则在t∈[9，16]上恒成立故f（t）在[9，16]上单减…（12分）故t=16即a=4，k=12时f（t）取得最小值，则|A2E|取得最小值此时…（14分）点评：本题考查椭圆、抛物线的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，难度大．21．（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围．（2）求证：x≥1时，x（x+1）f（x）＞．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）求导数，确定函数的单调性，利用函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，建立不等式，即可求实数a的范围．（2）设h（x）=x（x+1）f（x）﹣，则h′（x）=2++lnx+，证明h（x）在[1，+∞）上单调递增，即可得出结论．解答：（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=﹣，∴（0，1）上，f′（x）＞0，（1，+∞）上，f′（x）＜0，∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∵函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，∴，∴1＜a＜2；（2）证明：设h（x）=x（x+1）f（x）﹣，则h′（x）=2++lnx+∵x≥1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=2﹣＞0，∴x≥1时，x（x+1）f（x）＞．点评：本题考查函数的单调性，考查函数的极值，考查不等式的证明，正确运用函数的单调性是关键．。
2015年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ． （，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2015年深圳一模理科数学试题答案及评分标准-(纯word版)
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B 。
}2,0{ C 。
}5,1{ D 。
}5,1,0,2{ 2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ） A.21i +- B 。
21i -- C 。
21i + D 。
21i- 3、若函数b a y x+=的部分图象如图1所示，则A.01,10<<-<<b a B 。
10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 。
10,1<<>b a4、已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）A.3 B 。
4 C 。
6 D 。
95、已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。
25 C 。
36 D 。
497、在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(π B 。
]3,0(π C 。
],3[ππ D 。
),3(ππ8、如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （ ）A. 83 B 。
82 C 。
39 D 。
37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
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2015年珠海市高三一模 高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝A．5 C ．7 D ． 13 3.下列函数为偶函数的是 A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++4.若x y 、满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的最小值是ABC ．45D ．1 5.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 6. 二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是 A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 7.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是 A ．23 B ．43C ．2D ．4（第5题图）俯视图侧(左)视图正(主)视图(第7题图)1228.已知集合123{|(,,),{0,1},1,2,3}i S P P x x x x i ==∈=对于123(,,)A a a a =，123(,,)B b b b S =∈，定义A 与B的差为112233(||,||,||)A B a b a b a b -=---，定义A 与B 之间的距离为31(,)||i i i d A B a b ==-∑.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式21x x -≥的解集为 ．10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是 ． 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = ．12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为 ．13.已知平面向量a b 、满足231a b +=，则a b ⋅的最大值为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1:2C ρ=与曲线2:4sin ()2C πρθθπ=<<交点的极坐标是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，O BD ∈，CD =5BC =，则AE = ．（第15题图）三、解答题:本题共有6个小题，共80分．请写出解答的步骤与详细过程。
16.(本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）求函数(f （2）若2παπ<<，17()2125f απ-=，求()2f πα+的值．17.（本小题满分12分）)得到一组观测值，如下表：(1) (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归直线方程ˆˆya bx =+． (3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)． （参考公式：1221()ni ii nii x y bnx yxn x ==--=∑∑，ˆay bx =-）18.（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD ，4AB =，2AD =，60oDAB ∠=，E 为AB 的中点，体重y(千克)饲养时间x(月)把三角形ADE 沿DE 折起至1A DE 位置，使得14A C =，F 是线段1A C 的中点． （1）求证：1//BF A DE 面； （2）求证：面1A DE ⊥面DEBC ； （3）求二面角1A DC E --的正切值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=⋅∈，其中11a = （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若1132n n a b +=-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：14n T < 20.（本小题满分14分）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=．(1)在抛物线1C 上取点M ，2C 的圆周上取一点N ，求||MN 的最小值；(2)设00()P x y ，0(24)x ≤≤为抛物线1C 上的动点，过P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 点，求AB 中点D 的横坐标的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+． (1) 求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+．（第18题图）DCBAECDA 1FBE珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三理科数学试题及参考答案一、选择题：DADBC ABC 二、填空题：9.不等式21x x -≥的解集为 ．11,3x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是 ．12811.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = ．1712.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为： ．6160x y --=13.已知平面向量a b 、满足231a b +=，则a b ⋅的最大值为 ．12414．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1:2C ρ=与曲线2:4sin ()2C πρθθπ=<<交点的极坐标是 ．5(2,)6π15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，OBD ∈，CD =5BC =，则AE = ．2三、解答题:本题共有6个小题，共80分． 16.(本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（第15题图）（1）求函数()f x 的解析式； （2）若2παπ<<，17()2125f απ-=，求()2f πα+的值． 解：（1）由题意可得12273122ππωϕππωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，即23ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………2分 由题意可得42A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，即31A B =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………4分∴ 函数()f x 的解析式为：()3sin(2)13f x x π=++………………………………………………………5分（2）由17()2125f απ-=可得)212173sin[2(]135παπ++=-，化简得4sin()65πα+=…………………7分 3sin[2(]13sin(2)133())22f ππαααπππ++++=+=++ 3sin(2)13πα-+=+……………………………………………………………………………9分6sin()cos()166ππαα=-⋅+++………………………………………………………………10分又(,)2παπ∈，∴27(,)636πππα+∈，∴3cos()65πα+=-………………………………………11分 1)53(5461)6cos()6sin(6)6(+-⨯⨯-=+++-=+παπαπαf 2597=…………………………………12分17.（本小题满分12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间(x 单位：月)与这种鱼类的平均体重y (单位：千克)得到一组观测值，如下表：(1)在给出的坐标系中，画出两个相关变量的散点图．(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归直线方程ˆˆya bx =+． (3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．（参考公式：1221()ni ii nii x y b nx yxn x ==--=∑∑，ˆay bx =-） 解：(1)散点图如图所示……………………………………………3分(2)由题设3x =， 1.6y =，………………………………………………………………………………4分2()45n x =，24nx y =，5129.8i i i x y ==∑，52155i i x ==∑……………………………………………………6分故51522129.8240.585545()i ii ii x y nx yxn x b ==--===--∑∑……………………………………………………………………8分1.60.5830.14ˆay bx =-⨯=-=-…………………………………………………………………………9分故回归直线方程为ˆˆ0.580.14yx b a x =+=-……………………………………………………………10分 (3)当12x =时，ˆ0.58120.14 6.82y=⨯-=………………………………………………………………11分 ∴饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…………………………………………………12分18.（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD ，4AB =，2AD =，60oDAB ∠=，E 为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折起至1A DE 位置，使得14A C =，F 是线段1A C 的中点．（1）求证：1//BF A DE 面； （2）求证：面1A DE ⊥面DEBC ； （3）求二面角1A DC E --的正切值．解：(1)证明：取1DA 的中点G ，连接FG GE 、 F 为1A C 中点∴//GF DC ，且12GF DC =E 为平行四边形ABCD 边AB 的中点∴//EB DC ，且12EB DC =∴//EB GF ，且EB GF = ∴四边形BFGE 是平行四边形 ∴//BF EGEG ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE∴ //BF 平面1A DE ……………………………………………………4分（2）取DE 的中点H ，连接1A H CH 、4AB =，2AD =，60oDAB ∠=，E 为AB 的中点∴DAE ∆为等边三角形，即折叠后1DA E ∆也为等边三角形 ∴1A H DE ⊥，且1A H =在DHC ∆中，1DH =，4DC =，60oHDC ∠=CDA 1FBE GCD A 1FBE H（第18题图）DC BAECDA 1FBE根据余弦定理，可得2222212cos6014214132o HC DH DC DH DC =+-⋅=+-⨯⨯⨯=在1A HC ∆中，1A H =，，13=HC 14A C =，∴22211A C A H HC =+，即1A H HC ⊥又11A H DE A H HCDE DEBC HC DEBC DE HC H⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪=⎪⎩面面，所以1A H DEBC ⊥面 又11A H A DE ⊂面∴面1A DE ⊥面DEBC ………………………………………………………………………………………10分（3）过H 作HO DC ⊥于O ，连接1A O HO 、1A H DEBC ⊥面 1A H DC ∴⊥又1A HHO H =1DC A HO ∴⊥面 1,DC AO DC HO ∴⊥⊥∴1A OH ∠是二面角1A DC E --的平面角在1Rt A HO ∆中，1A H =sin 601oHO DH =⋅==，故1tan 2AOH ∠== 所以二面角1A DC E --的正切值为2……………………………………………………………………14分 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=⋅∈，其中11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1132n n a b +=-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：14n T < 解：（1）令1n =，得1212S a =，即1212a a =，由已知11a =，得22a =………………………………1分CD A 1FBEHO把式子11,2n n S n a n N *+=⋅∈中的n 用1n -替代，得到11(1),(2)2n n S n a n -=-⋅≥ 由111(1)21(1)(2)2n n n n S n a n S n a n +-⎧=⋅≥⎪⎪⎨⎪=-⋅≥⎪⎩可得1111(1)22n n n n S S n a n a -+-=⋅--⋅即111(1)22n n n a n a n a +=⋅--⋅，即111(1)22n n n a n a ++⋅=⋅即得：11,(2)n n a n n a n++=≥，…………………………………………………………………………………4分 所以：1312213,(3)122n n n n a a a n n n a a a n n ----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥-- 即2,(3)2n a nn a =≥……………………………………………………………………………………………6分 又22a =，所以3n a =又11a =，,n a n n N *∴=∈…………………………………………………………………………………7分（2）n a n =,11113232n n a n b ++∴==-- 111113233223+3223n n n n n nb +===≤-⋅-⋅-⋅…………………………………………………………11分 123123123111111111111()(1)2323232323333434n n n n nT b b b b ∴=+++<++++=++++=-<⨯⨯⨯⨯ …………………………………………………………………………………………………………………14分 20.（本小题满分14分）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=．(1)在抛物线1C 上取点M ，2C 的圆周上取一点N ，求||MN 的最小值；(2)设00()P x y ，0(24)x ≤≤为抛物线1C 上的动点，过P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 点，求AB 中点D的横坐标的取值范围．解：(1)．设00()M x y ，，则200x y =，2(04)C ，则2||MC ==1分==2≥，当且仅当7()22M ±，是取等号………………………3分∴||MN 的最小值为2||MC 的最小值减11-……………………………………………………5分 (2)． 由题设知，切线与x 轴不垂直， 200()P x x ，0(24)x ≤≤，∴设切线21200:()l y k x x x =-+，设221122()()A x x B x x ，，，，AB 中点()D x y ，，则122x x x +=将12l ，与1C 的方程联立消y 得22000x kx kx x -+-= 即00()[()]0x x x k x ---=得0x x =（舍）或0x k x =-设二切线的斜率为12k k 、，则110x k x =-，220x k x =-∴121202x x k k x +=+-………………………………………………………………………8分又2(04)C ，到12l ，的距离为121=，两边平方得222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=*“” ………………………9分 则12k k 、是*“”的二根，则20012202(4)1x x k k x -+=--………………………………………10分 则200012120022002(4)62211x x x x x k k x x x x -+=+-=-=--- ∴020003311x x x x x =-=---……………………………………………………11分001x x -在0[24]x ∈，上为增函数 ∴00311524x x ≤-≤， ∴004121153x x ≤≤-∴0034215x x -≤-≤--…………………13分 ∴x 的范围是4[2]5--，……………………………………14分21.（本小题满分14分） 已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+． (1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 证明：m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+． 解：(1)．()(1)a f x x a x'=+-+2(1)(1)()x a x a x x a x x -++--==(0)x >……………………………1分 ①0a ≤时，当01x <<时()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的减区间是(01)，，增区间是(1)+∞，．……………………………………………………………3分 ② 01a <<时，当0x a <<或1x >时()0f x '>；当1a x <<时()0f x '<故()f x 的减区间是(1)a ，，增区间是(0)a ，和(1)+∞，．…………………………………………………5分③1a =时，2(1)()0x f x x-'=>，故()f x 的增区间是(0)∞，+…………………………………………7分 ④1a >时，当01x <<或x a >时()0f x '>；当1x a <<时()0f x '< 故()f x 的减区间是(1)a ，，增区间是(01)，和()a +∞，．……………………………8分((2)证明：当12a =-时，2111()ln 0222f x x x x =-+-≥，当且仅当1x =时取等号， 则2ln x x x ≤-………………………………10分当1x >时，上不等式可变形为211111ln (1)1x x x x x x x>==----……………………………………12 分别令123x m m m m n =++++，，，， 得1111ln()ln(1)ln(2)ln(1)m n m n m n m ++++++-+-+ 111111()()()1211m n m n m n m n m m >-+-++-+-++-+-+11()n m m n m m n =-=++………13分 ∴m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+………14分。