专题八函数的应用

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高数辅导之专题八：闭区间上连续函数的性质

专题八基础知识闭区间上连续函数的几大定理：定理1（最值定理）若函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，则（1）在],[b a 上至少存在一点1ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(1x f f ≥ξ。

（2）在],[b a 上至少存在一点2ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(2x f f ≤ξ。

)(1ξf 和)(2ξf 为函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值和最小值。

定理2（有界定理）闭区间上的连续函数必有界。

定理3（介值定理）若)(x f 在],[b a 上连续，则它在),(b a 内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数。

定理4（零点定理）若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点),(b a c ∈，使得0)(=c f 。

例题1. 设函数)(x f 在),(b a 内连续，b x x a <<<21，01>t ，02>t ，试证在),(b a 内至少存在一点c ，使得)()()()(212211c f t t x f t x f t +=+。

证明：令212211)()(t t x f t x f t T ++=，下面分两种情形说明：（1）)()(21x f x f =时，)()(21x f x f T ==，可取1x c =（或2x ）),(b a ∈，得证。

（2）)()(21x f x f ≠时，不妨假设)()(21x f x f <，则有)()(2111x f t x f t <，)()(2212x f t x f t < 0(1>t ，)02>t故212221212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++<++=)()()(221221x f t t x f t t =++= 211211212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++>++= )()()(121121x f t t x f t t =++=亦即)()(21x f T x f <<由题设，函数)(x f 在],[21x x 上连续，)()(21x f T x f <<，从而由闭区间上连续函数的介值定理知存在),(),(21b a x x c ⊂∈，使得T c f =)(。

专题08 函数的基本性质(核心素养练习)(解析版)

专题八函数的基本性质核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-比较大小例题10.函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 【答案】B【解析】∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12，又f (x )在[0,2]上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 考点二数学运算-二次函数求最值例题11、已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值．【解析】因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a 2，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. 考点三数学建模—函数最值实际应用例题12.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【解析】 (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)．(2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．考点四直观想象-利用函数的图象求函数的最值(值域)例题13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．【解析】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．二、学业质量测评一、选择题1．（2017·全国高一课时练习）定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则f(x)必定是( )A.先增后减的函数B.先减后增的函数C.在R 上的增函数D.在R 上的减函数【答案】C【解析】定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立则当()()0f a f b -> 时，0a b -> ，此时f(x)是在R 上的增函数当()()0f a f b -< 时，0a b -< ，此时f(x)是在R 上的增函数所以f(x)是在R 上的增函数所以选C2．（2017·全国高一课时练习）函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13D.－12【答案】B 【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 3．（2019·全国高一课时练习）已知()()310f x ax bx ab =++≠，若()2018f k =，则()2018f -等于( ) A ．k B ．k - C ．1k - D ．2k -【答案】D【解析】因为()31f x ax bx -=--+，所以()()2f x f x -+=，所以()()201820182f f -+=即()20182f k -=-，选D.4．（2018·全国高一课时练习）函数 f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若 f (1－m )＋f (－m )<0，则 m 的取值范围是( )A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(－1,1)C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(－1,0)∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，所以(1)()()f m f m f m -<--=，又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，所以111111m m mm -<-<⎧⎪->⎨⎪-<-<⎩解得102m <<，故选A. 5．（2018·全国高一课时练习）设函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x <的解集是（）． A.{}|303x x x -<<>或 B.{}|303x x x <-<<或 C.{}|33x x x <->或 D.{}|3003x x x -<<<<或【答案】D【解析】函数()f x 是奇函数，在()0,+∞内是增函数，又()30f -=，()30f ∴=，且在()0-∞，内是增函数， ()0x f x <，∴①当0x >时，()()03f x f <=03x ∴<<②当0x <时，()()03f x f >=-30x ∴-<<③当0x =时，不等式的解集为φ综上，()0x f x <的解集为{}|3003x x x -<<<<或故选D6．（2018·全国高一课时练习）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()1f x x x =+-，那么0x <时，()f x 的解析式为()f x =（）．A.21x x -+ B.21x x -++C.21x x ---D.21x x --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()()2211f x x x x x ∴-=-+--=+- 函数()f x 是定义在R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-即()21f x x x -=+-解得()21f x x x =--+。

专题08 不等式问题1

n a 1a 2 L a n1 - x 21 - x22021 考研高等数学 17 堂课主讲武忠祥教授专题八不等式问题不等式问题常见有两种，一种是函数不等式，另一种是积分不等式.（一）函数不等式函数不等式问题常用的 5 种方法:1）单调性；2）最大最小值； 3）拉格朗日中值定理；4）泰勒公式；5）凹凸性；常用不等式:1) 2ab ≤ a 2 + b 2,(a > 0,b > 0);2) ≤a 1 + a 2 +L + a n,(a n iπ> 0,i = 1,2L n ); 3) sin x < x < tan x , x x ∈(0, ); 24)1 + x< ln(1 + x ) < x , x ∈(0,+∞).ln(1 + x )【例 1】试证：当0 < x < 1 时，< arcsin x【证】只要证1 + x< ln(1 + x )arcsin x即(1 + x ) ln(1 + x ) > arcsin x令 f ( x ) = (1 + x ) ln(1 + x ) -则 f '( x ) = ln(1 + x ) + 1 + xarcsin xarcsin x - 1= ln(1 + x ) +x arcsin x > 0又 f (0) = 0, 则当0 < x < 1 时， f ( x ) > 0, 原题得证.1+1 1+ x【例 2】证明当 x > 0 时， (1+ x ) x< e 2.1 - x 1 + x 1 - x2 1 - x 2 1 - x 2abaxax【证】取对数，则要证不等式变形为(1 + 1 ) ln(1 + x ) < 1+ xx 2即2(1 + x ) l n(1 + x ) < 2x + x 2令 f (x ) = 2x + x 2- 2(1+ x ) ln(1+ x ) 则 f '( x ) = 2 + 2x - 2 ln(1 + x ) - 2(x ≥ 0)= 2[x - ln(1 + x )] > 0又 f (0) = 0, 则当 x > 0 时， f ( x ) > 0, 原题得证. 【例 3】（2002 年 2）设0 < a < b ，证明不等式2aa 2 +b 2 < ln b - ln a <1 b - a 【证】先证左端不等式,由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ ∈(a ,b ) ，使ln b - ln a = (ln x )' b - a x =ξ= 1 . ξ 由于0 < a < ξ < b ，故 1ξ> 1>b 2aa 2 +b 2，从而再证右端不等式. 设ϕ ( x ) = ln x - ln a -x - aln b - ln ab - a( x ≥ a ), > 2a . a 2 + b 2 因为ϕ'11 1a(x ) =+= - < 0,x 2 x故当 x > a 时,ϕ(x ) 单调减少. 又ϕ(a ) = 0 ，所以，当 x > a 时ϕ(x ) < ϕ(a ) = 0 ，即ln x - ln a <x - a ,从而当b > a 时， ln b - ln a b - a，即abln b - ln a < 1 .b - a 【例 4】(1993 年 5)设 p , q 是大于 1 的常数,且 1 + 1= 1.证明: 对于任意的p qx > 0, 1 x p + 1≥ x .p q【证】令 f (x ) = 1x p+ 1- x(x > 0)pq则f '(x ) = x p -1 -1令 f '(x ) = 0, 得 x = 1, 又 f ' (x ) = ( p -1)xp -2, f ' (1) = ( p -1) > 0,由此可见当 x = 1 时， f (x ) 取极小值.又因为极值点唯一，则该极小值也就是最小值.故对任意 x > 0, 有 f (x ) ≥ f (1) = 0, 即1x p + 1≥ x p q【例 5】（1995 年 2,3）设limf (x )= 1 ，且 f ' (x ) > 0 ，证明： f (x ) ≥ x .x →0x 【证 1】由lim f (x )= 1 知 f (0) = 0 ， f '(0) = 1，由泰勒公式知x →0 xf (x ) =f (0) + f '(0)x + f ' (ξ ) x 22!= x + f ' (ξ ) x22!≥ x( f ' (x ) > 0)原式得证. 【证 2】由limf (x )= 1 知 f (0) = 0 ， f '(0) = 1x →0x又 f ' (x ) > 0 ，则 f '(x ) 单调增，由拉格朗日中值定理知f (x ) = f (x ) - f (0) = f '(c )x（ c 介于0与x 之间）由于 f '(x ) 单调增，则f (x ) = f '(c )x ≥ f '(0)x = x原题得证.【证 3】只要证 f (x ) - x ≥ 0 ，令 F (x ) =f (x ) - x ,只要证明 F (x ) ≥ 0 ,即只要证 F (x ) 的最小值大于等于零.由于 F '(x ) = f '(x ) -1显然 F '(0) = f '(0) -1 = 0又 F ' (x ) = f ' (x ) > 0 ，则 F '(x ) 单调增，x = 0 为 F '(x ) 唯一的零点，即 x = 0 为 F (x )唯一驻点，又 F ' (x ) = f ' (x ) > 0 ，则 x = 0 为 F (x ) 在(-∞,+∞) 上唯一极值点，且在该点取极小值，因此 F (x ) 在 x = 0 处取得它在(-∞,+∞) 上的最小值，从而 F (x ) ≥ F (0) = f (0) - 0 = 0原题得证【证 4】由limf (x )= 1 知 f (0) = 0 ， f '(0) = 1x →0x则曲线 y = f (x ) 在(0,0) 点的切线方程为y = x又 f ' (x ) > 0 ，则曲线 y = f (x ) 是凹的，由此可知曲线 y = f (x ) 在(0,0) 点的切线 y = x 的上方，故f (x ) ≥ x【例 6】设函数 f ( x ) 在区间(a ,b ) 内二阶可导，且 f ' ( x ) > 0, 证明对任意的 x 1, x 2 ∈(a , b ), 且 x 1 ≠ x 2 及λ(0 < λ < 1), 恒有 f [λx 1 + (1 - λ )x 2 ] < λf ( x 1) + (1 - λ ) f ( x 2 ). 【证法 1】令 x = λx 1 + (1 - λ )x 2 ，不妨设 x 1 < x 2 , 则 x 1 < x < x 2.由拉格朗日中值定理得f ( x ) - f ( x 1) =f ( x 2 ) - f ( x ) = f '(ξ1)( x - x 1) = f '(ξ2 )( x 2 - x ) = f '(ξ1)(1 - λ )( x 2 - x 1)f '(ξ2 )λ( x 2 - x 1)( x 1 < ξ1 < x ) ① ( x < ξ2 < x 2 )②λ ⨯ ① - (1 - λ) ⨯②得f ( x ) - λf ( x 1) - (1 - λ ) f ( x 2 ) = λ(1 - λ )( x 2 - x 1)[ f '(ξ1) - f '(ξ2 )]由于 f ' ( x ) > 0, 则 f '( x ) 单调增，从而有 f '(ξ1) < f ( x ) - λf ( x 1) - (1 - λ ) f ( x 2 ) < 0f '(ξ2 ),即f [λx 1 + (1 - λ )x 2 ] < λf ( x 1) + (1 - λ ) f ( x 2 ).【证法 2】令 x = λx 1 + (1 - λ )x 2 ，由泰勒公式得f ( x ) = f ( x ) + f '( x )( x - x ) + f ' (ξ1) ( x - x )2 1 1= f ( x ) + f '( x )(1 - λ )( x 2! - x ) + 1f ' (ξ1) ( x- x )21 2 2!1f ( x 2 ) = f ( x ) + f '( x )( x 2 - x ) +f ' (ξ2 ) ( x2! 2 - x )2 = f ( x ) + f '( x )λ( x 2 - x 1) +f ' (ξ2 ) ( x2! 2- x )2 则λf ( x ) + (1 - λ) f ( x ) = f ( x ) + λ f ' (ξ1) ( x - x )2+ (1 - λ ) f ' (ξ2 ) ( x - x )2 1 2> f ( x )2! 1 2! 2即f [λx 1 + (1 - λ )x 2 ] < λf ( x 1) + (1 - λ ) f ( x 2 ).【例 7】设 p , q > 0 ，且 1 + 1= 1 ，又设 x > 0, y > 0 ，求证： xy ≤ 1x p+ 1y q.【证】只要证ln( xy ) ≤p ln( 1 p q p qx p + 1 y q ) q即只要证ln x p + ln y q ≤ ln( 1 x p + 1 y q ) p q p q由例 6 可知，只要证 f ( x ) = ln x 是凸的即可，由于f '(x ) = 1 , f ' (x ) = - 1< 0x x 2则 f ( x ) = ln x 是凸的，故f ( x p ) + p f ( y q ) ≤ q f ( 1 px p + 1 q y q )bbbb2 2 2原题得证.（二）积分不等式积分不等式问题常用的方法：1）积分不等式性质；2）变量代换； 3）积分中值定理；4）变上限积分；5）柯希积分不等式；常用的积分不等式:1) 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都在[a ,b ] 上连续,且 f (x ) ≤ g (x ), 则b b⎰af (x ) d x ≤ ⎰ag (x ) d x .2) 若M 及m 分别是连续函数 f (x ) 在[a ,b ] 上的最大值和最小值，则m (b - a ) ≤ ⎰a f (x ) d x ≤ M (b - a ).3) 设函数 f ( x ) 在[a ,b ] 上连续,则bb⎰af (x ) d x ≤ ⎰a | f (x ) |d x .4)柯西积分不等式:设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都在[a ,b ] 上连续,则(⎰a f ( x )g ( x )dx ) ≤ ⎰a f ( x )dx ⎰a g ( x )dx1【例 1】(2018 年 2) 设函数 f (x ) 在[0,1] 上 2 阶可导，且⎰f (x )dx = 0, 则（）（A）当 f '(x ) < 0 时， f ( 1) < 0,2 （C）当 f '(x ) > 0 时， f ( 1 ) < 0, 2（B ）当 f ' (x ) < 0 时，（D ）当 f ' (x ) > 0 时， f ( 1) 2 f ( 1 ) 2 < 0,< 0. 【解 1】几何法【解 2】排除法 (特殊函数法)令 f (x ) = -(x - 1), 显然 f '(x ) = -1 < 0,⎰1f (x )dx = 0, 但 f ( 1) = 0, 则(A)不正确. 2 0 2令 f (x ) = (x - 1 ), 显然 f '(x ) = 1 > 0,⎰ 1 f (x )dx = 0, 但 f ( 1) = 0, 则(C)不正确.2 0 2 令 f (x ) = -x 2 + 1 , 显然 f ' (x ) = -2 < 0,⎰ 1 f (x )dx = 0, 但 f ( 1 ) = - 1 + 1 > 0, 则(B)3 不正确.故应选(D).0 2 4 31 1【解 3】直接法由泰勒公式得f (x ) = f ( 1 ) +f '( 1)(x- 1) +f ' (ξ ) (x - 1 )2 2 2 2 2! 2上式两端积分得 ⎰ f (x )dx = ⎰ f ( 1 )dx + ⎰ 1 f '( 1 )(x - 1 )dx + ⎰ 1 f ' (ξ ) (x - 1 )2dx 0 0 2 0 2 2 0 2! 2 = 1 1 ⎰ 1 ' 1 2 f ( ) + 2 2 f (ξ )(x - 0 ) dx 2若 f ' (x ) > 0, 则⎰1 f ' (ξ )(x - 1 )2dx > 0, 由⎰ 1 f (x )dx = 0 知, f ( 1) < 0, 故应选(D).0 2 0 2【解 4】直接法利用结论:若在[a ,b ] 上 f ' (x ) > 0, 则f (a +b )(b - a ) < ⎰ bf (x )dx <f (a ) + f (b )(b - a )2a2由此可知,若在[0,1] 上，若 f ' (x ) > 0, 则f (0 +1)(1 - 0) < ⎰ 1f (x )dx2 0 11 即 f ( 2) < ⎰0 f (x )dx = 0 ,故应选(D).π sin x π cos x πx 【例 2】设 I 1 = ⎰ 2 2 d x ， I 2 = ⎰ 2 2 d x ，I 3 = ⎰ 2d x 则1 + x1 + x1 + (x - π)22（A） I 1 > I 2 > I 3（C） I 2 > I 1 > I 3（B） I 3 > I 1 > I 2（D） I 3 > I 2 > I 1【解】选（D ）【例 3】(2012 年 1,2)设 I k =（A ） I 1 < I 2 < I 3.（C ） I 2 < I 3 < I 1.k π e x 2sin xdx (k = 1,2,3) ，则有（B ） I 3 < I 2 < I 1.（D ） I 2 < I 1 < I 3.[D ]⎰x 2ttt⎰bbbbaaaaaaa[ f (t )g ( x ) - f ( x )g (t )] dx ≥ 0 aaaaaa2【例 4】设 f (x ) 连续且单调增.求证: ⎰bxf (x )dx ≥ b + a ⎰bf (x )dx .a 2a【证 1】只要证⎰b(x -a + b) f (x )dx ≥ 0. a2【证 2】由于(x -a +b )[ f (x ) - f (a +b )] ≥ 0;22【证 3】令 F (x ) = ⎰tf (t )dt -x + a ⎰ xf (t )dt(a ≤ x ≤ b )a2a【例 5】设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都在[a ,b ] 上连续,试证柯西积分不等式(⎰ b f ( x )g ( x )dx )2 ≤ ⎰ b f 2 ( x )dx ⎰ bg 2 ( x )dxttt【证法 1】令 F (t ) =⎰ f 2( x )dx ⎰ g 2( x )dx - (⎰ f ( x )g ( x )dx )2aaa则 F (a ) = 0, 且F '(t ) = f (t )⎰ g ( x )dx + g (t )⎰ f ( x )dx - 2 f (t )g (t )⎰ f ( x )g ( x )dx= t[ f 2 (t )g 2 ( x ) + g 2 (t ) f 2 ( x ) - 2 f (t )g (t ) f ( x )g ( x )]dxa = ⎰ 2则 F (t ) 在[a ,b ] 上单调不减，所以 F (b ) ≥ F (a ) = 0.⎰a f ( x )dx ⎰a g ( x )dx - (⎰af ( x )g ( x )dx ) ≥ 0 即(⎰ bf ( x )g ( x )dx )2≤ ⎰ b f 2 ( x )dx ⎰ bg 2 ( x )dx【证法 2】若 g ( x ) ≡ 0, 结论显然成立，否则，对任意实数λ 均有b 2⎰a[ f ( x ) + λg ( x )] dx ≥ 0即λ2 ⎰ bg 2 ( x )dx + 2λ⎰ bf ( x )g ( x )dx + ⎰ b f 2( x )dx ≥ 02 2⎰⎰x x⎰1⎰1 ⎰ aaaaaax1 dt ⋅ xf 2 2 又 bg 2( x )dx > 0, 则关于λ 的这个二次三项式的判别式a⊗ = 4[⎰ b f ( x )g ( x )dx ]2 - 4⎰ b f 2 ( x )dx ⋅ ⎰ bg 2 ( x )dx ≤ 0即(⎰ b f ( x )g ( x )dx )2≤ ⎰ b f 2( x )dx ⎰ bg 2 ( x )dx【例 6】设 f (x ) 在[0,1] 上有连续导数,且 f (0) = f (1) = 0 ,求证: ⎰1f 2(x )dx ≤1⎰1f '2(x )dx8 0【证】 f (x ) = xf '(t )dt 0∴ 2⎰ x ' ⎰ 2⎰ '2f (x ) = f (t )dt ≤1 dt ⋅ f 0(t )dt(柯西积分不等式)= x ⎰ 1f '2 (t )dt ≤ x ⎰ 2f '2 (t )dt(0 ≤ x ≤ 1）2f (x ) = xf '(t )dt 1∴ 2⎰ x ' ⎰1 ' f (x ) = 1f (t )dt ≤ f x (t )dt≤ ⎰1 2⎰ '2= (1- x ) 1f '2 (t )dt ≤ (1- x ) x1f '2 (t )dt 2( 1≤ x ≤ 1） 21 1 111∴ ⎰ f 2(x )dx ≤ ⎰ 2 xdx ⋅⎰ 2 f '2(t )dt + ⎰（1 1- x )dx ⎰1 f '2(t )dt 0221 1 1 1 1 1思考题= 2 f '2(t )dt + 8 0π⎰1 f '2(t )dt = 2 8 +0 f '2(x )dx 1. 证明当0 < x <时， sin x + tan x > 2x .22. 设 x ∈(0, π 2), 证明: tan x x> x .sin x 3. 试证当0 < x < 1 时, e 2 x < 1 + x1 - x4. 当 x > 0 时, (x 2- 1) ln x ≥ (x - 1)2.⎰ (t )dt (柯西积分不等式)Q xQ 2 8x11115.设a > 1, n ≥ 1,试证an +1(n + 1)2<a n- a n +1ln a a n.n 26.设 f ' (x ) < 0 ， f (0) = 0 ，证明对任何 x 1 > 0 ， x 2 > 0 ，有 f (x 1 + x 2 ) < f (x 1) + f (x 2 ) .7.设 x > 0, x ≠ 1, 试证ln x < 1 .x - 1 8.设0 < α < 1，试证： x α- αx ≤ 1 - α(x ≥ 0) .1x1 x 21x9.设 I 1 =⎰-1sin x dx , I 2 = ⎰-1 sin x dx , I 3 = ⎰-1 tan xdx , ，则（A） I 2 < I 3 < I 1 （C） I 1 < I 2 < I 3 （B） I 2 < I 1 < I 3 （D） I 1 < I 3 < I 210.设 f (x ) 在[0, b ] 上有连续且单调递增，证明：当0 < a ≤ b 时，有⎰ bxf ( x )dx ≥ b ⎰ b f ( x )dx - a ⎰ af ( x )dx a 2 0 2 0<。

专题八-三角恒等变换及辅助角公式

专题八-三角恒等变换及辅助角公式专题八三角恒等变换及辅助角公式一、基本内容串讲1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即辅助角β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。

4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。

例如： sin αcos α=α2sin 21，cos α=αα2sin sin2，ααα2cos sin cos 22=-，ααα2tan tan -12tan 2=，2)cos (sin cos sin 21αααα±=±，αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-，22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α，tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)等。

专题八函数与导数

专题八、函数导数知识点：利用导数求函数的单调性，极值和最值。

先求函数的定义域和导数)('x f1、单调性：（1）令0)('>x f ，不等式的解是)(x f 的单调增区间。

（2）令0)('<x f ，不等式的解是)(x f 的单调减区间。

2、极值：先求函数的单调区间，假设)(x f 在),(1x -∞上增，在),(21x x 上减，在),(2+∞x 上增，则)(1x f 是极大值，)(2x f 是极小值。

3、最值：把函数的极值与区间端点的函数值进行比较，最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值。

{}(){}21A y y=log ,1,B=y y=,1,A B=.211y 0y 01y 122xx x x A y B y C y D φ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎧⎫<<<<<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭1、已知集合则、、，、、2、()()()()()2002,2,,48,2,2,x x f x f f x x x x ⎧+≤=-===⎨>⎩则；若则。

()2x 2---------------1=.3xfx -⎛⎫⎪⎝⎭3、函数的单调递增区间是4、已知f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，那么f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是 ( ) 5、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 6、若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,，则f(3)-f(4)=( ) A. －1 B. 1 C. －2 D. 27、函数f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( )A.（-2，-1）B. （-1,0）C.（0,1）D.（1,2）8、命题“对任何x ∈R ，|x-2|+|x-4|>3”的否定是________________________________。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解8 函数的周期性

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第8讲函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设()f x 的定义城为D ,若对x D ∀∈,存在一个非零常数T ,有()f x T +()f x =,则称函数()f x 是一个周期函数,称T 为()f x 的一个周期.2.若()f x 是一个周期函数,则()()f x T f x +=,那么(2)()f x T f x T +=+()f x =,即2T 也是()f x 的一个周期,进而可得(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期.3.最小正周期:若T 为()f x 的一个周期,(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数()f x C =就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论结论一、()()(0)f x a f x a ±=≠型()()(0)()f x T f x T y f x ±=≠⇔=的周期为T .(,0)kT k k ∈≠Z 也是函数的周期.【例1】定义在R 上的函数()f x 满足:(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,()f x =2(2)x -+;当13x -<…时,()f x x =,则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（）A ．336B ．337C ．338D ．339【答案】C【解析】因为(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,2()(2)f x x =-+;当13x -<…时,()f x x =, 所以(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)f f f f f f f f ===-=-=-==-1,(6)(0)0f f =-==, 所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)1f f f f f f +++++=,因为(6)f x +()f x =,所以()f x 的周期为6, 所以(1)(2)(3)(2019)336(1)(2)(3)338f f f f f f f ++++=+++=.故选C .【变式】函数()f x 的定义域为R ,且()(3)f x f x =-,当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+,则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=（）A ．671B ．673C ．1343D ．1345【答案】D【解析】因为()(3)f x f x =-,所以(3)()f x f x +=,所以函数()f x 是周期为3的周期函数. 又当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+, 所以(1)(2)(3)(2)(1)(0)1012f f f f f f ++=-+-+=++=,所以(f +(202)f ffff fff =⨯++++=⨯++134411345=+=.故选D .结论二、()()f x a f x +=-型()()()f x a f x y f x +=-⇔=的周期为2T a =.【例2】已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(5)()f x f x +=-,当(0,5)x ∈时, 2()f x x x =-,则(2016)f =（）A ．12-B ．16-C ．20-D ．0【答案】A【解析】因为(5)()f x f x +=-,所以(10)(5)(),()f x f x f x f x +=-+=的周期为10, 因此(2016)(4)(4)(164)12f f f =-=-=--=-.故选A .【变式】设函数()f x 是定义在R 上的周期函数,且3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,若(1)2f >-,3(2017)f m m =-,则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(,1)(0,3)-∞C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(0,3)【答案】B【解析】因为3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以3(3)()2f x fx f x ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,即()(3)f x f x =+, 所以f (x )是周期为3的函数，所以f (2017)=f (1)=3m m -，又f (1)>-2，所以3m m -+>-2,所以223m m m--＜0,所以m (m +1)(m -3)<0,所以m <-1或0<m <3.故选B. 结论三、f (x +a )=f (x ±b )型f (x +a )=f (x -b ) ⇔y =f (x )的周期为T =a +b . f (x +a )=f (x +b ) ⇔y =f (x )的周期为T =b -a .【例3】已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时f (x )=x 3-1,当-1≤x ≤1时，f (-x )＝-f (x ),当x >12时，f (x -12)=f (x +12)，则f (6)=（）.A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】A 【解析】因为当x >12时，f (x -12)=f (x +12) ⇒T =1，所以f (6)=f (1)=-f (-1)＝-(-1-1)=2.故选A. 【变式】已知f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )+f (-x )=0，f (x -1)=f (x +1)，当x ∈(0, 1)时，f (x )=-x 2+x ，则函数f (x )的最小值为（）A .14B. 14-C. 12-D.12【答案】B【解析】由f (x −1)=f (x +1)可得f (x )是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。

专题8 一次函数

＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移..年桂林）直线．－22011年黄冈市）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为( )．4 B．8升，如果不再加油，那么油箱中的油量的增加而减少，若这辆汽车平均耗油量为0.2升／千米，则2011年南昌）时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化，设时针与分针的夹角为y（度），运行时间为t（分）时间从12：00开始到12：30止，y与t之间的函数图象是( )2013年天津）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象，有下列结论：二、填空题（每小题y与直线CD的交点坐标．均在边长为1的正方形网格格点上．时，自变量x的取值范围；，请画出线段BC．若直线BC（填“增大”或“减小”）．年襄阳）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含mm人部分的游客打b ：A团，年十堰）今年我省部分地区遭遇严重干旱，为鼓励市民节约用水，我市自来水公司之间的函数关系．元，问四月份比三月份节约从学校出发，到植树地点植树后原路返如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，t之间的图象，并结合图象直接写出三轮18.(1)13.6H。

专题八：利用一次函数增减性法

专题八：利用一次函数增减性法考法指导一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

【典例精析】例题1．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得 3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，3015x y =⎧∴⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，1(30)3z z ≥-，152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；【针对训练】1．有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【详解】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则 300260(90)4023400y x x x =+-=+∵2(90)x x ≤-∴60x ≤∵y 随x 的增大而增大∴当60x =时，y 取最大值25800度.2．某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x 元，乙种口罩每袋的售价为y 元，根据题意得：523110x y x y -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520x y =⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m 袋，购进乙种口罩（500（m ）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000m m m m ⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2（m ≤227.3，因m 为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w 元，则有w =（25（22.4（m +（20（18（（500（m （=0.6m +1000，故当m =227时，w 最大，w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．3.某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t （件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∴有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∴W=8t+900中W随x的增大而增大，∴当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∴为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．4.江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∴2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三种不同方案．∴w=200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．5.为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：60 80504200 m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩（答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60（x（个，根据题意得：y=（105（80（x+（70（50（（60（x（=5x+1200（（y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200（（3）设购进篮球x个，则购进排球（60（x（个，根据题意得：5120014008050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤130 3（（x取整数，（x=40（41（42（43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．（在y=5x+1200中，k=5（0（（y随x的增大而增大，（当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．6.为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1（（当x≤10时，y与x的关系式为：（（当x（10时，y与x的关系式为：（（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【详解】(1)①由题意得：y=300x﹣600；②由题意得：y=[300（12（x（10（]x（600（即y=﹣12x2+420x（600（(2)依题意有：﹣12x2+420x（600=3000（解得x1=15（x2=20（故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=（12x2+420x（600=（12（x2（35x（（600=（12（x（17.5（2+3075（∴当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，（x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．7.攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．解：（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75 {100 xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，∴18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，∴185≤n≤6，∵n非负整数，∴n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；∴购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A 品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∴所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∴购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．。

专题八一次函数中的待定系数法求解析式 2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题八一次函数中的待定系数法求解析式1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．3、如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．4、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．6、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC 时，求点P的坐标．7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N 从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN⊥x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．8、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE⊥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且⊥CGF＝⊥ABC时，求点G的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S⊥AOP：S⊥AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求⊥APC 的面积，并直接写出点C的坐标．10、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE ＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．11、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．12、如图，已知直线y＝kx+4（k≠0）经过点（﹣1，3），交x轴于点A，y轴于点B，F为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，求证：FC＝FD；（2）连接CD，若△FDC的面积为S，求出S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，+是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．13、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ 的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题八一次函数中的待定系数法求解析式1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，∴D（3，5），把D（3，5）代入y＝﹣x+b中，﹣3+b＝5，b＝8，∴y＝﹣x+8，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣2，∴C（﹣2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D，设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10，∴P（0，﹣10）；（2）分三种情况：①当AP＝AM时，如图2，由（1）知：OP＝10，由勾股定理得：AP＝＝2，∵AB＝8，∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得：BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，∵PB＝18，∴BN＝＝9，∵AB＝8，∴AN＝9﹣8＝，∵AP＝PM，PN⊥AM，∴AM＝2AN＝2，∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，∵AN＝，PN＝9，设MN＝x，则PM＝AN＝x+，由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，，解得：x＝40，∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2﹣8或10或49．3、如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴A（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．设OC＝x，则AC＝BC＝x+1．在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2，即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4，∴C（4，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点，∴F为DG的中点．∴FG＝DF．∵在△BGF和△HDF中，，∴△BGF≌△HDF（ASA）．∴HD＝BG．∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC．∵HD∥CG，∴∠AHD＝∠ABC，∴∠HAD＝∠AHD．∴AD＝DH，∴AD＝BG．（3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M，在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝，∵CB＝CA，CH⊥AB，∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH．Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝，∵∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠BCH，∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH，∴∠BCA＝2∠BAO．又∵∠AFD＝2∠BAO，∴∠AFD＝∠BCA．又∵∠FAD＝∠BAC，∴△FAD∽△CAB，∴AF＝DF．又∵GF＝FD，∴△GAD为直角三角形．∴OG•OC＝OA2，∴OG＝．∴G（﹣，0）．∴AD＝BG＝．Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∵DM∥OA，∴，即，OM＝1，当x＝1时，y＝﹣x+3＝﹣+3＝，∴D（1，）．4、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x＝0时，y＝8，∴B（0，8），当y＝0时，﹣x+8＝0，x＝6，∴A（6，0）；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，由折叠得：AB＝AB'＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，a＝3，∴M（0，3），设AM：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图∵M（0，3），B′（﹣4，0），∴B′M＝5，当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；当B′M＝PM时，P3（4，0），当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，∴P4B′＝，∴OP4＝4﹣＝，∴P4（﹣，0），综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，即k的值是﹣1.5；（2）∵k＝﹣1.5，∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为（2，0），∴OB＝3，∵点A（2，0），∴OA＝2，∴△AOB的面积是＝＝3，又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，∴△AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，﹣a），∴1.5＝，得a＝1.5，∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．6、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC 时，求点P的坐标．解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点，设P（a，﹣a），∵PQ∥x轴，∴Q（﹣a﹣7，﹣a），∴PQ＝|a+7|，∵C（﹣3，4），∴OC＝5，∴PQ＝OC＝14，∴|a+7|＝14，∴a＝3或a＝﹣9，∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N 从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN⊥x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）⊥AC⊥x轴，点A（5，0），⊥点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，⊥点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，⊥直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，⊥OM＝6﹣2t，⊥OM⊥AN，MN⊥x轴，⊥四边形MOAN为平行四边形，⊥OM＝AN，⊥6﹣2t＝3t，解得，t＝，⊥当MN⊥x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF⊥x轴，交OB于E，交AC于F，⊥EF⊥x轴，BM⊥AN，⊥AOE＝90°，⊥四边形EOAF为矩形，⊥EF＝OA＝5，EO＝F A，⊥BM⊥AN，⊥⊥BDM⊥⊥ADN，⊥＝＝，⊥EF＝5，⊥DE＝2，DF＝3，⊥BM⊥AN，⊥⊥BDE⊥⊥ADF，⊥＝＝，⊥＝，⊥OB＝6，⊥EO＝F A＝，⊥CF＝AC﹣F A＝，⊥CD＝＝．8、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE⊥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且⊥CGF＝⊥ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：⊥点D坐标（2，4）（2）⊥直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，⊥点B（0，8），点A（4，0），⊥直线y＝x+3交y轴于点C，⊥点C（0，3），⊥AE⊥y轴交直线y＝x+3于点E，⊥点E（4，5）⊥点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），⊥BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，⊥BC＝AE＝AC＝BE，⊥四边形ACBE是菱形；（3）⊥BC＝AC，⊥⊥ABC＝⊥CAB，⊥⊥CGF＝⊥ABC，⊥AGF＝⊥ABC+⊥BFG＝⊥AGC+⊥CGF⊥⊥AGC＝⊥BFG，且FG＝CG，⊥ABC＝⊥CAB，⊥⊥ACG⊥⊥BGF（AAS）⊥BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），⊥（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，⊥a＝±，⊥点G在线段AB上⊥a＝，⊥点G（，8﹣2）9、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S⊥AOP：S⊥AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求⊥APC 的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，⊥点A（2，0），点B（﹣4，3），⊥，解得：，⊥直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE⊥x轴于E，过P作PD⊥x轴于D，⊥PD⊥BE，⊥S⊥AOP：S⊥AOB＝2：3，⊥＝，⊥点B（﹣4，3），⊥BE＝3，⊥PD⊥BE，⊥⊥APD⊥⊥ABE，⊥＝＝，⊥PD＝2，当y＝2时，x＝﹣2，⊥P（﹣2，2）；（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），则AP＝2，AB＝CA＝3，过点P作HP⊥AC交AC的延长线于点H，则AH＝AP＝，PH＝AP sin60°＝，⊥APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；设点C（x，y），则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…⊥，CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…⊥，联立⊥⊥并解得：x＝，y＝，故点C（，）．10、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE ＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别与x轴交于A（6，0），∴b＝6，∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，∴B（0，6），∴OB＝6，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）设BC的解析式是y＝kx+b，∴解得，直线BC的解析式是：y＝3x+6；（2）存在．理由如下：如图1中，∵S△BDF＝S△BDE，∴只需DF＝DE，即D为EF中点，∵点E为直线AB与EF的交点，∴∴点E（，）∵点F为直线BC与EF的交点，∴∴点F（，）∵D为EF中点，∴+，∴a＝0舍去，a＝（3）K点的位置不发生变化．理由如下：如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠OPB＝∠PQC，∵PB＝PQ，∴△BOP≌△PCQ（AAS），∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，∴AC＝QC＝6+m，∴∠QAC＝∠OAK＝45°，∴OA＝OK＝6，∴K（0，﹣6）．11、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠PAE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×8×8﹣×（2m﹣8）×（2m﹣8）＝16m﹣2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝4，∴2m﹣8＝4，∴m＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．12、如图，已知直线y＝kx+4（k≠0）经过点（﹣1，3），交x轴于点A，y轴于点B，F为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，求证：FC＝FD；（2）连接CD，若△FDC的面积为S，求出S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，+是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（1）证明：连接OF，如图1所示：∵直线y＝kx+4（k≠0）经过点（﹣1，3），∴﹣k+4＝3，解得：k＝1，∴直线y＝x+4，当y＝0时，x＝﹣4；当x＝0时，y＝4；∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠CBF＝45°，∵F为线段AB的中点，∴OF＝AB＝BF，OF⊥AB，∠DOF＝∠AOB＝45°＝∠CBF，∴∠OFB＝90°，∵DF⊥CF，∴∠DFC＝90°，∴∠OFD＝∠BFC，在△BCF和△ODF中，，∴△BCF≌△ODF（ASA），∴FC＝FD；（2）解：①当0＜t＜4时，连接OF，如图2所示：由题意得：OC＝t，BC＝4﹣t，由（1）得：△BCF≌△ODF，∴BC＝OD＝4﹣t，∴CD2＝OD2+OC2＝（4﹣t）2+t2＝2t2﹣8t+16，∵FC＝FD，∠DFC＝90°，∴△FDC是等腰直角三角形，∴FC2＝CD2，∴△FDC的面积S＝FC2＝×CD2＝（2t2﹣8t+16）＝t2﹣2t+4；②当t≥4时，连接OF，如图3所示：由题意得：OC＝t，BC＝t﹣4，由（1）得：△BCF≌△ODF，∴BC＝OD＝t﹣4，∴CD2＝OD2+OC2＝（t﹣4）2+t2＝2t2﹣8t+16，∵FC＝FD，∠DFC＝90°，∴△FDC是等腰直角三角形，∴FC2＝CD2，∴△FDC的面积S＝FC2＝×CD2＝（2t2﹣8t+16）＝t2﹣2t+4；综上所述，S与t的函数关系式为S＝t2﹣2t+4；（3）解：+为定值；理由如下：①当0＜t＜4时，如图4所示：当设直线CF的解析式为y＝ax+t，∵A（﹣4，0），B（0，4），F为线段AB的中点，∴F（﹣2，2），把点F（﹣2，2）代入y＝ax+t得：﹣2a+t＝2，解得：a＝（t﹣2），∴直线CF的解析式为y═（t﹣2）x+t，当y＝0时，x＝，∴G（，0），∴OG＝，∴+＝+＝＝；②当t≥4时，如图5所示：同①得：+＝+＝＝；综上所述，+为定值．13、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，∵AB＝AC，∴AC＝5，∴C（2，0），设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B与点C代入，得，∴，∴BC的直线解析式为y＝﹣2x+4；（2）过点Q作MQ⊥y轴，与y轴交于点M，过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，∵Q点横坐标是t，∴MQ＝t，∵MQ∥OC，∴，∴，∴BQ＝t，∵AP＝BQ，∴AP＝t，∵AB＝5，∴PB＝5﹣t，在等腰三角形ABC中，AC＝AB＝5，BC＝2，∵AB×CF＝AC×OB，∴CF＝OB＝4，∵EQ∥CF∴∴EQ＝2t，∴S＝×（5﹣t）＝（0≤t≤2）；（3）如图3，∵将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，∴AH＝AB＝5，AE＝EH，∴OH＝BH﹣OB＝1，∵EH2＝EO2+OH2，∴AE2＝（4﹣AE）2+1，∴AE＝＝EH，∴OE＝，∴点E（﹣，0）∵EH＝FH＝，∴OF＝∴点F（0，）∴直线EF解析式为y＝x+，直线BE的解析式为：y＝3x+4，∴﹣2x+4＝x+，∴x＝，∴点G（，）∴BG＝＝，∵BG＝AP，∴AP＝1，设点P（a，a+4）∴1＝∴a＝﹣，∴点P（﹣，），∴直线PG的解析式为：y＝x+，∴3x+4＝x+，∴x＝﹣1，∴点T（﹣1，1）∴BT＝＝。

08 专题八、二次函数与面积最值问题(铅锤法)

专题八、二次函数与面积最值问题（铅锤法）【专题导入】1．如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，2)，B (2，-1),直线AB 与y 轴交点为C.（1）直线AB 的解析式为_________；（2）C 点坐标为_________，OC=_________；（3）S △OCA =_________，S △OCB =_________；（4）S △AOB =_________。

2．已知直线AB 的函数解析式为y =-2x +8，点P 是直线AB 上一动点。

（1）当P 点横坐标等于3时，P 点纵坐标为_______；（2）当P 点纵坐标等于6时，P 点横坐标为_______；（3）设P 点横坐标为p ，则P 点坐标为________（用含有p 的代数式表示）。

其中，设出某动点的横坐标，代入该动点所在函数图像解析式得到纵坐标的方法，称作“设横算纵”。

【方法技巧】1．铅锤法求面积如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2．设动点坐标的方法（1）若动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变，始终等于0，所以可以设动点坐标为（x，0）；（2）若动点在y轴上，因为纵坐标y在变化，横坐标x没有变，始终等于0，所以可以设动点坐标为（0，y）；（3）若动点P在函数y=ax2+bx+c上，则设P点横坐标为p（尽量不设为x，避免与解析式中字母重复），纵坐标为ap2+bp+c，则点P坐标可以设为P（x，ap2+bp+c）。

例如，点P在函数图像y=-2x2+3x-1上，则设点P坐标为P（p，-2p2+3p-1）。

【典例剖析】3．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．【举一反三】4．已知抛物线y=12x2+mx﹣2m﹣2（m≥0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C（1）当m＝1时，求点A和点B的坐标（2）抛物线上有一点D（﹣1，n），若△ACD的面积为5，求m的值。

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专题八函数的应用
1.因长期干旱,甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值,为灌溉需要,由乙水库向甲水库匀速供水,20h 后,甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉,又经过20h,甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉,再经过40h,乙水库停止供
水.甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同,图中的折线表示甲水库蓄水量Q(万m 3
)与时间t(h)之间的函数关系.求: (1)线段BC 的函数表达式;
(2)乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度;
(3)乙水库停止供水后,
经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值?
2.某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
x (元/千度)
y (元/千度)500
300200
O
3.某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x （元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
4.在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）
与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
5.2011年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：
月用水量（吨）单价（元/吨）
不大于10吨部分
1.5 大于10吨不大于m 吨部分（20≤m≤50）
2 大于m 吨部分
3
为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
（2）记该户六月份用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式；
（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳消费y 元的取值范围为70≤y≤90，试求m 的取值范围。

6.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴y 轴建立平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系：ｈ＝－
8)19(128
1
2+-t （０≤ｔ≤40）
，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明。

7.如图，矩形ABCD 的两边长AB=18cm ，AD=4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2
）.
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值.
8.如图，在矩形ABCD 中，AB=m （m 是大于0的常数），BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥D E ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE=x ，BF=y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m=8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12
y m
=
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
9.已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程
2(1)40x m x m --++=的两根。

⑴ 求a 和b 的值；
⑵ C B A '''∆与ABC ∆开始时完全重合，然后让ABC ∆固定不动，将C B A '''∆以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动。

① 设x 秒后C B A '''∆与ABC ∆的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；
② 几秒后重叠部分的面积等于8
3
平方厘米？
A B
C
D
E
F
A
B
C
M
A'
B'
C'
10. 某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
价格y1（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x （10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．
y 2/吨
x/月
10144
10049
127
011.企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理。

某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行。

1至6月，该企业向污水厂输送的污水量1y （吨）与月份x (61≤≤x ，且x 取整数）之间满足的函数关系如下表：
7至12月，该企业自身处理的污水量2y （吨）与月份x (127≤≤x ，且x 取整数）之间满足二次函数关系式为)0(22≠+=a c ax y 。

其图象如图所示。

1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：1z （元）与月份x 之间满足函数关系式：x z 2
1
1=
，该企业自身处理每吨污水的费用：2z （元）与月份x 之间满足函数关系式：2212
1
43x x z -=
；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
(l ）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出2
1，y
y 与x 之间的函数关系式；
(2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W （元）最多，并求出这个最多费用；
(3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a 一30)%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50％的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值．
(参考数据：4.288095.204192.15231≈≈≈，，)。