函数应用题专题
函数应用题专题训练
1、某科研小组获取了声音在空气中传播的速度v与空气温度t关系的一些数据如下表：
温度t(℃)−20−100102030
声速
318324330336342348
v(m/s)
(1)根据表中提供的信息，可推测速度v是温度t的一次函数，请你写出其函数表达式；
(2)当空气温度为25℃，声音10秒可以传播多少米⋅
2、小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间x(min)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中水温
与开机时间x(min)成反比例关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，⋯，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温与开机时间x(min)的函数关系式;
(2)求图中t的值;
（3）若小明在通电开机后立即外出散步，请你预测小明散步45min
回到家时，饮水机内水的温度约为多少摄氏度⋅
3、今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：
为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(吨)单价(元/吨)
不大于10吨部分 1.5
大于10吨不大于m吨部分(20≤m≤
2
50)
大于m吨部分3
(2)记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y关于x的函数式；
(3)若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．
4、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克
销售价格x/(元/千克)3035404550
日销售量p/千克6004503001500
与x之间的函数表达式；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司
的日获利的最大值为2430元，求a的值．(日获利=日销售利润−日支出费用)
5、某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时(0≤t≤4)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0.根据图象，回答下列问题：
(1)求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式；
(2)如果某人睡眠了t(1<t<3)小时后，再连续睡眠了
3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值．
6、2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？(列二元一次方程组解应用题)
(2)设甲、乙两种商品的销售总收入为W万元，销售甲种商品m万件，
①写出W与m之间的函数关系式；
②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？
7、某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克．
(1)现在实际购进这批牛肉每千克多少元⋅
(2)若这批牛肉的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)
满足如图所示的一次函数关系，求y与x之间的函数表达式;
(3)当这批牛肉的销售价定为多少时，能获得最大利润，
最大利润是多少?(利润=销售收入−进货金额)
8、一网店经营一款魔方，购进时的单价是30元．根据市场调查发现：当销售单价是40元时，月销售量是500件，而销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．
(1)设该款魔方的销售单价为x元/件(x>40)，请你分别用含x的代数式来表示该网店的月销售量y(件)和销售该魔方获得月利润w(元)．
(2)若该网店要获得了8000元月销售利润，求该魔方销售单价x应定为多少元/件？
(3)若该网店今年的双十一促销活动，要完成不少于350件的月销售任务，求网店销售该魔方获得的最大月利润是多少元？
9、某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系式为y=2t+100(1≤t≤80,t为整数)，销售单价p(元/kg)与时间第
时间第t天123 (80)
销售单位p/(元/kg)49.54948.5 (10)
(2)在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大⋅最大利润是多少⋅。
数学函数应用测试题(含答案)
数学函数应用测试题(含答案)数学函数应用测试题(含答案)1. 题目一：利用函数解决实际问题小明骑自行车从家出发，以每小时20公里的速度向东骑行。
在骑行的过程中，小明感到口渴，于是决定在每行驶2小时后停下来喝水。
如果他从家到学校需要骑行6个小时，那么他停下来喝水的次数是多少次？解答：设小明停下来喝水的次数为n，根据题意可知：2n = 6 - 2解得 n = 2因此，小明需要停下来喝水的次数为2次。
2. 题目二：函数的图像分析已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 3 的图像在直角坐标系中的顶点坐标为（1，-4），请回答以下问题：a) 函数的对称轴方程是什么？b) 函数在什么区间上是递增的？c) 函数的最小值是多少？解答：a) 函数的对称轴方程为 x = 1。
由已知条件可知，函数的顶点坐标为（1，-4），因此对称轴与 x 轴平行，其方程为 x = 1。
b) 函数在区间 (-∞, 1) 上是递减的，在区间(1, +∞) 上是递增的。
根据函数的对称轴方程 x = 1，可知对称轴将函数的图像分成两个部分。
在左半部分，即 x < 1 的区间上，函数递减；在右半部分，即 x >1 的区间上，函数递增。
c) 函数的最小值是 -4。
由已知条件可知，函数的顶点坐标为（1，-4），因此函数的最小值为 -4。
3. 题目三：函数的复合运算已知函数 f(x) = x^2 + 1 和 g(x) = 2x - 3，求函数 h(x) = f(g(x)) 的表达式并化简。
解答：由已知条件可得：h(x) = f(g(x))= f(2x - 3)= (2x - 3)^2 + 1= 4x^2 - 12x + 9 + 1= 4x^2 - 12x + 10因此，函数 h(x) 的表达式为 4x^2 - 12x + 10。
4. 题目四：函数的反函数已知函数 f(x) = 2x + 1，求它的反函数 f^{-1}(x) 的表达式。
专题3.4 函数的应用(解析版)
专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。
函数的应用习题及答案
函数的应用习题及答案函数的应用习题及答案函数是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
通过函数，我们可以描述和研究各种现象和问题。
在学习函数的过程中，习题是必不可少的一部分，它们可以帮助我们巩固所学的知识，并提升解决问题的能力。
下面，我将给大家介绍一些关于函数的应用习题及其答案。
1. 习题一：某公司的销售额与广告投入之间存在一定的关系，已知销售额与广告投入的函数关系为S(x) = 0.8x + 100，其中S(x)表示销售额，x表示广告投入。
如果某公司的广告投入为200万元，求该公司的销售额。
解答：将广告投入x代入函数中，得到S(200) = 0.8 * 200 + 100 = 260（万元）。
所以该公司的销售额为260万元。
2. 习题二：某物体从初始位置出发，经过一段时间后，它的位置与时间的关系可以用函数f(t) = 2t^2 + 3t + 5来描述，其中f(t)表示物体的位置，t表示时间。
求该物体在2秒时的位置。
解答：将时间t代入函数中，得到f(2) = 2 * 2^2 + 3 * 2 + 5 = 21。
所以该物体在2秒时的位置为21。
3. 习题三：某商品的价格与销量之间存在一定的关系，已知价格与销量的函数关系为p(x) = 100 - 0.5x，其中p(x)表示价格，x表示销量。
如果某商品的价格为50元，求该商品的销量。
解答：将价格p代入函数中，得到50 = 100 - 0.5x，解方程得到x = (100 - 50)/ 0.5 = 100。
所以该商品的销量为100。
4. 习题四：某物体在水平面上做匀速直线运动，已知物体的速度与时间的关系为v(t) = 10t，其中v(t)表示速度，t表示时间。
求该物体在5秒内所经过的距离。
解答：速度等于位移与时间的比值，即 v = s / t。
将速度v代入函数中，得到10t = s / t，解方程得到s = 10t^2。
所以该物体在5秒内所经过的距离为10 *5^2 = 250。
中考数学考点：专题(50)函数的应用(含答案)
专题50 函数的应用 聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。
假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。
【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。
函数应用题40道汇编(含答案)
函数应用题40道汇编一．解答题（共40小题）1．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．2．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．3．为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以f（n）=表示第n时进入人数，以g（n）=表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：4．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？5．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）6．某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cv n T，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．7．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．8．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．9．某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的销售价格为p=a+|x﹣20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？10．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？11．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．12．某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=﹣+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=﹣+4x+1．（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）﹣f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？13．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．14．已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）．（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？15．上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km．已知运行中磁悬浮列车每小时所需的能源费用（万元）和列车速度（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.04万元，其余费用（与速度无关）是每小时5.12万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0＜C≤500）．（1）求列车运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系，并求该函数的定义域；（2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？16．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．17．某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（n∈N）千元时比广告费为n千元时多卖出件，设作n（n∈N）千元广告时销售量为C n件．（1）试写出销售量C n与n（n∈N）的函数关系式．（2）当a=10，b=4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？18．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e x成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．21．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？23．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？24．某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米长56元，筛网（图中虚线部分）的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元．网衣及筛网的厚度不计．（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）25．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下（单位：万美元）：年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30 a 10 200乙产品50 8 18 120其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4≤a≤8．另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；（3）如何决定投资可获得最大年利润．26．设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：m=x﹣，n=﹣x2+5x+，当m﹣n≥0时，称不亏损企业；当m﹣n＜0时，称亏损企业，且n﹣m为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？27．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x，宽为y，整个矩形花园面积为S．（1）试用x，y表示S；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？28．某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x﹣（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．（1）求月销售利润y（万元）关于月产量x（百台）的函数解析式；（2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？29．已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=．（Ⅰ）写出年利润f（x）（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（Ⅱ）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．30．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？31．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0），记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？32．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？33．政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）．（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？（2）10年后，哪一种方案的利润较大？34．某工厂生产A，B两种产品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=﹣t3+t2，Q=t，今将50万元资金投入经营A，B两种产品，其中对A种产品投资为x（单位：万元），设经营A，B 两种产品的利润和为总利润y（单位：万元）．（1）试建立y关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）当x为多少时，总利润最大，并求出最大利润．35．经测定某点处的光照强度与光的强度成正比，与到光源距离的平方成反比，比例常数为k（k＞0），现已知相距3m的A，B两光源的光的强度分别为a，b，它们连线上任意一点C （异于A，B）处的光照强度y等于两光源对该处光源强度之和，设AC=x（m），已知x=1时点C处的光照强度是，x=2时点C处的光照强度是3k．（1）试将y表示为x的函数，并给出函数的定义域；（2）问AB连线上何处光照强度最小，并求出最小值．36．阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程2x3﹣3x2﹣6=0的解的情况：因为方程2x3﹣3x2﹣6=0的同解方程有x3=+3，2x﹣3=等多种形式，所以，我们既可以选用函数y=x3，y=+3，也可以选用函数y=2x﹣3，y=，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况．因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择．请选择合适的函数来研究该方程=的解的个数的情况，记k为该方程的解的个数．请写出k的所有可能取值，并对k的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出a，b的数值）．37．一小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元，每生产1千件需另投入1.6万元．设该加工厂一年内生产该种零件x千件并全部销售完，每千件的销售收入为P（x）万元，且P（x）=（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大．（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）38．某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？39．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润为原来（1+）倍．（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多可以调整出多少名员工从事第三产业；（Ⅱ）若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的最大取值是多少．40．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．函数应用题40道汇编参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2016•黄冈校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x进行分类即可；（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论．【解答】解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30﹣x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台．∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）．（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中，∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法．2．（2016•南通模拟）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．。
八年级函数变换应用题专项练习及答案
八年级函数变换应用题专项练习及答案=======================题目一1. 函数$f(x) = 2x + 3$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = x$。
解答：设$g(x) = \frac{x - 3}{2}$，则有$$g(f(x)) = g(2x + 3) = \frac{2x + 3 - 3}{2} = x.$$因此，$g(x) = \frac{x - 3}{2}$。
题目二2. 函数$f(x) = 2x^2$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = x^2$。
解答：设$g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$，则有$$g(f(x)) = g(2x^2) = \sqrt{\frac{2x^2}{2}} = \sqrt{x^2} = x.$$因此，$g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$。
题目三3. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = x^2$。
解答：设$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，则有$$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \sqrt{x} = x^2.$$因此，$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$。
题目四4. 函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = \frac{1}{x^2}$。
解答：设$g(x) = \frac{1}{x^2}$，则有$$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} = x^2.$$ 因此，$g(x) = \frac{1}{x^2}$。
函数应用题带答案
函数应用题带答案题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求以下问题的答案。
1. 求函数的对称轴。
答案：对称轴的公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。
对于函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，其中 \( a = 2 \)，\( b = -3 \)，代入公式得对称轴为 \( x = -\frac{-3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} \)。
2. 求函数的顶点坐标。
答案：顶点的 \( x \) 坐标即为对称轴的 \( x \) 值，即 \( x = \frac{3}{4} \)。
将 \( x = \frac{3}{4} \) 代入函数 \( f(x) \) 中，得 \( f(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4})+ 1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = -\frac{1}{8} \)。
因此，顶点坐标为 \( (\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
3. 求函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 时的值。
答案：将 \( x = 1 \) 代入函数 \( f(x) \) 中，得 \( f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \)。
4. 判断函数 \( f(x) \) 的开口方向。
答案：由于 \( a = 2 > 0 \)，函数 \( f(x) \) 的开口方向向上。
5. 求函数 \( f(x) \) 的定义域和值域。
答案：函数 \( f(x) \) 的定义域为所有实数 \( \mathbb{R} \)，因为二次函数对所有实数都有定义。
值域可以通过分析函数的顶点和开口方向确定。
由于函数开口向上，且顶点为 \( ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8} ) \)，因此值域为 \( [-\frac{1}{8}, +\infty) \)。
函数应用题专题练习(可打印修改)
A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费由f (m )＝1.06·(0.5·[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的电话费为________元.答案 4.24解析 f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.2.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为x 210________.答案 200解析 依题意，得每吨的成本为＝＋－30，yx x10 4 000x 则≥2 －30＝10，yx x 10·4 000x 当且仅当＝，即x ＝200时取等号，x10 4 000x 因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨.3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为________.答案 (1＋a )12－1解析 不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝(1＋a )12－1.b (1＋a )12－bb4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元答案 10解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝，15t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×－20＝10.155.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 分别为______.答案 15、12解析 由三角形相似得＝，得x ＝(24－y )，24－y24－8x2054∴S ＝xy ＝－(y －12)2＋180，54∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.6.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝a ，12∴e －8b ＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，12即y ＝a e －bt ＝a ，18e －bt ＝＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.187.如图，A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km/h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最短.答案 258解析 设经过x h ，A 、B 相距为y km ，则y ＝(0≤x ≤)，求得函数的最小值时x 的值为.(145－40x )2＋(16x )22982588.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝Error!，由y ＝22.6，解得x ＝9.二、解答题9.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例.又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝(k ≠0).kx －0.4把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝，k ＝0.2.k0.65－0.4∴y ＝＝，0.2x －0.415x －2即y 与x 之间的函数关系式为y ＝.15x －2(2)根据题意，得(1＋)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).15x －2整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根.∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得Error! 解得Error!故函数v (x )的表达式为v (x )＝Error!(2)依题意并由(1)可得f (x )＝Error!当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝x (200－x )13≤2＝，13[x ＋(200－x )2]10 0003当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值.10 0003综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，10 0003即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.B 组 专项能力提升(时间：35分钟)1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)，下列说法正确的是________.(填序号)①略有盈利；②略有亏损；③没有盈利也没有亏损；④无法判断盈亏情况.答案 ②解析 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.2.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，则y 关于x 的解析式为y ＝Error!若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元.答案 1 350解析 若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x >1 300.∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元).3.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝，则s 的最小值是________.(梯形的周长)2梯形的面积答案 3233解析 如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为－x 2，3434∴s ＝＝·(0<x <1)，(3－x )234(1－x 2)433x 2－6x ＋91－x 2对s 求导得s ′＝·.433－2(3x 2－10x ＋3)(1－x 2)2令s ′＝0，得x ＝或x ＝3(舍去).13∴s min ＝s ()＝.1332334.某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个.答案 4解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则Error!由①②，得Error!代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求.5.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________.答案 20解析 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去).∴x ≥20，即x 的最小值为20.6.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )13＝51x ＋－1 450(万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商10 000x品能全部销售完.(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－x 2－10x －250500×1 000x 10 00013＝－x 2＋40x －250；13当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝－51x －＋1 450－250500×1 000x 10 00010 000x＝1 200－(x ＋)，10 000x∴L (x )＝Error!(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－(x －60)2＋950，13∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋)≤1 200－210 000xx ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当x ＝，即x ＝100时，10 000xL (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.7.经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－t ＋(1≤t ≤100，t ∈N ).前40天价格为f (t )＝t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，13112314后60天价格为f (t )＝－t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和12最小值.解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－t ＋)(t ＋22)13112314＝－t 2＋2t ＋＝－(t －12)2＋，112112×223112 2 5003所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝.2 5003当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－t ＋)(－t ＋52)13112312＝t 2－36t ＋＝(t －108)2－，16112×5231683所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝.1 4912综上，S (t )的最大值为，最小值为8.2 5003。
函数的应用题库及答案
函数的应用题库及答案函数是数学中描述变量之间关系的基本概念，广泛应用于解决实际问题。
以下是一些函数的应用题库及答案，供学生练习和理解函数的应用。
# 题库1. 人口增长问题某城市2010年的人口是100万，预计每年增长率为2%，求2020年该城市的人口。
2. 投资收益问题如果某人投资1000元，年利率为5%，计算5年后的总收益。
3. 物理运动问题一个物体从静止开始，以匀加速运动，加速度为2m/s²，求10秒后物体的速度和位移。
4. 几何问题一个圆的半径是r，求该圆的面积和周长。
5. 温度转换问题如果华氏温度是98.6°F，求对应的摄氏温度。
6. 利润最大化问题一家公司生产产品的成本是每件10元，市场价格是每件20元，如果公司想要利润最大化，求每件产品的最佳售价。
7. 函数图像问题给定函数f(x) = x² - 4x + 3，求该函数的图像顶点坐标。
8. 线性规划问题某工厂有100吨原料，生产A产品需要1吨原料，生产B产品需要2吨原料，A产品的利润是每吨100元，B产品的利润是每吨200元，求最大利润。
9. 函数的奇偶性问题判断函数g(x) = x³ - 2x是否为奇函数或偶函数。
10. 函数的周期性问题给定函数h(x) = sin(x)，求该函数的周期。
# 答案1. 答案2020年的人口 = 100万× (1 + 2%)¹⁰ ≈ 100万× 1.02¹⁰≈ 108.36万。
2. 答案5年后的总收益= 1000 × (1 + 5%)⁵ ≈ 1000 × 1.27628 ≈ 1276.28元。
3. 答案10秒后的速度= 0 + 2 × 10 = 20m/s，位移= 0.5 × 2 × 10² = 100m。
4. 答案圆的面积= πr²，周长= 2πr。
5. 答案摄氏温度 = (98.6 - 32) × 5/9 ≈ 37°C。
(十)——函数类实际应用题
专题复习：函数类实际应用题一、专题精讲数学来源于生活，各地中考题常常出现用函数解决实际应用问题的题目，涉及的背景材料十分广泛，在解题时应注意审题，运用所学的知识将其转化为函数模型. 将所学的知识真正灵活运用是解题的关键.函数的实质是研究两变量之间的对应关系，函数类实际应用题是把题目中两个变量之间的关系抽象为函数模型，如一次函数、分段函数、反比例函数、二次函数等，进而应用函数知识进行分析、研究和解决相关问题.解题策略：理解变量之间的关系，构建函数模型，用函数知识解决实际问题.二、典型例题1、图表信息题【例1】（2012•海南）星期六，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回，下图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象.下列说法不一定．．．正确的是( )A．小亮家到同学家的路程是3千米B．小亮在同学家逗留的时间是1小时C．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少【分析】从函数的图象可知，小亮家到同学家的路程是3千米；小亮在同学家逗留的时间是80－20=60（分钟）=1小时；小亮回家时用的时间为95－80=15（分钟），去时用的时间为20分钟，所以小亮回家时用的时间比去时用的时间少.故选项A，B，D都正确.对于选项C，虽然小亮回家时用的时间比去时用的时间少，这只能说明小亮回家时骑自行车的速度加快了，不一定就是小亮去时走上坡路，回家时走下坡路.故选C.2、一次函数的应用【例2】（2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？【分析】（1）未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数；超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8；（2）该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2．【解】（1）当x≤20时，y=1.9x；当x＞20时，y=1.9×20+2.8（x﹣20）=2.8x﹣18；（2）∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．∴用水量超过了20吨．2.8x﹣18=2.2x，解得x=30．答：该户5月份用水30吨．点评：考查一次函数的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．【例3】（2012•宁夏）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。