函数应用题专题练习
函数的应用习题及答案
函数的应用习题及答案函数的应用习题及答案函数是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
通过函数，我们可以描述和研究各种现象和问题。
在学习函数的过程中，习题是必不可少的一部分，它们可以帮助我们巩固所学的知识，并提升解决问题的能力。
下面，我将给大家介绍一些关于函数的应用习题及其答案。
1. 习题一：某公司的销售额与广告投入之间存在一定的关系，已知销售额与广告投入的函数关系为S(x) = 0.8x + 100，其中S(x)表示销售额，x表示广告投入。
如果某公司的广告投入为200万元，求该公司的销售额。
解答：将广告投入x代入函数中，得到S(200) = 0.8 * 200 + 100 = 260（万元）。
所以该公司的销售额为260万元。
2. 习题二：某物体从初始位置出发，经过一段时间后，它的位置与时间的关系可以用函数f(t) = 2t^2 + 3t + 5来描述，其中f(t)表示物体的位置，t表示时间。
求该物体在2秒时的位置。
解答：将时间t代入函数中，得到f(2) = 2 * 2^2 + 3 * 2 + 5 = 21。
所以该物体在2秒时的位置为21。
3. 习题三：某商品的价格与销量之间存在一定的关系，已知价格与销量的函数关系为p(x) = 100 - 0.5x，其中p(x)表示价格，x表示销量。
如果某商品的价格为50元，求该商品的销量。
解答：将价格p代入函数中，得到50 = 100 - 0.5x，解方程得到x = (100 - 50)/ 0.5 = 100。
所以该商品的销量为100。
4. 习题四：某物体在水平面上做匀速直线运动，已知物体的速度与时间的关系为v(t) = 10t，其中v(t)表示速度，t表示时间。
求该物体在5秒内所经过的距离。
解答：速度等于位移与时间的比值，即 v = s / t。
将速度v代入函数中，得到10t = s / t，解方程得到s = 10t^2。
所以该物体在5秒内所经过的距离为10 *5^2 = 250。
函数应用题40道汇编(含答案)
函数应用题40道汇编一．解答题（共40小题）1．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．2．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．3．为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以f（n）=表示第n时进入人数，以g（n）=表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：4．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？5．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）6．某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cv n T，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．7．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．8．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．9．某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的销售价格为p=a+|x﹣20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？10．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？11．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．12．某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=﹣+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=﹣+4x+1．（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）﹣f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？13．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．14．已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）．（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？15．上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km．已知运行中磁悬浮列车每小时所需的能源费用（万元）和列车速度（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.04万元，其余费用（与速度无关）是每小时5.12万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0＜C≤500）．（1）求列车运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系，并求该函数的定义域；（2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？16．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．17．某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（n∈N）千元时比广告费为n千元时多卖出件，设作n（n∈N）千元广告时销售量为C n件．（1）试写出销售量C n与n（n∈N）的函数关系式．（2）当a=10，b=4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？18．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e x成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．21．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？23．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？24．某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米长56元，筛网（图中虚线部分）的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元．网衣及筛网的厚度不计．（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）25．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下（单位：万美元）：年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30 a 10 200乙产品50 8 18 120其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4≤a≤8．另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；（3）如何决定投资可获得最大年利润．26．设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：m=x﹣，n=﹣x2+5x+，当m﹣n≥0时，称不亏损企业；当m﹣n＜0时，称亏损企业，且n﹣m为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？27．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x，宽为y，整个矩形花园面积为S．（1）试用x，y表示S；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？28．某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x﹣（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．（1）求月销售利润y（万元）关于月产量x（百台）的函数解析式；（2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？29．已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=．（Ⅰ）写出年利润f（x）（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（Ⅱ）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．30．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？31．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0），记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？32．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？33．政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）．（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？（2）10年后，哪一种方案的利润较大？34．某工厂生产A，B两种产品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=﹣t3+t2，Q=t，今将50万元资金投入经营A，B两种产品，其中对A种产品投资为x（单位：万元），设经营A，B 两种产品的利润和为总利润y（单位：万元）．（1）试建立y关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）当x为多少时，总利润最大，并求出最大利润．35．经测定某点处的光照强度与光的强度成正比，与到光源距离的平方成反比，比例常数为k（k＞0），现已知相距3m的A，B两光源的光的强度分别为a，b，它们连线上任意一点C （异于A，B）处的光照强度y等于两光源对该处光源强度之和，设AC=x（m），已知x=1时点C处的光照强度是，x=2时点C处的光照强度是3k．（1）试将y表示为x的函数，并给出函数的定义域；（2）问AB连线上何处光照强度最小，并求出最小值．36．阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程2x3﹣3x2﹣6=0的解的情况：因为方程2x3﹣3x2﹣6=0的同解方程有x3=+3，2x﹣3=等多种形式，所以，我们既可以选用函数y=x3，y=+3，也可以选用函数y=2x﹣3，y=，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况．因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择．请选择合适的函数来研究该方程=的解的个数的情况，记k为该方程的解的个数．请写出k的所有可能取值，并对k的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出a，b的数值）．37．一小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元，每生产1千件需另投入1.6万元．设该加工厂一年内生产该种零件x千件并全部销售完，每千件的销售收入为P（x）万元，且P（x）=（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大．（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）38．某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？39．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润为原来（1+）倍．（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多可以调整出多少名员工从事第三产业；（Ⅱ）若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的最大取值是多少．40．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．函数应用题40道汇编参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2016•黄冈校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x进行分类即可；（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论．【解答】解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30﹣x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台．∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）．（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中，∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法．2．（2016•南通模拟）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．。
函数应用题典型题目
函数应用题典型题目一、基础训练1．某电脑单价为a 元，现八折优惠，则购电脑x （*x N ∈）台所需款项y 元与x 的函数关系式是 ．2．某人去银行存款a 万元，每期利率为p ，并按复利计算，则存款n （*x N ∈）期后本利和为 万元． 3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x 与y 之间的函数关系是 ．4．根据市场调查，某商品在最近10天内的价格()f t 与时间t 满足关系式1()102f t t =+（110t ≤≤，*t N ∈），销量()g t 与时间t 满足关系式()24g t t =-（110t ≤≤，*t N ∈），则这种商品的日销售额的最大值为 ．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利．则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是 ．6．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 ．（围墙不计厚度）7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：x 的解析式为 ，若30y =，则此人购物总金额为 元．8．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，点B （起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则ABP ∆的面积与点P 移动的路程x 之间的函数关系式是 ．二、例题精讲例1．某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？例2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有30.5m 污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理31m 污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每31m 污水需付14元排污费．（1）若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明；（2）若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？例3．如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向做匀速移动，速度为v （0v >），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c R ∈）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○1P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与||v c S -⨯成正比，比例系数为1；○2其他面的淋雨量之和，其值为12．记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离100d =，面积32S =． （1）写出y 的表达式；（2）若010,05v c <≤<≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．例4．已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B 与C 之间的距离为100km ，从A 到C ，先乘船到D ，船速为25km/h ，再乘汽车由D 到C ，车速为50km/h ．设从A 到C 所用时间为y （h ）． （1）按下列要求写出函数关系式：○1设ADB θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数关系式； ○2设BD x =（km ），将y 表示成x 的函数关系式． （2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从A 到C 所用时间最少．三、巩固练习1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获利0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元．2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t （单位：min ）后的温度是T ，则01()2t ha a T T T T ⎛⎫-=-⋅⎪⎝⎭，其中a T 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯88C ︒热水冲的速溶咖啡,放在24C ︒的房间中,如果咖啡降到40C ︒需要20min,那么这杯咖啡要从40C ︒降到32C ︒,还需 时间．3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个．已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了获得最大利润,售价应定为 元． 4．某地每年消耗木材20万立方米,每立方米价格为240元,为了减少木材消耗,决定按t %征收木材税,这样每年的木材消耗量减少52t 万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的取值范围是 ．四、要点回顾1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力：（1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；（2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系； （3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．函数模型及其应用作业1．假如某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R =，广告效应为D A =，则广告费A = 时，广告效应D 最大．2．已知产品生产件数x 与成本y （万元）之间有函数关系2300200.1y x x =+-，若每件产品成本均不超过7万元，则产品产量至少应为 件． 3．铁道机车运行1h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分（元）与运行速度x （km/h ）的平方成正比，比例系数为k （0k >）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y （元）与机车运行速度x 之间的函数关系为 ． 4．用总长为14.8m 的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m ，则它的最大容积为 3m ．5．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第 层．6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．则该产品每月生产 吨才能使利润达到最大，最大利润是 万元．（利润=收入-成本）7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （0k >）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）． （1）写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围． 8．（2011湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出此最大值．（精确到1辆/小时）9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()f x ，()g x 及任意0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入x 万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．（1）请解释(0)f ，(0)g 的实际意义； （2）设直线1100y x =与()y f x =的图像交于点00(,)x y ，00x >，请解释00(,)x y 的实际意义．10．在50km 长的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为10km ．由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为5:3．为了节约运费，在铁路的D 处修一货物运转站，沿CD 修一公路（如图），为了使原料从B 处经货物转运站运到工厂C 的运费最省，D 点应选在何处？。
八年级函数变换应用题专项练习及答案
八年级函数变换应用题专项练习及答案=======================题目一1. 函数$f(x) = 2x + 3$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = x$。
解答：设$g(x) = \frac{x - 3}{2}$，则有$$g(f(x)) = g(2x + 3) = \frac{2x + 3 - 3}{2} = x.$$因此，$g(x) = \frac{x - 3}{2}$。
题目二2. 函数$f(x) = 2x^2$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = x^2$。
解答：设$g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$，则有$$g(f(x)) = g(2x^2) = \sqrt{\frac{2x^2}{2}} = \sqrt{x^2} = x.$$因此，$g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$。
题目三3. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = x^2$。
解答：设$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，则有$$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \sqrt{x} = x^2.$$因此，$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$。
题目四4. 函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求出其对应的函数$g(x)$，使得$g(f(x)) = \frac{1}{x^2}$。
解答：设$g(x) = \frac{1}{x^2}$，则有$$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} = x^2.$$ 因此，$g(x) = \frac{1}{x^2}$。
函数应用题带答案
函数应用题带答案题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求以下问题的答案。
1. 求函数的对称轴。
答案：对称轴的公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。
对于函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，其中 \( a = 2 \)，\( b = -3 \)，代入公式得对称轴为 \( x = -\frac{-3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} \)。
2. 求函数的顶点坐标。
答案：顶点的 \( x \) 坐标即为对称轴的 \( x \) 值，即 \( x = \frac{3}{4} \)。
将 \( x = \frac{3}{4} \) 代入函数 \( f(x) \) 中，得 \( f(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4})+ 1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = -\frac{1}{8} \)。
因此，顶点坐标为 \( (\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
3. 求函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 时的值。
答案：将 \( x = 1 \) 代入函数 \( f(x) \) 中，得 \( f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \)。
4. 判断函数 \( f(x) \) 的开口方向。
答案：由于 \( a = 2 > 0 \)，函数 \( f(x) \) 的开口方向向上。
5. 求函数 \( f(x) \) 的定义域和值域。
答案：函数 \( f(x) \) 的定义域为所有实数 \( \mathbb{R} \)，因为二次函数对所有实数都有定义。
值域可以通过分析函数的顶点和开口方向确定。
由于函数开口向上，且顶点为 \( ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8} ) \)，因此值域为 \( [-\frac{1}{8}, +\infty) \)。
函数的综合运用练习题
函数的综合运用练习题函数是数学中的重要概念和工具，具有广泛的应用。
为了帮助大家更好地理解和掌握函数的应用，本文将通过一些综合运用的练习题来进行讲解。
1. 题目一已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解析：将x = 4代入函数f(x)，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。
2. 题目二已知函数g(x) = x^2 - 4x，求使g(x) = 0成立的x的值。
解析：将g(x) = 0，得到x^2 - 4x = 0。
可以进行因式分解，得到x(x - 4) = 0。
因此，x = 0或x = 4。
即使g(x) = 0成立的x的值为0和4。
3. 题目三已知函数h(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1，求h(-1)的值。
解析：将x = -1代入函数h(x)，得到h(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 2 + 1 + 1 = 3。
4. 题目四已知函数p(x) = 2x^2 + 3x - 4，求p(2) + p(-2)的值。
解析：将x = 2代入函数p(x)，得到p(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6。
将x = -2代入函数p(x)，得到p(-2) = 2(-2)^2 + 3(-2) - 4 = 8 - 6 - 4 = -2。
因此，p(2) + p(-2) = 6 + (-2) = 4。
5. 题目五已知函数q(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5，求满足q(x) = 2的x的值。
解析：将q(x) = 2，得到x^3 - 3x^2 + 2x + 5 = 2。
整理可得x^3 - 3x^2 + 2x + 3 = 0。
通过试除法或二次因式定理可以找到一个解x = -1，将其代入原方程得到(-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -1 - 3 + (-2) + 5 = -1。
函数的应用题库及答案
函数的应用题库及答案函数是数学中描述变量之间关系的基本概念，广泛应用于解决实际问题。
以下是一些函数的应用题库及答案，供学生练习和理解函数的应用。
# 题库1. 人口增长问题某城市2010年的人口是100万，预计每年增长率为2%，求2020年该城市的人口。
2. 投资收益问题如果某人投资1000元，年利率为5%，计算5年后的总收益。
3. 物理运动问题一个物体从静止开始，以匀加速运动，加速度为2m/s²，求10秒后物体的速度和位移。
4. 几何问题一个圆的半径是r，求该圆的面积和周长。
5. 温度转换问题如果华氏温度是98.6°F，求对应的摄氏温度。
6. 利润最大化问题一家公司生产产品的成本是每件10元，市场价格是每件20元，如果公司想要利润最大化，求每件产品的最佳售价。
7. 函数图像问题给定函数f(x) = x² - 4x + 3，求该函数的图像顶点坐标。
8. 线性规划问题某工厂有100吨原料，生产A产品需要1吨原料，生产B产品需要2吨原料，A产品的利润是每吨100元，B产品的利润是每吨200元，求最大利润。
9. 函数的奇偶性问题判断函数g(x) = x³ - 2x是否为奇函数或偶函数。
10. 函数的周期性问题给定函数h(x) = sin(x)，求该函数的周期。
# 答案1. 答案2020年的人口 = 100万× (1 + 2%)¹⁰ ≈ 100万× 1.02¹⁰≈ 108.36万。
2. 答案5年后的总收益= 1000 × (1 + 5%)⁵ ≈ 1000 × 1.27628 ≈ 1276.28元。
3. 答案10秒后的速度= 0 + 2 × 10 = 20m/s，位移= 0.5 × 2 × 10² = 100m。
4. 答案圆的面积= πr²，周长= 2πr。
5. 答案摄氏温度 = (98.6 - 32) × 5/9 ≈ 37°C。
题型八函数的实际应用类型三利润最值问题(专题训练)(原卷版)
题型八函数的实际应用类型三利润最值问题（专题训练）1.某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．2.某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？4.某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x ＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？5.国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．（1）求x的值；（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？6.某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？7.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？8.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．9.在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．10.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）11.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；a>给慈善机构，如果捐款后甲公（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元()0司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．12.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1119日销售量y（件）182请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？13.超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）14.某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天(1x30≤≤且x为整数)的销售量为y件．()1直接写出y与x的函数关系式；()2设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？15.某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x．为正整数．．．．）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？16.某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：（1）直接写出y与x的关系式_________________；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．17.小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：（1）求y与x之间的函数关系式；x，且x为整数），（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（1215设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？18.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？19.某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500x ，月销量为y件，件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元(50)月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元；（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．20.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？。
高中数学函数应用练习题及参考答案
高中数学函数应用练习题及参考答案一、选择题1. 下列函数中，不是一次函数的是（）。
A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = x^2C. f(x) = 3x - 1D. f(x) = 4 + x2. 已知函数 f(x) = 2x - 1，以下说法正确的是（）。
A. 当 x = 0 时，f(x) = -1B. 当 f(x) = 2 时，x = 1C. 当 f(x) = 0 时，x = 1/2D. 当 f(x) = 1 时，x = 1/23. 若函数 f(x) = ax^2 + bx + c 是一个二次函数，其中a ≠ 0，则二次函数的图像是（）。
A. 横坐标轴上的一条直线B. 一条抛物线的顶点在原点C. 一条抛物线开口向上D. 一条抛物线开口向下4. 已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 3，求函数图像与 x 轴的交点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 如果 f(x) = 2x - 1，且 g(x) = 3x + 2，则函数复合 f(g(x)) 的解析式为（）。
A. 6x + 1B. 6x + 5C. 5x + 6D. 5x - 6二、填空题1. 函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 的对称轴为 _________。
2. 函数 f(x) = 4x^2 - 5x + 2 的顶点坐标为 _________。
3. 若函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像与 x 轴有两个交点，则判别式Δ = _________。
4. 函数 f(x) = |x - 2| 的图像在 x 轴上的截距为 _________。
5. 函数 f(x) = log2(x - 1) 是定义域为 _________ 的对数函数。
三、计算题1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。
2. 已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求解 f(x) = 0 的根。
一次函数的应用专项练习30题有答案
一次函数的应用专项练习30题有答案1.这是一道关于水池蓄水量与注水时间的函数题。
根据给出的函数图像，可以回答以下问题：(1) 在注水20小时后，蓄水量为多少米？(2) 水池的最大蓄水量是多少米？(3) 求出蓄水量y与注水时间x之间的函数关系式。
2.这是一道关于饲料店投资方案的问题。
小王的父母有两种投资方案：方案一是购买甲种饲料，月初出售并获利8%，再购入乙种饲料，到月底售完再获利10%；方案二是购买甲种饲料，月底出售并获利20%，但需要支付仓储费600元。
题目要求分别写出两种方案的获利金额表达式，并根据投入资金的多少确定可多获利的方案。
3.这是一道关于工厂年产值增长的函数题。
假设某工厂现在年产值为15万元，每年增加2万元，设x年后的年产值为y（万元）。
题目要求写出y与x之间的关系式，用表格表示当x从变化到5（每次增加1）y的对应值，并求出10年后的年产值。
4.这是一道关于海拔高度与气温的函数题。
题目提供了XXX在旅游途中测得的数据，要求建立平面直角坐标系并根据数据描出各点，已知y与x的关系是一次函数关系，求出这个关系式，并根据XXX测得的气温求出天都峰的海拔高度。
5.这是一道关于灯具费用与照明时间的函数题。
题目给出了一种白炽灯和一种节能灯的费用y与照明时间x（h）的函数图像，要求根据图像分别求出两种灯的函数关系式，并求出当照明时间为多少时，两种灯的费用相等。
6.这是一道关于物流公司快递车和货车行驶距离与时间的函数题。
题目给出了快递车和货车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图像，并提供了货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时的条件。
题目要求确定两车在途中相遇的次数，并求出两车最后一次相遇时距离A地的路程和货车从A地出发了几小时。
7.某农户有一容量为10立方米的水池。
中午12时打开进水管向水池注水，注满水后关闭水管，同时打开出水管灌溉农作物。
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A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费由f (m )＝1.06·(0.5·[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的电话费为________元.答案 4.24解析 f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.2.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为________.答案 200解析 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x－30， 则y x ≥2 x 10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号， 因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨.3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为________.答案 (1＋a )12－1解析 不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－b b＝(1＋a )12－1. 4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元答案 10解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10. 5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 分别为______.答案 15、12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180， ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.6.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e－8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e－bt ＝18a ， e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min. 7.如图，A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40km/h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最短.答案 258解析 设经过x h ，A 、B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0<x ≤38＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤88＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.二、解答题 9.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例.又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0). 把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，k ＝0.2. ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%). 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根.∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0≤x ≤20，13(200－x )， 20<x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ， 0≤x ≤20，13x (200－x )， 20<x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x ) ≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.B 组 专项能力提升(时间：35分钟)1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)，下列说法正确的是________.(填序号)①略有盈利；②略有亏损； ③没有盈利也没有亏损；④无法判断盈亏情况. 答案 ②解析 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.2.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.y 关于x 的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0<x ≤800，5%(x －800)，800<x ≤1 300，10%(x －1 300)＋25，x >1 300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元.答案 1 350解析 若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x >1 300.∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元).3.将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________. 答案 3233解析 如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34x 2， ∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 对s 求导得s ′＝433·－2(3x 2－10x ＋3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去). ∴s min ＝s (13)＝3233. 4.某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个.答案 4解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧K ＝2.5M ，N ＝60M ， 代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求.5.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________. 答案 20解析 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去).∴x ≥20，即x 的最小值为20.6.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250 ＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x＋1 450－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)， ∴L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N *)，1 200－(x ＋10 000x )(x ≥80，x ∈N *).(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当x ＝10 000x，即x ＝100时， L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.7.经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N ).前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22) ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003， 所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52) ＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 综上，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.。