2011年各区一模部分综合题汇编

一模综合题部分汇编一、一元二次方程（与函数）综合题 23．（顺义2011一模）已知：关于x 的一元二次方程23(1)230m x m x m --+-= ()m 为实数 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.23. （1）解： []22243(1)4(23)(3)b ac m m m m ∆=-=----=--------1分∵方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)0m -> 且 0m ≠-------------------2分 ∴ 3m ≠且 0m ≠∴m 的取值范围是3m ≠且 0m ≠ ------------------------------------3分（2）证明：由求根公式3(1)(3)22m m x am-±-==-----------------------4分∴ 133323322m m m x m mm-+--===-233312m m x m--+==∴无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1 ----------------5分（3）∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数∴132x m=-必为整数∴ 1m =± 或 3m =±当1m =时 ，11x =- ；当1m =-时，15x =； 当3m =时， 11x = ； 当3m =-时，13x =.∴ 1m =- 或3m =± --------------------------------------------8分 23．（房山2011一模）（本小题满分7分）已知：关于x 的一元二次方程2(32)220m x m x m --+-=． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线y=2(32)22m x m x m --+-总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 为正整数，且关于x 的一元二次方程2(32)220m x m x m --+-=有两个不相等的整数根，把抛物线y=2(32)22m x m x m --+-向右平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式． 23．解：（1）∵关于x 的一元二次方程2(32)220m x m x m --+-=有两个不相等的实数根 ∴222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∆=----=-+=-＞0 ---- 1分 ∴0≠m 且m≠2 ------------------------------------------2分 （2）证明：令0=y 得，2(32)220m x m x m -+-+-= ∴11x =，222m x m-=------------------------------4分∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1,0），（22,0m m-）∴无论m 取何值，抛物线y=2(32)22m x m x m --+-总过x 轴上的定点（1,0）-----5分 （3）∵1x =是整数 ∴只需2222m mm-=-是整数.∵m 是正整数，且0,2m m ≠≠∴1m =. ------------------- 6分 当1m =时，抛物线为2y x x =-把它的图象向右平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为2920y x x =-+ ------------------7分23．（延庆2011一模）已知：关于x 的一元二次方程012)1(22=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根；（2）设0<m ，且方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x <），若y 是关于m 的函数，且y ＝1216x x -，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程02=-+m y 的解． 23.解：（1）∵12),1(2,1+=+-==m c m b a2224)12(14)]1(2[4mm m ac b =+⨯⨯-+-=-=∆∴∵无论m 取何值时，都有02≥m ∴方程有两个实数根 （2）方程的两个实数根分别为21,x x………………2分………………1分∴m m mm aac b b x x ±+=±+=-±-==)1(22)1(224221 ∵0<m ，21x x <∴1,1221=+=x m x ∴y ＝mmm x x 32612161612-=-=--=-（3）关于m 的方程02=-+m y 的解是,3-==m m23．（门头沟2011一模）已知关于x 的一元二次方程2(2)210m x x +--=．（1）若此一元二次方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若关于x 的二次函数21(2)21y m x x =+--和22(2)1y m x mx m =++++的图象都经过x 轴上的点（n ，0），求m 的值；（3）在（2）的条件下，将二次函数21(2)21y m x x =+--的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数3y 的图象．请你直接写出二次函数3y 的解析式，并结合函数的图象回答：当x二次函数2y 的值．23．解：（1）根据题意，得220,Δ(2)4(2)(1)0.m m +≠⎧⎨=--+⨯-≥⎩解得2,3.m m ≠-⎧⎨≥-⎩∴m 的取值范围是m ≥－3且m ≠－2．………………………… 2分（2） 关于x 的二次函数21(2)21y m x x =+--和22(2)1y m x mx m =++++的图象都经过x 轴上的点（n ，0），∴22(2)21(2)1m n n m n mn m +--=++++．解得n =－1． ……………………………………………………3分当n =－1时，2210m ++-=，解得m =－3． ………………………………………4分………………3分………………5分 ………………7分（3）2322y x x =+-． ……………………………………………5分当x 的取值范围是>0x 或5<2x -时，二次函数3y 的值大于二次函数2y 的值．…7分二、几何综合25．（燕山2011一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，∠BCD=90°， tan ∠ADC=2，点E 在梯形内，点F 在梯形外，0.5CDAB CEBE ==，∠EDC=∠FBC ，且DE=BF ．（1）判断△ECF 的形状特点，并证明你的结论； （2）若∠BEC=135°，求∠BFE 的正弦值．24.⑴ 是等腰直角三角形. …………………………………………1分证明：作AH ⊥CD 于H ，∵梯形ABCD 中，∠BCD=90°，tan ∠ADC=2，即∠ADC ≠90°.∴ AB ∥CD ，AH=BC ，AB=CH. …………………………………………2分 又∵0.5CDAB =，即CH+DH=2AB=2CH∴ DH=CH ，CD=2DH. ∵ tan ∠ADC=DHAH =2，∴ AH=2DH=CD=BC. …………………………………………3分 在△EDC 和△FBC 中， 又∵∠EDC=∠FBC ，DE=BF ， ∴△EDC ≌△FBC. ∴CE=CF, ∠ECD=∠FCB. ∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°, ∴∠FCB+∠ECB=90°，即∠ECF=90°.∴△ECF 是等腰直角三角形. ……………………………………4分 ⑵ ∵ 在等腰Rt △ECF 中，∠ECF=90°， ∴ ∠CEF=45°，CE=22EF. ………………………………………5分又∵∠BEC=135°，CEBE =0.5 ，∴ ∠BEF=90°，EFBE =42. ………………………………………6分不妨设BE=2，EF= 4，则BF=18. ∴sin ∠BFE=BFBE =182=31. ………………………………………7分H23．（大兴2011一模）在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2，E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于F.（1） 求OA ，OC 的长；（2） 求证：DF 为⊙O ′的切线；（3）由已知可得，△AOE 是等腰三角形.那么在直线BC 上是否存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P 与⊙O ′的位置关系，如果不存在，请说明理由. 23． （1）解：在矩形ABCO 中，设OC=x ，则OA=x +2， 依题意得，x(x+2)=15.解得.5,321-==x x （不合题意，舍去）∴ OC=3 ，OA =5 . …………………………………1分 （2）证明：连结O ′D ，在矩形OABC 中，∵ OC=AB ，∠OCB =∠ABC ，E 为BC 的中点，∴△OCE ≌△ABE . ∴ EO=EA .∴∠EOA =∠EAO . 又∵O ′O = O ′D ，∴ ∠O ′DO =∠EOA =∠EAO . ∴ O ′D ∥EA . ∵ DF ⊥AE ， ∴ DF ⊥O ′D .又∵点D 在⊙O ′上，O ′D 为⊙O ′的半径，∴ DF 为⊙O ′的切线. …………………………………3分 （3）答：存在 .① 当OA=AP 时，以点A 为圆心，以AO 为半径画弧，交BC 于点1P 和4P 两点，则△AO 1P 、△AO 4P 均为等腰三角形. 证明：过1P 点作1P H ⊥OA 于点H ，则1P H =OC=3，∵ A 1P =OA=5，∴ AH =4，OH=1. ∴1P （1,3）.∵1P （1,3）在⊙O ′的弦CE 上，且不与C 、E 重合， ∴ 点1P 在⊙O ′内. 类似可求4P （9,3）. 显然，点4P 在点E 的右侧，∴点4P 在⊙O ′外.② 当OA=OP 时，同①可求得，2P （4,3），3P （-4,3）. 显然，点2P 在点E 的右侧，点3P 在点C 的左侧因此，在直线BC 上，除了E 点外，还存在点1P ， 2P ，3P ，4P ，它们分别使△AOP 为等腰三角形，且点1P 在⊙O ′内，点2P 、3P 、4P 在⊙O ′外. …………7分 25．（西城2011一模）在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P .（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2）若AC =，CD =，求∠APE 的度数.25．解：（1）如图9，∠APE= 45 °. ........................2分 （2）解法一：如图10，将AE 平移到DF ，连接BF ，EF ． (3)则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF ．∵ AC =，CD =， ∴ 3=BDAC ，3==DFCD AECD ．∴A C C DB DD F=．……………………………………………………4分∵ ∠C =90°，∴ 18090BD F C ∠=︒-∠=︒． ∴ ∠C=∠BDF ．∴ △ACD ∽△BDF ．………………5分∴AD AC BF BD ==1=∠2． ∴EF AD BFBF==∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ．∴ BF ⊥EF ．…………………………………………………………6分 ∴ 在Rt △BEF 中，tan 3B F B E F E F∠==．∴ ∠APE =∠BEF =30°．…………………………………………7分解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．………………3分则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在Rt △AEF 中，tan3A E A E A F C D ∠===在Rt △BDF 中，tan 1B D B D D FA C∠===∴ 3130∠=∠=︒．∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =∴ ∠AFD =∠EFB ． …………………4分 又∵2D F A F B FE F==∴ △ADF ∽△EBF ． ………………………………………………5分 ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，∴ ∠APE =∠3=30°．………………………………………………7分 三、几何与函数综合24．（燕山2011一模）已知：如图，等边△A BC 中，AB=1，P 是AB 边 上一动点，作PE ⊥BC ，垂足为E ；作EF ⊥AC ， 垂足为F ；作FQ ⊥AB ，垂足为Q.（1）设BP=x ，AQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长； （3）当点P 和点Q 不重合，但线段PE 、FQ相交时，求它们与线段EF 围成的三角形 周长的取值范围.25.⑴∵△ABC 是等边三角形，AB=1.∴∠A=∠B=∠C=60°, BC=CA=AB=1. …………………………………1分 又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°, BP=x.∴BE=21x, CE=1-21x, CF=21-41x, AF=1-(21-41x)=21+41x.∴AQ=21AF=21(21+41x),∴ y=81x+41. …………………………………………2分⑵由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+.41x 81y 1,y x …………………………………………3分得x =32. ……………………………………………4分∴当点P 和点Q 重合时，x =32，∴EF=3CF=3(21-41x)=33. …………………………………………5分⑶设线段PE 、FQ 相交于点M ，易证△MEF 是等边三角形， …………………………………………6分 且当点P 和点A 重合时，EF 最短为43. ……………………………7分∴433≤ m ＜3. …………………………………………8分24.（丰台2011一模）已知：如图，在□ EFGH 中，点F 的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°． （1）求点H 的坐标;（2）抛物线1C 经过点E 、G 、H,现将1C 向左平移使之经过点F ，得到抛物线2C ,求抛物线2C 的解析式；（3）若抛物线2C 与y 轴交于点A ，点P 在抛物线2C 的对称轴上运动．请问：是否存在 以AG 为腰的等腰三角形AGP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 24．解：（1）∵在□ABCD 中∴EH=FG=2 ，G （0，－1）即OG=1………………………1’ ∵∠EFG=45°∴在Rt △HOG 中，∠EHG=45° 可得OH=1∴H （1，0）……………………………………………………2’ （2）∵OE=EH-OH=1 ∴E （－1，0），设抛物线1C 解析式为1y =2ax +bx+c∴代入E 、G 、H 三点，∴a =1 ，b=0,，c=－1∴1y =2x －1……………………………………………………3’依题意得，点F 为顶点，∴过F 点的抛物线2C 解析式是2y =2(+2x ）－1…………………4’ （3）∵抛物线2C 与y 轴交于点A ∴A （0，3），∴AG=4情况1：AP=AG=4过点A作AB ⊥对称轴于B ∴AB=2在Rt △PAB 中，BP=∴1P(-2,3+或2P (-2,3-……………………………6’情况2：PG=AG=4 同理可得：3P(-2,-1+或4P (-2,-1-…………………8’∴P 点坐标为(-2,3+)或(-2,3-)或(-2,-1+)或(-2,-1-23．（通州2011一模）已知：矩形纸片ABCD 中，AB ＝26厘米，BC ＝18.5厘米，点E 在AD 上，且AE ＝6厘米，点P 是A B 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图23（1）所示）； 步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图23（2）所示） （1）无论点P 在A B 边上任何位置，都有PQ QE （填“>”、“=”、“<”号）； （2）如图23（3）所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点Q 1 ，Q 1点的坐标是（ ， ）； ②当PA =6厘米时，PT 与MN 交于点Q 2 ，Q 2点的坐标是（ ， ）； ③当PA =12厘米时，在图22（3）中画出MN ，PT （不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点Q 3的坐标；（3）点P 在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点Q 1 ，Q 2 ，Q 3 ，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．23（1） 23（2） 23（3） 23.(1)PQ = QE ……………………………(1分) ①1Q 点的坐标是（0，3）；……………………………(2分) ②2Q 点的坐标是（6，6）；……………………………(3分)③依题意可知：5661222=+=EP∴5321==EP PHPQ 与x 轴垂直，∴︒=∠90QPA可证42∠=∠，MN是折痕∴︒=∠=∠90EAP QHPPN PCQHP ∆∽PAE ∆………………..……………………………(4分)∴AEHP EPPQ =∴15=PQ∴)15,12(3Q………………………………………………(5分)（3）猜想：一系列的交点一系列的交点构成二次函数图象的一部分。