艺术生专用数学函数3
高考数学艺术生专用 第三节、函数的概念及性质
第三节、函数的概念及性质【基础知识】 1、函数的概念 ； 2、函数的三要素： ， ， 。
（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =；②)()(*2N n x f y n ∈=；③0)]([x f y =；④)(log )(x g y x f =；（3）函数值域的求法；①配方法：②分离常数法（或求导） 如：),(,n m x dcx bax y ∈++=；④换元法；⑤三角有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法； ⑧数形结合等； 3、函数的性质：（1）单调性：定义（）；注意定义是相对与某个具体区间而言。
判定方法：定义；导数；复合函数和图像。
（2）奇偶性：定义（）；注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数⇔图像 关于（）对称； f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x)为奇函数⇔图像 关于（）对称。
（3）周期性：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期（T 为非零常数）4、函数图像变换：（1）平移变换 ；（2）对称变换 ；（3）伸缩变换【基础训练】1、设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132、下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1=D ．42+-=x y 3、若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f4、已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．2-B ．4-C ．6- D ．10-5、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）（A ）R x x y ∈-=,3 （B ） R x x y ∈=,sin （C ） R x x y ∈=, （D ） R x x y ∈=,)21(7、若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .8、函数422--=x x y 的定义域 。
高考数学 艺体生文化课 第三章 函数 第5节 指数函数课件.pptx
【例3】 求下列函数的定义域、值域:
(1) y 23x ;
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(2) y 3x ;
【解析】 (1)原函数定义域是R,值域为(0, ).
(2)令t 1 ,则t R,t 0, y 3t (t R,t 0), 得y 0, y 1, x
原函数的定义域为(, 0) (0, ),值域为(0,1) (1, ).
R上为增函数
R上为减函数
精选例题
【例1】 求下列各式的值:
1
(1)1002 ;
2
(2)83 ;
(3)9
3 2
;
(4) 4 81
2
93
1
(1)1002 10;
2
(2)83 4;
(3)9
3 2
1
;
27
(4) 4 81
2
93
(34
(9
2 3
)
1 2
)
1 4
7
36.
【例2】 比较大小:
(1)1.52.5,1.53.2; (2)0.8-0.1,1.250.2; (3)1.50.3,0.81.2.
第三章 函数
第5节 指数函数
知识梳理
1.定义:若xn=a,则称a是x的n次方根(n>1,且n∈N+ ).
2.规定:
(1)a0 1(a 0);
(2)a p
1 ap
( p Q);
m
(3)a n
n
am
(a
0, m, n N*, 且n
1).
3.性质:(1)am·an=am+n; (2)(am)n=amn; (3)(a·b)n=an·bn; (4)am÷an=am-n.
艺术生高考数学专题讲义考点函数与方程
艺术生高考数学专题讲义考点函数与方程函数是数学中非常重要的一个概念，也是高考数学中的一个重要考点。
掌握函数的概念，理解函数的性质和性质的应用，对于解决各类函数与方程问题起着关键作用。
一、函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，通常用字母f,g,h等表示。
若有两个非空集合A和B，对于A中的每一个元素x，有B中唯一确定的一个元素y与之对应，那么就称y是x的函数值，记作y=f(x)，其中f表示函数，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义域为A，值域为B。
函数可以用数图、函数表或函数解析式的形式表示。
函数图像是函数和平面直角坐标系上解析式中自变量和因变量的对应关系的几何图形。
二、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域表示自变量的取值范围，值域表示因变量的取值范围。
2.奇偶性：若对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；若有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
3.单调性：若对于函数f(x)，在定义域上，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数是增函数；若有f(x1)>f(x2)，则函数是减函数。
4.周期性：若对于函数f(x)，存在常数T>0，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。
三、函数的应用函数在数学中具有广泛的应用，常见的应用有以下几种：1.函数的图像问题：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
同时，可以通过图像求函数的解析式。
2.函数的复合问题：复合函数就是由两个函数组成的函数。
复合函数的求解要根据实际问题确定两个函数之间的关系，并运用函数的性质进行求解。
3.函数方程问题：函数方程就是与函数有关的方程。
通过解函数方程，可以确定函数的性质和未知数的值。
4.数列与数列极限问题：5.函数的应用问题：函数在各个学科中都有广泛的应用，如物理中的速度、加速度函数，化学中的反应速率函数等。
通过函数的应用，可以解决各类实际问题。
高考数学 艺体生文化课 第三章 函数 第3节 分段函数课件.pptx
()
D.5
【答案】 A 【解析】因为3 6,所以f (3) f (3 2) f (5), 而5 6,所以f (5) f (5 2) f (7). 因为7 6,所以f (7) 7 5 2.选A.
x2 1, x 1
2,
x
1
,则f(f(3))=
(x)
x2
2,
x
0
的零点个数是
.
2x 6 ln x, x 0
【答案】 2
【解析】x 0时, y x2 2与x轴只有一个交点,
当x 0时,由y 2x 6 ln x得y ' 2 1 0单调递增, 可以验证 x
y 2x 6 ln x与x轴只有一个交点.
所以f
(x)
x2
A. 1
B.3
C. 2
5
3
() D.13 9
【答案】 D
【解析】f (3) 2 1,所以f ( f (3)) f ( 2) ( 2)2 1 13 .选D.
3
33
9
3.已知函数
()
f
(
x)
log2 2x , x
x,
x 0
0
,若f(1)+f(a)=2,则a的值为
A.1
B.2
C.4
D.4或1
(
x)
1 x, ax , x
x
0
0
,若f(1)=f(-1),
则实数a的值等于 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】A 【解析】由f (1) f (1)得 : a1 1 (1),所以a 2.选A.
5.(2014新课标Ⅰ卷)设函数f
(
x)
艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换
艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换1.函数的图象函数的图象是函数y=f(x)的平面图形表示，通常用笛卡尔坐标系上的点(x,f(x))表示。
函数的图象可以帮助我们直观地了解函数的性质。
2.常见函数图象(1) 一次函数y=ax+b (a≠0) 的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。
(2) 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。
(3)幂函数y=x^a(a>0,a≠1)的图象是一条指数曲线，根据a的大小关系可以判断增减性。
(4) 对数函数y=loga(x) (a>0, a≠1) 的图象是一条反比例函数的图象。
3.函数图象的平移(1)向右平移h个单位：将x替换为x-h，则对应的函数图象向右平移h个单位。
(2)向左平移h个单位：将x替换为x+h，则对应的函数图象向左平移h个单位。
(3)向上平移k个单位：将y替换为y-k，则对应的函数图象向上平移k个单位。
(4)向下平移k个单位：将y替换为y+k，则对应的函数图象向下平移k个单位。
4.函数图象的伸缩(1) 横向伸缩：将x替换为kx (k>0)，则对应的函数图象在x轴方向上缩短为原来的1/k倍；如果k<0，则函数图象在x轴方向上翻转。
(2) 纵向伸缩：将y替换为ky (k>0)，则对应的函数图象在y轴方向上伸长为原来的k倍；如果k<0，则函数图象在y轴方向上翻转。
5.函数图象的对称(1)关于x轴对称：将y替换为-y，则对应的函数图象关于x轴对称。
(2)关于y轴对称：将x替换为-x，则对应的函数图象关于y轴对称。
(3)关于原点对称：先进行左右对称，再进行上下对称。
6.函数图象的综合变换根据需要，可以将平移、伸缩和对称等操作综合运用于函数的图象，从而得到更加复杂的函数图象。
7.相关考点(1)函数的性质与图象：通过观察函数的图象，可以判断函数的奇偶性、增减性等性质。
(2)函数的反函数：反函数的图象是原函数的图象关于直线y=x的镜像。
高考数学艺体生文化课总复习第四章三角函数第3节三角函数的图象点金课件
C.y 2sin 1 x 2
D.y 2sin(2x π) 6
【答案】 A
【解析】 y sin(x- π )的图象S 横坐标伸长为原来的2倍 y sin( 1 x π )
3
23
的图象
向左平移 π个单位
3
y
sin[
1
(x
π
)
π]
sin(
1
x
π
)的图象.
2 33
26
故选A.
5.若将函数y sin(2x π )的图象向右平移 1 个周期后,所得图象对应
把得到的曲线向右平移 6 个单位长度,得到曲线C2.
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再 π
把得到的曲线向左平移 12 个单位长度,得到曲线C2.
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
,纵坐标不变,再
把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度,得到曲线C2. 1
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 2 ,纵坐标不变,再
D.向下平移
π 4
个单位
【答案】 B
【解析】
y
sin(x+
π
)的图象
向右平移 π个单位
4
y
sinx的图象.故选B.
4
3.(2017新课标Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x 2π ) ,则下
面结论正确的是 ( )
3
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再 π
把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度,得到曲线C2.
【答案】 D
【解析】
易知C1
:
2019年艺术生高考数学复习考点快速过关第三章三角函数与解三角形
第16课弧度制与任意角的三角函数要点梳理1.角的概念的推广终边相同的角:与角α的终边相同的角β的集合为.2.角的度量(1) 弧长公式:l=;(2) 扇形面积公式:S=rl=|α|r2.3.任意角的三角函数的定义设角α的终边上任意一点的坐标为P(x,y)(除原点),点P到坐标原点的距离为r(r=>0),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).4.三角函数的定义域在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是、、.激活思维1. (必修4P10习题2改编)在集合A={α|α=120°+k·360°,k∈Z}中,属于区间(-360°,360°)的角的集合是.2. (必修4P14例1改编)若点P在角的终边上,且OP=2,则点P的坐标为.3. (必修4P10习题8改编)已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,那么扇形的圆心角的弧度数为.4. (必修4P23习题16改编)已知角α的终边过点P(-8m,3),且cos α=-,那么sin α=.真题演练1. (2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),若cos2α=,则|a-b|=.(第2题)2. (2018·北京卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知,,,是圆x2+y2=1上的四段弧,点P 在其中的一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<cosα<sinα,则点P所在的圆弧是.能力提升(例1)例1如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.(1) 求cosβ的值;(2) 若点A的横坐标为,求点B的坐标.例2若角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.当堂反馈1.若120°的角的终边上有一点(-4,a),则a的值为.2.下列命题中,正确的是.(填序号)①小于的角是锐角;②若α是第一象限角,则必是第一象限角;③终边相同的角必相等;④第三象限角大于第二象限角;⑤若α,β的终边相同,则α-β的终边必在x轴的非负半轴上.第17课同角三角函数间基本关系式与诱导公式要点梳理1.同角三角函数间基本关系式(1) 平方关系:.(2) 商数关系:.诱导公式的规律可概括为十个字:奇变偶不变,符号看象限.激活思维1. (必修4P22练习7改编)若θ∈,,sin θ=,则tan θ=.2. (必修4P22练习9改编)若tan α=3,则-=.3. (必修4P19例1改编)计算:cos=.4. (必修4P22练习5改编)若cos(π+α)=-,且α∈-,,则tan=.真题演练1. (2015·四川卷)已知sinα+2cosα=0,那么2sinαcosα-cos2α的值是.2. (2018·镇江期末)已知锐角θ满足tanθ=cosθ,那么-=.能力提升例1已知f(α)=(-)(-)-(--),求f-的值.例2若sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ=.当堂反馈1.已知sin-=,且2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),求sin(α-7π)的值.2.若直线4x-3y+1=0的倾斜角为α,则cos4α-sin4α=.第18课三角变换要点梳理1.两角和(差)的三角函数公式(1) sin(α±β)=.(2) cos(α±β)=.(3) tan(α±β)=.2.二倍角公式(1) 二倍角的正弦:sin 2α=.(2) 二倍角的余弦:cos 2α=.(3) 二倍角的正切:tan 2α=.激活思维1. (必修4P96练习4改编)计算:sin 12°cos 18°+cos 12°sin 18°=.2. (必修4P102习题4改编)计算:--=.3. (必修4P106例2改编)已知sin α=,α∈,,那么 sin 2α=.4. (必修4P94习题6改编)函数f(x)=sin x-cos x,x∈,的最小值为.真题演练1. (2018·全国卷Ⅲ)若sinα=,则cos2α=.2. (2018·全国卷Ⅱ)已知tan-=,那么tanα=.能力提升例1若cos-=,则sin-的值是.例2已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1) 求tan2α的值;(2) 求β的值.当堂反馈1.若sin-=,α∈,,则cosα的值为.2.若sin=,则sin-+sin2-=.第19课三角函数的图象和性质要点梳理1.2.函数y=A sin(ωx+φ)的图象(1) 用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤:①列表;②描点;③连线.(2) 用“变换法”.由函数y=sin x的图象得到函数y=A sin(ωx+φ)的图象的规律:①由y=sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度,得到的图象;纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象;横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到的图象.②由y=sin x的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象;向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度,得到的图象;横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到的图象.激活思维1. (必修4P26例2改编)函数y=sin的最小正周期为.2. (必修4P33练习2改编)函数y=tan-的定义域为.3. (必修4P32练习5改编)函数y=sin x的值域为.4. (必修4P40习题4改编)函数y=3sin(x∈[0,π])的单调增区间为.真题演练1. (2018·江苏卷)已知函数y=sin(2x+φ)-的图象关于直线x=对称,那么φ的值为.2. (2018·天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数的单调增区间为.能力提升例1已知函数y=3sin-.(1) 用“五点法”作函数的图象;(2) 说出此图象是由y=sin x的图象经过怎样的变化得到的;(3) 求此函数的对称轴、对称中心和单调增区间.例2(2018·北京卷)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若f(x)在区间-,上的最大值为,求m的最小值.当堂反馈1.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sin-的图象,则φ=.2. (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是单调减函数,则a的最大值是.第20课正弦定理与解三角形要点梳理1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理:(其中R为△ABC的外接圆的半径).变式:(1) a=2R sin A,b=,c=;(2) sin A=,sin B=,sin C=;(3) a∶b∶c=;(4) ===(等比性质).2.三角形面积公式S△ABC=ab sin C====.(其中R为△ABC的外接圆的半径,r为△ABC的内切圆的半径)激活思维1. (必修5P8练习1改编)在△ABC中,若A=60°,B=75°,a=10,则c=.2. (必修5P10练习2改编)在△ABC中,若a=5,c=10,A=30°,则B=.3. (必修5P10练习3改编)在△ABC中,若A=60°,a=,则=.4. (必修5P11习题6改编)在△ABC中,若a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.真题演练1. (2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=,的取值范围是.2. (2018·全国卷Ⅰ)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.能力提升例1在△ABC中,已知AC=6,cos B=,C=.(1) 求AB的长;(2) 求cos-的值.例2(2018·镇江期末)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a·cos B=-2c cos C.(1) 求角C的大小;(2) 若b=2a,且△ABC的面积为2,求c.当堂反馈1. (2018·南京、盐城、连云港二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b sin A sin B+a cos2B=2c,则的值为.2. (2018·苏锡常镇调研(一))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=-,则cos A=.第21课余弦定理与解三角形要点梳理1.余弦定理:a2=,b2=,c2=.2.变式:cos A=,cos B=,cos C=.激活思维1. (必修5P15练习1改编)在△ABC中,若a=,b=1,c=2,则A=.2. (必修5P17习题6改编)已知△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,那么此三角形的最大内角为.3. (必修5P17习题5改编)在△ABC中,若c=2a cos B,则△ABC是三角形.4. (必修5P15习题3改编)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是.真题演练1. (2018·浙江卷)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=,c=.2. (2018·全国卷Ⅲ)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为-,则C=.能力提升例1在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sin A=4b sin B,ac=(a2-b2-c2). (1) 求cos A的值;(2) 求sin(2B-A)的值.例2(2018·天津卷)在△ABC中,已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b sin A=a cos-.(1) 求角B的大小;(2) 设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.当堂反馈1. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在△ABC中,已知AB=1,AC=,B=45°,那么BC的长为.2. (2018·无锡期末)在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.(1) 求cos B的值;(2) 若ac=24,求△ABC的周长.第三章三角函数与解三角形第16课弧度制与任意角的三角函数要点梳理1. {β|β=k·360°+α,k∈Z}2. (1) |α|r3.4. R R∈激活思维1. {-240°,120°}2. (-1,)3. 1或44.真题演练1.【解析】如图,假设角α为第一象限角.由cos2α=,得2cos2α-1=,解得cosα=,所以cosα==,解得a=;cosα==,解得b=,所以|a-b|=.(第1题)2.【解析】如图,在同一平面直角坐标系中分别作出y=tanα,y=sinα,y=cosα在[0,2π]上的图象.由图知,当α∈时,cosα<sinα;当α∈,其中<a<π时,tanα<cosα.即当α∈,其中<a<π时,恒有tanα<cosα<sinα,所以<α<π,故点P在上.(第2题)能力提升例1【解答】(1) 在△AOB中,由余弦定理得, cos∠AOB=-·=-=,即cosβ=.(2) 因为cosβ=,β∈,所以sinβ=-=-=.因为点A的横坐标为,由三角函数定义可得,cosα=,又α为锐角,所以sinα=-=-=,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=,所以点B-.例2【解答】因为x=4a,y=-3a,所以r=-=5|a|.当a>0时,r=5a,所以sinα==-=-,cosα==,tanα=-=-.当a<0时,r=-5a,所以sinα==--=,cosα=-=-,tanα=-=-.当堂反馈1. 42.⑤第17课同角三角函数间基本关系式与诱导公式要点梳理1. (1) sin2α+cos2α=1(2) tan α=激活思维1. -2.3. -4.真题演练1. -12. 3+2【解析】由tanθ=cosθ,得sinθ=cos2θ,即sinθ=(1-sin2θ),解得sinθ=(负值舍去),cosθ=,所以原式=3+2.能力提升例1【解答】因为f(α)==-cosα,所以f-=-cos--=-cos=-.-例2【答案】-【解析】由sinθ+cosθ=①,两边平方得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,即1+2sinθcosθ=,所以2sinθcosθ=-<0.又因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=-=-=②.由①②两式,解得sinθ=,cosθ=-,所以tanθ=-.当堂反馈1.【解答】由sin-=,得cosα=-.因为2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),所以sinα=-,sin(α-7π)=-sinα=.2. -【解析】由直线4x-3y+1=0的倾斜角为α,知tanα=,故cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=-=-=-=-.第18课三角变换要点梳理1. (1) sin αcos β±cosαsin β(2) cos αcos β∓sin αsin β(3)∓2. (1) 2sin αcos α(2) cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(3)-激活思维1.2.3. -4. -真题演练1.2.【解析】由题知tanα=tan-=---=-=.能力提升例1【答案】-【解析】令β=α-,则cosβ=,α=β+,从而2α-=2β+,所以sin-=sin=cos2β=2cos2β-1=2×-1=-.例2【解答】(1) 由cosα=,0<α<,得sinα=,所以tanα=4,所以tan2α=-=-.(2) 由0<β<α<,可得0<α-β<,因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=--=,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,所以β=.当堂反馈1.-【解析】因为α∈,所以α-∈-.又sin-=,所以cosα-=,所以cosα=cos-=cosα-cos-sin-sin=×-×=-.2.【解析】由题知sin-+sin2-=sin-+sin2-=sin+cos2=sin+1-sin2=+1-=.第19课三角函数的图象和性质要点梳理2.y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)y=sinωx y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)激活思维1.4π2.∈3.4.真题演练1. -【解析】由题知sin=±1,则+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z).因为-<φ<,所以φ=-.2.-(k∈Z)【解析】将函数y=sin的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=sin2x的图象.由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以函数y=sin2x的单调增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).能力提升例1【解答】(1)②描点.③作图:如图所示.(例1)(2) 方法一:“先平移,后伸缩”.先将y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象;再将y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象;最后将y=sinx-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.方法二:“先伸缩,后平移”.先将y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象;再将y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象;最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(3) 因为y=3sin-是周期函数,通过观察图象可知,所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令x-=+kπ(k∈Z),解得x=+2kπ(k∈Z),即为对称轴方程.所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心,令x-=kπ(k∈Z),得x=+2kπ(k∈Z),所以对称中心为点(k∈Z).因为x前面的系数为正数,所以,令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得x∈-+4kπ,+4kπ,k∈Z,即为函数的单调增区间.例2【解答】(1) 因为f(x)=-+sin2x=sin2x-cos2x+=sin-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2) 由(1)知f(x)=sin-+.因为x∈-,所以2x-∈-,2m-.要使f(x)在-上的最大值为,即sin2x-在-上的最大值为1,只需2m-≥,即m≥, 所以m的最小值为.当堂反馈1.2.【解析】因为f(x)=cos x-sin x=cos x+,由2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),得函数f(x)的单调减区间为-(k∈Z).又f(x)在[0,a]上单调递减,所以[0,a]⊆-,所以a≤,所以a的最大值为.第20课正弦定理与解三角形要点梳理1.===2R (1) 2R sin B 2R sin C (2) (3) sin A∶sin B∶sin C2.bc sin A ac sin B r(a+b+c)激活思维1.2.105°或15°3. 24. 4真题演练1.(2,+∞)【解析】由正弦定理得S△ABC=ac sin B=(a2+c2-b2),即sin B=cos B.因为B为△ABC的内角,所以B=.由正弦定理得==-=·+.又因为C为钝角,所以+A<,即0<A<,所以0<tan A<,所以>2.2.【解析】由b2+c2-a2=8,得2bc cos A=8,所以A为锐角,且bc cos A=4.由题意及正弦定理得sin B sin C+sin C sin B=4sin A sin B sin C,因为sin B≠0,sin C≠0,所以sin A=,所以A=30°,所以bc cos30°=4,即bc=,所以△ABC的面积为S=bc sin A=××=.能力提升例1【解答】(1) 因为cos B=,0<B<π,所以sin B=-=-=,由正弦定理知=,所以AB=·==5.(2) 在△ABC中,因为A=π-(B+C),所以cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin.又cos B=,sin B=,所以cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A=-=,所以cos-=cos A cos+sin A sin=-×+×=-.例2【解答】(1) 由正弦定理==,且b cos A+a cos B=-2c cos C,得sin B cos A+sin A cos B=-2sin C cos C,所以sin(B+A)=-2sin C cos C.因为A,B,C为△ABC的内角,所以B+A=π-C,所以sin C=-2sin C cos C.又C∈(0,π),所以sin C>0,所以cos C=-,所以C=.(2) 因为△ABC的面积为2,所以ab sin C=2,所以ab=.由(1)知C=,所以sin C=,所以ab=8.又因为b=2a,解得a=2,b=4,所以c2=a2+b2-2ab cos C=22+42-2×2×4×-=28,所以c=2.当堂反馈1. 2【解析】由正弦定理,得sin B sin A sin B+sin A·cos2B=2sin C,即sin A(sin2B+cos2B)=2sin C,即sin A=2sin C.又由正弦定理得,==2.2.【解析】由+1=,得+1=,即=.在△ABC中,因为sin(A+B)=sin C,由正弦定理=,得·=,故cos A=.第21课余弦定理与解三角形要点梳理1.b2+c2-2bc cos A a2+c2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C2.---激活思维1.60°2.150°3.等腰4.真题演练1.3【解析】由正弦定理=,得sin B==.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得c2-2c-3=0,解得c=3.2.【解析】由三角形的面积公式,得-=ab sin C,又由余弦定理得-=cos C,所以cos C=sin C,因为C∈(0,π),所以C=.能力提升例1【解答】(1) 由a sin A=4b sin B及=,得a=2b.又由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cos A=-=-=-.(2) 由(1)可得sin A=,代入a sin A=4b sin B,得sin B==.由(1)知,A为钝角,所以cos B=-=,所以sin2B=2sin B cos B=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2B cos A-cos2B sin A=×--×=-.例2【解答】(1) 在△ABC中,由正弦定理=,得b sin A=a sin B.又由b sin A=a cos-,得a sin B=a cos B-,即sin B=cos-,所以tan B=.又因为B∈(0,π),所以B=.(2) 在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.又由b sin A=a cos-,得sin A=.因为a<c,所以cos A=,所以sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=,所以sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.当堂反馈1.【解析】在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题知c=1,b=,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得a2-a-1=0.因为a>0,所以a=,即BC=.2.【解答】(1) 因为cos A=,C=2A,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=,又cos C=,所以sin C=-=,故cos B=-cos(A+C)=sin A sin C-cos A cos C=.(2) 由正弦定理=,得==.因为ac=24,所以a=4,c=6.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=25,所以b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=15.。
高考数学艺体生文化课第三章函数第8节函数图象与零点课件
函数B y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) y=f(2a-x)
图象间的对称关系 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
关于直线x=a对称
3.翻折变换:
原函数
图象变换过程
变换后的函数
作y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的 y=f(x) 部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其
画出y (1 )x 和y x12的图象知道,它们只有一个交点, 2
所以函数f
(x)
1
x2
( 1 ) x的零点个数为1个, 选B.
2
【例3】
(2014北京)已知函数
f
(x)
6 x
log2
x ,在下列区间中,包
含f(x)零点的区间是 ( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4,+∞)
ex x2
的图象大致为
()
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 x 0,
f (x)
ex ex x2
f (x),
f
( x)为奇函数, 舍去A,
f (1) e e1 0,舍去D;
f '(x) (ex ex )x2 (ex ex )2x (x 2)ex (x 2)ex ,
3.函数 f (x) 2x 2 a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值
x
范围是
()
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)
2019年高考数学艺术类考生专用复习资料：函数的图象
2019年高考数学艺术类考生专用复习资料
函数的图象
要点梳理
1.作函数图象的两种方法
(1)描点法:①;②;③.
运用描点法作图前,必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数,这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性,从而确保表列在关键处,线连在恰当处.
(2)图象变换法:包括变换、变换、变换.
2.数形结合、分类讨论及等价转化等数学思想是解决函数图象和性质问题的关键.
激活思维
(第1题)
1.(必修1P31练习2改编)已知函数f(x)的图象如图所示,那么f(x)=.
2.(必修1P94练习24改编)为了得到函数y =lg的图象,只需把函数y=lg x图象上所有的点向平移3个单位长度,再向平移个单位长度.
3.(必修1P29练习6改编)方程|x -1|=的正实数根的个数是.
4.(必修1P28练习3改编)已知四个函数①y=f1(x);②y=f2(x);③y=f3(x);④y=f4(x)的图象如图所示,则下列等式中成立的是.(填序号)
(1)f1(x1+x2)=f1(x1)+f1(x2);(2)f2(x1+x2)=f2(x1)+f2(x2);
(3)f3(x1+x2)=f3(x1)+f3(x2);(4)f4(x1+x2)=f4(x1)+f4(x2).
2019年高考数学艺术类考生专用复习资料第1 页共6 页。
艺术生高考数学知识点
艺术生高考数学知识点数学在高考中是所有考生的必考科目之一，包括艺术生在内。
虽然艺术生的重点是文化课考试，但数学同样是不能忽视的一门学科。
本文将对艺术生高考数学的重点知识点进行梳理和总结，以帮助艺术生更好地备考数学科目。
一、函数与方程1.1 函数及其表示艺术生在数学中需要掌握函数的概念及其表示方法。
函数由自变量和因变量组成，通常用 f(x) 或 y 表示。
1.2 一次函数与二次函数一次函数的特征是其图像为一条直线，可以通过截距和斜率来确定。
二次函数的特征是其图像为一个抛物线，可以通过顶点、焦点等关键点来确定。
1.3 方程与不等式艺术生需熟练掌握方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等。
二、数列与数列求和2.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数，包括等差数列和等比数列等。
2.2 等差数列与等比数列艺术生需要了解等差数列和等比数列的特点及其求解方法。
2.3 数列的通项公式与求和公式数列的通项公式是指通过一个通项公式可以直接求得数列中任意一项的公式。
数列的求和公式是指通过一个公式可以直接求得数列的前n项和。
三、平面几何与空间几何3.1 平面几何基础知识艺术生需要熟悉平面几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括线段、角、三角形、四边形等的性质和判定方法。
3.2 圆的性质与相关定理圆是平面几何的重要内容之一，艺术生需要掌握圆的性质以及与之相关的定理，如切线定理、弦切角定理等。
3.3 空间几何基础知识艺术生需要了解立体几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括直线、平面、三棱锥、四棱锥等的性质和判定方法。
四、概率与统计4.1 概率的基本概念艺术生需要掌握概率的基本概念，包括样本空间、事件等。
4.2 概率的计算艺术生需要熟悉概率的计算方法，包括事件的概率计算、事件的互斥与对立等。
4.3 统计的基本概念与分析方法艺术生需要了解统计的基本概念和分析方法，包括频数、频率、频率分布表、统计图等。
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函数模块 巩固训练3
1、用列举法表示集合=∈∈-=},512|{**N x N x
x A 2、集合}1|{2-==x y y A ，}2|{-==x y x B ，R U =，则=B C A U
3、集合}023|{2=+-=x x x A ，}03|{2=+-=k x x x B ，若A B A = ，则实数k 的取值构成的集合是
4、集合}01|),{(=-+=y kx y x A ，}01|),{(=++=ky x y x B ，若φ=B A ，则实数k 所能取值的集合是
5、集合}1,0,1{-=A ，},{b a B =，则从B A →的映射个数是
6、有下列四组函数：①1+=x y 与2)1(+=x y ，②x y =与x e y ln =，③1+=x y 与
1+=t y ，④1-=x y 与1
12+-=x x y ，其中表示相同函数的组数是 7、函数x x f 211
)(-=的定义域是
10、函数]2,1[,2)(2-∈-=x x x x f 的值域是
11、函数228x x y --=的单调递减区间是
12、若函数a ax x y -+=22在区间),1[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
13．已知函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点（-1，2），那么a 的值等于____ _。
14．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝_ _．
15．已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数m =________
16．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-
则()()5f f =______ ____。
17、已知奇函数)(x f 在定义域]1,1[-内是增函数，求满足0)2()23(2>-+-m f m f 的实数m 的取值范围。
18、求函数0,2)(>+=x x
x x f 的单调区间。