利用解析几何解带电粒子在磁场中运动的问题
带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心，从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。
1、首先确定圆心：一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
三个常用方法：方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
例1：如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。
求匀强磁场的磁感应强度B与射出点的坐标。
解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为3260sinaar==，洛仑兹力是向心力rmvqBv2=，由①②解得aqmvBar23,32==.射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，a3）。
方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置与其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2：电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）解析：（1）联结AP的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP的中垂线，由于电子通过A点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A 点的半径与磁场的左边界重合。
AP 弦的中垂线OC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心，以O 为圆心以OA 为半径画圆弧，如图3所示， （2）在M 、N 间加速后获得的速度为v ，由动能定理得： 221mv eU = 电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ，则：rv m eBv 2= 在△AQP 中：22sin d L L +=θ 在△ACO 中 ：rd L rAC 2/sin 22+==θ由①②③④解得：B=emU d L L 2222+ 方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心 当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入与射出时的速度的方向与射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线与半径的交点确定圆心。
高中物理-“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析
“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。
重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。
下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。
求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。
分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。
由图可知粒子圆周运动的半径由有。
再由洛仑兹力作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之。
②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为。
【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。
（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。
D121带电粒子在磁场中运动的多解问题解读
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题
1. 带电粒子电性不确定、例1
2. 磁场方向不确定、例2
3. 临界状态不惟一、例3
例4
06年南通市调研测试一18
例5
4. 运动的重复性、例6
06年广东汕头市二模18
06年江苏连云港市最后模拟考试17
07年1月北京市崇文区期末统一练习17
3. 临界状态不惟一 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能 有多种情况。
4. 运动的重复性
带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动 时，运动往往具有重复性，因而形成多解。
1. 带电粒子电性不确定形成多解
受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带 负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运 动轨迹不同，导致形成双解。
即
Bdq v0 4m
l
d/2 v0 乙
当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆
心为图中O2点，半径为r2。由几何关系可得
r22
（r2
d）2 2
l 2，
d l2 r2 4 d
因此粒子从右边射出必须满足的条件是r≥r2
( d 2 4l 2 )qB
即 v0
4dm
所以当
v0
Bdq 4m
或
n ∙ 2R1 =x
④
y
R1 ≤d
⑤
解得 R1 =8.0/n ( cm ) (n = 2, 3, 4…) ⑥
OE dⅠ
a
6.4 104
Ⅱ
E n2 V/m
( n 2,3,4) ⑦
P (x,y)
浅析带电粒子在磁场中运动的多解问题
根据牛顿第二定律有：
qv1B = mv12/R1
解得：v1= qB (d2+L2) /2md
（2）粒子入射速度为v2时，轨迹半径为R2，由几何知识知：R2= d/2
根据牛顿第二定律有：
qv2B = mv22/R2
解得：v2= qBd/2m
所以粒子入射速度v应满足的条件是：v>v1或v<v2
三、粒子运动的周期性引起的多解问题
【例2】如图5所示，垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界，左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s的速度垂直MN进入右侧的磁场区域，求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。
【解析】（1）若粒子经过P点的轨迹如图6所示，
则粒子运动的时间
（2）若粒子经过P点的轨迹如图7所示，
题
江苏省泰州中学 高峰
带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题，下面通过实例对此类问题进行分析。
一、粒子的带电性质不明的情况
【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。
【解析】欲使粒子不能打到金属板上，则粒子可能会从磁场右侧飞出，圆周运动的半径较大；粒子也可能会从磁场左侧飞出，圆周运动的半径较小。那么粒子不会打到金属板的临界条件就有两个：粒子刚好从金属板M的右侧边缘和左侧边缘射出。其临界条件所对应的运动轨迹如图4所示。
带电粒子在磁场中运动问题解析讲义.
难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点形成原因：1、由于受力分析、圆周运动、曲线运动、牛顿定律知识的不熟悉甚至于淡忘，以至于不能将这些知识应用于带电粒子在磁场中的运动的分析，无法建立带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的物理学模型。
2、受电场力对带电粒子做功，既可改变粒子的速度（包括大小与方向）又可改变粒子的动能动量的影响，造成磁场中的洛仑兹力对带电粒子不做功（只改变其速度的方向不改变其大小）的定势思维干扰，受电场对带电粒子的偏转轨迹（可以是抛物线）的影响，造成对磁场偏转轨迹（可以是圆周）的定势思维干扰。
从而使带电粒子在电场中的运动规律产生了对带电粒子在磁场中的运动的前摄抑制。
3、磁场内容的外延知识与学生对物理概念理解偏狭之间的矛盾导致学习困难。
二、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用． ②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行．2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断4. 洛伦兹力不做功．（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动． ①向心力由洛伦兹力提供：R v m qvB 2= ②轨道半径公式：qB mv R =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m 有关，与v 、R 无关。
高考必会轨迹法解带电粒子在匀强磁场中的运动问题
专题：轨迹法解带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的匀速圆周运动一、知识提要带电粒子（不计重力）以垂直于磁场方向的初速度进入匀强磁场，受洛伦兹力而做匀速圆周运动。
根据洛伦兹力充当向心力：rm v qvB 2=，推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：Bq m T Bq mv r π2,==。
二、方法指导轨迹法（画圆心．．．，定半径．．．，）充分利用几何关系．．．．作题。
三、针对训练类型一：有确定的磁场边界和确定的单一入射方向1．图中MN 表示真空室中垂直于纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B 。
一带电粒子从平板上的狭缝O 处以垂直于平板的初速v 射入磁场区域，最后到达平板上的P 点。
已知B 、v 以及P 到O 的距离l ，不计重力，求此粒子的电荷q 与质量m 之比。
2．一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P (a ，0)点以速度v ，沿与x 正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。
求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点S 的坐标。
BxA A 33.如图所示，正方形区域abcd 中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。
一个氢核从ad 边的中点m 沿着既垂直于ad 边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab 边中点n 射出磁场。
沿将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是A.在b 、n 之间某点B.在n 、a 之间某点C.在a 点D.在a 、m 之间某点4．如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？（不考虑正、负电子间的相互作用）5．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60º。
带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
例1．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ B ）A．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹越长B．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同例2．如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的( )A．带电粒子的比荷B．带电粒子在磁场中运动的周期C．带电粒子的初速度D．带电粒子在磁场中运动的半径解析：由带电粒子在磁场中运动的偏向角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得磁场宽度l ＝R sin 60°＝mv 0qB sin 60°，又未加磁场时有l ＝v 0t ，所以可求得比荷q m ＝sin 60°Bt，A 项对；周期T ＝2πm qB可求出，B 项对；但初速度未知，所以C 、D 项错． 答案：AB例3．如右图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子(不计重力)第一次以速度v 1沿截面直径入射，粒子飞入磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v 2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的( )A ．半径之比为3∶1 B．速度之比为1∶ 3C ．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2答案：AC1．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电量均相同的正、负离子，从O 点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成 角。
带电粒子在磁场中运动问题的解题思路
B
O
V
方法一：过两点作速度的垂线，两 垂线交点即为圆心。
如图所示，一个带负电的粒子以速度v由坐标原点 射入磁感应强度为B的匀强磁场中，速度方向与x 轴、y轴均成45°。已知该粒子电量为-q，质量为 m，则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是1-3-11所示，在圆心为O、半径为r的圆形区
带电粒子在磁场中运动问题的解题思路
It is applicable to work report, lecture and teaching
带电粒子在磁场中运动问题的解题思路
画轨迹
找圆心
定半径
定圆心角
一、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
（一）对称法
（1）带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出： 则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向 与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）； （2）带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场： 则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）
二、临界法
如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽 为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为 e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，
欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子
速率v 的取值范围
三、旋转圆法 四、缩放圆法
二、如何确定轨迹圆心
（一）已知带电粒子经过轨迹圆上两点及其速度方向 AV
如图所示，一个带负电的粒子以速度v由坐标原点射入磁感应强度 为B的匀强磁场中，速度方向与x轴、y轴均成45°。已知该粒子电 量为-q，质量为m，则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是多少
45
45
O
四、如何确定圆心角 （一）利用弦切角和圆心角的关系
如图所示，一个带负电的粒子以速度v由坐标原点射入磁感应强度 为B的匀强磁场中，速度方向与x轴、y轴均成45°。已知该粒子电 量为-q，质量为m，则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是多少
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利用解析几何解带电粒子在磁场中运动的问题
作者：付洁梅
来源：《新校园(下)》2015年第01期
摘要：近几年浙江课改特别强调学生应具备用数学知识解决物理问题的能力。
高中物理的许多问题用数学知识可以很巧妙地解决，这给教师教学和学生学习都提供了一种新途径。
其中解析几何是处理物理问题的重要方法之一。
本文将尝试应用解析几何的方法解决带电粒子在磁场、电场中运动的问题
关键词：解析几何；带电粒子；动点轨迹方程；曲线的交点坐标
解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，其研究方法是将几何图形用代数方程来表示。
解析几何在高中的应用主要有两个方面：一是将物理规律（方程）转化为几何图象，利用图象的性质和几何方法来研究物理问题；二是将图形或图象转化为方程，用求解代数方程的方法研究物理问题。
本文从第二个方面出发，求动点轨迹方程和求曲线的交点坐标。
一、求动点轨迹方程
例1：如图1所示，平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，距离为2a。
有一簇质量为m、带电量为+q的带电微粒，在xoy平面内，从P点以相同的速率斜向右上方的各个方向射出（即与x轴正方向的夹角θ，0°
（1）匀强电场场强E的大小和方向；
（2）若微粒在磁场中运动的轨道半径为a，求与轴正方向成30°角射出的微粒从P点运动到Q点的时间t；
（3）若微粒从P点射出时的速率为v，试推出在x>0的区域中磁场的边界点坐标x与y 之间满足的关系式。
分析与解：这道题的第（3）个小问题是要把满足这一要求的所有的点都找出来，一个个去找，这不是出题者的初衷。
我们可以任取一个发射角θ，离开磁场的速度方向指向Q点，如图2，出射点为A点，A点的坐标为（x，y）。
可以根据几何关系，∠AO′B=∠AQO=θ，用已知量把出射点坐标表示出来，设粒子轨迹半径为r：
二、求曲线的交点坐标
例2：有一等腰直角三角形区域，直角边长为2a。
在该区域，有一垂直纸面向内磁感应强度为B的匀强磁场。
一束质量为m，电荷量为q，速度范围在[0，]之间的带负电粒子从中点O 垂直直角边射入该磁场区域，在另一直角边放置一块足够大的荧光屏，如图3所示。
重力不计，求：
（1）速度至少为多大的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑。
（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系。
（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系。
（4）荧光屏上光斑的分布区域。
分析与解：本题的第（4）个小问题分两块，落在磁场内的位置容易找到，这里不讨论。
如果有粒子穿过斜边落在磁场区域外，在x轴上的坐标怎样求？如图4，建立直角坐标系，设出射点为A，坐标为（x，y），落在x轴的点为B，最大速度对应的半径为R==5a，圆心O″的坐标为（0，-4a），圆方程为x2+（y+4a）2=（5a）2斜边的直线方程为x+y=2a，解出圆与直线的交点（3a-a，-a+a）。
由于O″A与AB垂直，所以两条直线的斜率k1k2=-1，根据解析几何的知识，过交点的切线方程为： y-（-a+a）=[x-（3a-a）]，当y=0时，求出最远处的光斑坐标为x0=a。
所以，在磁场外光斑分布区域为（2a，a]。
本题如果采用运动规律来求解，会遇到非特殊角的三角形问题，不便于求解，而采用解析几何的方法，直接求交点，便于求解。
应用数学知识处理物理问题的能力是学习物理的主要能力之一，研究中加强平面解析几何的知识和应用，无疑对学习物理有相当大的帮助。
解析几何把“数”和“形”联系起来，而在物理问题中，“数”和“形”都蕴含着特定的物理意义。
只有透过“数”和“形”的现象，深入地挖掘物理实质，才能达到解析几何处理物理问题的更高境界。
我们在教学过程中，不能仅局限于对知识点的讲解，以做题为目的，而忽略了知识和方法的拓展，这样容易让学生形成思维定式。
在教学过程中，教师若能关注每一个细节，在任何一点上都能尽可能多地启发学生思考，寻找更多解决问题的方案，必能更好地拓展学生的思维能力。