大一《力学》复习纲要

《力学》复习纲要质点运动学一．参照系与坐标系1．参照系：运动是相对的，所以需要参照系。

选择不同参照系对同一质点运动的描述是不同的。

2．坐标系：为定量描述质点的位置变化，需建立坐标系。

⎩⎨⎧自然坐标系直角坐标系二．描述质点运动的物理量1．位置矢量、运动方程与轨道方程位置矢量：j y i x r+=运动方程：)(t r r= ⎩⎨⎧==)()(t y y t x x轨道方程：0),()()(=−−→−⎩⎨⎧==y x f t y y t x x t消去 2．位移与路程位移：r ∆=)()(t r t t r-+∆ 路程：∆s='PmP 3．速度)(t r r=，)(t s s =平均速度： )()( tt r t t r t rv ∆∆∆∆-+==瞬时速度：dtr d t r v t==→ lim 0∆∆∆ 平均速率： )()( t t s t t s t s v ∆∆∆∆-+==瞬时速率：dt dst s v t ==→ lim 0∆∆∆∆ v v ≠，v v =4．加速度)(t v v=平均加速度：tt v t t v t v a ∆∆∆∆)()(-+== X图1jX图01j瞬时加速度：220lim dt r d dt v d t v a t===→∆∆∆ 三．质点运动学的一般计算1）已知运动方程，求速度和加速度)(t r r = −→− dtr d v = −→− 22dt r d dt v d a==j y i x r+= j v i v v y x += j a i a a y x +=⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==dt dy v dtdx v y x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2222dt y d dt dv a dtx d dt dv a y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x r r θtan 22 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=x y v yx v v v v v θtan 22 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=x y a yx a a a a a θtan 222）已知加速度和初始条件，求速度和运动方程)(t a a= −→− 1C dt a v +⎰= −→− 2C dt v r +⎰=j a i a a y x += j v i v v y x += j y i x r+=⎩⎨⎧==)()(t a a t a a y yx x⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰y y y xx x C dt a v C dt a v 11 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰yy xx C dt v y C dt v x 22 积分常数),(111y x C C C 、),(222y x C C C 由初始条件)(000000⎪⎩⎪⎨⎧======yt yx t x t v v v v v v、)(00000⎪⎩⎪⎨⎧======y yx x r rt t t确定。

四．圆周运动：1. 圆周运动的加速度：τ v v =，n a a a n+=ττdt ds v =，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==R va dt dv a n 2τ 2. 圆周运动的角量描述：图4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====22)(dt d dt d dt d t θωβθωθθ3. 角量与线量的关系： ωR v =，⎩⎨⎧==2ωβτR a R a n五．相对运动：位移 速度 加速度物体相对'S 'r∆ 'v 'a'S 相对S 0r ∆ 0v 0a物体相对S 0'r r r ∆∆∆+= 0 'v v v += 0'a a a+=质点动力学一．牛顿运动定律 1．理解牛顿运动定律 1）第一定律定性反映了物体的运动与其受力之间的关系：力求使物体的运动状态发生改变；第二定律定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：a m F=；牛顿第三定律反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。

牛顿运动三定律反映了物体间的相互作用和物体运动之间的相互关系：正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界千变万化，多姿多彩。

2）物体的质量：物体惯性大小的量度。

3）力：物体与物体间的相互作用。

4）牛顿运动定律只有在惯性参照系中成立。

2．牛顿第二定律的应用牛顿第二定律的数学表达式：矢量式：22dt r d m dt v d m a m F===分量式：直角坐标系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======2222dt yd m dt dv m ma F dtxd m dt dv mma F y y y x x x自然坐标系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====ρττ2v mma F dt dv m ma F n n用牛顿第二定律解质点动力学问题：1）已知质点的运动：)(t r r=，求质点的受力：求导过程2）已知质点的受力：),,(t v r F F=，求质点的运动：解微分方程 解题要点：1）受力分析（隔离法）2）对每一个质点写出牛顿方程的矢量量式：a m F= 3）建立坐标系，化矢量式为分量式 4）解方程（组） 3．质心运动定理（1）质心：由下式决定的位置矢量C r所表示的点C 称为质点系的质心：Mr m r iii C ∑=（∑=ii m M ）质量连续分布： M dm r r C ⎰= （2）质心运动定理C a M F =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====∑∑∑22dt r d a m a m M F F Ci i i i ii i二．动量定理与动量守恒定律1．单质点的动量定理0p p I-=⎪⎩⎪⎨⎧===⎰vm p v m p dtF It t ,0002．质点系的动量定理 0p p I-=⎪⎩⎪⎨⎧=====∑∑⎰∑Ci i i C i i i t t ii v M v m p v M v m p dtF I,)(0000 ∆ 内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变系统的总动量。

3．质点系的动量守恒定律C v v m v m p p F C ii i ii i ii ===→∑∑∑或或00⎪⎩⎪⎨⎧===→===→∑∑∑∑∑∑yCy i y i i i iy i y y iiy x Cx ix i i i ix i x x i ix C v v m v m p p F C v v m v m p p F 或或或或0000∆ 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒。

三．动能定理、功能原理与机械能守恒定律 1．单质点的动能定理 0k k E E A -=⎪⎩⎪⎨⎧====⋅=⎰⎰⎰220021,21):(000mvE mv E Fdx A dsF r d F A k k x x r r r r 一维运动τ2．质点系的动能定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+=-=∑∑i i i k i ii k k k v m E v m E A A A A A E E A 2200021,21::所内外力做功的和所有外力做功的和内外内外 ∆ 内力不改变系统的组动量，但内力要改变系统的总动能。

3．质点系的势能与功能原理保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。

质点系的势能：受保守力作用的质点在空间某一点的势能为将质点从零势能参考点沿任意路径运动到该点的过程中保守力作功的负值：⎰⋅-==r r p p r d F r E E)(保0r为零势能参考点。

⎪⎩⎪⎨⎧====)0(21)0(2为零势能参考点弹性势能：为零势能参考点重力势能：x kx E h mgh E p p 质点系的功能原理：0 E E A A -=+非保内外⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧+=能的和所有保守内力对应的势系统总动能做功的和所有非保守内力对系统和所有外力对系统做功的非保内外::::p k p K E E E E E A A4．机械能守恒定律封闭保守系统：⎪⎩⎪⎨⎧==00非保内外A A →0E E =刚体力学一．刚体定轴转动的描述1．描述刚体定轴转动的物理量 角位置：θθ=()t 角速度：dtd θω=角加速度：22dtd dt d θωβ== ∆角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。

2．角量和线量的关系ωr v =， ⎩⎨⎧==2ωβτr a r a n二．转动定律βI M =1．力矩：i i i F r M⨯=⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥==):( ,,:sin :沿转轴方向定轴转动满足右手螺旋定则方向大小i i i i ii i i i i r M F M d F r F M ϕ∑=ii M M2．转动惯量物理意义：刚体转动惯性大小的量度。

图23图251计算：⎰∑−−−−→−∆=dm r r m I ii i 22质量连续分布3．转动定律的应用解题要点： 1）受力分析2）列方程：⎪⎩⎪⎨⎧===ββR a I M a m F :::::无滑动条件根据转动定律刚体根据牛顿第二定律质点3）解方程二．动能定理和机械能守恒 1．刚体的动能定理： 0k k E E A -=⎪⎩⎪⎨⎧==⎰2210ωθθθI E Md A k2．含有刚体的复杂系统的机械能守恒：封闭保守系统，机械能守恒，即 =+=p k E E E 常数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====C p k p k Mgh E I E mgh E mv E ,21:,21:22ω刚体质点三．角动量定理与角动量守恒定律1．刚体的的角动量定理和角动量守恒定律00L L Mdt tt -=⎰⎩⎨⎧=刚体的角动量刚体所受的合力矩::ωI L M00L L M =→=2．含有刚体和质点的复杂系统的角动量定理和角动量守恒定律：00L L Mdt tt -=⎰⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧ωI mvd L M :::::刚体质点量的和质点对同一转轴的角动系统内所有刚体和所有同一转轴的合力矩系统所受的所有外力对。