高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则教案 2数学教案

简单复合函数的求导法则
一、复习：
1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=
2. 两个函数的和、差、积、商的求导法则
法则1 )()()]()(['
''x v x u x v x u ±=±．
法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 '
2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
二、探究新课
（一）、自主学习
学生阅读课本49页“实例分析”。

1. 复合函数的定义：
一般地，对于两个函数)(u f y =和b ax x u +==)(ϕ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数)(u f y =和)(x u ϕ=的复合函数，记作))((x f y ϕ=。

其中u 为中间变量。

2.复合函数))((x f y ϕ=的导数为：
)()(]))(([''='='x u f x f y x ϕϕ (x y '表示y 对x 的导数)
3.复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
4.复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代．
（二）、典例精讲
例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？
⑴ 32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；
⑵ ⑶)4
cos(x y -=π
； ⑷． 解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；
⑵函数2
sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π
复合而
成；
⑷函数由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本
初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例2、求函数13+=x y 的导数。

例3、求函数3)12(-=x y 的导数。

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y （单位：cm ）。

关于时间t （单位：s ）的函数为12100)(+=
=t t h y ，求函数在t =3时的导数，并解释它的实际意义。

解：函数12100)(+==t t h y 是由函数x
x f 100)(=与12)(+==t t x ϕ复合而成的，其中x 是中间变量。

∴22)
12(2002100)()()(+-=⋅-
=''='='t x t x f t h y t ϕ。

将t =3代入)(t h '得： 49
200)3(-
='h （cm/s ）。

它表示当t =3时，水面高度下降的速度为49200 cm/s 。

三、课堂检测：
1.课本51页练习
2.专家伴读29页变式1、2
四、小结：
1.复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求
导；
2.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
五、作业
六、预习：
整理本章知识，熟记求导公式和法则。