清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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清华大学微积分A习题课_1 极限
x A, y B 均有 x a, y b
因此 x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界. 另一方面， 0, x A, y B ，使得 x a
, y b ， 2 2
因此 x y a b , 即 inf( A B) a b inf A inf B .
1 1 ( ) n 1 2 (ln x2 ln x1 ) ln x1 1 1 ( ) 2
两端令 n 得到，
2 1 2 . lim ln xn (ln x2 ln x1 ) ln x1 ln x1 x2 n 3 3
所以 lim xn lim e
1
故 lim ( n 1 n ) 0 ．
n
3．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛． 证明： 不妨设 an 为一单调增加数列， ank 为 an 的一个子列， 且 lim ank A sup{ank } ．
k
0 ，因为 lim ank A ，所以 N0 0 ，当 k N 0 时，有 ank A ．
n
注意到 xn 2 xn 1 xn ，因此， xn 2 xn 1 xn 1 xn
2 2
3 2 两端令 n 得到 a x2 x1 ，即 lim xn
x2 2 x1 .
3
n
x2 2 x1 .
(法二)由 xn 2
xn 1 xn ，知 xn 0 ，两边取对数，
x2 n 2 x2 n x2 n 1 x2 n 1 ， x2 n 3 x2 n 1 x2 n 2 x2 n 2 ，
清华微积分答案
清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
微积分第1章习题解答(上)
第1章 习题参考解答习题1-11．确定下列函数的定义域： （1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x 所以定义域：),3()3,(+∞⋃--∞. （2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：要使函数有意义 则：21010x x -≥+≠且 即111-≠≤≤-x x 且. 所以定义域：(-1,1]. （4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：要使函数有意义 则：03202>-≠-x x 且即232>≠x x 且所以定义域：),2()2,23(+∞⋃.（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=； 解：要使函数有意义，则：0412112>-≤-≤-x x 且， 即2231<<-≤≤-x x 且 所以定义域：)2,1[-（6）xy πsin 1=. 解：要使函数有意义，则：0sin ≠x π即Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集) 所以定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域，并求2()f π和)0(f .解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时，01≠x ，故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f . 3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==; 解: 不同因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数. (2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R , 值域为[-1,1], 且)(cos 2sin 21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同.(4)0)(,)(x x g xxx f ==.解: 相同因为0()1(0),()1(0)xf x xg x x x x ==≠==≠定义域均为非零实数，在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(xx x x f x x f ∆+∆=-∆+.证明: 由三角函数的和差化积公式知:()()sin()sin f x x f x x x x +∆-=+∆-2sincos()22x x x ∆∆=+ 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f 故2(1)(1)(1)5f x a x b x +=++++2(2)(5)ax a b x a b =+++++由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a 得:4,1a b ==-.6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数)1(22x x y -=是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数323x x y -=是非奇非偶函数.(3)2211xx y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-所以函数2211x x y +-=是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()()()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-. 所以函数)1)(1(+-=x x x y 是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞()sin()cos()1f x x x -=---+sin cos 1x x =--+则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数1cos sin +-=x x y 是非奇非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数2xx a a y -+=是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明：(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数;(2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数. 证明：由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) 1()()()F x f x f x =+-11()()()()F x f x f x F x ⇒-=-+= 故)(1x F 是偶函数. (2) 2()()()F x f x f x =--22()()()()F x f x f x F x ⇒-=--=- 故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数，由7题知)()()(1x f x f x F -+=为偶函数, )()()(2x f x f x F --=为奇函数.且)(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9.设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明：由题设知对于(,)x L L ∀∈-，有：)()(x f x f -=-不妨设12,x x ∀满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->-)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y解:cos(22)cos(2)x x π-+=- , 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ函数x y 4cos =是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=; 解:1sin 1sin(2)1sin (2)x x x ππππ+=++=++函数x y πsin 1+=是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: 21sin (1cos 2)2x x =- 11[1cos(22)][1cos 2()]22x x ππ=-+=-+ 函数x y 2sin =是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x ,)tan(tan π+=x x故原函数的周期为两函数sin 3,tan x x 周期π32和π的最小公倍数，即π2=T . 11.下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =; 解: 构成复合函数t y 3sin = 定义域: ),(+∞-∞. (2) u a y =,2x u =; 解: 构成复合函数2x a y =定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ; 解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y = 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u . 解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a 定义域: (,)-∞+∞ .12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 321)1(++=x y 是由3u y =，21u v =+，1u x =+复合而成的(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: 2)1(ln 3+=x y 是由u y 3=, 2v u =,1ln +=x v 复合而成的(3) )13(sin 3+=x y ;解: )13(sin 3+=x y 是由3u y =, v u sin =,13+=x v .复合而成的(4) 32cos log x y a =.解: 32cos log x y a =是由3u y =,v u a log =, 2w v =, x w cos =复合而成的 13.求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x解: 原函数的定义域:[,]22ππ-, 值域:]2,2[-.反解: 2arcsin y x =，得反函数:2arcsin xy =.反函数的定义域：]2,2[-，值域: [,]22ππ-(2) )2(log 1++=x y a ; 解: 原函数的定义域:),2(+∞- 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域:),(+∞-∞值域:),2(+∞-(3) 122+=x xy .解: 221111212121x x x x x y +-===-+++由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域：（0, 1）, 值域：),(+∞-∞. 14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元; 当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形.解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=; 当5020≤<x 时,43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时,2.520 2.3(5020)2(50)y x =⨯+⨯-+- 219x =+ 当100>x 时,398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15.设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-== 总利润( 1.5)L p Q =-( 1.5)(804)p p =--+2486120p p =-+ 16.用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡). 解: 当1000>Q 时1000500007)(>-==p p D Q则价格120<p .达到损益平衡, 则C pQ = 即：(700050)2000025p p Q -=+2000025(700050)p =+-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积:3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==.定义域: )2,0(r18.已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.（1）写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;（2）画出该函数的图形;（3）摄氏20℃相当于华氏几度? 解：（1）由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数由题知：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系：328.1+=x y(其中x 的度量单位是℃，y 的度量单位是F)（2）函数图形(略)（3）摄氏20℃时 y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1-2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．根据极限定义证明（1）1)11(lim =+∞→n n证明：0>∀ε，要使1111n nε+-=< 即ε1>n ，只须取1[]10N ε=+> 则当N n >时，有111n ε+-<因此 1)11(lim =+∞→nn 。
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
微积分第一章课外习题参考答案
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.
0910高等数学B(一)试题解答PPT课件
（2）求过拐点的法线方程；若法线过原点，试确定k的取值．
解： y 2k(x2 3) 2x 4kx3 12kx,
y 12kx2 12k 12k(x 1)(x 1),
令 y 0 ,得 x1 1, x2 1(舍去）. y在x1 1的两侧变号，
(1, 4k)为曲线的拐点. 切线斜率y |x1 所以过点(1, 4k)的法线方程为Y 4k
当a x a 时，f (x) 0,
x a是f ( x)的极大值点.
4.
设f ( x)在x a处有二阶导数，且lim f ( x) 1，则 （ A）
xa x a
A. x a是f ( x)的极大值点；B. x a是f (x)的极小值点；；
C. (a, f (a))是y f ( x)的拐点； D. x a是y f ( x)的拐点。
f (x) f (0) f
(0) x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
o( xn )
一、 填空题（每小题3分，共15分） 4. 已知f ( x) x3 cos7 x x2，
则 1 f ( x)dx ______ . 1
知识点：对称区间上奇偶函数的积分性质
解 原式 1 x2dx 2 1 x2dx 2
x
x
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x
x
x dx C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
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得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
便可．
取
N
1 2
1 ，则当 n
（6） k *, Nk
* ，只要 n
Nk ，就有| an
A |
1 2k
；
（7）
N
*
，只要
n
N
，就有 |；
（8）
0, N
* ，只要 n
N
，就有 |
an
A |
n
；
（9） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | n ；
解：(2)(3)(4)(5)(6)等价
(1 b)n
Cn[k
b ]1 [k
]1
，
nk an
nk C[k ]1
n
1 b[k ]1
并且注意到
lim
n
nk C[k ]1
n
0 ，可以得到 lim nk a n n
0 。具体证明应用
N
定义叙述。
5.下列说法中，哪些与
lim
n
an
A 等价.
如果等价，请证明，如果不等价，请举出反例.
（1）对于无限多个正数 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（1） inf( A B) inf A inf B ； （2） sup( A B) sup A sup B
证明：仅证（1）；（2）的证法类似于（1）。
设 a inf A, b inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， x A, y B 均 有 x a, y b ， 因 此
x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界，另一方面 0, x A, y B ，使
接中学与大学的内容。
必讲题:1--7.10.11.14.15.24.25.26. 其余题目留给同学自己练习。
一、集合的上下界、确界
1．证明 1） y 1 在定义域内有下界，无上界； x2
2）设
0 ，则
y
1 x2
在 (, ] [ , ) 上有界。
（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？）
证明：1）
6. 用 N 语言叙述： “{an}不收敛于 A ”.并讨论下列哪些说法与“{an}不收敛于 A ”
等价：
（1） 0 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | 0 ；
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作者：闫浩 2013 年 9 月
（2） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（2） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（3） (0,1), N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（4） k 0, 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | k ；
2
（5） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | 3 ；
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作者：闫浩 2013 年 9 月
证明：（1）略，仅证（2）。
设 a sup A, b sup B ，若 a=b=0 ，则结论显然成立，下面设 a，b 0 。
由确界的定义， x A, y B 均有 0 x a, 0 y b ，因此 0 xy ab ，即 ab 是集合
AB
的 一 个 上 界 。 另 一 方 面 0
，对于
ab
x A, y B
使得
x
a
a
b
,
y
b
，因此 ab
x
y
(a
)(b ab
) ab
ab
(a b) ( )2
ab
ab
ab
即 sup AB ab sup Asup B 。
注 ：（ 1 ） 的 证 明 中 ， 也 要 用 到 类 似 “ 0
作者：闫浩 2013 年 9 月
所以
0 an
2． n 1
因此
0 ，取
N
1
2 2
，则当
n N 时，有
0 an ，
故
lim
n
an
0 ．从而
lim (n n) 1．
n
（3）已知 a 1, k
0
。证明：
lim
n
nk an
0
提示：令 a
1 b(b 0) ，当 n [k] 1 时，an
k
ank
A sup{ank } ．
0 ，因为
lim
k
ank
A ，所以
N0 0 ，当 k N0 时，有 ank
A ．
由于 an 单增，所以当 n nN0 时，有 A anN0 an ．
N
时，有
|
n 1
n | ．
故 lim ( n 1 n) 0 ．
n
（2） lim (n n ) 1
n
证明： 因为
n
n
1，令 n
n
1
an ，则 an
0 ，且 lim (n
n
n)
1
等价于
lim
n
an
0．
由于
n
(1
an )n
1
nan
1 2
n(n
1)an2
ann
1 2
n(n
1)an2
，
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1 x2
0 ，因此 y
1 x2
有下界。
G
0 ，取 xG
1 2G
，得到 yG
1 xG2
4G
G ，因此
y
1 x2
无上界。
2）
0 ，当 x (, ] [ , ) 时，有 0
1 x2
1 2
，此时
y
1 x2
有界。
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B {x+y | x A, y B} 。证明：