清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学 期末考试 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

清华微积分答案

清华微积分答案

a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场 向量值函数的切平面、微分、偏导 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即 f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中 a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度， aij := ?fi/?xj) f的全微分df=adx 当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f) div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm 复合函数求导 一阶偏导： 若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微， j(f○g) = j(f(u)) j(g(x)) 具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即 ui=g(x1,…,xn) ?f/?xj = ?f/?u * ?u/?xj = sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u} 高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数 例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))

?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151 隐函数、隐向量值函数 由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数 隐函数： 1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续， 且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续 注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值， 那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y 是双值函数，不是函数 ,??)处，2.偏导公式：在b内的(?? ????????/??????=???或者说 ????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即 sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1) 由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij) 所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0 于是立即可得上述公式 隐向量值函数： 1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：

清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依 次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________． 2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?a c c b b a _____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z _____________________________． 4. 设y x z =，则=???y x z 2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时， 25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为270='L f ，350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序，有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________． 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且 u u n n =∑∞ =1 ，则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________． 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

关于清华大学高等数学期末考试

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清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

清华大学一元微积分期末考题 答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） 1. =-?dx x x 2)1(ln 答案：C x x x x +--+-ln |1|ln 1ln 2. ? =+x dx 2cos 1 。 答案： C x +?? ? ??tan 21arctan 21 3. =? +∞ 1 2 arctan dx x x 解： 22 ln 4)1(arctan arctan 121 1 2+=++-=?? ∞++∞ ∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=?arctan )(，则 =? dx x f ) (1 。 答案：C x x ++4 24 2 5. =++?-dx x x x 2 22sin 1cos )1(π π 。 答案： 2 π 6. =?? ? ???22x x t dt e dx d 。 答案：2 4 2x x e xe - 7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，? =x dt t f t x F 0 2 )()(，当0→x 时，)(x F 与k x 是同阶无穷小，则=k 。 答案：3 8. 将22 (3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：2 6π 9. 设0>m ，且广义积分? +∞ +0 m x x dx 收敛，则m 的范围为 答案：1>m

10．幂级数∑∞ =-+1 2)5(2n n n n x 的收敛域为 。 答案：)5,5(- 11. 级数 ∑ ∞ +=-1 1 sin )1(n p n n n 条件收敛，则参数p 的范围为 。 答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数 ? -x t dt e 0 2 的幂级数展开为 答案：∑+∞ =++-0 1 2)12(!)1(n n n n n x ，?∈x 13.'x x y y e e ++=，的通解是 。 答案：ln 1y y x e e e C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为 。 答案：2 x x y -= 15. 初值问题()? ??='=='+''0)0(,1)0(0 22y y y x y 的解为 。 答案：1=y 二．计算题（每题10分，共40分） 1．求p 的范围，使得1sin ln p dx x x π∞?收敛 解：???∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x dx x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1 11~ln 1sin -?? ? ??-ππ ，所以仅当20p ->时?21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分 x x x x x p p ln ~ln 1sin ,π π +∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞?

清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。

清华大学微积分学期中考试试卷

2006级微积分（二）期中考试试卷 院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________ 一、填空题（每小题4分，共24分） 1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。 2．用参数方程?????+=+-==t z t y x 2311 表示的直线L 的点向式方程为_________________。 3．曲线:L ???=+=01 2x y z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为 （化简为一般方程） 。 4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。 5．设 y x x y e x z xy arctan )2(sin 5-+?=π 。则函数),(y x z 在点)1,2(P 的 偏导数=??P x z 。 6．逐次积分 ??2 0104x xdy dx 的值 = 。 二、选择题（每小题4分，共16分） 7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（ ） A ． 在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在； B ． 在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在； C ． 在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；

D ． 在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。 8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（ ） A ．通过原点的直线； B ．Oxy 平面上的直线； C ．垂直于Oz 轴的平面； D ．包含Oz 轴的平面。 9．函数3xy z =在原点处的函数值（ ） A ．是极小值； B ．是极大值； C ．不是极值 D ．无法判定是否为极值。 10．关于函数),(y x f z = 在约束条件0),(=y x g （),(y x f ，),(y x g 处处可微）下的极值点),(00y x P 的可能范围，合理的描述为（ ） A ． 完全包含在曲线0),(=y x g 与等值线c y x f =),(相切的切点集合中； B ． 完全包含在曲线0),(=y x f 与等值线c y x g =),(相切的切点集合中； C ． 完全包含在使得偏导数),(),,(y x f y x f y x 都为零的驻点集合中； D ． 以上三个结论都不对。 三、计算下列各题（每小题6分，总分48分） 11．设)()3,(xy y y x x f z ?++=，?,f 具有二阶连续导数，求y x z ???2

清华大学高等数学期末考试

... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷（ A 卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010 级工科各班 考试方式：闭卷命题教师： 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、若在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调，曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ，求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号 中。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分）

... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ，则必有 x 1 ( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ; (C )a 4， A 6 ; (D ) a 4，A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ，则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数，又， F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10分） 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。

大一微积分期末试卷资料整理

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数 是减函数，是增函数 二者都是增函数 二者都是减函数 2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 2 1C X (1) x n e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　） Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、 填空题

1 d 1 2 lim2,, x d x ax b a b → ++ = ｘ ｘ ２ ２ １ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In1 x+ ; 2 32 2 y x x =-; 3 2 log,(0,1), 1 x y R x = - ; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)()1m lim lim2 (1)(3)34 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→ -+++ === -++ ∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 sin lim x x x → -∞+∞ 在区间（，）是连续函数（） 3、 f"(x）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在 x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在[] 0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ) f x f f C f f <===- 令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e →

大一期末考试微积分试题带答案

第一学期期末考试试卷 一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答,该题不得分．每小题3分,共１５分.） 1. =→x x x 1 sin lim 0＿__0_＿___. 2. 设1 )1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ，则)(x f 的间断点是___ｘ=0___＿_. 3. 已知(1)2f =,4 1 )1('-=f ,则 12 ()x df x dx -== _＿__＿_＿. ４. ()a x x '=_______. 5． 函数434)(x x x f -=的极大值点为___＿____. 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写 在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分，共15分.） １. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为_____＿__. Ａ．)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ Ｃ． )100,10( D.)2,1(. 2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞ -=，则 lim ()x f x →∞ ＿___＿_. A ．存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零 C.不一定存在 D. 一定存在． ３． 极限=-→x x x x e 21lim 0＿__＿____． A. 2e B. 2-e C. e D.不存在. 4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→x x f x f x tan ) 2()3(lim 0____＿___. A.0 B. 1 C. 2 D. 5. 5. 曲线2 21x y x =-渐近线的条数为____＿＿__. A ．0 B ．1 C.2 D.3． 三、(请写出主要计算步骤及结果，８分.） 求2 0sin 1lim sin x x e x x →--. 四、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)

清华大学高等数学期末考试

第 1 页 共 8 页 清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx x x 1cos 12 。 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）

第 2 页 共 8 页 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 . 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ，　，，　， 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F )0()1()( 0)() 1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

清华大学微积分期末试题

期末样题参考解答 一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上） 1．积分? ?x dy xy f dx 0 3 )(在极坐标下的累次积分为 。 答案：? ?=θ πθθθ cos 30 240 )sin cos (rdr r f d 2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分 ()=+??D dxdy yx x )sin(12 。 答案：2==??D dxdy 3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且 x x f cos 2)1,(=，??=D dxdy y x f 1),(，则??=??D dxdy y y x f y ) ,( 。 答案：11sin 2- 4．计算积分值?? =-1 ) 1ln(y y dx x x dy 。 答案：???-=--=-=101 041 )1ln()1()1ln(2 dx x x dy x x dx x x 5. 设}2: ),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++???Ω dxdydz z y x )( 。 答案：ππθπ 4222 3 02 020====???????Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z 6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-? L ds y x )(22 。 答案：0 7. 设S 为上半球面222y x R z --= ，则第一型曲面积分 =++??S dS z y x )( 。 答案：32 22R dxdy z R z zdS R y x S π== =?? ??≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2 ≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分 =+?L ydy xdx 。

清华大学高等数学期末考试

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232 322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 231，则必有

. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ，　，，　， 答( ) 2、设211 )(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2 ln 1+=,求y '。

3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论??? ? ?=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，2 2x x >。

微积分期末测试题(附答案)

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1 ()3 f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ?? - ??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()() lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.3 1lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11 lim( )ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设1 11 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.