清华微积分答案
清华大学微积分A习题课11内容_傅里叶级数习题解答
a0 = 0 ， an =
π 2 x2 (−1) n −1 − nxdx = = cos ， ∀n ≥ 1 。 π ∫−π n2 12 4 1
π
∞
由于 f ( x) 在 (−π , π ) 上连续可微,故由 Dirichlet 收敛定理可知等式成立。证毕。 5．设 f ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, 1] ，且记 S ( x) 函数 f ( x) 在 [0, 1] 上的正弦级数 的和函数。求 S (− 1 ) 的值. 2 解: 由于正弦级数
x cos(nx)dx = π∫
0
1
cos nπ − 1 ， ∀n ≥ 1 。 πn 2
π∫
1
π
0
x sin(nx)dx =
− cos nπ ， ∀n ≥ 1 。 n
于是所求 Fourier 级数为
f ( x) ~
π
4
+∑
− 2 cos(2n − 1) x +∞ (−1) n +1 sin nx +∑ 。 π (2n − 1) 2 n n =1 n =1
∀x ∈ (0, π ) 按下列要求展开成 Fourier 级数， 6． 将函数 f ( x) = x 2 ， 并求出和函数在 [0, π ]
上的值。(1) 按余弦 Fourier 展开; (2) 按正弦 Fourier 展开. 解: (1)对 f ( x) 偶延拓,故系数 b n = 0 ， ∀n ≥ 1 。简单计算得
∞
解答完毕。 2．设 f ( x) =
ax, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) Fourier 级数。 bx, x ∈ [0, π ]
解：经过计算得 f ( x) 的 Fourier 级数为
清华大学一元微积分
x→+∞
x→+∞
∃M > 0 ，使得 x ≥ M 之后 f (x) ≥ a / 2 ，从而 ∀K > M
∫ ∫ +∞ |
f
(x) | dx
≥
K
|
f
(x) | dx
≥
a
(K
−
M)
2
0
M
+∞
∫ 而 K > M 的任意性与 f (x)dx 绝对收敛矛盾。这说明只有 lim f (x) = 0 。 x→+∞ 0
+∞
∫ 证明：由已知 f ′(x)dx 绝对收敛，从而收敛，所以
0
A
+∞
∫ ∫ lim f (A) = f (0) + lim f '(x)dx = f (0) + f '(x)dx 存在。
A→+∞
A→+∞
0
0
如果 lim f (x) ≠ 0 ，不妨令 lim f (x) = a > 0 ，则由极限保序性
0
0 ⎝2⎠
2．计算上半心形线：
⎧x
⎨ ⎩ ) cosθ = a(1 + cosθ ) sinθ
，0
≤θ
≤
π
，绕
x
轴旋转一周所得到的旋转体的体积V
。
解： dx = −a[(1 + cosθ )sinθ + cosθ sinθ ]dθ
π
π
∫ ∫ 所以 V =| πy 2 (θ )dx(θ ) |= πa3 | (1 + cosθ )2 sin 2 θ (1 + 2 cosθ )d (cosθ ) |
【清华】2013年大一下微积分A2期末样题答案
解：建立直角坐标系，使得两个球体可表为：
小球： x2 y2 z2 1，大球： x2 y2 (z 2)2 4 。于是两个球面的交线方程为
x2 y2 z2 1
由 Green 公式，
X (x, y)dx Y (x, y)dy D
Y
D
x
X y
dxdy
Y x
X y
( , )
1r2 2
其中 ( ,) 为 D 中一点。而
两者相等，
X (x, y)dx Y (x, y)dy L
2．（8 分）设 f (x) 是 2 周期的连续函数,记 F (x) f (t) f (x t)dt 。
（I）求证 F (x) 也是 2 周期的连续函数；
（II）记{an ,bn} 与{An , Bn}分别是 f (x) 与 F (x) 的 Fourier 系数列,求证:
A0 a02 , An an2 bn2 , Bn 0, ( n 1, 2, )
3．设 S 为上半单位球面 x2 y2 z2 1, z 0 ，则 (x 1)2 dS =
S
(x 1)2 dS (x2 1)dS 1
(x2 1)dS
S
S
2 x2 y2 z2 1
答案：
1 1
(x2 y2 z2 )dS 1
而 f (x) 是 2 周期的连续函数,于是
A0
1
F (x)dx
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
清华大学微积分-PART1
1
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
2019/8/14
2
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
2019/8/14
30
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
有 理 数c". 2019/8/14
13
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
清华大学微积分期末试题
期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。
答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。
答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。
答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。
答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。
答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。
答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。
答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。
答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。
清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
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清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
如果f在点p处满足(1) f在p处连续可微(2)?f在p处不为0则称p是曲面上的正则点如果曲面在正则点p0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，a=(x-x0,y-y0,z-z0)，则s在p点的切平面方程为n.a=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0) 过p0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(x-x0).n1=(x-x0).n2=0，具体地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0i. 曲面的显式表示法z=f(x,y)是曲面s的显式表示正则点p0(x0,y0,z0)处，s的法向量n=(?f/?x, ?f/?y,-1)ii. 曲面的隐式表示法f(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法【篇二：一元微积分习题清华大学】ass=txt>一．函数极限（定义）1.用定义证明：arctan（1）?0；（2）lim?x??x?11??. 1?x22. 设函数f(x)?0,limf(x)?a，证明：limx?x0x?x0f(x)?a二．函数的极限3．讨论极限limx?111?211?x是否存在；1???2?exsinx?4. 求极限lim??? 4x?0|x|??1?ex??f(x)?limf(x)?f(1)，求证：5.设函数f(x)在?0,???上满足f(x2)?f(x)，且lim?x?0x???f(x)?f(1),x?(0,??)。
6．设f(x)在?0,???单调递增，且limx???f(2x)f(ax)?1，求证：?a?0，lim?1。
x???f(x)f(x)x?m,m,n互质nx??\?，证明：riemannx?0?1?n?7.（书上p.66,23）riemann函数的定义为r(x)??0?1??函数在任意点的极限均为0.1?x?n,?1,x,1?x?2,???xn,n?x?n?1,?f(x)?8．设f1(x)??1 ?n,x?2,1?,?x?n?1,?x?x?（1）对任意固定的n，求limfn(x)；x???（2）求f(x)?limf1(x)f2(x)?fn(x)在[1,??)上的表达式；n??（3）求limf(x)。
x???1三．连续函数概念9.讨论函数f(x)的连续性，若有可去间断点，将函数修正为连续函数。
?ln?1?sin2?x?2x2x?0f(x)????1x?0??1?cosx??x2x?010.考察函数y?e1?cos1x的连续性。
11.对下列题目，选择出正确答案（1）设f(x)与?(x)在(??,??)有定义，?(x)在(??,??)有间断点，f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?0，则（a）f??(x)?在(??,??)上必有间断点;（b）??f(x)?在(??,??)上必有间断点;（c）?2(x)在(??,??)上必有间断点;（d）?(x)f(x)在(??,??)上必有间断点.1（2）.设f(x)?1?ex2，则x?0是f(x)的（）。
2?3ex(a)可去间断点。
(b)跳跃间断点。
(c) 无穷间断点。
(d) 震荡间断点。
（3）.设函数f(x)?1x，则（）ex?1?1（a）x?0，x?1都是f(x)的第一类间断点。
（b）x?0，x?1都是f(x)的第二类间断点。
（c）x?0是f(x)的第一类间断点，x?1是f(x)的第二类间断点。
（d）x?0是f(x)的第二类间断点，x?1是f(x)的第一类间断点。
12.设f(x)?x2n?1?ax2?bxnlim???x2n?1?c(??,??)，求a,b。
213．设f(x),g(x)?c[a,b].证明：（1）|f(x)|,max{f(x),g(x)},min{f(x),g(x)}?c[a,b].（2）m(x)?minf(?),m(x)?maxf(?)?c[a,b] a???xa???x14.设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且f??x?y?f(x)?f(y)?2???2,3【篇三：清华大学微积分讲座__刘坤林视频讲义】lass=txt>1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
2. ys2002090702.htm1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
3. ys2002090703.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（a）在上必有间断点;（b）在上必有间断点;（c）在上必有间断点;（d）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明（1）存在；（2）收敛。
例18.若，则（a）且；（b）且；（c）且；（d）且；例19.若存在, 则b (a) 。
(b) 之去心邻域, 使当时, 。
(c) 之邻域, 使当时, 。
(d) 。
例20.设定义在, 且都在处连续,若, 则d (a) 且,(b) 且(c) 且,(d) 且例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 a (a) , (b) (c) , (d)4. ys2002090704.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（a）在上必有间断点;（b）在上必有间断点;（c）在上必有间断点;（d）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。