圆锥曲线焦点弦公式及应用
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
3．如图，设直线 过焦点 且交椭圆 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 、 两点，直线 倾斜角为 ，双曲线的半通径为 ，证明：双曲线同支焦点弦三角形 的面积 .
【结论2】
2．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，证明：椭圆焦点弦三角形 的面积 .
2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得 ，
令 .
对于椭圆，离心率 ，于是由均值不等式可知
，当且仅当 ，即 时 取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值： .
代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角 满足 （或 ）.于是我们得如下结论——
A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为()
A． B． C． D．1
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 ，且与 轴垂直的直线 与双曲线交于 ， 两点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（）
由公式⑥，显然 存在最小值： ，此时 ，即 ，焦点弦所在直线与 轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
典型例题：
例1
10． 分别是椭圆的 左、右焦点，过点的直线 交椭圆 于 两点.
(1)若 的面积为 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值及此时直线 的方程.
（1）求椭圆 的标准方程；
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB .解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2⋅+=c a b y ，则ααα222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α2222sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=).(sin2),(cos222222222轴上焦点在轴上焦点在ycaabxcaabABαα二、双曲线的焦点弦长设双曲线(),0,012222>>=-babyax其中两焦点坐标为)0,(),0,(21cFcF-，过F1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),,,,2211yxByxA求弦长|AB|.解：（1）当ababarctanarctan-<<πα时，（如图2）直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连BFAF22,，设,,11yBFxAF==，由双曲线定义可得ayBFaxAF2,222+=+=，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos22)2(aycycyaxcxcx+=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα整理可得αcos2⋅+=cabx，αcos2⋅-=caby，则可求得弦长;cos2coscos222222αααcaabcabcabyxAB-=⋅-+⋅+=+=（2）时或当παπα<<-<≤ababarctanarctan0，如图3，直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设,,11y B F x A F == 则a y B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,整理可得，则,cos ,cos 22a c b y a c b x -⋅=+⋅=αα .cos 2cos cos 222222a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα因此焦点在x 轴的焦点弦长为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 222222222παπααπααa b a b ac ab a ba b c a ab AB 或 同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a ba b c a ab AB πααπαπαα或 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角.三、 抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2(pF 的直线l 相交于两点()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线AA 1、BB 1，A 1、B 1为垂足，y FB x FA ==,设，则点A 的横坐标为αcos 2⋅+x p ，点B 横坐标为αcos 2⋅-y p，由抛物线定。
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有ep NF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
焦点弦定理公式
焦点弦定理公式嘿，咱今天就来好好唠唠这焦点弦定理公式。
要说这焦点弦定理公式啊，那在数学的圆锥曲线里可是个重要角色。
咱们先从抛物线说起，在抛物线中，焦点弦长等于 x₁ + x₂ + p （这里的 x₁、x₂是焦点弦端点的横坐标，p 是抛物线的焦准距）。
这公式看着简单，可真要用起来，那得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这咋这么复杂呀？”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就给他举了个例子，比如说抛物线 y² = 2px ，有一条焦点弦的两个端点坐标是 (x₁, y₁) 和 (x₂,y₂) ，那根据抛物线的方程，咱就能得到 y₁² = 2px₁，y₂² = 2px₂。
然后呢，通过一系列的推导和计算，就能把焦点弦长给算出来啦。
再说说椭圆里的焦点弦，那也有它独特的公式。
对于椭圆 x²/a² +y²/b² = 1 （a > b > 0），焦点弦长可以用2ab² / (b² + c²sin²α) 来表示（这里的 c 是椭圆的半焦距，α 是焦点弦与长轴的夹角）。
在双曲线中呢，焦点弦长公式又有所不同。
双曲线 x²/a²- y²/b² = 1 ，焦点弦长是 2ab² / (|b² - c²sin²α|) 。
学习这些公式的时候，可不能死记硬背，得理解其中的原理。
就像搭积木一样，一块一块弄清楚了，才能搭出漂亮的城堡。
比如说在做练习题的时候，有这么一道题：已知抛物线 y² = 8x ，有一条焦点弦的两个端点横坐标分别是 2 和 6，让求这条焦点弦的长度。
这时候，咱们就可以先算出 p = 4 ，然后根据公式，焦点弦长就等于 2+ 6 + 4 = 12 。
圆锥曲线焦点弦与准线的相关性
圆锥曲线焦点弦与准线的相关性今天，我们要讨论的是圆锥曲线焦点弦与准线的相关性。
圆锥曲线是一种常见的曲线，它以极坐标形式进行参数化。
它有两个焦点F1和F2，以及椭圆弦段AB。
圆锥曲线的参数化公式为：r（θ）= c+ae^(bθ)这里，c,a,b是圆锥曲线的常量参数，可以用来描述特定的类型的圆锥曲线。
焦点弦AB是圆锥曲线的重要部分。
两个参数的变化会导致其形状的变化。
另一个重要的概念是准线，它是圆锥曲线以一定比例放大或缩小的过程中所构成的直线。
那么，圆锥曲线焦点弦与准线是如何相关的呢？首先，圆锥曲线的焦点弦AB与准线在相同的位置上。
它们之间的联系是由“焦点弦”准则定义的。
根据这一准则，以此圆锥曲线的两个焦点为端点的准线的斜率应该等于焦点弦AB的斜率。
其次，准线的方向也和圆锥曲线的焦点弦AB有关。
当焦点弦AB 在椭圆轴上时，准线的方向应该与椭圆轴方向相同。
当焦点弦AB不在椭圆轴上时，准线的方向应该与焦点弦AB的方向相同。
此外，准线还与圆锥曲线的半径有关。
根据焦点弦定理，准线与两个焦点之间的距离应该等于椭圆轴上半径之差。
这个距离可以通过观察焦点弦AB的斜率和长度来计算出来。
最后，圆锥曲线的焦点弦AB的位置也和准线的位置有关。
例如，若所求准线的斜率为k，则焦点弦AB的位置是椭圆轴上等于k/b的位置，其中b为参数化公式中的常量参数。
综上所述，圆锥曲线的焦点弦AB与准线之间存在着一种复杂的相互关系。
参数化的变化会影响圆锥曲线焦点弦AB的形状，从而影响准线的形状。
此外，准线的方向和位置也都和圆锥曲线焦点弦AB 有关。
因此，理解圆锥曲线焦点弦AB与准线的相关性非常重要，不仅可以用来推导圆锥曲线特定参数的变化，而且可以用来计算准线的位置和方向。
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圆锥曲线焦点弦公式及应用
湖北省阳新县高级中学邹生书
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有
；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，
点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又
，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2
评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右
焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所
以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的
离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，
所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜
角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3
解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴
左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿
解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代
入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿
解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式
，代入公式得，所以所以，所以。
定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准
距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹
角为，则有。
证明设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交
直线于点，交直线于点。
由圆锥曲线的统一定义得，
，所以。
图4
（1）当焦点内分弦时。
如图4，，。
，
所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
图5
如图5，，。
所以，
所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径
，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。
当
曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。
注由上可得，当焦点内分弦时，有。
当焦点外分弦时，有。
例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作
倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。
解（1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，
解得，即，所以①，又，设
，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。
例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为
的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解易知均在右支上，因为，离心率，点准距
，因倾斜角为，所以。
由焦半径公式得，。
例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解因为，离心率，点准距，因倾斜角为
，所以。
注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。
例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分
别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。
求四边形面积的最小值。
图6
解由方程可知，，则。
设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴
的夹角为。
代入弦长公式得，
，。
故四边形的面积为，。
所以四边形面积的最小值为。