高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题10 圆锥曲线的性质及其应用(解析版)
专题10 圆锥曲线的性质及其应用专题点拨1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线的轨迹定义来解决问题.2．弦长公式：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则截得的弦长: |AB |＝2212121()4k x x x x ++- =1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|(k ≠0)． 3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解. 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．真题赏析1．(2018·上海)双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为 ．【答案】12y x =±【解析】由a=2,b=1，故渐近线方程为12y x =±.2． (2017·上海)设双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|＝5，则|PF 2|＝__________． 【答案】3【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF →1|＋|PF 2→|＝2a |PF 1→|·|PF 2→|＝18|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.例题剖析【例1】设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．【答案】436【解析】如图所示：设D 在AB 上，且CD ∠AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°∠CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系得C (1，1)，2a ＝4，把C (1，1)代入椭圆标准方程得1a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2∠b 2＝43，c 2＝83∠2c ＝436.【变式训练1】 设P 是椭圆²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 【答案】C【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为【例2】已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，△12AF F 的内切圆半径为1r ，△12BF F 的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为 ．【答案】±【解析】记△12AF F 的内切圆圆心为C ，边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等， 则||||AM AN =， 11||||F M F E =， 22||||F N F E =，由12||||2AF AF a -=，即12||||(||||)2AM MF AN NF a +-+=， 得12||||2MF NF a -=，即12||||2F E F E a -=，记C 的横坐标为0x ，则0(E x ，0)， 于是00()2x c c x a +--=，得0x a =，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22OF D θ∠=，2902CF O θ∠=︒-，在2CEF ∆中，12tan tan(90)2||r CF O EF θ∠=︒-=，在2DEF ∆中，22tan tan 2||r DF O EF θ∠==， 由122r r =，可得2tan tan(90)cot 222θθθ=︒-=，解得tan22θ=则直线的斜率为22tan2tan 1122tan θθθ===-- 由对称性可得直线l的斜率为±故答案为：±【变式训练2】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________． 【答案】y ＝±32x 【解析】 设C 1的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则它的渐近线为y ＝±b a x ，即b ＝3a .有x 2a 2－y 23a 2＝1，又∠P 的纵坐标是Q 的2倍，横坐标相同．∠C 2的方程为x 2a 2－()2y 23a 2＝1，故渐近线方程为y ＝±32x .【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 ． 【答案】4【解析】Q 抛物线242y x px ==， 2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，||15PF x ∴=+=， 4x ∴=，故答案为：4．【变式训练3】已知抛物线24y x =的焦点为F ，该抛物线上点P 的横坐标为2，则||PF = ． 【答案】3【解析】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，P Q 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，||213PF ∴=+=．故答案为：3．【例4】椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,0M ，且右焦点为()1,0F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点()4,3P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ； (1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；(3)探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；【解析】(1)2,1a c ==Q ，b ∴=22143x y +=.(2)直线l ：1y x =-+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得27880x x --=，有1287x x +=，1287x x =-，所以()()121212121212121212243322144444162x x x x y y x x k k x x x x x x x x +++------⋅=⋅=⋅==-----++.(3)当直线AB 的斜率不存在时，不妨设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则13312412k -==-，23332412k +==-，故122k k +=.当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线AB ：()1y k x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，由()221143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()()22224384120k x k x k +-+-=，有2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+，则()()()()1212121212121212122538333334444416kx x k x x k y y kx k kx k k k x x x x x x x x -++++------+=+=+=-----++ ()()227212361k k +==+.巩固训练一、填空题1.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ． 【答案】90︒【解析】双曲线2211x y -=的两条渐近线的方程为：y x =±， 所对应的直线的倾斜角分别为90︒，∴双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角为90︒，故答案为：90︒．2.若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =r，则直线l 的方程为 ．【答案】10x y --=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，方向向量为(1,1)d =r 的直线l 的斜率为 1，故直线l 的方程是01(1)y x -=-g ，即1y x =-， 故答案为：10x y --=．3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是 ．【答案】221520x y -=【解析】抛物线220y x =的焦点为(5,0)， 则双曲线的焦点在x 轴上，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为2y x =，可得2b a =，由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =5=，解得a =b =，则双曲线的方程为：221520x y -=．故答案为：221520x y -=．4.已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若AB OP λ=u u u r u u u r，则实数λ的值为 ．【解析】如图，(,0)A a -，(0,)B b ，(,0)F c ，则2(,)b P c a，∴(,)AB a b =u u u r ，2(,)b OP c a=u u u r ，由AB OP λ=u u u r u u u r ，得2a c b b a λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，即b c =，22222a b c b ∴=+=，ab=则abλ=5.已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是 ．【解析】由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线2180lx y ++=与椭圆不相交， 设直线m 平行于直线l ，则直线m 的方程可以写成20x y k ++= (1) 由方程组2219420x y x y k ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩消去x ，得2225164360y ky k ++-= (2) 令方程(2)的根的判别式△0=，得22216425(436)0k k -⨯-= (3) 解方程(3)得15k =或25k =-，∴当15k =时，直线m 与椭圆交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为250x y ++=，直线m 与直线l间的距离d ==，． 二、选择题6.已知椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到x 轴的距离为( ) A ．95B ．4 CD ．165【答案】D【解析】设椭圆短轴的一个端点为M ． 由于5a =，4b =， 3c b ∴=<； 1290F MF ∴∠<︒，∴只能1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒．令3x =±，得2165b y a ==，故选：D ．7.点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与A 重合)，若0(PO PA O =u u u r u u u r g 是坐标原点)，则(cc a 为半焦距)的取值范围是(( )A ．1(,1)2B．(2C． D ．以上说法都不对【答案】B【解析】Q 设(,)P x y ，Q 0(PO PA O =u u u r u u u rg 是坐标原点)，∴22222322222222()024a a x y c x a x a b b x a y a b ⎧-+=⎪⇒-+=⎨⎪+=⎩， 22()()0c x ab x a ⇒--=．x a ⇒=，22ab x c =，220ab a c∴<<．22b c ∴<．∴c a >∴则ca的取值范围是(2，1)故选：B ．8.已知M(00,x y )是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r ，则0y 的取值范围是( )A.(B.(，3) D.(3-，3) 【答案】A【解析】由题意()1F，)2F ，220012x y -=，所以())120000,,MF MF x y x y ⋅=-⋅-u u u u r u u u u r2220003310x y y =+-=-<，解得0y <<. 9.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px P =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=∠g ，则μ的最大值为( )A ．2B C D 【答案】C【解析】过(P x 轴上方)作准线的垂线，垂足为H ，则由抛物线的定义可得||||PF PH =，由sin sin EFP FEP μ∠=∠g ， 则PFE ∆中由正弦定理可知：则||||PE PF μ=， ||||PE PH μ∴=，设PE 的倾斜角为α，则1cos PH PE αμ==， 当μ取得最大值时，cos α最小，此时直线PM 与抛物线相切， 设直线PM 的方程为2px ty =-，则， 即2220y pty p -+=，∴△222440p t p =-=，1k ∴=，即tan 1α=，则cos 2α=则μ， 故选：C ． 三、解答题10.已知椭圆的两个焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F，且椭圆过点． (1)求椭圆的方程．(2)已知斜率为(0)k k ≠的直线11过2F ，与椭圆分别交于P ，Q ；直线2l 过2F ，与直线11垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式()f k ．【解析】(1)设椭圆的方程为22221x y a b+=，0a b >>由题意可得2222211112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a =，21b =(2)设直线1l 的方程为(1)y k x =-，则直线2l 的方程为1(1)y x k=--设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=．则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，12||||PQ x x ∴=-22112k k +==+g ， 同理，得221||2k MN k+=+g ， ()()222214(1)2122PMNQk S PQ MN k k +∴===++四边形， 22224(1)()(12)(2)k f k k k +∴=++，0k ≠． 11.已知抛物线2y x =上的A ，B 两点满足2OA OB =u u u r u u u rg ，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． (1)当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；(2)抛物线上是否存在点M ，使得||||(0)MF MO λλ=>，若请说明理由；(3)设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 【解析】(1)由题意知，(2,4)B ，设2(,)A t t ，由2OA OB =u u u r u u u r g ，得2242t t +=，解得：12t =(舍)或1t =-， (1,1)A ∴-；(2)由条件知222221()()4x x x y λ+-=+，把2y x =代入得22211(1)()0216y y λλ-+-+=，∴223()4λλ=-V ，当1λ=，M有两个点，当λ，M 点存在，1λ<<，M 点有四个，当1λ>，M 点有二个，当0λ<<，M 点不存在； (3)设211(,)B x x ，222(,)A x x ，由题意得：2212122x x x x +=，解得122x x =-． 设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，得20x kx m --=， 得12x x m =-，又122x x =-，2m ∴=，则直线经过定点(0,2)，OAB OBC OAB OBF OABC S S S S S ∆∆∆∆∴=+=+四边形12111111922()32248x x x x x =⨯⨯-+⨯⨯=+=…， 当且仅当143x =等号成立，四边形OABC 面积最小， 4(3B ∴，16)9．12.已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点()2,3，两条渐近线的夹角为60o，直线l 交双曲线于A ,B 两点；(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ,B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=u u u r u u u r成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得：224913a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,3a b ==，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.(2)证明：设()00,A x y ，由双曲线的对称性可得()00,B x y --，设(),P x y ，则2202PA PBy y k k x x -⋅=-，因为220033y x =-，2233y x =-，所以220203PA PBy y k k x x -⋅==-.(3)由(1)得点()12,0F ，当直线l 的斜率存在时，设直线方程()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将方程()2y k x =-与双曲线方程联立消去y 得：()222234430k x k x k --++=，所以22121222443,33k k x x x x k k ++=⋅=--，假设存在定点M ，使MA MB ⊥恒成立，设为(),M m m ，则()()()()1212220MA MB x m x m k x n k x n ⋅=--+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r，故得()()222224512310m n m k nk m n +----+-=，对任意的23k >恒成立，因此222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得1,0m n =-=.所以当()1,0M -时，MA MB ⊥恒成立.当直线l 斜率不存在时，由()()2,3, 2.3A B -知点()1,0M -使得MA MB ⊥也成立.又因为点()1,0M -是双曲线C 的左顶点，所以存在定点()1,0M -，使得MA MB ⊥恒成立.新题速递1．(2020•闵行区一模)在正四面体A ﹣BCD 中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，θ∈(0，π2)，则动点P 的轨迹不可能是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出P 的轨迹方程，可得其轨迹．【解答】解：由题正四面体A ﹣BCD 中，顶点A 在底面BCD 的射影O 为下底面的中心，则以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OA 为z 轴，如图所示的空间直角坐标系， 延长BO 交CD 与E ，设OB ＝1，据题意得：OB =23BE =23×√32BC =√33BC ⇒BC =√3⇒AO =√(√3)2−12=√2． 所以B (1，0，0)，A (0，0，√2)，设P (x ，y ，0) 则AB →=(1，0，−√2)，AP →=(x ，y ，−√2)， ∴|cos θ|=|AB →⋅AP→|AB →|×|AP →||=√3×√⇒3cos 2θ(x 2+y 2+2)＝(x +2)2⇒(3cos 2θ﹣1)x 2+3cos 2θy 2﹣4x +6cos 2θ﹣4＝0；∵θ∈(0，π2)⇒0＜cos θ＜1⇒﹣1＜3cos 2θ﹣1＜2，当3cos 2θ﹣1小于0时，表示双曲线， 当其等于0时，表示抛物线； 当其大于0时，表示椭圆． 故选：A ．2.(2020•浦东新区一模)以抛物线y 2＝4x 的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为( ) A ．x 216+y 215=1 B ．x 216+y 24=1C ．x 24+y 23=1D ．x 24+y 2=1【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，可得椭圆半焦距c ，又长轴为4，得a ＝2，由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求．【解答】解：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1，0)， ∴所求椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1， 又2a ＝4，∴a ＝2，则b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3． ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故选：C ．3．(2020•徐汇区一模)若圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(﹣9，11)B ．(﹣25，﹣9)C ．(﹣∞，﹣9)∪(11，+∞)D ．(﹣25，﹣9)∪(11，+∞)【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【解答】解：化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为(x ﹣3)2+(y ﹣4)2＝25+k ， 则k ＞﹣25，圆心坐标为(3，4)，半径为√25+k ， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为(0，0)，半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点， 则|C 1C 2|＞√25+k +1或|C 1C 2|＜√25+k −1， 即5＞√25+k +1或5＜√25+k −1， 解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11．∴实数k 的取值范围是(﹣25，﹣9)∪(11，+∞)． 故选：D ．4．(2020•青浦区一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则1|AB|+1|CD|的值为( ) A ．p2B ．2pC ．2pD ．12p【分析】直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(p2，0)，所以设经过焦点直线AB 的方程为y ＝k (x −p 2)，所以{y =k(x −p2)y 2=2px，整理得k 2x 2−(k 2p +2p)x +k 2p 24=0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以|AB|=x 1+x 2+p =(2k 2+2)pk2，所以1|AB|=k 2(2k +2)p，同理设经过焦点直线CD 的方程为y =−1k (x −p2)， 所以{y =−1k (x −p2)y 2=2px，整理得x 2−(p +2k 2p)x +p 24=0，所以：|CD |＝p +(p +2k 2p )，所以|CD|=12p+2k 2p，则则1|AB|+1|CD|=(1+k 2)2p(1+k )=12p．故选：D ．5．(2020•奉贤区一模)若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的焦距为2√10，则该双曲线的标准方程为 ．【分析】利用双曲线的焦距求出c ，通过渐近线方程，求出a 、b 关系，然后求出a ，b ，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦距为2√10，可得c =√10，双曲线的焦点坐标在x 轴上时， 渐近线方程为y ＝±3x ，可得ba =3，a 2+b 2＝10，所以a ＝1，b ＝3，当双曲线的焦点坐标在y 轴上时，可得ab=3，a 2+b 2＝10，所以b ＝1，a ＝3，所以所求双曲线方程为：x 2−y 29=±1． 故答案为：x 2−y 29=±1． 6．(2020•静安区一模)设双曲线x 2a −y 2a+1=1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为 ．【分析】利用已知条件PF 1⊥PF 2，点P 到坐标原点O 的距离为c ，转化求解c 的最小值即可． 【解答】解：双曲线x 2a −y 2a+1=1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到坐标原点O 的距离为c ， 所以c =√a 2+a +1=√(a +12)2+34≥√32，当且仅当a =−12时，取得最小值：√32． 故答案为：√32． 7．(2020•青浦区一模)已知点P 在双曲线x 29−y 216=1上，点A 满足PA →=(t ﹣1)OP →(t ∈R )，且OA →•OP →=60，OB →=(0，1)，则|OB →⋅OA →|的最大值为 ．【分析】由PA →=(t ﹣1)OP →，得到OA →=tOP →，则|OA →|=|t|⋅|OP →|，设A (x A ，y A )，P (x P ，y P )，可得{x P =xAt y P =y A t，将点(x A t，y At)代入双曲线中得x A 2=9y A216+9t 2，结合OA →•OP →=60，可得|y A |≤8，从而得到|OB →⋅OA →|＝|y A |≤8．【解答】解：∵PA →=(t ﹣1)OP →=tOP →−OP →，∴OA →−OP →=tOP →−OP →， 则OA →=tOP →，∴|OA →|=|t|⋅|OP →|， 设A (x A ，y A )，P (x P ，y P )， ∴(x A ，y A )＝t (x P ，y P )，则{x A =tx Py A =ty P ，即{x P =xA t y P =y At，将点(x A t ，y A t )代入双曲线中得： x A 29t 2−y A 216t 2=1，∴x A2=9y A 216+9t 2⋯①，∵OA →•OP →=60，∴|OA →|•|OP →|=|t|⋅|OP →|2=|t|⋅(x P 2+y P 2)＝|t |•(x A 2t 2+y A 2t2)=60…②，由①②得60＝|t |•(9y A 216t 2+y A 2t 2+9)=|t |•(25y A 216t 2+9)=25y A 216|t|+9|t|≥152|y A |，∴|y A |≤8，∴|OB →⋅OA →|＝|y A |≤8． 则|OB →⋅OA →|的最大值为8． 故答案为：8． 8．(2020•杨浦区一模)椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若|PF 1|＝5，则cos ∠F 1PF 2＝ ．【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理转化求解即可． 【解答】解：椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若|PF 1|＝5，可得|PF 2|＝6﹣5＝1，|F 2F 1|＝2c ＝2√5，由余弦定理可得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=25+1−202×5×1=35． 故答案为：35．9．(2020•松江区一模)已知椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上的点P 满足|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 1|＝ ．【分析】利用椭圆的定义，结合已知条件转化求解即可． 【解答】解：椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足|PF 1|＝2|PF 2|，因为|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝4． 故答案为：4．10.(2020•奉贤区一模)平面内任意一点P 到两定点F 1(−√3，0)、F 2(√3，0)的距离之和为4． (1)若点P 是第二象限内的一点且满足PF 1→⋅PF 2→=0，求点P 的坐标；(2)设平面内有关于原点对称的两定点M 1、M 2，判别PM 1→⋅PM 2→是否有最大值和最小值，请说明理由？ 【分析】由题意知曲线是焦点为F 1(−√3，0)与F 2(√3，0)、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C 的方程．(1)结合数量积为0以及椭圆方程的运用即可求出点的坐标； (2)设出两点的坐标，结合椭圆中变量的取值范围即可求解．【解答】解：∵曲线C 上任意一点P 到两定点F 1(−√3，0)与F 2(√3，0)的距离之和为4， ∴曲线是焦点为F 1(−√3，0)与F 2(√3，0)、长轴长为4的椭圆， 设椭圆的方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，由2a ＝4，a ＝2，c =√3， b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 2＝1；(1)设p (x ，y )，则PF 1→=(x +√3，y )，PF 2→=(x −√3，y )⇒PF 1→•PF 2→=x 2+y 2﹣3； ∵PF 1→⋅PF 2→=0， ∴x 2+y 2﹣3＝0联立x 24+y 2＝1⇒x 2=83，y 2=13；∵点P 是第二象限内的一点； ∴x =−2√63，y =√33， 所以点P (−2√63，√33)；(2)设M 1(m ，n )，则M 2(﹣m ，﹣n )；∴PM 1→⋅PM 2→=(m ﹣x ，n ﹣y )•(﹣m ﹣x ，﹣n ﹣y )＝x 2+y 2﹣(m 2+n 2) ①； ∵x 24+y 2＝1 ②；②代入①∴PM 1→⋅PM 2→=1+34x 2﹣(m 2+n 2)； 又因为﹣2≤x ≤2；∴当x ＝±2时，PM 1→⋅PM 2→最大值4﹣(m 2+n 2)， 当x ＝0时PM 1→⋅PM 2→是最小值1﹣(m 2+n 2)．。
高考高频考点(圆锥曲线)9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式
第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos pAF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=， 设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=， 所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =， 易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−， 所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥， 当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α， 则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=， 则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−， 过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−， 所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−， 所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=， 从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−， 显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==， 从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°， 如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF−=可得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点， 此时1AFAF BF −=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF −=，所以AF AF BF BF −⋅=， 故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos p p p ααα−=+， 解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =【答案】y 2=2x。
高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导
高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导周华生本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用。
定理1 若AB是椭圆)0b a (b a y a x b :2222221>>=+Γ或双曲线2222222b a y a x b :=-Γ或抛物线)0p (px 2y :23>=Γ的焦点弦，F 为焦点且λ=，（A 在B 之上），则弦AB 所在直线斜率k 满足)1,0(1e )1()1(k 2222±≠λ≠λ--λ+λ= （1）证明：设AB 的倾角为α。
（1）当︒<α<900时，l 为F 对应的准线，如图1对曲线1Γ：⎩⎨⎧α-α=±=+-=+-=+λ-λ==λ)F (cos e )F (cos e |AB ||)BC |(e |BF ||AF ||)'BB ||'AA (|e |BF ||AF ||BF ||AF |11,|'BB ||'AA ||BF ||AF |为右焦点为左焦点所以2222)1()1(e sec -λ+λ=α，即1e )1()1(tan 2222--λ+λ=α。
（2）当︒<α<︒18090时，如图2。
⎩⎨⎧αα-=α-︒±=+-=+-=+λ-λ)F (cos e )F (cos e )180cos(e |BF ||AF ||)'BB ||'AA (|e |BF ||AF ||BF ||AF |11为右焦点为左焦点同样地有1e )1()1(tan 2222--λ+λ=α。
类似地可证明（1）对于32ΓΓ和也成立。
仿照定理1的证明方法可证得如下结论：定理2 若AB 为椭圆)0b a (b a y b x a 222222>>=+或双曲线222222b a x a y b =-或抛物线)0p (py 2x 2>=的焦点弦，F 为焦点，且λ=，（A 在B 之上）则弦AB 所在直线斜率k 满足)1,0(1e )1()1()k 1(2222±≠λ≠λ--λ+λ= （2）下面我们介绍公式（1）（2）的一些巧妙应用。
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即二次曲线）。
一般直接用公式解决弦长问题时,计算量大,容易出错,这正是高考命题需要考查学生计算能力的一个重要方面。
我们通常用“设而不求”的方法，可得到其弦长公式。
这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。
本文将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，用它来解题可以简化运算过程。
假设设直线l的方程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的方程代入二次曲线方程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和二次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是方程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
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高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导
周华生
本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用。
定理1 若
AB
是椭圆
)0b a (b a y a x b :2222221>>=+Γ或双曲线
2222222b a y a x b :=-Γ或抛物线)0p (px 2y :23>=Γ的焦点弦，F 为焦点且λ=，（A 在B 之上），则弦AB 所在直线斜率k 满足
)1,0(1e )
1()1(k 2
2
22
±≠λ≠λ--λ+λ= （1）
证明：设AB 的倾角为α。
（1）当︒<α<900时，l 为F 对应的准线，如图1对曲线1Γ：
⎩⎨
⎧α-α=±=+-=+-=+λ-λ==
λ)
F (cos e )
F (cos e |AB ||)BC |(e |BF ||AF ||)'BB ||'AA (|e |
BF ||AF ||
BF ||AF |11,|'BB ||
'AA ||BF ||AF |为右焦点为左焦点
所以2
22
2
)1()1(e sec -λ+λ=α，即1e )1()1(tan 2222--λ+λ=α。
（2）当︒<α<︒18090时，如图2。
⎩⎨
⎧αα-=α-︒±=+-=+-=+λ-λ)
F (cos e )F (cos e )180cos(e |BF ||AF ||)
'BB ||'AA (|e |BF ||AF ||BF ||AF |11为右焦点为左焦点
同样地有1e )
1()1(tan 22
22
--λ+λ=α。
类似地可证明（1）对于32ΓΓ和也成立。
仿照定理1的证明方法可证得如下结论：
定理2 若AB 为椭圆)0b a (b a y b x a 222222>>=+或双曲线222222b a x a y b =-或抛物线)0p (py 2x 2>=的焦点弦，F 为焦点，且λ=，（A 在B 之上）则弦AB 所在直线斜率k 满足
)1,0(1e )1()1()k 1(22
22±≠λ≠λ--λ+λ= （2）
下面我们介绍公式（1）（2）的一些巧妙应用。
一、由定比求方程
例1. （2002年南昌高考模拟题）已知椭圆C 的焦点为)0,3(F ),0,3(F 21-，1F 到相应准
线距离为
3
3
，过2F 且倾角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B ，使|A F |3|B F |22=。
（1）求椭圆方程； （2）求直线l 的方程。
解：（1）设椭圆为3c ,3
3c b ,b a y a x b 2
222222===+，所以4a ,1b 22==，所以椭圆方程为1y 4
x 22
=+。
（2）23e ,211,31=-=-λ+λ=λ，代入（1）中得214
34k 2=-⋅=，因为0k >，所以2k =，
AB 方程为)3x (2y -=。
二、算定比求参数
例2. 已知椭圆C 的方程为)0b a (,b a y a x b 222222>>=+，双曲线222222b a y a x b =-的两条渐近线为21l ,l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，交点依次为A 、B （如图3），求
|
PA ||
PB |的最大值及此时椭圆C 的离心率e 。
解：设F （c ，0），l 方程为)c x (b a y -=，代入2l ：x a
b
y =中得P ：)c ab ,c a (2，故P
在椭圆准线上，设
1,,|AF ||BF ||AA ||BB ||PA ||PB |11λ=λ=λ===即则，在（1）中以λ
1
代入可化为22222
)b a (1e )1()1(k =--λ+λ=，所以)
b a (b )b a (a )1()1(2
2222222-+=-λ+λ，设)1,0()a b (t 2
∈=，且设0)
t 1(t t
1u >-+=
化简为01t )u 1(ut )t (f 2=+-+=，因为0)1(f ,0)0(f >>，故0)t (f =有根)1,0(t ∈的充要条件为
2
23)1()1(,223u 1u 2
23u 223u 1u 2u
10,0u 4)u 1(2
22+≥-λ+λ+≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+≥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<--<≥--=∆由或
得1212+≤λ≤-
所以12,223u max +=λ+=时，此时22t 1e ,12u
2u
1t -=-=-=--=而。
三、由定比求参数
例3. 设双曲线)0b ,0a (1b
y a x :C 2222>>=-的右焦点为F ，过F 作倾角为3π
的直线l 与双
曲线交于M 、N 两点，若|NF |5|MF |=，求双曲线离心率e 。
解：1）当5=λ时，由（1）
34
e 1e 163631e )1()1(k 222
22
=
-=--λ+λ=得即。
2）当M 、N 位于不同支上，则M 应在N 之下且51
-=，取5
1
-=λ代入（1）中得1e 36
1632
-=
，解得3e =。
故所求双曲线离心率为33
4
或。
例4. （2004年全国高考题）给定抛物线C ：x 4y 2=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，设AF FB λ=，若]9,4[∈λ，求l 在y 轴上截距的变化范围。
解：设l 在y 轴上截距为t ，则t k -=，以λ1代（1）中λ，1e )1()1(k 22
22
--λ+λ=，即
1)1()1(t 2
22
--λ+λ=，又因为31
1181≤-λ≤且12111-λ+=-λ+λ，所以351145≤-λ+λ≤，即
925)1()1(16252
2≤-λ+λ≤，所以9
25
1t 16252≤+≤。
解得3
4
t 4343t 34≤≤-≤≤-
或。
四、设定比求最值
例5. （2006年全国卷II 题）已知抛物线y 4x 2=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上两个动点，且)0(FB AF >λλ=，过A 、B 两点分别引抛物线的切线，设其交点为M 。
（1）证明AB FM ⋅为定值；
（2）设AMB ∆的面积为S ，写出)(f S λ=的表达式，并求S 的最小值。
分析：本题焦点F （0，1）在y 轴上，应用（2）。
解：（1）由（2）得2
22
2
)
1(41)1()1()k 1
(-λλ=--λ+λ=，所以λ-λ±=21
k ，由于A 、B 关于y 轴可对称处理，不妨先讨论0k >，此时AB 的方程是x 21
1y λ
-λ-=-即 02y 2x )1(=λ+λ--λ
① 设M 点坐标为)y ,x (11，其对应的切点弦方程为 0y 2y 2x x 11=-- ② ①、②重合，所以
11y 2222x 1x -λ
=
-λ-=-，解得1y ,1x 11-=λ
-λ=，所以1
20111k MF -λλ
-=-λ
-λ--=
，所以1k k AB MF -=⋅。
所以0=⋅为定值。
（2）由04x )1(2x x 211y 0y 4x 2
2=λ--λ-λ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧λ-λ=-=-。
得λ-λ=+)
1(2x x B A 。
所以λ+λ=
++λ
-λ=+++=2
B A B A )1(4)x x (21
1y 1y |AB |。
又由λ
-λ=
=α21
k tan AB 可得1
2cos +λλ
=
α 所以λ
+λ=α=1
cos 2|FM |。
所以4)1(21)1(121S 3
2ABM ≥λ
+λ=λ+λ⋅λ+λ⋅=∆。
所以)(f λ的最小值为4，此时1=λ。