圆锥曲线有关焦点弦的几个公式定理及应用(老师)
圆锥曲线焦点弦的一个优美恒等式及应用
有Ｉ １ — ｎ － 十 — ｍ Ｉ １ ： 。 ｌ 。 １ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于椭 圆是轴对称 图形 ， 故只需证 明其过 右焦 点 的情况． 我们 先证 明倾斜 角 为锐 角的情况．
已知椭 圆 ＋ ： １ （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过腿 倾
过Ｂ 作Ｂ Ｂ 。 垂 直准线于日 。 ， 过Ｂ 作Ｂ Ａ ＿ Ｌ Ａ Ａ １ 于Ａ
由圆锥 曲线统一性定义知
ＢＦ ＝ ＢＢ１ ＝ｎ， ＡＦ＝ ＡＡ １ ＝ ｍ，
Ａ Ｉ Ｏ 榀
图２
＝ ｅ ．—
—
：ｅ ．
—
＼
．
ＢＢＪ
ｌ
夕 ｎ Ａ Ａ
， Ａｌ
ｆ ［ Ｊ Ｂ Ｂｌ ： — ｎ —， ＡＡ１ ： — ｉ ｎ —
ｅ ｅ
，
￣ ［ Ｉ ＢＢ １ ： — ｍ —， ＡＡ１ ： — ｎ —
ｅ ｅ
，
ｎ Ａ２ ：— ｍ－
—
．
彭 Ａ ２ ＝ — ｎ － — ｍ．
Ｉ ｌ
则 有 Ｉ １ — ｒ ｎ ｔ － 十 — ｍ Ｉ １ ： ｃ ｏ ｓ ｌ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于双曲线是轴对称 图形 ， 故 只需证 明其过右 焦点 的情 况． 我们先证 明倾斜角ｏ ／ 为锐角的情况．
已知 双 曲线 一 ： １ （ ｎ ＞ ０ ， ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过Ｆ
Ｉ Ｉ
证： Ｉ — ｎ － — ｍ Ｉ ： ｌ 。 Ｉ ， 其中 为 离 心 率 ．
Ｉ ｎ＋， 孔 Ｉ
证明： 如 图２ ， 作Ａ Ａ 垂直右准线于Ａ ，
证明 ： 如图１ ， 作Ａ Ａ。 垂 直右 准线 于Ａ ， 过Ｂ 作Ｂ Ｂ 垂直右准线 于Ｂ ， 过 作Ｂ Ａ ＿ Ｉ ＿ Ａ Ａ 于Ａ 》
圆锥曲线有关焦点弦(焦点半径)五个统一性质统一证明
圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的五个统一性质的统一证明中图分类号：g632 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2013）03-0109-02下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。
本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。
1 圆锥曲线的统一性质1.1圆锥曲线的统一性质1ab是通过圆锥曲线的一个焦点f的一条弦（不与焦点所在的直线重合），a、b在焦点相应的准线l上的射影分别为a1b1，设a1f、b1f的中点分别为m、n，则直线am与bm的交点一定在准线上。
（如图1）1.2给出圆锥曲线的统一性质2过圆锥曲线的一个焦点f的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）ab，和此焦点对应的顶点的c的连线交f对应的准线l于两点m、n，则以mn为直径的圆必过焦点f。
（如图2）如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点c的的连线交f对应的准线l于m、n两点，则以为mn直径的圆必过焦点f。
（如图3）1.3圆锥曲线的统一性质3若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为a，过点a作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于b、c两点，过焦点f作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于m、n两点，则有：1.4圆锥曲线的统一性质4直线l是圆锥曲线？祝的焦点f所对应的准线，过l上一点p作曲线？祝的两条切线pa、pb。
a，b为切点，过pf中点d且平行于直线l的直线l′交直线pa，pb于点m，n。
（如图4）则有：（ⅰ）fm∥pb； fn∥pa；（ⅱ）记△afm，△pmn，△bfn的面积分别为s△afm，s△pmn，s△bgn现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）过有心二次曲线的两焦点f1，f2作两条射线（同向）交二次曲线于a，b两点，直线f1b和f2a相交于点p，则pf1+pf2为定值。
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 ⑴过 椭圆 x2 + y2 =1（a >b >0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A 、B 两点 ，设 abAF p, BF =q 。
若 A 、B 两点在双曲线的同一支上（此时称 AB 为双曲线的同支焦点弦）AF p, BF =q ， 11 则 + = pq 2a b 2 2 = e 2d 0 ,其中d = b c 2是焦准距，cce= 是离心率。
a⑵过双曲线 22x 2 y 2 122 ab(a > 0,b > 0) 焦点 F 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，设1 12 b 2则 + = ，其中 d 0 = 是焦准距； p q ed 0 c若 A 、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上 时称 AB 为双曲线的异支焦点弦），则1 - 1pqe 2d 0 ,其中d 0 b 2c 是焦准距， ce= 是离心率。
a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质⑴ , 性质⑵的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。
设右准线 l 与 x 轴交于点 D ，过 A 作 AG ⊥l 于 G ，过 B 作 BH ⊥l 于点 H ，则 AG ∥FD ∥ BH ；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p，|BH|= BF q。
e e e e令|FE|= m ,|ED|= n ，故由 mq,n = pmnpq p = p+q,q =。
∴e(p q)e e因此， b2 m +n = ? c 2pq b2e(p q) 。
c2∴p q 2c2。
又 ec，从而1 1 p q 2a2= 2 ,其中d0= b就是焦准距。
证毕。
pqeb 2a p q pqb 2ed 0 c[ 说明 ] ①在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。
双曲线与抛物线也则 m +n =|FD|=FEBF，AGBA，BH GB =AB可得：②如图 1，若设∠ AFD =θ，并分别过 A 、F 作 FD 和 BH 的垂线，则可证： p= ba+ ccos θ2ab2； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p + q= 2 2 2 q =1 - e cos θa -c cos θ22d0e2,其中d 0 就是焦准距 b。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标全参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(， 准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。
圆锥曲线几种弦长的统一公式
ＭＮ Ｉ ＝ ２ ｐ
一
１ ＋ｋ 一ｅ Ｉ
ｌ ｓ ｅ ｃ ０一ｅ ｃ ｏ ｓ ０ｉ ｏ
） 。 （ ９ ） （ １ ０）
（ 一 ）＝ Ｏ ，
（ １ １ ）
证明 以 所在直线为 轴 ， Ｆ为坐标原点建立直角坐标系 ，因为焦点到相应准线的距离为Ｐ ，故得 ，（ ０ ，０ ） ， Ｅ（ ， ０ ） 所 以经过 的准线方程为 ｘ ＝ － ｐ ，直线 Ｅ ＭＮ的方程为 ｙ ＝ ｋ（ 同定理 １ 的证明方法得 （ １ 一 ） 一 ２ ｅ ２ ｐ ｘ — Ｐ ＝ ０ 。
在（ ５ ） 中 令ｙ ＝ ０ ， 注意到． ） ｃ ＜０ 解得 （ 一 ・ ＋ ） ＝ ＝ ＞ ＝ Ｙ一
，
， ｏ ） ， 则得直线 Ｂ Ａ的方程为
将（ 、 ６ ） 代入（ ５ １ ＋ｋ ２ ＿ｅ ２ ） 。 一２ ｅ ｐ ｋ ｙ＝０ ， （ ７ ）
（ ６ ）
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ —１ ２—１ ３
为 解决 圆锥 曲线一些特 殊 弦长 问题提供 了理论依 据 。
关键词 ：圆锥曲线弦；计算方法；应用 中图分 类号 ：０１ ２ ３ ． ３ 文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ４） ０ ３ — ０ ０ ５ ８ — ０ ４
１ 焦点弦长统 一公式
第２ ７卷 第 ３ 期 ２ ０ １ ４年 ６月
文 山学 院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＥ ＮＳ ＨＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ０ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ４
圆锥 曲线几种弦长的统 一公式
玉 邴 图
（ 广南县第一 中学，云南 广南 ６ ６ ３ ３ ０ ０ ） 摘要：圆锥 曲线弦是各类考试的重点和热点，常考常新，角度常变 ， 久经不衰，且运算量大，技能性高。 文章运用韦达定理和弦长公式推导 了圆锥 曲线焦 点弦、 顶点弦和准点弦长度的统一计算公 式和几个重要推论 ，
圆锥曲线焦点弦与准线的相关性
圆锥曲线焦点弦与准线的相关性今天，我们要讨论的是圆锥曲线焦点弦与准线的相关性。
圆锥曲线是一种常见的曲线，它以极坐标形式进行参数化。
它有两个焦点F1和F2，以及椭圆弦段AB。
圆锥曲线的参数化公式为：r（θ）= c+ae^(bθ)这里，c,a,b是圆锥曲线的常量参数，可以用来描述特定的类型的圆锥曲线。
焦点弦AB是圆锥曲线的重要部分。
两个参数的变化会导致其形状的变化。
另一个重要的概念是准线，它是圆锥曲线以一定比例放大或缩小的过程中所构成的直线。
那么，圆锥曲线焦点弦与准线是如何相关的呢？首先，圆锥曲线的焦点弦AB与准线在相同的位置上。
它们之间的联系是由“焦点弦”准则定义的。
根据这一准则，以此圆锥曲线的两个焦点为端点的准线的斜率应该等于焦点弦AB的斜率。
其次，准线的方向也和圆锥曲线的焦点弦AB有关。
当焦点弦AB 在椭圆轴上时，准线的方向应该与椭圆轴方向相同。
当焦点弦AB不在椭圆轴上时，准线的方向应该与焦点弦AB的方向相同。
此外，准线还与圆锥曲线的半径有关。
根据焦点弦定理，准线与两个焦点之间的距离应该等于椭圆轴上半径之差。
这个距离可以通过观察焦点弦AB的斜率和长度来计算出来。
最后，圆锥曲线的焦点弦AB的位置也和准线的位置有关。
例如，若所求准线的斜率为k，则焦点弦AB的位置是椭圆轴上等于k/b的位置，其中b为参数化公式中的常量参数。
综上所述，圆锥曲线的焦点弦AB与准线之间存在着一种复杂的相互关系。
参数化的变化会影响圆锥曲线焦点弦AB的形状，从而影响准线的形状。
此外，准线的方向和位置也都和圆锥曲线焦点弦AB 有关。
因此，理解圆锥曲线焦点弦AB与准线的相关性非常重要，不仅可以用来推导圆锥曲线特定参数的变化，而且可以用来计算准线的位置和方向。
圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用
㊀㊀㊀圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用◉浙江省诸暨市草塔中学㊀金铁强椭圆㊁双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用 设而不求 来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此法求解,必须再要用到 设而求之 才能解决．对于现在的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直观地解题．图１１焦点在x 轴上的椭圆焦半径公式的推导及应用㊀㊀如图１,设椭圆E 为x ２a２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０),F １,F ２为椭圆E 的焦点,P Q 为椭圆E 过点F １的焦点弦．当P Q 垂直于x 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最短的一条,即通径,满足|P Q |＝２b２a;当P Q 垂直于y 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最长的一条,即长轴,满足|P Q |＝２a ．除了这两条特殊的焦点弦,我们任意作一条焦点弦,连接P F ２,构成焦点三角形P F １F ２,令øP F １F ２为α,为焦点弦P Q 的倾斜角．设|P F １|＝x ,则|P F ２|＝２a －x ．在әP F １F ２中由余弦定理得c o s α＝x ２＋(２c )２－(２a －x )２４x c．整理得到x ＝a ２－c ２a －c c o s α＝b２a －c c o s α,即|P F １|＝b ２a －c c o s α．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．同样地,在图１中,若我们连结Q F ２,构成焦点三角形Q F １F ２,可得|Q F １|＝b２a －c c o s (π－α),即|Q F １|＝b２a ＋c c o s α,得到焦点弦|P Q |＝b ２a －c c o s α＋b ２a ＋c c o s α＝２a b２a ２－c ２ c o s ２α．这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．例１㊀设F １,F ２分别为椭圆x ２３＋y ２＝１的左右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F １A ң＝５F ２B ң,则点A 的坐标是．图２解析１:(常规解法)如图２,已知椭圆x ２３＋y ２＝１,则焦点F １(－２,０),F ２(２,０)．因为F １A ң＝５F ２B ң,则F １A ң与F ２B ң共线,即F １A 与F ２B 平行．延长A F １与椭圆交于点C ,由椭圆与两个焦点都关于(０,０)对称,可知C F １ң＝F ２B ң,则F １A ң＝５C F １ң．那么问题就转化到焦点弦A C 了．可验证当点A 在x 轴上时,不满足条件,故设A (x １,y １),C (x ２,y ２),直线A C 为x ＝m y －２,求出A (x １,y １)的坐标．到这里,我们发现,该题目其实不能用 设而不求 ,因为最后问的是x １及y １的值,最后反而是 设而求之 ．联立x ＝m y －２与x ２３＋y ２＝１,消去x ,得到方程(３＋m ２)y ２－２２m y －１＝０．则y １＋y ２＝２２m m ２＋３,y １y ２＝－１m ２＋３．又y １＝－５y ２,解得y ２１＝１．则A (０,１)或A (０,－１)．解析１虽步骤不多,但运算复杂．如果我们用焦半径公式,整个问题就豁然开朗．解析２:(焦半径公式法)首先,利用椭圆与平行线的点对称问题同上解,问题转化到焦点弦A C 中来．设A C 的倾斜角为α,由F １A ң＝５C F １ң,可直接利用公式得到方程b ２a －c c o s α＝５b２a ＋c c o s α,则６c c o s α＝４a ,即c o s α＝２a ３c ＝２３３２＝６３．所以直线A C 的斜率k ＝２２,直线A C 方程为y ＝２２x ＋１,联立椭圆方程x２３＋y ２＝１,易得x ＝０,y ＝１．即A (０,１)．再利用对称性可得A (０,－１)(此时倾斜角α为３５２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀钝角,斜率k＝－１２)．运算可简便很多．综上可知:A(０,１)或A(０,１)．分析公式的本源可得出很简单的结论,焦点弦的弦长及被焦点分开的两段焦半径的比例值其实与椭圆的形状(即a,c的值),与焦点弦所在直线的方向(即斜率k或倾斜角α)存在关系,即a,c,α三个量决定了焦点弦的一切,那我们不妨直接利用这样的代数关系来解决问题,解题就方便多了．２焦点在x轴上的双曲线焦半径公式的应用同样地,该公式也适用于双曲线．例２㊀已知双曲线方程:x２３－y２＝１,左焦点为F,过F作两条相互垂直的直线与双曲线相交于A,B,C,D四点,求四边形A B C D面积的最小值．解析:由条件知,若焦点弦为一条交于双支,一条交于单支,则不能构成四边形,则两条焦点弦都交于左支或都交于双支．(１)若两条焦点弦都交于双支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＜３３,且０＞t a nπ２＋αæèçöø÷＞－３３,不存在这样的α．(２)若两条焦点弦都交于左支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＞３３,且t a nπ２＋αæèçöø÷＜－３３,则αɪπ６,π３æèçöø÷．S A B C D＝|A C| |B D|２＝１２２a b２(a２－c２ c o s２α)２a b２a２－c２ c o s２α＋π２æèçöø÷éëêêùûúú＝３３－４c o s２α２３３－４s i n２α＝６９－４＋１６c o s２α s i n２α＝６５＋４s i n２２αȡ２３．当s i n２２α＝１,即α＝π４时,等号成立,此时四边形A B C D面积的最小值为２３．利用公式直接代入,解题过程简洁明了,优点显而易见．３焦点在y轴上的圆锥曲线焦半径公式如图３,设椭圆T:y２a２＋x２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭圆T的焦点,上准线为y＝a２c,P Q为椭圆T的焦图３点弦,P Q的倾斜角为α,P H与上准线垂直于H,N为上准线与y轴的交点．由|P F１||P H|＝ca,|PH|＝a２c＋(|P F１|s i nα－c),可以得a|P F１|＝c a２c－c＋|P F１|s i nαæèçöø÷,即|P F１|＝b２a－c s i nα．同理,|Q F１|＝b２a＋c s i nα,且|P Q|＝２a b２a２－c２s i n２α．焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式只需把焦点在x轴上的焦半径公式中的c o sα换成s i nα,其他不变．因此,简单总结如下:(１)焦点在x轴上的椭圆或双曲线(双曲线要求焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,即焦点弦的斜率满足k＞ba或k＜－ba时),其焦点弦为P Q,焦点弦的倾斜角为α．P Q被焦点分成P F１与P F２两段,其中较长的一条为|P F１|＝b２a－c c o sα,较短的一条为|Q F１|＝b２a＋c c o sα;当曲线为双曲线时,若其焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,即焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a时,此时较长的一条|P F１|＝b２c c o sα－a,较短的一条|Q F１|＝b２c c o sα＋a(绝对值取决于倾斜角为锐角还是钝角)．(２)焦点在y轴上的椭圆或双曲线,把上述公式中的c o sα换成s i nα即可．唯一有变化的是当焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a;当双曲线的焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,焦点弦的斜率满足k＞ba,或k＜－b a．即α的取值范围要求发生变化,而公式的结构不变,只需把公式中的c o sα换成s i nα,而且,由于αɪ[０,π),s i nαȡ０恒成立,有绝对值的部分可以去掉．参考文献:[１]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学 选修２Ｇ１(A版)[M]．２版．北京:人民教育出版社,２００７．[２]丁益民．数学公式的 二次处理 对学生思维的培养．数学通讯,２０１０(２２):１Ｇ２．F４５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
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圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2
评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离
心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为
的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3
解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿
解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点
且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为
，则有。
证明设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线
于点，交直线于点。
由圆锥曲线的统一定义得，，所以。
图4
（1）当焦点内分弦时。
如图4，，。
，所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
图5
如图5，，。
所以，
所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。
当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。
注由上可得，当焦点内分弦时，有。
当焦点外分弦时，有。
例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿
解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。
解（1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。
例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
由焦半径公式得，。
例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式
得，。
例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。
求四边形面积的最小值。
图6
解由方程可知，，则。
设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴
的夹角为。
代入弦长公式得，
，。
故四边形的面积为，。
,. 所以四边形面积的最小值为。