2019年人教版数学初二上学期第十二章知识点总结

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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。

经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。

例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。

例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。

全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。

②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。

③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。

④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。

⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。

温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。

全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。

八年级数学上册知识点总结第十二单元

第十二章全等三角形编者：肖潇12.1 全等三角形1. 全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角，如△ABC 与△A ′B ′C ′全等，且A 和A ′，B 和B ′分别是对应顶点，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作△ABC 全等于△A ′B ′C ′。

3. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

12.2 三角形全等的判定号括起来，并在最后全等后的括号里写上你所用的判定方法。

例如：在△ABC 和△A ′B ′C ′中′（SSS ）；Page 19 题12；Page 20 题4,8；Page 21 题12；Page 22 题4；Page 23 题3,6,1012.3 角平分线的性质（1）掌握角平分线的作法（见课本19页）（2）角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

技巧：凡是遇到关于角平分线的题，首先就应该想到过角平分线上一点作角的两边的垂线段。

作垂线段的格式一般是：过某一点作“什么”垂直于“什么”于点“什么（垂足）”，一定要指明垂足。

（3）几个关于角平分线的结论①三角形的内心（三角形三条角平分线的交点）到三角形三条边的距离相等。

②三角形的面积等于三角形的内心到其中一边的距离乘以三角形的周长除以2。

重点题：Page 26 题7,8,10单元考前可以做一下page28 题1,2,6,8,10,11,12；page29 题14做完后可以自己对照答案看一下，答案如下：1. D A选项，SSA不能判定两个三角形全等；B选项，这里的30°没有说明是底角还是顶角，所以不能判断；C选项，假如这一角为直角，就不能判断两个三角形全等；D选项，这就是用AAS 证明两个三角形全等的表述，正确。

2. B 看图已知有一边一角对应相等，根据SAS、AAS、ASA可以再找另外一条夹边对应相等，①符合题意；还可找这一边的对角对应相等，④符合题意；还可以找另外一个夹角对应相等，③符合题意。

八年级数学上册第十二章知识点

八年级数学上册第十二章知识点一、三角形的定义和分类1.三角形的定义：由三条线段组成的封闭图形称为三角形，简称三角。

2.三角形的分类：（1）按照边长的关系分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

（2）按照角度的大小关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

（3）按照角度的性质分为等角三角形和不等角三角形。

3.三角形的性质：（1）三角形的三条边和三个角度都有对应关系，即一条边对应一个角度，一个角度对应一条边。

（2）三角形内部的任意一点到三角形三个定点的距离之和等于三边长。

（3）三角形内部的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。

（4）三角形内部的任意一条高线将三角形分成两个面积相等的三角形。

二、勾股定理和三角函数1.勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。

即：c2=a2+b2，其中c为斜边，a、b为直角边。

2.三角函数：（1）正弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角$\\theta$，它的正弦值等于对边与斜边的比值。

即：$\\sin\\theta=\\dfrac{\\text{对边}}{\\text{斜边}}$。

（2）余弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角$\\theta$，它的余弦值等于邻边与斜边的比值。

即：$\\cos\\theta=\\dfrac{\\text{邻边}}{\\text{斜边}}$。

（3）正切函数：在直角三角形中，对于一个锐角$\\theta$，它的正切值等于对边与邻边的比值。

即：$\\tan\\theta=\\dfrac{\\text{对边}}{\\text{邻边}}$。

三、三角函数的计算和使用1.计算正弦、余弦和正切：（1）已知一个角$\\theta$和一条边，可以利用三角函数计算另一个角和两条边。

（2）已知两条边，可以利用三角函数计算另一个角和另一条边。

（3）已知三个角，可以利用三角函数计算三条边。

2.应用三角函数：（1）求角度：利用正弦、余弦和正切可以求出角度。

人教版八年级上册数学第十二章小结与复习课件ppt

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l八年级上册数学第十二章知识点

l八年级上册数学第十二章知识点在八年级上册数学中，第十二章主要涉及三角形、相似形和勾股定理等内容，这些知识点都是数学学习中非常重要的一部分，下面就具体来介绍一下这些知识点的相关内容。

一、三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，也是数学中应用最广泛的图形之一。

在第十二章中，我们主要探讨了三角形的性质和分类。

三角形按照边的长度和角的大小，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形等四种类型。

其中，等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形则是有一个内角为90度的三角形。

此外，在学习三角形的过程中，我们还了解了三角形的内角和外角之和，即一个三角形内角之和为180度，外角之和为360度。

二、相似形相似形指形状相似但大小不同的两个图形。

在学习相似形时，我们主要了解了相似比和相似形的性质。

相似比是指相似图形之间对应线段的比值，也就是各边长度比例的比值。

相似形则具有完全相同或近似相同的形状，但大小不同。

在实际应用中，相似形非常重要，因为相似形的存在，可以在不知道一个图形具体大小的情况下，通过已知信息来解决问题。

例如，在建筑设计中，可以通过两个相似三角形的相似比来求出实际建筑物的高度和长度等信息。

三、勾股定理勾股定理是一个历史悠久的定理，通过数学证明已经被证明是正确的。

在第十二章中，我们主要学习了勾股定理的基本原理和应用。

勾股定理指的是在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

勾股定理的应用非常广泛，在数学和物理等领域都有重要的作用。

例如，在航空航天领域中，通过勾股定理来计算太空船的速度和飞行轨迹等信息。

总之，在八年级上册数学中的第十二章，三角形、相似形和勾股定理等知识点，是我们日常生活和数学学习中非常重要的一部分。

希望学生们能够认真学习这些知识点，理解其基本原理和应用方法，为今后的学习和生活奠定坚实的数学基础。

2019年秋八年级上册人教版数学作业课件：第12章基础专题全等三角形的基本类型

(2) ∵ ∠ MCD ＝ ∠ NCA ＝ 45°， ∠ A ＝ ∠ D ， CD ＝ CA ， ∴ △ CMD ≌ △ CNA(ASA)，∴CM＝CN.
组合型 4．(黄石中考)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE 于 E， AD⊥CE 于 D，AD＝7，BE＝3.
(1)求证：△BEC≌△CDA； (2)求△BDE 的面积．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB，∠DAC ＝∠ECB，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA(AAS)； (2)解：由(1)得 CD＝BE＝3，CE＝AD＝7，∴DE＝CE－CD＝4，∴S△BDE ＝12×3×4＝6.
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(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋EC，∴BC＝FE.在△ABC 与△DEF 中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF； (2)解：还成立．理由如下：∵BE＝CF，∴BE－CE＝CF－EC，∴BC＝FE. 在△ABC 与△DEF 中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF.
数学八年级上册 • R
第十二章全等三角形
基础专题全等三角形的基本类型
【专题概要】全等三角形都可以通过平移、翻折及旋转得到．平移型
1．如图①，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝ CF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)如图②，其他条件不变，△ABC≌△DEF 还成立吗？试说明理由．
翻折型 2．(泰州中考)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB 相交于点 O.求证： OB＝OC.
BD＝AC 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，CB＝BC ，∴Rt△ABC≌Rt△ DCB(HL)，∴AB＝CD，∵∠AOB＝∠DOC，∠A＝∠D，∴△ABO≌△ DCO(AAS)，∴OB＝OC.

2019-2020人教版八年级数学上册第十二章全等三角形章末复习课件共58张

章末复习
相关题1 如图12-Z-11所示的4×4正方形网格中,∠1＋∠2＋ ∠3+∠4＋∠5+∠6＋∠7=__3_15_°.
章末复习
解析由题图得∠1＋∠7＝90°，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°， ∠4＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝90°＋90°＋ 90°＋45°＝315°.
章末复习
相关题3-2 如图12-Z-9所示, 已知∠1=∠2, 请你添加一个条件, 证明AB=AC. (1)你添加的条件是________________； (2)请写出证明过程.
章末复习
解：(1)由 AD＝AD，∠1＝∠2 这两个已知条件，根据 “AAS”
或“ASA”写出第三个条件即可．添加的条件是∠B＝∠C 或∠ADB
章末复习
解：答案不唯一，如以①②为题设，④为结论，可写出一个真命题如下：
已知：如题图，在△ACD 和△ABE 中，点 D 在 AB 上，点 E 在
AC 上，AE＝AD，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
证明如下：在△ACD 与△ABE 中，
AC＝AB，

∠A＝∠A， AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴∠B＝∠C.
全等三角形的性质
应用
角的平分线
全等三角形
章末复习
全等三角形
角的平分线
全等三角形
边边边(SSS)
一般三角形
直角三角形
性质
边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
SSS, SAS, ASA, AAS
HL(只适用于判定两个直角三角形全等)
章末复习

2019-2020人教版八年级数学上学期期末单元复习第12章全等三角形解析版

第12章全等三角形一．选择题（共12小题）1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．2．下列说法中，正确的是（）A．全等图形是形状相同的两个图形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形C．等边三角形都是全等三角形D．全等图形的周长、面积都相等3．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1 B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC4．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠EDC＝70°，则∠B的度数等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°5．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（）A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD 6．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS7．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则AD的长为（）A．5.5 B．4 C．4.5 D．38．如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（）A．13 B．8 C．6 D．59．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．1cm D．2cm10．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）A．1；SAS B．2；ASA C．3；ASA D．4；SAS11．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5 B．7 C．14 D．2812．有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条角平分线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点二．填空题（共4小题）13．如图，△ABD≌△ACE，AD＝8cm，AB＝3cm，则BE＝cm．14．如图，已知△ABC≌△DEF，A和D是对应顶点，若∠A＝80°，∠B＝65°，则∠F°．15．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是点E，F，若PE ＝3．则PF＝．16．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置．测量数据如图所示，则升旗台的高度是cm．三．解答题（共5小题）17．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）18．如图，已知AB，CD相交于O，△ACO≌△BDO，AE＝BF，求证：CE＝FD．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．求证：BD＝CE．20．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．21．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝CD，∠AFE＝∠BCD．试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）BF∥EC．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、两个图形能够完全重合，故本选项正确．B、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；故选：A．2．下列说法中，正确的是（）A．全等图形是形状相同的两个图形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形C．等边三角形都是全等三角形D．全等图形的周长、面积都相等【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、全等图形是指形状相同、大小相等的两个图形，故本选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故本选项错误；C、等边三角形的形状相同、但是大小不一定相等，所以不一定都是全等三角形，故本选项错误；D、全等图形的周长、面积相等，故本选项正确；故选：D．3．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1 B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角以及对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，AC＝CA，∠B＝∠D，BC＝AD，故只有选项D，BC＝DC错误．故选：D．4．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠EDC＝70°，则∠B的度数等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠ADE，进而利用已知得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ADB，∴∠BDA＝∠ADE，∵∠EDC＝70°，∴∠BDA＝∠ADE＝×（180°﹣70°）＝55°．故选：B．5．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（）A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD 【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B、根据ASA即可判断△ACO≌△BDO，得OC＝OD，OA＝OB，再用SAS可得三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A．6．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小周书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故选：A．7．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则AD的长为（）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3【分析】证明△ABC≌△EFD可得DE＝AC＝10，根据AD＝AE﹣DE可求解．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠A＝∠E．又AB＝EF，∠B＝∠F，∴△ABC≌△EFD（ASA）．∴AC＝DE＝10．∴AD＝AE﹣DE＝10﹣7＝3．故选：D．8．如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（）A．13 B．8 C．6 D．5【分析】证明△ABE≌△ECD得到CE值，则BE可求．【解答】解：在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故选：B．9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．1cm D．2cm【分析】根据垂直的定义得到∠C＝∠ADE＝90°，利用AAS定理证明△ACE≌△ADE，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】解：∵AC⊥BC，ED⊥AB，∴∠C＝∠ADE＝90°，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴AD＝AC＝3cm，∴BD＝AB﹣AD＝4cm，故选：B．10．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）A．1；SAS B．2；ASA C．3；ASA D．4；SAS【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故选：B．11．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5 B．7 C．14 D．28【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝2，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，∴DE＝CD＝2，∵AB＝7，∴△ABD的面积是：＝＝7，故选：B．12．有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条角平分线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．故选：A．二．填空题（共4小题）13．如图，△ABD≌△ACE，AD＝8cm，AB＝3cm，则BE＝ 5 cm．【分析】由△ABD≌△ACE可得AD＝AE，AC＝AB，因为BE＝AE﹣AB，即可AE的长度．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AC＝AB，又AD＝8cm，AB＝3cm，∵BE＝AE﹣AB＝8﹣3＝5，∴BE＝5cm．故填5．14．如图，已知△ABC≌△DEF，A和D是对应顶点，若∠A＝80°，∠B＝65°，则∠F＝35 °．【分析】利用三角形内角和定理可得∠ACB，再根据全等三角形的性质可得∠F＝∠ACB ＝35°．【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝35°，故答案为：＝35．15．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是点E，F，若PE ＝3．则PF＝ 3 ．【分析】根据角平分线的性质直接写出结论即可．【解答】解：∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵PE＝3，∴PF＝PE＝3，故答案为：3．16．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置．测量数据如图所示，则升旗台的高度是69 cm．【分析】设升旗台的高度是zcm，AC＝xcm，BC＝ycm．构建方程组即可解决问题．【解答】解：设升旗台的高度是zcm，AC＝xcm，BC＝ycm．由题意：，①+②可得，2z＝138，∴z＝69，故答案为69．三．解答题（共5小题）17．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【分析】利用尺规作∠EAC＝∠ACB即可，先证明△ACD≌△CAB，再证明CD∥AB即可．【解答】解：图象如图所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．18．如图，已知AB，CD相交于O，△ACO≌△BDO，AE＝BF，求证：CE＝FD．【分析】首先根据△ACO≌△BDO得到CO＝OD，AO＝OB，进而得到OE＝OF，再证明△COE ≌△DOF，即可得到结论．【解答】解：∵△ACO≌△BDO，∴CO＝OD，AO＝OB，∵AE＝BF，∴OE＝OF，∴△COE≌△DOF，∴CE＝DF．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．求证：BD＝CE．【分析】根据垂直的定义可得∠BDC＝∠CEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB，再有公共边BC，利用AAS可得△BCD≌△CBE，据此可得BD＝CE．【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD和△CBE中，∠BDC＝∠CEB，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△BCD≌△CBE（AAS），∴BD＝CE．20．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【分析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）21．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝CD，∠AFE＝∠BCD．试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）BF∥EC．【分析】（1）由角边角可证明△ABC和△DEF全等；（2）证明△BFC和△ECF全等，可得∠BFC＝∠ECF，继而可得BF∥EC．【解答】证：（1）∵AB∥DE，∴∠A＝∠D∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF∵∠AFE＝∠BCD，∴∠DFE＝∠ACB在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）（2）∵△ABC≌△DEF∴BC＝EF在△BCF和△EFC中，∴△BCF≌△EFC（SAS）∴∠BFC＝∠ECF∴BF∥EC。

八年级数学上册人教课标小结及复习第十二章全等三角形全等三角形小结及复习.doc

2019-2020 年八年级数学上册（人教课标）小结与复习：第十二章全等三角形全等三角形小结与复习概念：能够完全重合的两个叫做全等三角形.温馨提示：两个三角形是否全等，与这两个三角形所在的位置无关.性质：全等三角形的对应边，全等三角形的对应角.温馨提示：对应角的寻找方法：①对应边所对的角是对应角；②两条对应边所夹的角是对应角；③有公共角，一定是对应角；④有对顶角，一定是对应角；⑤最大（小）的角是对应角 .对应边的寻找方法：①对应角所对的边是对应边；②两个对应角所夹的边是对应边；③有公共边，一定是对应边；④最长（短）的边是对应边.分别相等的两个三角形全等（SSS）；两边和它们的分别相等的两个三角形全等（SAS）；判定：两角和它们的分别相等的两个三角形全等（ASA）；两角和其中一个角的分别相等的两个三角形全等（AAS）；和一条分别相等的两个直角三角形全等（HL）.温馨提示：三个角分别相等的两个三角形不一定全等；两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离________.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上 .考点呈现考点 1 全等三角形的性质AF 例 1 （ 2013 年柳州）如图 1 ，△ABC≌△ DEF，请根据图中提供的信息，写出 x＝_____解析：因为△ABC≌△ DEF ，所以18x60°C D70°50°20EF=BC=20，即x=20．BEA考点 2 三角形全等的判定例 2（ 2013 年西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等解析：根据直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，可知至少含有一条边，所以排除选项A、 B；对于选项C，只有一条边和一个直角，不满足判定条件；对于选项D，可能是两条直角边，满足“SAS”，可能是一条直角边与斜边，满足“HL” . 故选 D.例 3 （ 2013 年铁岭）如图2，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（）A ． = ，∠ =∠E B ． = ， =BC EC B BC EC AC DCC ． = ，∠ =∠D D ．∠ =∠，∠ =∠DBC DC A B EA解析：选项 A，已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠ B=∠ E，可利用“ SAS”证明△ABC≌△DEC；选项 B，已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC，可利用“ SSS”证明△ ABC≌△ DEC；选项C，已知 AB=DE，加上条件 BC=DC，∠A=∠ D，不能证明△ ABC≌△ DEC；选项 D，已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D，可利用“ ASA”证明△ABC≌△DEC.故选C．例4 （ 2013 年绥化）如图3， A， B，C 三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△ EAB≌△ BCD．解析：根据三角形全等的判定添加条件．因为∠ A=∠C=90°， AB=CD，所以根据“ SAS”，可添加 AE=CB；根据“ HL”，可添加 EB=BD；根据“ ASA”，可添加∠A BE=∠D；根据“ AAS”，可添加∠ E=∠DBC．综上所述，可添加的条件为AE=CB（或 EB=BD，或∠A BE=∠ D，或∠ E=∠DBC）．考点 3 全等三角形的综合运用例 5 （ 2013 年北京）已知：如图4，D是AC上一点，AB=DA，DE∥ AB，∠ B=∠ DAE．求证： BC=AE．证明：因为 DE∥ AB，所以∠ CAB=∠ EDA.在△ ABC和△ DAE中，∠ CAB=∠ EDA，AB=DA，∠ B=∠ DAE，所以△ ABC≌△ DAE.所以 BC=AE．考点 4 角的平分线的性质例 6 （ 2013 年丽水）如图5，在 Rt△ABC中，∠ A=90°，∠ ABC 的平分线 BD交 AC于点 D， AD=3， BC=10，则△ BDC的面积是__________.解析：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E.因为∠ A=90°，所以DA⊥AB.因为 BD平分∠ ABC，所以 AD=DE=3.所以△ BDC的面积是1DE gBC 1 10 3 15 .2 2考点 5 全等三角形开放型题例7 （2013 年山东济宁）如图 6，在△ ABC和△ ABD中， AD与BC相交于点 O，∠ 1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明 .图 6 你添加的条件是：_______________．证明：解析：添加的条件可以是AD＝ BC， OC＝ OD，∠ C＝∠ D，或∠ CAO＝∠ DBO等.以添加条件AD＝ BC为例，证明如下：因为 AB=BA，∠ 2＝∠ 1， BC＝ AD，所以△ ABC≌△ BAD．所以 AC=BD．误区点拨一、对“对应”二字理解不深例1 在△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=70°， AC=17cm. 在△ DEF 中，∠ D=70°，∠ E=80°，DE=17 cm.那么△ ABC 与△ DEF全等吗？为什么？错解：△ABC与△ DEF 全等．证明：在△DEF中，∠D=70°，∠E=80°，所以∠F=180° - ∠D- ∠E=180° - 70° - 80°=30°．在△ ABC与△ DEF中，∠ A=∠F，∠ B=∠D， AC=DE，所以△ ABC≌△ DEF．剖析： AC是∠B 的对边， DE是∠F 的对边，而∠ B≠∠ F，所以这两个三角形不全等．正解：△ABC与△ DEF 不全等．因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合三角形全等的判定．二、误用“ SSA”来证题例2 如图 1，D 是△ ABC中 BC边上一点， E 是 AD上一点， EB=EC，∠ ABE=∠ACE，求证：∠B AE=∠CAE．错解：在△ AEB和△ AEC中， EB=EC，∠ ABE=∠ACE， AE=AE，所以△ AEB≌△ AEC．所以∠ BAE=∠CAE．剖析：把“ SSA”作为三角形全等的判定方法，这是不正确的．因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．正解：因为 BE=CE，所以∠ EBC=∠ECB．又∠ ABE=∠ACE，所以∠ ABC=∠ACB，则AB=AC．在△ AEB和△ AEC中， AE=AE， BE=CE， AB=AC，所以△ AEB≌△ AEC．所以∠ BAE=∠CAE．三、对“角的平分线的性质”理解不够准确A例3 如图 2， P 为 OC上一点， PD=PE，∠ODP+∠OEP=180°，求证： OP平分∠ AOB. DC P错解：因为 PD=PE，所以 OP平分∠ AOB.剖析：错解误将PD， PE 当成了 P 到 OA， OB的距离，忽视了点到直线的距离是点到直线间的垂线段的长度.正解：如图 3，作 PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M， N，则∠ PMD=∠PNE=90°.因为∠ODP+∠OEP=180°，∠ODP+∠PDM=180°，所以∠OEP=∠PDM.在△ PDM和△ PEN中，∠ PMD=∠PNE，∠ PDM=∠PEN，PD=PE，所以△ PDM≌△ PEN.所以 PM=PN.OE B图2AMCDPO N E B图3所以 OP平分∠ AOB.跟踪训练1. 下列命题中正确的是（）A. 全等三角形的高相等B. 全等三角形的中线相等C. 全等三角形的角平分线相等D. 全等三角形对应角的平分线相等2. 如图 1，AB⊥AC，DE⊥DF，AB∥DE， BE=CF，则判定△ ABC≌DEF 的依据是（）A.SSSB.SASC.HLD.AASAA DB□D CB EC FE 图 2图13.如图2，AE⊥BD 于点C，AB=ED， AC=EC，则AB与ED的位置关系为（）A.AB⊥EDB. AB ∥EDC. AB=EDD. 无法确定4．如图 3，除公共边AB外，根据下列括号内三角形全等的判定方法，在横线上添加适当的条件，使△与△全等：（ 1），（ SSS）；（ 2），ABC ABD（ ASA）；（ 3）∠1=∠ 2 ，（ SAS）；（ 4），∠3=∠4（AAS）．CDA 31BB4 2DAEC图 4（第 11题）5．如图 4，AB⊥AC，垂足为A，CD⊥AC，垂足为C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5cm，则 DE的长为cm．6.在△ ABC中，∠ C=90°， BC=4 cm，∠ BAC的平分线交 BC于点 D，且 BD:DC=5:3，则D到 AB的距离为 __________.7.如图 5，点 D，E 在△ ABC的边 BC上，连接 AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②→③：①③→②；②③→① .（1）以上三个命题是真命题的为 ________（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．图 58. 如图 6，∠ 1=∠2，AE⊥OB 于点 E，BD⊥OA 于点 D，BD与 AE交于点 C.求证： AC=BC.O1 2D E3 4CA 图 6 B全等三角形小结与复习知识梳理：略 .跟踪训练： 1.D 2.D 3.B4 ．（ 1）AC=AD BC=BD（ 2）∠ 1=∠2∠3=∠4 （3）BC=BD（4）∠C=∠ D5． 5 6. 1.5 cm7.解：（ 1）①② ? ③，①③ ? ②，②③ ? ①.（2）选择①③ ? ②.证明：因为 AB=AC，所以∠ B=∠C.在△ ABD和△ ACE中， AB=AC，∠ B=∠C， BD=CE，所以△ ABD≌△ ACE.所以 AD=AE．8.证明：因为 AE⊥OB，BD⊥OA，所以∠ BEC=∠ADC=90°.因为∠ 1=∠2，所以CD=CE.在△ ACD和△B CE中，∠ ADC=∠BEC， CD=CE，∠ 3=∠4，所以△ ACD≌△ BCE .所以 AC=BC.。

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2019年人教版数学初二上学期第十二章知识点总结
第十二章全等三角形
一、知识框架：
二、知识清单：
1.全等图形与全等三角形：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点；全等三角形中互相重合的边叫做对应边；全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定公理：
⑴边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等.（简记为“边边边”或“SSS”）
⑵边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
（简记为“边角边”或“SAS”）
⑶角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
（简记为“角边角”或“ASA”）
⑷角角边推论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
（简记为“角角边”或“AAS”）
⑸斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（简记为“斜边、直角边”或“HL”）
4.角平分线：把一个角平均分成两个等角的射线称为角的平分线.
⑴角平分线的画法：a.以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角两边交于两个点；
b.分别以两个交点为圆心，大于两交点连线段的1/2的相同长度为半径画弧，在角内交于一点；
c.过角的顶点和b中的交点做射线.射线即为角的平分线.
⑵角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点称为三角形的内心）
5.证明的基本步骤：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.。