强混合鞅差序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理
强混合随机变量序列的一个几乎处处中心极限定理
强混合随机变量序列的一个几乎处处中心极限定理
冯凤香
【期刊名称】《桂林理工大学学报》
【年(卷),期】2014(000)004
【摘要】研究了强混合随机变量序列的几乎处处中心极限定理。
利用子序列等方法，获得了强混合随机变量序列几乎处处中心极限定理的一个较优结果。
【总页数】3页(P782-784)
【作者】冯凤香
【作者单位】桂林理工大学理学院，广西桂林 541004
【正文语种】中文
【中图分类】O211.4
【相关文献】
1.强混合序列加权和及部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理的推广 [J], 郝晓春;吴群英
2.ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的推广ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的推广 [J], 张明达;谭希丽;张莹
3.强混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J], 金敬森
4.强混合鞅差序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J], 钱和平;宋家乐
5.α混合随机变量序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J], 冯凤香;吴群英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
中心极限定理的三个结论和证明
中心极限定理的三个结论和证明中心极限定理，你听说过吗？哦，这可真是概率论里的一颗璀璨明珠。
就像是打麻将的时候，别人摸到的牌看着随意，可最后那手牌却总能拿到胜利！在数学里，中心极限定理也是这种“逆天”的存在，它告诉我们一个超级重要的事：不管你原本的数据分布是什么样的，经过足够多的实验和计算，最终的结果都可以像一个钟摆一样，稳定地聚集在一个中心点附近。
听起来有点抽象？别急，咱们慢慢聊。
中心极限定理有三个最关键的结论。
如果你对概率稍微有点儿了解，肯定会觉得这玩意儿特别酷。
第一个结论呢，就是无论我们原始的数据分布长什么样，经过多次独立抽样，算出样本均值（也就是所有数据的平均数），这些均值会随着样本量的增加，逐渐形成一个钟形的分布——也就是你经常看到的正态分布。
简单来说，像是在掷骰子，虽然每次你掷出来的点数都是不同的，但当你掷够了很多次，点数的平均值就会聚集在某个地方，这个地方通常就是3.5，差不多是骰子的中心。
虽然掷骰子的过程看似是乱七八糟的，但结果却总能偏向一个稳定的数值，这就是中心极限定理的神奇之处。
第二个结论，也许你会觉得更有意思，那就是不管原本的数据分布是怎样的，不管它有多么奇怪或者偏斜（比如那种左右不对称、像个山脊一样的分布），经过足够多次的抽样，它的样本均值也会趋向于正态分布。
这就像是即使你吃的东西特别奇葩，最后吃进肚里的也就是一些基本的营养成分。
所以，不要看数据分布初始时的样子奇奇怪怪，一旦样本量大了，它们就会自动“修正”成正常的模样。
至于第三个结论嘛，听着就有点让人拍案叫绝。
它告诉我们，即使我们抽样的方式有点复杂，或者数据本身有点“曲线”——比如不完全独立、或者样本之间有点相互影响，中心极限定理依然能够成立。
也就是说，即使你的样本数据看似“稀奇古怪”，只要满足了一些基本的条件，最终它们的样本均值还是会收敛到正态分布。
这是怎么做到的呢？这个过程就像是大自然的规律，虽然有时候乱七八糟，但最后总能回归平衡。
部分和乘积的几乎处处中心极限定理
部分和乘积的几乎处处中心极限定理这里有文采较好的400字文章，介绍部分和乘积的几乎处处中心极限定理：
部分和乘积的几乎处处中心极限定理是现代统计学中一个重要的定理，以俄国数学家高斯贝尔第一次提出该定理命名。
它指出，对于两个不同的随机变量X和Y 的任意分布的总体，一组无穷多的独立随机变量X 1 、X 2 、
X 3 、… 和 Y 1 、Y 2 、Y 3 、… 。
在遍历分布考虑之下，我们得到了它们的某种组合Z，其中:
Z = X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3+...
此外，在某种方面，它还进一步规定了平均值和标准差，期望和方差，变量与它们比率也可以计算出来。
换句话说，一组服从某种分布的随机变量的线性组合的偏度和峰度将接近于它们局部分量的偏度和峰度的和，在一定的条件下，当变量的个数趋近于无穷，这一限制将逐渐趋于绝对的。
这样一来，几乎处处中心极限定理可以提供统计分析的经典理论，为统计学应用以及估计和测量统计模型中变量之间关系提供了来源。
它也有助于研究者们开展更复杂的变量分析，从而改进统计数据推断过程。
总之，部分和乘积的几乎处处中心极限定理在现代统计学中起着重要的作用，其理论上的有效性为数据分析提供了基础，同时也有助于改进统计数据的推断。
第14讲(大数定律、中心极限定理)资料
设X i
1, 0,
第i 第i
次试 验 次试 验
A发生, A不发生,
i
1,2,,n.
n
则 X Xi,
i 1
X
n
1 n
n i 1
Xi
是n次试验中 A发生的频率.
于是, 有下面定理. 定理3 (贝努里大数定律) 设 X是n 重贝努里试验中事件A发生的次数， p是 A 在一次试验中发生的概率，
则对 0,有
2
证明：当X 是离散时，
分布律为P{X xk } Pk , k 1,2,. 0, 有
P| X E(X ) | P{X xk } |xk E ( X )|
|xk E ( X )|
(xk
E( X )) 2
2
Pk
k
(xk
E( X )) 2
2
Pk
1
2
k
(xk E( X )) 2 Pk
定义2 设 X1, X2, …相互独立且有共同的 分布，则称X1, X2, ….是独立同分布的随机变 量列.
定义3 设 X1, X2, …是一随机变量序列，
若有随机变量X, 对 0, 有
lim P
n
Xn X
0 或 lim P n
Xn X
1.
p
称{X n}依概率收敛于随机变量X，记X n X
或 lim n
Xn
X (P).
几个常见的大数定律
定理2 (切比雪夫大数定律) 设 X1, X2, … 相互独立，且有期望与方差, D(Xi) <M（i=1, 2, ….，M为某常数），
则对 0,有
1 n
lim P n
n
i 1
截断和乘积几乎处处中心极限定理的注记
截断和乘积几乎处处中心极限定理的注记赵珈玉;高瑞梅【摘要】设{X n ,n≥1}为连续独立同中尾分布的正平方可积随机变量序列。
对于固定的常数a >0,T n (a)=S n -S n (a)为截断和。
利用截断和的极限性质及大数定律,在一般的权重条件下,证明了截断和乘积的几乎处处中心极限定理。
%Let {Xn,n ≥ 1 }be a sequence of i.i.d.positive square integrable random variables with continuous and independent medium tail distribution function. For a fixed constant a > 0, Tn (a)=Sn -Sn (a)denoted the trimmed sum,we proved the almost sure central limit theorem for the product of trimmed sums under the general weight by using the limit properties of the trimmed sums and the law of large numbers.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)005【总页数】3页(P1036-1038)【关键词】截断和;几乎处处中心极限定理;中尾分布;对数平均【作者】赵珈玉;高瑞梅【作者单位】长春理工大学光电信息学院，长春 130012;长春理工大学理学院，长春 130022【正文语种】中文【中图分类】O211.4研究简报设{Xn, n≥1}为正值独立同分布的随机变量序列, 具有连续的中尾分布[1], 其部分和及最大值分别记为Xi和 Xi. 定义截断和为其中a>0为固定的常数, XiI{Mn-a<Xi≤Mn}为所有渐近最大值的和, Kn(a)=#{i, Xi∈(Mn-a, Mn]}为渐近最大值的数目. 目前, 关于随机变量序列截断和的研究已有许多结果[2-11]. 文献[10]讨论了对数平均下截断和乘积的几乎处处中心极限定理, 本文把权重推广到一般的情形, 得到如下结果.定理1 设{Xn, n≥1}是独立同分布的正平方可积随机变量序列, 且有连续的中尾分布, μ=EX1>0, σ2=Var X1<∞, 变异系数为固定的正常数, Tn(a)如式(1)所定义. 令其中则其中F1(·)为随机变量的分布函数, N为标准正态分布.注1 如果式(2)对于dk成立, 则对于满足0≤ak≤dk和的序列{ak}, 式(2)也成立. 从而式(2)对也成立.注2 当α=0, 即权重为对数平均时, 文献[10]中的定理1是本文的一个特例. 设C 表示正常数, 不同之处可表示不同的值.引理1[12] 设{ζn, n≥1}为一致有界的随机变量序列, {dk},{Dn}定义如定理1. 如果存在C>0, δ>0, 使得则引理2 在定理1的条件下, 有其中Φ(·)为标准正态随机变量的分布函数.证明: 由于因此, 由引理1类似文献[13]中的定理4可知又由文献[9]中引理2的证明知 A2=0. 于是, 对几乎所有的样本点ω和任意小的ε>0, 存在正整数N=N(ω,ε,x), 使得当k>N时, 有联立式(4)可知结论成立.下面证明定理1. 要证明式(2)成立只需证明下式成立即可:由定义易知Sj(a)≤Kj(a)Mj, 再由文献[10]中的引理1可知, 对有从而对充分大的j, 有由Marcinkiewicz强大数定律可得又由于log(1+x)=x+O(x2), 因此有从而对几乎所有的样本点ω和任意小的ε>0, 存在正整数N1=N1(ω,ε,x), 使得当k>N1时, 有再由引理2可知定理1成立.【相关文献】[1] Pakes A G, Steutel F W. On the Number of Records Near the Maximum [J]. Austral J Statist, 1997, 39(2): 179-192.[2] Pakes A G, LI Yun. Limit Laws for the Number of Near Maxima via the Poission Approximation [J]. Statist Probab Lett, 1998, 40(4): 395-401.[3] HU Zhishui, SU Chun. Limit Theorems for the Number and Sum of Near-Maxima for Medium Tails [J]. Statist Probab Lett, 2003, 63(3): 229-237.[4] 邹海连, 张立新. 一类截断部分和乘积的渐近正态性 [J]. 浙江大学学报(理学版), 2007, 34(2): 128-131. (ZOU Hailian, ZHANG Lixin. Asymptotic Distribution of Product of Trimmed Sums [J]. Journal of Zhejiang University (Science Edition), 2007, 34(2): 128-131.)[5] 臧庆佩, 林正炎. 截断和随机乘积的渐近性质 [J]. 系统科学与数学, 2009, 29(2): 145-152. (ZANG Qingpei, LIN Zhengyan. The Asymptotic Distribution of the Random Product of Trimmed Sums [J]. J Systems Sci Math Sci, 2009, 29(2): 145-152.)[6] FU Ke’ang, ZHANG Lixin. A General LIL for Trimmed Sums of Random Fie lds in Banach Spaces [J]. Acta Math Hungar, 2009, 122(1/2): 91-103.[7] FU Ke’ang. An Almost Sure Invariance Principle for Trimmed Sums of Random Vectors [J]. Proc Indian Acad Sci Math Sci, 2010, 120(5): 611-618.[8] 周蕊, 杨金英. 截断和乘积的不变原理 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2012, 50(5): 912-916. (ZHOU Rui, YANG Jinying. Invariance Principle for the Product of Trimmed Sums [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2012, 50(5): 912-916.)[9] WANG Wensheng. A LIL and Limit Distributions for Trimmed Sums of Random Vectors Attracted to Operator Semi-stable Laws [J]. Acta Math Sin (Engl Ser), 2014, 30(9): 1555-1565.[10] 邹广玉. 截断和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2015,40(11): 1-4. (ZOU Guangyu. On Almost Sure Central Limit Theorem for Product of Trimmed Sums [J]. Journal of Southwest China Normal University (Natural Science Edition), 2015, 40(11): 1-4.)[11] FU Ke’ang, QIU Yuyang, TONG Yeling. Limit Law of the Iterated Logarithm for B-Valued Trimmed Sums [J]. Proc Indian Acad Sci Math Sci, 2015, 125(2): 221-225.[12] 叶大相, 吴群英. 随机元序列几乎处处中心极限定理的推广 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2011, 49(2): 251-254. (YE Daxiang, WU Qunying. Popularization of Almost Sure Central Limit Theorem for Sequences of Random Elements [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2011, 49(2): 251-254.)[13] 冯凤香. 独立随机变量序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2012, 50(2): 270-274. (FENG Fengxiang. Almost Sure Central Limit Theorem for the Product of Partial Sums of i.i.d Positive Variables [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2012, 50(2): 270-274.)。
φ-混合序列的随机中心极限定理
φ-混合序列的随机中心极限定理邢峰;邹广玉【摘要】设{Xn,n≥1}为严平稳的φ-混合序列,{Nn,n≥1}为一列非负整值随机变量序列,且与{Xn,n≥1}独立,随机部分和为(SNn=Nn∑i-1Xi),在适当的假设条件下,利用φ混合序列的极限性质,证明了严平稳φ混合序列的随机中心极限定理,得到了(Tn=SNn-ES Nn/√Var(SNn))依分布收敛于T(Z1,Z2),其中T(Z1,Z2)为Z1和Z2的线性函数,Z1～N(0,1),Z2为{Nn,n≥1}正则化后的极限分布.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(045)004【总页数】3页(P413-415)【关键词】φ-混合序列;随机和;随机中心极限定理【作者】邢峰;邹广玉【作者单位】长春工程学院理学院,吉林长春130012;长春工程学院理学院,吉林长春130012【正文语种】中文【中图分类】O211.41 引言及主要结果定义1 若n→,其中则称随机序列{Xn,n≥1}是φ-混合的. 这是混合条件中常见的一种,具体应用和例子可参见文献[1].定义2 若Cov(f(X1,X2,…,Xn),g(X1,X2,…,Xn))≥0,其中f和g是任何2个使上式协方差存在且对每个变元均单调非降的函数，则称随机序列{Xk,1≤k≤n}是相伴(associated)的. 如果对任何n≥2,{X1,X2,…,Xn} 都是相伴的，则随机序列{Xn,n≥1}是相伴的.定义3 定义随机变量X与Y之间的Kolmogorov距离为IBRAGIMOV[2]给出了下列严平稳φ-混合序列的中心极限定理：定理A 设{Xn,n≥1}为严平稳的φ-混合序列,满足,, 那么,(1)其中,为部分和,Z1～N(0,1), Φ(·)为Z1的分布函数.随机序列部分和的相关研究一直是概率极限理论研究的热点之一，它与很多实际问题密切相关，比如，保险公司在一定时间内的索赔可表示为随机部分和的形式，此外，金融数学、更新过程、证券、风险投资等领域中的问题也属于随机部分和问题. 因此，研究随机部分和的极限性质不仅具有理论意义, 更具有现实意义. 对此，很多学者已做了深入的研究[3-7].最近，PRAKASA等[8]在相伴情形下研究了随机中心极限定理，给出了与已有研究不同的结论.首先给出一些假设条件和记号.下文中总记{Xn,n≥1}为严平稳序列，且满足, .{Nn,n≥1}为一列非负整数随机序列，且与{Xn,n≥1} 独立，假设, n→，(2)，(3)其中Z2为连续型随机变量. 记定理 B[8] 设{Xn,n≥1}为严平稳的相伴序列,且{Xn,n≥1}, {Nn,n≥1}满足上述假设条件, 那么dK(Tn,T(Z1,Z2))→0, n→.目前对混合序列下的随机中心极限定理的研究还较少，本文研究φ-混合序列，得到定理 1 设{Xn,n≥1}为严平稳的φ-混合序列，满足,且{Xn,n≥1}, {Nn,n≥1}满足上述假设条件, 那么dK(Tn,T(Z1,Z2))→0, n→.(4)注 1 定理1说明在Kolmogorov距离下，适当正则化之后,随机部分和SNn依分布收敛于T(Z1,Z2),其中 T(Z1,Z2)为2个独立随机变量 Z1～N(0,1)和Z2的线性函数. 特别地，当Z2～N(0,1)时，T(Z1,Z2)～N(0,1).注 2 假设{Yk,k≥1}为一列独立同分布的取非负整值的随机序列，满足EY1=ν, Var(Y1)=τ2>0,并且与{Xn,n≥1}独立,令那么，式(3)中的极限分布Z2～N(0,1), 从而有T(Z1,Z2)～N(0,1).注 3 由定义可知,相伴序列和φ-混合序列互不包含,因此本文推广了已有的结果.2 定理的证明为了证明定理1, 需要以下几个引理.引理1 记P(Nn=k)=pn,k, cj=Cov(X1,X1+j),在定理的假设条件下，有Var(SNn)=E(Nn)σ2+Var(Nn)μ2-(5)(6)证明类似文献[8]中引理2.1的证明，可知式(5)成立，进一步，由以及式(2)，可知式(6)成立.引理2[8] 设{Un,U}为一随机变量序列，满足U的分布函数是α-Lipschitz连续的(α>0),V与{Un,U}独立的随机变量满足E|V|<. g为直线上的连续函数.那么对于任意的常数c，δ>0以及任意的z∈R，有|P(Un+Vg(Un)≤z)-P(Un+cV≤z)|≤P(|g(Un)-c|>δ)+2αδE|V|.引理3[9] 如果Fn⟹F,F在闭集A上处处连续,那么,.定理1的证明首先证明dK(Tn,Tn(Z1))→0, n→.(7)记P(Nn=k)=pn,k,那么,由全概率公式以及{Xn}与{Nn} 的独立性,可知P(Z1≤x(n,k))|+P(|Nn-nν|>nν/2)=∶I1+I2，由定理A和引理3，注意到标准正态分布函数的连续性，可知I1→0，由Markov 不等式以及式(2)，可知I2→0，从而得式(7)成立.其次证明dK(Tn(Z1),Tn(Z1))→0, n→.(8)由Chebyshev不等式以及式(2)和式(6)，易推得(9)由式(2)和引理1，可得，(10)由式(10)以及Slutsky定理，知，(11)注意到{Nn,Z2}与Z1独立，在引理2中取由式(9)、(11)、引理3及δd的任意性，可推得式(8)成立.接下来证明dK(Tn(Z1),T(Z1,Z2))→0, n→.(12)注意到Z1与Z2独立,从而有dK(Tn(Z1),T(Z1,Z2))=P(T(u,Z2)≤x)|dΦ(u)=其中,再由式(3)、引理3以及Z2为连续性随机变量，可知式(12)成立.最后联立式(7)、(8)、(12)以及三角不等式：dK(Tn,T(Z1,Z2))≤dK(Tn,Tn(Z1))+dK(Tn(Z1),Tn(Z1))+dK(Tn(Z1),T(Z1,Z2)).可知定理1成立.参考文献(References)：【相关文献】[1] LIN Z Y, LU C R. Limit Theory for Mixing Dependent Random Variables[M]. Beijing: Science Press / Kluwer Academic Publishers, 1997.[2] IBRAGIMOV I A. Some limit theorems for stationary processes [J]. Akademija Nauk SSSR Teorija Verojatnoste1iee Primenenija, 1962(7): 361-392.[3] PRAKASA RAO B L S. Remark on the rate of convergence in the random central limit theorem for mixing sequences [J]. Z Wahrscheinlichkeitstheorie Und Verw Gebiete, 1975, 31(2): 157-160.[4] LEE S. Random central limit theorem for the linear process generated by a strong mixing process [J].Statistics & Probability Letters, 1997,35(2): 189-196.[5] 谭希丽, 杨晓云. B值m相依随机元序列的随机指标中心极限定理 [J].吉林大学学报(理学版), 2003, 41(4): 419-430.TAN X L, YANG X Y. The central limit theorem for the sum of a random number of m-dependent B-valued random variables [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2003, 41(4): 419-430.[6] 谭希丽, 杨晓云. B值m相依随机元列移动平均过程的随机指标中心极限定理 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2007, 45(2): 159-164.TAN X L, YANG X Y. The central limit theorem for the sum of a random number of moving average processes of m-dependent B-valued elements [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2007, 45(2): 159-164.[7] HWANG E, SHIN D W. Random central limit theorems for linear processes with weakly dependent innovations [J]. Journal of the Korean Statistical Society, 2012, 41(3): 313-322.[8] PRAKASA RAO B L S, SREENHARI M. Random central limit theorem for associated random variables and the order of approximation [J]. Statistics & Probability Letters, 2016, 111: 1-7.[9] BILLINGSLEY P. Convergence of Probability Measures[M]. New York: Wiley, 1968.。
中心极限定理的名词解释
中心极限定理的名词解释1. 嘿，中心极限定理啊，就像是一把神奇的钥匙！它说的是如果从一个总体中多次抽取样本，那这些样本的均值就会趋近于总体均值。
就好比你扔骰子，扔很多很多次，那平均点数就会很接近理论上的 3.5 呢！2. 中心极限定理呀，简直是统计世界里的大明星！它意味着无论原来的总体分布是啥样，只要样本够多，样本均值的分布就会接近正态分布。
这就好像不管一群人原来多么五花八门，最后聚在一起的某些特征就会变得有规律啦！比如一堆不同身高的人，多次测量他们的平均身高就会呈现一定规律呢。
3. 哇塞，中心极限定理啊，那可是超厉害的！它表明随着样本数量增加，样本均值会稳定下来。
就像你不断地搅拌一杯混合液体，到最后它会变得很均匀一样。
比如调查一个城市的收入水平，抽取足够多的样本，就能得到比较可靠的平均收入呢。
4. 嘿呀，中心极限定理呢，就像是一个魔法法则！它让我们知道就算总体很复杂，通过大量样本也能找到规律。
好比在一堆乱麻中，抽丝剥茧找到头绪。
就像统计很多学生的考试成绩，就能知道大致的平均成绩范围啦。
5. 中心极限定理哦，这可是个宝贝呀！它告诉我们即使原始数据乱七八糟，可样本多了就会有秩序出现。
就好像一场混乱的聚会，到最后总会形成一些小团体一样。
比如研究各种动物的体重，大量样本下就能看出一些体重的集中趋势呢。
6. 哇哦，中心极限定理啊，那可是统计学的得力助手！它保证了在足够多样本下，我们能对总体有个大概了解。
就跟你从远处看一幅画能看出个大概轮廓一样。
比如统计一个地区每天的用电量，大量样本就能知道个大概的用电情况呢。
7. 中心极限定理呀，真的是太重要啦！它让我们能从复杂的数据中找到线索。
就像在黑暗中找到一束光。
比如研究不同年龄段的消费习惯，通过大量样本就能总结出一些特点呢。
8. 嘿，中心极限定理呢，绝对是个神奇的存在！它可以让杂乱无章的数据变得有规律可循。
就像给迷路的人指了一条明路。
比如统计很多产品的质量数据，就能知道整体的质量水平啦。
φ-混合序列的随机中心极限定理
第４５卷第４期２０１８年７月浙㊀江㊀大㊀学㊀学㊀报(理学版)J o u r n a l o fZ h e j i a n g U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n )h t t p ://w w w ．z j u jo u r n a l s ．c o m /s c i V o l ．４５N o ．４J u l ．２０１８收稿日期:２０１７Ｇ０６Ｇ０７．基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１４０１０９０);吉林省教育厅 十二五 科学技术研究项目(吉教科合字[２０１２]第３９９号)．作者简介:邢峰(１９７０ ),O R C I D :h t t p ://o r c i d ．o r g/００００Ｇ０００２Ｇ７５６６Ｇ５４８３,男,硕士,副教授,主要从事概率统计㊁应用数学研究,E Ｇm a i l :x i n g f e n g１９７００５０８＠s o h u ．c o m．D O I :１０．３７８５/j．i s s n ．１００８Ｇ９４９７．２０１８．０４．００６φＧ混合序列的随机中心极限定理邢峰,邹广玉(长春工程学院理学院,吉林长春１３００１２)摘㊀要:设{X n ,n ȡ１}为严平稳的φＧ混合序列,{N n ,n ȡ１}为一列非负整值随机变量序列,且与{X n ,n ȡ１}独立,随机部分和为S N n ＝ðN ni ＝１X i,在适当的假设条件下,利用φ混合序列的极限性质,证明了严平稳φ混合序列的随机中心极限定理,得到了T n ＝S N n －E S N nV a r (S N n)依分布收敛于T (Z １,Z ２),其中T (Z １,Z ２)为Z １和Z ２的线性函数,Z １~N (０,１),Z ２为{N n ,n ȡ１}正则化后的极限分布．关㊀键㊀词:φＧ混合序列;随机和;随机中心极限定理中图分类号:O２１１．４㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８Ｇ９４９７(２０１８)０４Ｇ４１３Ｇ０３X I N GF e n g ,Z O U G u a n g y u (S c h o o l o f S c i e n c e ,C h a n g c h u n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,C h a n g c h u n １３００１２,C h i n a )T h e r a n d o mc e n t r a l l i m i t t h e o r e mf o r φＧm i x i n g s e qu e n c e ．J o u r n a l o f Z h e j i a n g U n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),２０１８,４５(４):４１３Ｇ４１５A b s t r a c t :L e t {X n ,n ȡ１}b eas t r i c t l y s t a t i o n a r y φＧm i x i n g s e q u e n c e ,{N n ,n ȡ１}b eas e q u e n c eo fn o n n e ga t i v e i n t e g e r v a l u e d r a n d o mv a r i ab l e ．N o t e S N n ＝ðN ni ＝１X i b e t h er a n d o m p a r t i a l s u m s ,w e p r o v e t h er a n d o mc e n t r a l l i m i t t h e o r e mf o r s t r i c t l y s t a t i o n a r y φＧm i x i n g s e q u e n c e u s i n g t h e l i m i t p r o p e r t i e s o f φＧm i x i n g s e q u e n c e u n d e r s o m e s u i t a b l e c o n d i t i o n s ,a n do b t a i n t h a t T n ＝S N n －E S N nV a r (S N n)c o n v e r g e s t o T (Z １,Z ２),w h e r e T (Z １,Z ２)i s t h e l i n e a r f u n c t i o no f Z １a n d Z ２,Z １~N (０,１),Z ２i s t h e l i m i t d i s t r ib u t i o na f t e r n o r m a l i z a t i o no f N n ,n ȡ１{}．K e y W o r d s :φＧm i x i n g s e q u e n c e ;r a n d o m p a r t i a l s u m s ;r a n d o mc e n t r a l l i m i t t h e o r e m １㊀引言及主要结果定义１㊀若φ(n )＝s u p k ȡ１s u pA ɪF k １,B ɪF ¥k ＋n ,P (A )＞０|P (B |A )－P (B )|ң０,n ң¥,其中F ba ＝σ(X i ,a ɤi ɤb ),则称随机序列{X n ,n ȡ１}是φＧ混合的．这是混合条件中常见的一种,具体应用和例子可参见文献[１]．定义２㊀若C o v (f (X １,X ２, ,X n ),g (X １,X ２, ,X n ))ȡ０,其中f 和g 是任何２个使上式协方差存在且对每个变元均单调非降的函数,则称随机序列{X k ,１ɤk ɤn }是相伴(a s s o c i a t e d )的．如果对任何n ȡ２,{X １,X ２,,X n }都是相伴的,则随机序列{X n ,n ȡ１}是相伴的．定义３㊀定义随机变量X 与Y 之间的K o l m o g o r o v 距离为d K (X ,Y )＝s u px ɪR|P (X ɤx )－P (Y ɤx )|．I B R A G I MO V [２]给出了下列严平稳φＧ混合序列的中心极限定理:定理A ㊀设{X n ,n ȡ１}为严平稳的φＧ混合序列,满足E X １＝μ,０＜σ２＝V a r (X １)＋２ð¥j ＝２C o v (X １,X j )＜¥,ð¥n ＝１φ１/２(n )＜¥,那么S n －n μσndңZ １,㊀n ң¥,(１)其中,S n ＝ðni ＝１X i 为部分和,Z １~N (０,１),Φ( )为Z １的分布函数．随机序列部分和的相关研究一直是概率极限理论研究的热点之一,它与很多实际问题密切相关,比如,保险公司在一定时间内的索赔可表示为随机部分和的形式,此外,金融数学㊁更新过程㊁证券㊁风险投资等领域中的问题也属于随机部分和问题．因此,研究随机部分和的极限性质不仅具有理论意义,更具有现实意义．对此,很多学者已做了深入的研究[３Ｇ７]．最近,P R A K A S A 等[８]在相伴情形下研究了随机中心极限定理,给出了与已有研究不同的结论．首先给出一些假设条件和记号．下文中总记{X n ,n ȡ１}为严平稳序列,且满足E X １＝μ,ð¥j＝１j |C o v (X １,X １＋j )|＜¥,０＜σ２＝V a r (X １)＋２ð¥j＝２Co v (X １,X j )＜¥．{N n ,n ȡ１}为一列非负整数随机序列,且与{X n ,n ȡ１}独立,假设E N n n ңν＞０,V a r (N n )nңτ２＜¥,n ң¥,(２)N n －E N n V a r (N n )dңZ ２,㊀n ң¥,(３)其中Z ２为连续型随机变量．记S N n ＝ðN ni ＝１X i,T n ＝S N n －E S N nV a r (S N n)＝S N n －μN nV a r (S N n)＋(N n －E N n )μV a r (S N n ),T n (Z １)＝N n V a r (S N n )σZ １＋(N n －E N n )μV a r (S N n),T n (Z １)＝ννσ２＋μ２τ２σZ １＋(N n －E N n )μV a r (S N n),T (Z １,Z ２)＝μτνσ２＋μ２τ２σνμτZ １＋Z ２éëêêùûúú．定理B [８]㊀设{X n ,n ȡ１}为严平稳的相伴序列,且{X n ,n ȡ１},{N n ,n ȡ１}满足上述假设条件,那么d K (T n ,T (Z １,Z ２))ң０,㊀n ң¥．目前对混合序列下的随机中心极限定理的研究还较少,本文研究φＧ混合序列,得到定理１㊀设{X n ,n ȡ１}为严平稳的φＧ混合序列,满足ð¥n ＝１φ１/２(n )＜¥,且{X n ,n ȡ１},{N n ,n ȡ１}满足上述假设条件,那么d K (T n ,T (Z １,Z ２))ң０,㊀n ң¥．(４)注１㊀定理１说明在K o l m o go r o v 距离下,适当正则化之后,随机部分和S N n依分布收敛于T (Z １,Z ２),其中T (Z １,Z ２)为２个独立随机变量Z １~N (０,１)和Z ２的线性函数．特别地,当Z ２~N (０,１)时,T (Z １,Z ２)~N (０,１)．注２㊀假设{Y k ,k ȡ１}为一列独立同分布的取非负整值的随机序列,满足E Y １＝ν,V a r (Y １)＝τ２＞０,并且与{X n ,n ȡ１}独立,令N n ＝ðnk ＝１Y k ,那么,式(３)中的极限分布Z ２~N (０,１),从而有T (Z １,Z ２)~N (０,１)．注３㊀由定义可知,相伴序列和φＧ混合序列互不包含,因此本文推广了已有的结果．２㊀定理的证明为了证明定理１,需要以下几个引理．引理１㊀记P (N n ＝k )＝p n ,k ,c j ＝Co v (X １,X １＋j ),在定理的假设条件下,有V a r (S N n )＝E (N n )σ２＋V a r (N n )μ２－２ð¥j ＝１j c j P (N n ＞j )－２ð¥j ＝１c j ðjk ＝０k p n ,k (),(５)l i mn ң¥V a r (S N n )n＝νσ２＋μ２τ２．(６)证明㊀类似文献[８]中引理２．１的证明,可知式(５)成立,进一步,由ð¥j ＝１j |c j |＜¥以及式(２),可知式(６)成立．引理２[８]㊀设{U n ,U }为一随机变量序列,满足U 的分布函数是αＧL i p s c h i t z 连续的(α＞０),V 与{U n ,U }独立的随机变量满足E |V |＜¥．g 为直线上的连续函数．那么对于任意的常数c ,δ＞０以及任意的z ɪR ,有|P (U n ＋V g (U n )ɤz )－P (U n ＋c V ɤz )|ɤ２s u px ɪR|P (U n ɤx )－P (U ɤx )|＋P (|g (U n )－c |＞δ)＋２αδE |V |．引理３[９]㊀如果F n ⇒F ,F 在闭集A 上处处连续,那么,s u p x ɪA|F n (x )－F (x )|ң０,㊀n ң¥．定理１的证明㊀首先证明d K (T n ,T n (Z １))ң０,㊀n ң¥．(７)记P (N n ＝k )＝p n ,k ,x (n ,k )＝xV a r (S N n )－μ(k －E N n )σk,４１４浙江大学学报(理学版)㊀第４５卷㊀那么,由全概率公式以及X n {}与N n {}的独立性,可知s u p x ɪR|P (T n ɤx )－P (T n (Z １)ɤx )|ɤðn ν/２ɤk ɤ３n ν/２p n ,k s u p x ɪR P S k －μk σk ɤx (n ,k )æèçöø÷－P (Z １ɤx (n ,k ))＋P (|N n －n ν|＞n ν/２)＝ʒI １＋I ２,由定理A 和引理３,注意到标准正态分布函数的连续性,可知I １ң０,由M a r k o v 不等式以及式(２),可知I ２ң０,从而得式(７)成立．其次证明d K (T n (Z １),T n (Z １))ң０,㊀n ң¥．(８)由C h e b ys h e v 不等式以及式(２)和式(６),易推得N n V a r (S N n )P ңννσ２＋μ２τ２,(９)由式(２)和引理１,可得V a r (N n )V a r (S N n )ңτ２νσ２＋μ２τ２,㊀n ң¥,(１０)由式(１０)以及S l u t s k y 定理,知N n －E N n V a r (S N n )d ңτνσ２＋μ２τ２Z ２,㊀n ң¥,(１１)注意到{N n ,Z ２}与Z １独立,在引理２中取U n ＝(N n －E N n )μV a r (S N n ),U ＝τμZ ２１νσ２＋μ２τ２,V ＝Z １,g (U n )＝σN n V a r (S N n ),c ＝σννσ２＋μ２τ２,由式(９)㊁(１１)㊁引理３及δd 的任意性,可推得式(８)成立．接下来证明d K (T n (Z １),T (Z １,Z ２))ң０,㊀n ң¥．(１２)注意到Z １与Z ２独立,从而有d K (T n (Z １),T (Z １,Z ２))＝ʏs u px ɪR|P (T n (u )ɤx )－P (T (u ,Z ２)ɤx )|d Φ(u )＝ʏs u p x ɪR P (N n －E N n )μV a r (S N n )ɤy (x ,u )æèçöø÷－P τμZ ２１νσ２＋μ２τ２ɤy (x ,u )æèçöø÷d Φ(u )ɤs u p Z ɪR P N n －E N n V a r (S N n )ɤz æèçöø÷－P τZ ２１νσ２＋μ２τ２ɤz æèçöø÷,其中,y (x ,u )＝x －u σννσ２＋μ２τ２．再由式(３)㊁引理３以及Z ２为连续性随机变量,可知式(１２)成立．最后联立式(７)㊁(８)㊁(１２)以及三角不等式:d K (T n ,T (Z １,Z ２))ɤd K (T n ,T n (Z １))＋d K (T n (Z １),T n (Z １))＋d K (T n (Z １),T (Z １,Z ２))．可知定理１成立．参考文献(R e f e r e n c e s):[１]㊀L I NZY ,L UCR．L i m i t T h e o r y f o rM i x i n g D e pe n d e n t R a n d o m V a r i a b l e s [M ]．B e i j i n g :S c i e n c e P r e s s /K l u w e rA c a d e m i cP u b l i s h e r s ,１９９７．[２]㊀I B R A G I MO VIA．S o m e l i m i t t h e o r e m s f o r s t a t i o n a r yp r o c e s s e s [J ]．A k a d e m i j a N a u k S S S R T e o r i ja V e r o j a t n o s t e １i e eP r i m e n e n i ja ,１９６２(７):３６１Ｇ３９２．[３]㊀P R A K A S A R A O B L S ．R e m a r k o n t h e r a t e o fc o n v e r g e n c e i nt h er a nd o m ce n t r a l l i m i tt h e o r e mf o r m i x i ng s e qu e n c e s [J ]．Z W a h r s c h e i n l i c h k e i t s t h e o r i e U n dV e r wG e b i e t e ,１９７５,３１(２):１５７Ｇ１６０．[４]㊀L E ES ．R a n d o m c e n t r a l l i m i tt h e o r e m f o rt h el i n e a rp r o c e s s g e n e r a t e d b y as t r o n g m i x i n g pr o c e s s [J ]．S t a t i s t i c s&P r o b a b i l i t y L e t t e r s ,１９９７,３５(２):１８９Ｇ１９６．[５]㊀谭希丽,杨晓云．B 值m 相依随机元序列的随机指标中心极限定理[J ]．吉林大学学报(理学版),２００３,４１(４):４１９Ｇ４３０．T A N XL ,Y A N G XY．T h e c e n t r a l l i m i t t h e o r e mf o rt h e s u mo f a r a n d o mn u m b e r o f m Ｇd e p e n d e n t B Ｇv a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s [J ]．J o u r n a l o f J i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n ),２００３,４１(４):４１９Ｇ４３０．[６]㊀谭希丽,杨晓云．B 值m 相依随机元列移动平均过程的随机指标中心极限定理[J ]．吉林大学学报(理学版),２００７,４５(２):１５９Ｇ１６４．T A N XL ,Y A N G XY．T h e c e n t r a l l i m i t t h e o r e mf o rt h e s u m o f a r a n d o m n u m b e r o f m o v i n g a v e r a g e p r o c e s s e s o f m Ｇd e pe n d e n t B Ｇv a l u e d e l e m e n t s [J ]．J o u r n a l of J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),２００７,４５(２):１５９Ｇ１６４．[７]㊀HWA N G E ,S H I N D W．R a n d o m c e n t r a ll i m i tt h e o r e m s f o rl i n e a r p r o c e s s e s w i t h w e a k l y d e pe n d e n t i n n o v a t i o n s [J ]．J o u r n a l of t h e K o r e a n S t a t i s t i c a l S o c i e t y,２０１２,４１(３):３１３Ｇ３２２．[８]㊀P R A K A S A R A O B L S ,S R E E N HA R I M．R a n d o mc e n t r a l l i m i tt h e o r e m f o ra s s o c i a t e dr a nd o m v a r i a b le sa n d t h e o r d e r o f a p p r o x i m a t i o n [J ]．S t a t i s t i c s &P r ob a b i l i t y L e t t e r s ,２０１６,１１１:１Ｇ７．[９]㊀B I L L I N G S L E YP ．C o n v e rg e n c e o f P r o b a b i l i t y Me a s u r e s [M ]．N e w Y o r k :W i l e y ,１９６８．５１４㊀第４期邢峰,等:φＧ混合序列的随机中心极限定理。