1.2数列的极限讲解
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1.2数列的极限
证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数 n,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
a 2
a 2
0.
推论2：设 lim n
xn
A, lim n
yn
B
且存在正整数
N，当
n N 时，有 xn yn，则
A B.
1.2.3 数列极限存在的准则
（1）夹逼准则
定理4： 设数列 {xn}, {yn}, {zn}, 满足
1） 存在正整数 N， 当n N时， 有 yn xn zn
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
问题1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限
11, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......,1 ,.....
23456
n
0
2 1, 1 , 1 ,
23
1 , 1 , 1 ,......, 456
1 ,..... n
0
3 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, (1)n ,..... 0
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于
xn
1
=
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 由 1 1 , 100 n 100
只要 n 100时,
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
12
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1.2 数列的极限
2. (收敛数列的有界性). 若数列 收敛，则该数列一定有界.
即, M 0, 使 xn M ( n 1, 2 , ) . 逆
否
若数列 无界，则该数列发散.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. (收敛数列的保号性).
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
敛
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n ) 发
xn (1)n1 趋势不定 散
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定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
lim
n
xn
极限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
发散数列可能存在收敛子列.
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
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作业 P47 1
Thanks for your attention!
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
N
[
1
]
也可由
xn 0
1 (n1)2
取N
1
1
N 与 有关, 但不唯一.
大一高数课件—§1.1、1.2 数列极限
A , 所以
,
0 , 正整数
K1
当 k K 1时 , x 2 k A
又 lim x 2 k 1 A , 所以 , 对以上 正整数 K 2
k
当 k K 2时 , x 2k 1 A .
取 N max{ 2 K 1 , 2 K 2 1 }, 当 n N 时由以上知
xn A ,
1 n
0 lni mxnyn
2)xn
2n,
yn
1 n
2 lni mxnyn
福 州 大 学 2020/4/21
5
(c)
若
{
x
n
}
是任意数列，而
lim
n
yn
0
问
lni mxnyn 0？
不一定
1)xn
1, 2n
yn
1 n
2)xn
2n,
yn
1 n
0 lni mxnyn 2 lni mxnyn
(d) 若
11
,
42 2
P5为
12P5
为1
4
11, 1 82
,
1 22
213
,L
,
Pn
为
限1 P 位n 为1 2 置坐12标21 2 为 14 2 1318L nllniimm(1[121 ([)11n 12214((2 )n1 n 1122 (122)当)n12121n)]n 1
时
2 3]
1 2
,
P
n的极 1 6
不一定
问 lnim（xn yn) 是否存在？
0 1 ) x n( 1 )n ,yn( 1 )n 1 lni m （xnyn)
2)xn( 1 )n,yn( 1 )n lni m（xnyn) 不存在，
极限
1.2 极限的概念 1.2.1 数列的极限 一、数列的极限 1、数列的定义定义:按自然数 ,3,2,1编号依次排列的一列数 ,,,,21n x x x ，称为无穷数列，简称数列。
其中的每个数称为数列的项，n x 称为通项(一般项)，记为}{n x 。
例如： ;,21,,81,41,21 n }21{n ;,2,,8,4,2 n }2{n;,)1(,,1,1,11+--n })1{(1--n ;,)1(,,34,21,21 n n n --+ })1({1nn n --+,333,,33,3++++2、数列的极限问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？【注意】三、例题选讲例1 ,131211n，，，，→ 0例2 ,)1(1 , 54 45 32 ,23 0nn-+，，，，→1例3 1，－1，1，－1，…，(－1)n +1，…分析：正负交错，n 无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1） ,21,212121032n，，，， 分析：021lim =∞→n n （2） 1，3，5，…，2n －1，…分析：随n 增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2函数的极限一、当x →∞时，函数f(x)的极限例1 .21)(时的变化趋势当观察函数∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x.0)(,,21)(→∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x f x x f x 时当函数例2 已知函数xx f 1)(=(x < 0)，试由函数的图象，判断x 趋向负无穷大时函数y 的变化趋势。
因为，x →+∞和x →-∞可以写为x →∞ 01lim=∞→x 所以 定理1思考：已知函数y=arctanx,试讨论当x →∞时，y=arctanx 否有极限，为什么？ 分析：不存在所以因为arctanx lim .arctanx lim arctanx lim ∞→-∞→+∞→≠x x x例4已知函数y=sin x,判断当x →∞时，y=sin x 是否有极限，为什么？分析：由图可见，x →+∞时，y →某一固定常数 A ，x →-∞时，y →某一固定常数 A不存在因此均不存在和所以sinx lim ,sinx lim sinx lim +∞→+∞→+∞→x x x课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：二、当x →x 0时，函数f(x)的极限 1、当x →x 0时，函数f(x)的极限注意：（１）定义中“x →x 0”表示x 从小于x 0和大于x 0的两个方向趋近于x 0； （2）定义考虑的是x →x 0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x 0处f(x)的情况 .（3 ） 由极限的定义1．9容易得到以下两个结论：例1考察下列函数，写出当2→x 时函数的极限，并作图验证。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
1.2数列的极限
x n yn 0 x n yn M yn ,
( 极限为零的数列 称为无穷小 . )
0 , 设 M yn , 则 yn . M 由于 lim yn 0 ,
对于正数 , N , 当 n N 时 , yn 0 成立 , M M 从而 xn yn 0 M yn 成立 . 所以 lim xn yn 0 .
n
n
例题 . 对于数列{ xn } , 若 x2 k a , (k ) ,
x2 k 1 a , ( k ) , 证明: xn a , ( n ) .
证 . 0 , N1 , 当 k N1 时 , x2k a 成立 ; N 2 , 当 k 题 : 数列 xn ( 1)n1 有界 , 它收敛吗 ? (稍后回答 )
3. (子列同极限).
从数列: x1 , x2 , x3 , , xn , 中, 任意取出一部分 : xn , xn , , xn ,
1 2 k
(1)
( 2)
这里 n1 , n2 , 是自然数且 n1 n2 n3 nk
称数列 ( 2) 是数列 (1) 的子列 .
定理3: 如果数列 { xn } 以 a 为极限 , 则 { xn } 的任一子列
也以 a 为极限 . ( P 30)
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
lim x 2 k 1
k
1). 0, 2). N , 3). 当 n N 时, 4). xn a 成立 .
注意:
xn a 利用数列极限定义验证: lim n
( 极限为零的数列 称为无穷小 . )
0 , 设 M yn , 则 yn . M 由于 lim yn 0 ,
对于正数 , N , 当 n N 时 , yn 0 成立 , M M 从而 xn yn 0 M yn 成立 . 所以 lim xn yn 0 .
n
n
例题 . 对于数列{ xn } , 若 x2 k a , (k ) ,
x2 k 1 a , ( k ) , 证明: xn a , ( n ) .
证 . 0 , N1 , 当 k N1 时 , x2k a 成立 ; N 2 , 当 k 题 : 数列 xn ( 1)n1 有界 , 它收敛吗 ? (稍后回答 )
3. (子列同极限).
从数列: x1 , x2 , x3 , , xn , 中, 任意取出一部分 : xn , xn , , xn ,
1 2 k
(1)
( 2)
这里 n1 , n2 , 是自然数且 n1 n2 n3 nk
称数列 ( 2) 是数列 (1) 的子列 .
定理3: 如果数列 { xn } 以 a 为极限 , 则 { xn } 的任一子列
也以 a 为极限 . ( P 30)
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
lim x 2 k 1
k
1). 0, 2). N , 3). 当 n N 时, 4). xn a 成立 .
注意:
xn a 利用数列极限定义验证: lim n
1.2数列的极限0
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n )
两者
否 之间
定 的距
xn (1)n1 趋势不定
离
思考1
再研究：自变量n无限增大时，因变量 无限接近
于某个确定的常数a，如何寻求精确的数学语言来
描述这个现象？
例如,
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
|
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
为通项(一般项) .
研究：自变量n无限增大时，因变量 是否无限接
近于某个确定的常数a?（配合数轴，画点图；或画
散点图）
例如, 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n )
两者
否 之间
定 的距
xn (1)n1 趋势不定
离
思考1
再研究：自变量n无限增大时，因变量 无限接近
于某个确定的常数a，如何寻求精确的数学语言来
描述这个现象？
例如,
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
|
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
为通项(一般项) .
研究：自变量n无限增大时，因变量 是否无限接
近于某个确定的常数a?（配合数轴，画点图；或画
散点图）
例如, 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
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时，能使
xn A 成立，则当 n N1 时( N1 N ) xn A 也成立。
几何解释:
a
x 2 x1
x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn 都落在 (a - , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
A1 , A2 , A3 ,..., An ,...
S（圆的面积）
一 尺 之 棰 日 取 其 半 万 世 不 竭
《 庄 子 天 下 篇 》 引 用 过 一 句 话
· :
战 国 时 代 哲 学 家 庄 周 著 的
.
2、截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天剩下的杖
第二天剩下的杖
1 2 1 X1 2 2 X1
问 题 1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n
1 1 1 1 1 1 2 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n n 1 1 1 1 1 (1) 3 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n n 1 1 1 (1) 4 0,1,0, ,0, ,0,..., ,..... 0 2 3 n
a. 任意性. 即 可以任意选取，因为只有这样，不等式
xn A 才能刻画 xn无限接近A
b.相对固定性. 一经选取就相对固定下来，这样我们才 2、一般说来N与
.
有关，记为 N N ( ) 3、对给定的 ，对应的N不是唯一的. 当 n N
.
可根据
， 找N ，否则无法进行 .
...... ......
第n天剩下的杖
Xn 1 2n
X1
1 2n
……
0
著名诗人李白的《送孟浩然之广陵》：
故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽， 唯见长江天际流．
“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋 向于0的动态意境，更有诗情画意．如果说，“一尺之 棰”的例子是离散的无穷小量，那么 “孤帆”的例子则 是连续的无穷小量．
问 题 2
判断下列命题的正确性:
① 数列{an}的极限是A,则A一定是该数列 中的一项; ②任何一个无穷数列必存在极限; ③数列 (1) 的极限存在,且偶数项的
n
极限为1,奇数项的极限为-1.
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n
证
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
“极”、“限”二字，古以有之．引申到生活中， 把不可逾越的数值称为极限。但在数学中，“极限” 却有更深刻的含义。
1、割圆术 “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”
—— 刘徽
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 ...... ......
R
n 1 正 6 2 形的面积 An
总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 xn , 不等式
| xn A | 都成立, 那末就称常数 A 是数列 xn 的极限，
或者称数列 x n 收敛于 A , 记为
lim xn A
n
或 xn A (n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1、是任意给定的正数，着 意味着具有两重性：
1 , n, 2
;
;
{2n }
{ 1 } n 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1) n 1 }
n ( 1) n 1 { } n
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
1 , 100
1 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 , 1000 1000
1 给定 , 10000
只要 n 10000时, 有 x n 1
1 , 10000
1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时,
有 x n 1 成立.
定义2 如果对于任意给定的正数 （不论它多么小），
注： 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在
数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
。
x3
x1
x 2 x4
xn
。 2 数列是整标函数 xn f (n).
数列的极限
(1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的
数值? 如果是,如何确定? 通过上面的图象可知:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于 xn 1 = ( 1)
n
1 1 n n
给定
1 1 1 , , 由 n 100 100
只要 n 100时, 有 x n 1
定义1
按自然数 1 , 2 , 3 , …. 编号依次排列的一列数 x 1 , x 2 , … , xn , ….
(1)
称为 无穷数列, 简称 数列. 其中的每个数称为数列
的项， xn 称为通项（一般项）. 数列 (1) 记为 {x n } 例如
2, 4,8,
1 1 1 , , , 2 4 8
, 2n ,
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或 n , n
1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n
高等数学
主讲：谭宏
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了.