2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，则A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时n的值为A. 6B. 7C. 8D. 116.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为A. 3B. 5C. 7D. 99.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为A. 1B.C.D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数，对任意的，，都有恒成立，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为______．16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上一点，，若．Ⅰ求的值；Ⅱ若的面积为，求a的值．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．附：参考数据：若服从正态分布，则，，．19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．Ⅰ求证：平面FED；Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的左右焦点，且的周长为6．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21.已知函数．Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ若不等式的解集为或，求实数a的值；Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. B7. C8. A9. D10. C11. A12. D13.14.15. ．16.17. 解：Ⅰ在中，，可得，由，可得，，即为，，若，，有，故；Ⅱ由的面积为，得，再由余弦定理可得，可得．18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值；由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上含的人数为10人．，，，全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是，，．．19. 本小题满分12分证明：Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD．平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．，，，平面PDE，平面分解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．则0，，，0，，，0，，设平面BFG的法向量y，，则，取，得，分平面PBE的法向量1，分设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，则．故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分20. 解：由且，可得，，即椭圆的方程为．设，，联立消去x得，，即，，AM：，BN：，可得，即，解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．21. 解：Ⅰ由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在R上单调递増．证明Ⅱ由知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，．令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于；Ⅲ，所以，由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，所以，当时，，当时，，在R上为增函数，当时，与矛盾，当时，等价于，等价于，当时，，，令，，则，当，解得，当，解得，当时，，所以ab的最小值为．22. 本小题满分10分解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，直线l：分Ⅱ设，点P到直线l的距离：，曲线C是圆心为，半径的圆，圆心到直线l的距离，，面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，由题意可知，，，．经检验成立．Ⅱ令当时显然不成立；当时，，从而，即．当时，，从而，即．综上可得实数a的取值范围是．【解析】1. 解：；，且；．故选：C．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2. 解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．观察等高条形图，能够求出结果．本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：，，，可得，，向量在方向上的投影为，故选：B．求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5. 解：由题意知，，，即，．由等差数列公差小于0，从而取最大值时．故选：B．由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．8. 解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数在的交点处，目标函数z最大值为18，所以，所以．故选：A．由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a的值．本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．9. 解：由题意知时，时，时，时，以此类推可知，解得．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，，，，．可确定其最大面的面积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11. 解：根据题意，设P的坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，则，，，，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则，则有，解可得，则，若是和的等比中项，则有，则有，变形可得：，则，则该双曲线的离心率，故选：A．根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．12. 解：根据题意，不妨设，则等价于，令，则，再设，，原不等式等价于在上恒成立，又由，则，，则有恒成立，又由，则必有，即k的取值范围为；故选：D．根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．13. 解：的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的项的系数为，故，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：，，故答案为：．求出函数的导数，计算的值即可．本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，设N的坐标为，则，设，则，，，则，则，，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，则有，即，变形可得：；又由，则，则点N的轨迹方程为，；故答案为：，．根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，由三角形相似可得，即，圆锥的体积．当且仅当即时取等号．故答案为：．根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．17. Ⅰ运用余弦定理可得，由，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为结合频率分布直方图即可得出．由，可得，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得，即可求出直线方程．本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，Ⅱ等价于当时，构造函数，，求出函数的最值即可证明，Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求出，由此能求出面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实数a的值；Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。
2018年广东省珠海市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. 复数2−i i=( )A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i2. 命题“∃x 0∈N +，使得2x 0(x 0+1)>1”的否定是（ ） A.∀x ∈N +，都有2x (x +1)>1 B.∀x ∉N +，都有2x (x +1)≤1 C.∀x 0∉N +，都有2x 0(x 0+1)≤1 D.∀x ∈N +，都有2x (x +1)≤13. S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，a 3=18，S 3=26，则a 1=( ) A.2 B.3 C.1 D.64. 将一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体截去一部分后，得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24B.48C.30D.605. 设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y +2≥04x −y −4≤0，则z =x −2y 的最小值为（ ）A.4B.−6C.6D.−46. 进位制转换：13=______${_{（3）}(}{)}$ A.101 B.110 C.111 D.1217. 将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种 A.480 B.360 C.240 D.1208. 执行如图的程序框图，如果输入a =1，则输出的s =( )A.−23B.−191C.23D.1919. 已知双曲线M:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，其焦点F(±c, 0)(c>0)，右顶点A(a, 0)到双曲线M的一条渐近线距离为125，以点A为圆心，c为半径的圆在y轴所截弦长为8，则双曲线M的方程为（）A.x29−y216=1 B.x216−y29=1C.x2−y2=9D.x2−y2=1610. 如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD // BC，AA1= 3，AB=BC=CD=√3，∠BCD=120∘，则直线A1B与B1C所成的角的余弦值为（）A.7 8B.58C.√38D.√6811. 定义在R上的连续函数f(x)，其导函数f′(x)为奇函数，且f(2)=1，f(x)≥0；当x>0时，xf′(x)+f(x)<0恒成立，则满足不等式f(x−2)≤1的解集为（）A.[−2, 2]B.[0, 4]C.(−∞, −2]∪[2, +∞)D.(−∞, 0]∪[4, +∞)12. 函数f(x)=asinωx+bcosωx=Asin(ωx+φ)(a,b∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的一个对称中心为(−π6,0)，且f′(x)的一条对称轴为x=π3，当ω取得最小值时，aba2+b2=()A.1B.√3C.√34D.√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在答题卡相应位置.设向量a →=(1,3m)，b →=(2,−m)，满足(a →+b →)∗(a →−b →)=0，则m =________．已知α，β均为锐角，cosβ=√63，cos(α+β)=12，则cosα=________．过点M(1, 1)作斜率为−13的直线l 与椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．在△ABC 中，角A,B,C 所对边的边长分别为a,b,c ，若|CA →−CB →|=3,CA →⋅CB →=6，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题：本题共有5个小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=2，S n+1−2S n =2． （1）求数列{a n }的通项a n ；（2）令b n =nS n +2，求数列{b n }的前n 项和T n ．某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动，他们设置了200个取水敞口箱．其中100个采用A 种取水法，100个采用B 种取水法．如图甲为A 种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图，图乙为B 种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图．（1）设两种取水方法互不影响，设M 表示事件“A 法取水箱水量不低于1.0kg ，B 法取水箱水量不低于1.1kg ”，以样本估计总体，以频率分布直方图中的频率为概率，估计M 的概率；（2）填写下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)AB，AB=16，PA=PB=10，AD=如图，四棱锥P−ABCD中，CD // AB，CD=12BD=4√13，PD=6√3，点E为PD中点．（1）求证：PD⊥CD；（2）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．已知抛物线C1:y2=2px(p>0)，圆C2:x2+y2=4，直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M，与圆C2相切于点N．（1）若直线l的斜率k=1，求直线l和抛物线C1的方程；（2）设F为抛物线C1的焦点，设△FMN，△FON的面积分别为s1，s2，若s1=λs2，求λ的取值范围．函数f(x)=axe x+lnx+x(a∈R)．（1）若a≥0，试讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−4+√22t y =√22t（t 为参数）．若以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为2ρ2cos 2θ=3−ρ2．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x +1|．（1）解不等式2f(x)<4−|x −2|；（2）已知m +n =2(m >0, n >0)，若不等式|x −a|−f(x)≤1m +1n 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1.【答案】D【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】复数2−ii =−i(2−i)−i∗i=−1−2i，2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题，写出该命题的否定命题即可．【解答】根据特称命题的否定是全称命题，得：命题“∃x0∈N+，使得2x0(x0+1)>1”的否定是“∀x∈N+，使得2x(x+1)≤1”．3.【答案】A【考点】等比数列的前n项和【解析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，结合题意可得a3+a3q+a3q2=26，即18+18q+18q2=26，解可得q的值，结合数列{a n}为正项等比数列，可得q的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a3=18，S3=26，则有a3+a3q+a3q2=26，即18+18q +18q2=26，解可得：q=3或q=−34，又由数列{a n }为正项等比数列，则q =3，则a 1=a 3q 2=189=2；4.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图还原原几何体，把原几何体分割为一个长方体与一个三棱柱求解． 【解答】由三视图还原原几何体如图， 图形为多面体ABCD −EFGH ，分别过F 、G 作FM ⊥AE ，作GN ⊥DH ，则多面体的体积V =V ABCD−MFGN +V EMG−HNG =3×4×3+12×2×3×4=48． 5.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】由约束条件{2x +y −2≥0x −y +2≥04x −y −4≤0 作出可行域如图，联立{x −y +2=04x −y −4=0 ，解得A(2, 4)， 化目标函数z =x −2y 为y =x2−z2，由图可知，当直线y =x2−z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−6． 6.【答案】 C【考点】 进位制 【解析】进位制是人们利用符号进行计数的科学方法，对于任何一种X 进制， 就表示某一位置上的数运算时逢X 进一位，由此求出结果． 【解答】13=1×32+1×31+1×30， ∴ ${13= 111_{（3）}}$． 7.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个小盒，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，有C52=10种分法；②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44=24种情况，则不同放法有10×24=240种；8.【答案】B【考点】程序框图【解析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，k值，当k=5时程序终止得出s的值．【解答】模拟程序的运行，可得a=1，s=0，k=1满足条件k≤4，执行循环体，s=−1，a=2，k=2满足条件k≤4，执行循环体，s=−5，a=6，k=3满足条件k≤4，执行循环体，s=−23，a=42，k=4满足条件k≤4，执行循环体，s=−191，a=1806，k=5不满足条件k≤4，退出循环，输出s的值为−191．9.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】由题意画出图形，由点到直线的距离公式求出A到渐近线的距离，再由以点A为圆心，c为半径的圆在y轴所截弦长为8得答案．【解答】如图，依题意可得AM=c，OA=a，∴OM=b=4∵右顶点A(a, 0)到双曲线M的一条渐近线bx−ay=0距离为125，∴22=125，结合a2+b2=c2，解得a=3，∴则双曲线M的方程为x29−y216=1．10.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角 【解析】以D 为原点，DA ，DD 1分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面α与底面ABCD 所成二面角的大小． 【解答】以A 为原点，在平面ABCD 中，过A 人AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，A 1(0, 0, 3)，B(32, √32, 0)，B 1(32,√32, 3)，C(32, 3√32, 0)， A 1B →=(32,√32, −3)，B 1C →=(0, √3, −3)，设直线A 1B 与B 1C 所成的角为θ， 则cosθ=|A 1B →∗B 1C →||A 1B →|∗|B 1C →|=32+9√94+34+9∗√3+9=21212=78．11.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求出函数y =f(x)的单调性以及奇偶性，去掉对应法则f ，得到关于x 的不等式，解出即可． 【解答】∵ f(x)≥0；当x >0时，xf ′(x)+f(x)<0恒成立， ∴ xf′(x)<0，当x >0时，f′(x)<0，f(x)递减， x <0时，f′(x)>0，f(x)递增， 由f ′(x)为奇函数，且f(2)=1， 得f(x)是偶函数，∴ f(x −2)≤1=f(2)， 故|x −2|≥2，解得：x ≥4或x ≤0， 12.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用辅助角公式化积，由已知可得−π6ω+φ=k 1π，k 1∈Z ，π3ω+φ=k 2π，k 2∈Z ，结合|φ|<π2，ω>0，求得ω=2，进一步求得φ值，则aba +b 可求． 【解答】由f(x)=asinωx +bcosωx =√a 2+b 2sin(ωx +φ)=Asin(ωx +φ)， 可得A =√a 2+b 2，tanφ=ba ，∵ f(x)的一个对称中心为(−π6,0)， ∴ −π6ω+φ=k 1π，k 1∈Z ，① f′(x)=ωAcos(ωx +φ)， ∴ f′(x)的一条对称轴为x =π3， ∴ π3ω+φ=k 2π，k 2∈Z ，② ∵ |φ|<π2，ω>0， 由①得，φ=k 1π+π6ω， 由②得，φ=k 2π−π3ω， 则k 1π+π6ω=k 2π−π3ω，可得ω=2(k 2−k 1)，则ω的最小值为2． ∴ φ=π3． 此时ab a 2+b 2=√a 2+b 2√a 2+b 2=sinφcosφ=sin π3cos π3=√32×12=√34． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在答题卡相应位置. 【答案】±√64【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】利用向量的坐标表示向量，通过向量的数量积求解即可． 【解答】 向量a →=(1,3m)，b →=(2,−m)，a →+b →=(3, 2m)，a →−b →=(−1, 4m)， 满足(a →+b →)∗(a →−b →)=0，可得−3+8m 2=0， 解得m =±√64．【答案】√6+36【考点】两角和与差的三角函数 两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值 【解析】由已知求得sinβ，sin(α+β)的值，再由cosα=cos[(α+β)−β]，展开两角差的余弦求解． 【解答】解：∵ 0<α<π2，0<β<π2， ∴ 0<α+β<π，又cosβ=√63，cos(α+β)=12，∴ sinβ=√1−cos 2β=√33，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√32， ∴ cosα=cos[(α+β)−β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ =12×√63+√32×√33=√6+36． 故答案为：√6+36.【答案】 √63【考点】椭圆的定义 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为−13，即可求出椭圆C 的离心率． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 12a 2+y 12b 2=1 ①，x 22a 2+y 22b 2=1 ②，∵ M 是线段AB 的中点，∴ 12(x 1+x 2)=1，12(y 1+y 2)=1， ∵ 直线AB 的方程是y =−13(x −1)+1， ∴ y 1−y 2=−13(x 1−x 2)，①②两式相减可得：1a 2(x 12−x 22)+1b 2(y 12−y 22)=0， ∴ 1a 2(x 1−x 2)(x 1+x 2)+1b 2(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴2×1a2(x1−x2)+2×1b2(y1−y2)=0，∴b2a2=13，∴e2=1−b2a =23，∴e=√63【答案】3√334【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】此题暂无解析【解答】解：∵|CA→−CB→|=3，∴|AB→|=3．∵CA→⋅CB→=6，∴abcosC=6，∴cosC=6ab．由余弦定理得9=a2+b2−2abcosC=a2+b2−12≥2ab−12，∴ab≤212，当且仅当a=b时等号成立，∴S=12absinC=12ab√1−cos2C=12ab√1−36a b=12√a2b2(1−36a2b2)=12√a2b2−36≤12√(212)2−36=3√334故答案为：3√334．三、解答题：本题共有5个小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程. 【答案】∵S n+1−2S n=2……①，∴S n+2−2S n+1=2……②，②-①得a n+2=2a n+1，∵a1=2，∴S2−2S1=a1+a2−2a1=a2−2=2，∴a2=4，∴n∈N+时，a2a1=2，a n+2a n+1=2，即n∈N+时，a n+1a n=2，∴数列{a n}是2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n．S n=2(2n−1)2−1=2n+1−2，则b n=n2n+1，∴T n=b1+b2+b3+...+b n=122+223+324+⋯+n2n+1……③，∴2T n=12+222+323+⋯+n2n……④，④-③得T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+112(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1．【考点】数列的求和【解析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求数列{a n}的通项a n；（2）求出数列的和，化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】∵S n+1−2S n=2……①，∴S n+2−2S n+1=2……②，②-①得a n+2=2a n+1，∵a1=2，∴S2−2S1=a1+a2−2a1=a2−2=2，∴a2=4，∴n∈N+时，a2a1=2，a n+2a n+1=2，即n∈N+时，a n+1a n=2，∴数列{a n}是2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n．S n=2(2n−1)2−1=2n+1−2，则b n=n2，∴T n=b1+b2+b3+...+b n=122+223+324+⋯+n2n+1……③，∴2T n=12+222+323+⋯+n2n……④，④-③得T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+112(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1．【答案】设“A法取水箱水量不低于1.0kg”为事件E，“B法取水箱水量不低于1.1kg”为事件F，则P(E)=(2+1+0.3)×0.1=0.33，P(F)=(5+3+0.2+0.1)×0.1=0.83，P(M)=P(EF)=P(E)×P(F)=0.33×0.83=0.2739，故M发生的概率为0.2739；填写2×2列联表如下：计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(87×83−13×17)2(87+17)(13+83)(67+17)(33+83)≈98.157>6.635，∴P(K2=98.157>6.635)<0.01，∴有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关．【考点】独立性检验古典概型及其概率计算公式【解析】（1）设“A法取水箱水量不低于1.0kg”为事件E，“B法取水箱水量不低于1.1kg”为事件F，求出P(E)、P(F)，再计算P(M)的值；（2）填写2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．【解答】设“A法取水箱水量不低于1.0kg”为事件E，“B法取水箱水量不低于1.1kg”为事件F，则P(E)=(2+1+0.3)×0.1=0.33，P(F)=(5+3+0.2+0.1)×0.1=0.83，P(M)=P(EF)=P(E)×P(F)=0.33×0.83=0.2739，故M发生的概率为0.2739；填写2×2列联表如下：计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(87×83−13×17)2(87+17)(13+83)(67+17)(33+83)≈98.157>6.635，∴P(K2=98.157>6.635)<0.01，∴有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关．【答案】证明：取AB中点F，连接PF、FD，∵PA=PB=10，AD=BD=4√13，∴AB⊥PF，AB⊥FD，∵PF∩FD=F，∴AB⊥平面PFD，PD⊂平面PFD，∴AB⊥PD，又∵CD // AB，∴PD⊥CD．过P做PO⊥FD于O，∵AB⊥平面PFD，PO⊂平面PFD，∴AB⊥PO，∵AB∩FD=F，∴PO⊥平面ABCD．过O做OG // AB交BC于G，则PO、OF、OG两两垂直，以OF、OG、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系o−xyz，∵AB=16，PA=PB=10，AD=BD=4√13，PD=6√3，点E为PD中点，∴PF=6，FD=12，∴PF2+PD2=FD2，∴PF⊥PD，∴PO=3√3，OF=3，OD=9．∵CD // AB，CD=12AB，∴CD // OG // FB，CD=FB，∴四边形FBCD是矩形，CD=OG=FB=8，∴P(0,0,3√3)，D(−9, 0, 0)，B(3, 8, 0)，C(−9, 8, 0)，∵E为PD中点，∴E(−92,0,3√32)，∴EB→=(152,8,−3√32)，PD→=(−9,0,−3√3)，CD→=(0,−8,0)．设平面PCD的法向量n→=(x0,y0,z0)，由{n →∗PD →=−9x 0−3√3z 0=0n →∗CD →=−8y 0=0 ，得{z 0=−√3x 0y 0=0 ， 令x 0=1，得z 0=−√3，则n →=(1,0,−√3)，则n →与EB →所成角设为α，其余角就是直线BE 与平面PCD 所成角，设为β，sinβ=cosα=n →∗EB→|n →|∗|EB →|=6√127127， ∴ 直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为6√127127．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 两条直线垂直的判定 【解析】（1）取AB 中点F ，连接PF 、FD ，证明AB ⊥PF ，AB ⊥FD ，推出AB ⊥平面PFD ，说明AB ⊥PD ，然后证明PD ⊥CD ．（2）过P 做PO ⊥FD 于O ，过O 做OG // AB 交BC 于G ，则PO 、OF 、OG 两两垂直，以OF 、OG 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系o −xyz ，求出EB →=(152,8,−3√32)，平面PCD 的法向量n →，然后利用空间向量的数量积求解直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【解答】证明：取AB 中点F ，连接PF 、FD ，∵ PA =PB =10，AD =BD =4√13， ∴ AB ⊥PF ，AB ⊥FD ， ∵ PF ∩FD =F ，∴ AB ⊥平面PFD ，PD ⊂平面PFD ， ∴ AB ⊥PD ，又∵ CD // AB ， ∴ PD ⊥CD ．过P 做PO ⊥FD 于O ，∵ AB ⊥平面PFD ，PO ⊂平面PFD ，∴ AB ⊥PO ，∵ AB ∩FD =F ，∴ PO ⊥平面ABCD ． 过O 做OG // AB 交BC 于G ，则PO 、OF 、OG 两两垂直，以OF 、OG 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系o −xyz ，∵ AB =16，PA =PB =10，AD =BD =4√13，PD =6√3，点E 为PD 中点， ∴ PF =6，FD =12，∴ PF 2+PD 2=FD 2， ∴ PF ⊥PD ，∴ PO =3√3，OF =3，OD =9． ∵ CD // AB ，CD =12AB ，∴ CD // OG // FB ，CD =FB ，∴ 四边形FBCD 是矩形，CD =OG =FB =8，∴ P(0,0,3√3)，D(−9, 0, 0)，B(3, 8, 0)，C(−9, 8, 0)， ∵ E 为PD 中点， ∴ E(−92,0,3√32)，∴ EB →=(152,8,−3√32)，PD →=(−9,0,−3√3)，CD →=(0,−8,0)．设平面PCD 的法向量n →=(x 0,y 0,z 0)，由{n →∗PD →=−9x 0−3√3z 0=0n →∗CD →=−8y 0=0 ，得{z 0=−√3x 0y 0=0 ， 令x 0=1，得z 0=−√3，则n →=(1,0,−√3)，则n →与EB →所成角设为α，其余角就是直线BE 与平面PCD 所成角，设为β，sinβ=cosα=n →∗EB→|n →|∗|EB →|=6√127127， ∴ 直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为6√127127．【答案】由题设知l:x −y +b =0，且b >0，由l 与C 2相切知，C 2(0, 0)到l 的距离d =√2=2，得b =2√2， ∴ l:x −y +2√2=0．将l 与C 1的方程联立消x 得y 2−2py +4p √2=0， 其△=4p 2−16√2p =0得p =4√2， ∴ C 1:y 2=8√2x ．综上，l:x −y +2√2=0，C 1:y 2=8√2x ．不妨设k >0，根据对称性，k >0得到的结论与k <0得到的结论相同． 此时b >0，又知p >0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 由{y =kx +by 2=2px消y 得k 2x 2+2(kb −p)x +b 2=0， 其△=4(kb −p)2−4k 2b 2=0得p =2kb ，从而解得M(p 2k 2,pk )，由l 与C 2切于点N 知C 2(0, 0)到l:kx −y +b =0的距离d =2=2，得b =2√1+k 2则p =4k√1+k 2，故M(2√1+k 2k,4√1+k 2)．由{y =kx +b x 2+y 2=4 得√1+k 2√1+k 2)， 故|MN|=2|x M −x N |=√1+k 2|2√1+k 2k+√1+k2=4k 2+2k.F(p2,0)到l:kx −y +b =0的距离为d pk 2+b √1+k 2=2k 2+2，∴ s 1=s △FMN =12|MN|d 0=2(2k 2+1)(k 2+1)k，又s 2=s △FON =12|OF|∗|y N |=2k ， ∴ λ=s1s 2=(2k 2+1)(k 2+1)k =(1k +2)(k 2+1)=2k 2+1k +3≥2√2+3．当且仅当2k 2=1k 2即k =√24时取等号，与上同理可得，k <0时亦是同上结论． 综上，λ的取值范围是[3+2√2,+∞)． 【考点】 圆锥曲线直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）由题设知l:x −y +b =0，且b >0，由l 与C 2相切知，C 2(0, 0)到l 的距离求出b ，然后求解p ，得到抛物线方程．（2）不妨设k >0，根据对称性，k >0得到的结论与k <0得到的结论相同．此时b >0，又知p >0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{y =kx +b y 2=2px ，求出M(p 2k 2,pk )，利用由l与C 2切于点N 知C 2(0, 0)到l:kx −y +b =0的距离为2，推出M ，然后求出N ，转化求解三角形的面积，通过s 1=λs 2，利用基本不等式，求解λ的取值范围． 【解答】由题设知l:x −y +b =0，且b >0，由l 与C 2相切知，C 2(0, 0)到l 的距离d =√2=2，得b =2√2， ∴ l:x −y +2√2=0．将l 与C 1的方程联立消x 得y 2−2py +4p √2=0， 其△=4p 2−16√2p =0得p =4√2， ∴ C 1:y 2=8√2x ．综上，l:x −y +2√2=0，C 1:y 2=8√2x ．不妨设k >0，根据对称性，k >0得到的结论与k <0得到的结论相同． 此时b >0，又知p >0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 由{y =kx +by 2=2px消y 得k 2x 2+2(kb −p)x +b 2=0， 其△=4(kb −p)2−4k 2b 2=0得p =2kb ，从而解得M(p 2k 2,pk )，由l 与C 2切于点N 知C 2(0, 0)到l:kx −y +b =0的距离d =√1+k 2=2，得b =2√1+k 2则p =2，故M(2√1+k 2k ,4√1+k 2)．由{y =kx +b x 2+y 2=4 得√1+k 2√1+k 2)， 故|MN|=√1+k 2|x M −x N |=√1+k 2|2√1+k 2k+√1+k2=4k 2+2k.F(p2,0)到l:kx −y +b =0的距离为d pk 2+b √1+k 2=2k 2+2，∴ s 1=s △FMN =12|MN|d 0=2(2k 2+1)(k 2+1)k，又s 2=s △FON =12|OF|∗|y N |=2k ， ∴ λ=s 1s 2=(2k 2+1)(k 2+1)k 2=(1k 2+2)(k 2+1)=2k 2+1k 2+3≥2√2+3．当且仅当2k 2=1k 2即k =√24时取等号，与上同理可得，k <0时亦是同上结论． 综上，λ的取值范围是[3+2√2,+∞)． 【答案】若a ≥0，则f ′(x)>0在x >0时恒成立， ∴ f(x)的增区间是(0, +∞)．①若a≥0，由（1）知f(x)在(0, +∞)上单增，故f(x)不可能有两个零点．②若a<0，令g(x)=axe x+1(x>0)，则g′(x)=a(x+1)e x<0，∴g(x)在(0, +∞)上单减，∵g(0)=1>0，g(−1a)=−e−1a+1<0，∴∃x0∈(0,−1a)，使得g(x0)=ax0e x0+1=0，即ax0e x0=−1，当0<x<x0时，g(x)>0，即f′(x)>0；当x>x0时，g(x)<0，即f′(x)<0．故f(x)在(0, x0)上单增，在(x0, +∞)上单减，∴f(x)max=f(x0)=ax0e x0+lnx0+x0=lnx0+x0−1．若f(x)有两个零点，首先须f(x)max=f(x0)=ax0e x0+lnx0+x0=lnx0+x0−1>0，令ℎ(x)=lnx+x−1(0<x<−1a )，则ℎ(x)在(0,−1a)上单增，∵ℎ(1)=0，∴须1<x0<−1a 即e<e x0<e−1a，∴e<x0e x0=−1a<−1ae−1a且1<−1a，得到−1e<a<0，此时，1)0<−a<1e<1<x0，∴ln(−a)<−1，∴f(−a)=−a2e−a+ln(−a)−a<−a2e−a−1−a<0．取b>x0且b>ln(−2a)，则e b>b>x0，f(e b)=ae b e e b+b+e b<a(e b)2+2e b= e b(ae b+2)<e b(ae ln(−2a)+2)=0，∴f(x)在(0, x0)和(x0, +∞)各一个零点，综上，f(x)有两个零点，a的取值范围是(−1e,0)．【考点】函数的零点与方程根的关系利用导数研究函数的单调性【解析】（1）若a≥0，求出函数的导数，利用导函数的符号，判断函数f(x)的单调性；（2）利用（1）的结论，通过a分类讨论函数的单调性以及函数的最值的符号，利用f(x)有两个零点，求a的取值范围．【解答】若a≥0，则f′(x)>0在x>0时恒成立，∴f(x)的增区间是(0, +∞)．①若a≥0，由（1）知f(x)在(0, +∞)上单增，故f(x)不可能有两个零点．②若a<0，令g(x)=axe x+1(x>0)，则g′(x)=a(x+1)e x<0，∴g(x)在(0, +∞)上单减，∵g(0)=1>0，g(−1a)=−e−1a+1<0，∴∃x0∈(0,−1a)，使得g(x0)=ax0e x0+1=0，即ax0e x0=−1，当0<x<x0时，g(x)>0，即f′(x)>0；当x>x0时，g(x)<0，即f′(x)<0．故f(x)在(0, x0)上单增，在(x0, +∞)上单减，∴f(x)max=f(x0)=ax0e x0+lnx0+x0=lnx0+x0−1．若f(x)有两个零点，首先须f(x)max=f(x0)=ax0e x0+lnx0+x0=lnx0+x0−1>0，令ℎ(x)=lnx+x−1(0<x<−1a )，则ℎ(x)在(0,−1a)上单增，∵ℎ(1)=0，∴须1<x0<−1a 即e<e x0<e−1a，∴e<x0e x0=−1a<−1ae−1a且1<−1a，得到−1e<a<0，此时，1)0<−a<1e<1<x0，∴ln(−a)<−1，∴f(−a)=−a2e−a+ln(−a)−a<−a2e−a−1−a<0．取b>x0且b>ln(−2a)，则e b>b>x0，f(e b)=ae b e e b+b+e b<a(e b)2+2e b= e b(ae b+2)<e b(ae ln(−2a)+2)=0，∴f(x)在(0, x0)和(x0, +∞)各一个零点，综上，f(x)有两个零点，a的取值范围是(−1e,0)．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]【答案】直线l的直角坐标方程为x−y+4=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y23=1．设曲线C上的任一点P(cosθ,√3sinθ)，P到直线l的距离为d=√3sinθ+4|√2=|2sin(θ−π6)−4|√2，当sin(θ−π6)=−1时，d得到最大值3√2．∴曲线C上的点到直线l距离的最大值为3√2．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程、曲线C的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．【解答】直线l的直角坐标方程为x−y+4=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y23=1．设曲线C上的任一点P(cosθ,√3sinθ)，P到直线l的距离为d=√3sinθ+4|√2=|2sin(θ−π6)−4|√2，当sin(θ−π6)=−1时，d得到最大值3√2．∴曲线C上的点到直线l距离的最大值为3√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】2f(x)<4−|x−2|等价于2|x+1|+|x−2|<4，当x≥2时原不等式转化为2(x+1)+(x−2)<4，即x<43，此时空集；当−1<x<2时原不等式转化为2(x+1)−(x−2)<4，即x<0，此时−1<x<0；当x≤−1时原不等式转化为−2(x+1)−(x−2)<4，即x>−43，此时−43<x≤−1．综上可得，原不等式解集为{x|−43<x<0}．|x−a|−f(x)=|x−a|−|x+1|≤|a+1|．又m+n=2(m>0, n>0)由柯西不等式，得12(1m+1n)(m+n)≥12(1+1)2=2，由题意知|a+1|≤2，解得−3≤a≤1．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）2f(x)<4−|x−2|等价于2|x+1|+|x−2|<4，通过x的范围，去掉绝对值符号求解即可．（2）化简|x−a|−f(x)=|x−a|−|x+1|≤|a+1|．由柯西不等式，求解即可．【解答】2f(x)<4−|x−2|等价于2|x+1|+|x−2|<4，当x≥2时原不等式转化为2(x+1)+(x−2)<4，即x<43，此时空集；当−1<x<2时原不等式转化为2(x+1)−(x−2)<4，即x<0，此时−1<x<0；当x≤−1时原不等式转化为−2(x+1)−(x−2)<4，即x>−43，此时−43<x≤−1．综上可得，原不等式解集为{x|−43<x<0}．|x−a|−f(x)=|x−a|−|x+1|≤|a+1|．又m+n=2(m>0, n>0)由柯西不等式，得12(1m+1n)(m+n)≥12(1+1)2=2，由题意知|a+1|≤2，解得−3≤a≤1．试卷第21页，总21页。
山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试理科数学试题(解析版)
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集1=|0,A={1,2,4},5x U x N CuA x +⎧⎫∈≤=⎨⎬-⎩⎭则（ ） A. {3}B. {0，3，5}C. {3，5}D. {0，3} 【答案】D【解析】 因为全集1=|05x U x N x +⎧⎫∈≤⎨⎬-⎩⎭{}0,1,2,3,4=，{},A=1,2,4，所以{}0,3U A =，故选D.2. 已知i 为虚数单位，现有下面四个命题p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称；p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数；p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2=1z ；p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i .其中的真命题为（ ）A. p 1，p 4B. p 2，p 4C. p 1，p 3D. p 2，p 3 【答案】B【解析】对于11:p z 与2z 关于虚轴对称，所以1p 错误；对于2:p 由()1i 1i 1i i 1iz z +-=+⇒==-，则z 为纯虚数，所以2p 正确；对于3:p 若122,3z z ==，则126z z =，满足12z z R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以3p 不正确；4p 正确,故选B.3. 已知2:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(4)理
C．[选修 44：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
4 x 1 t 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ) ．以原点 O 为 3 y 1 t 5
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos( ) ． 4 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长．
7．4【解析】由图知函数的周期为 11 5 2 ，所以 2 4 ． 24 24 2 2
3 8． 【解析】从 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片中随机抽取 2 张组成两位数，共有 20 5
种情况，要使 1, 2,3, 4,5 中的两个数组成两位奇数，有 12 种情况，所以其概率为 9．
（3）设
An kPn (n k )
k 1
n
，求证：
An 1 (n 1) Pn (n k )
k 0
n
．
2018 年高考模拟试卷（4）参考答案 数学Ⅰ 一、填空题：
1 3 1 i (1 i )(2 i ) 1 3i 1． + i 【解析】 z ． 2 i (2 i )(2 i ) 5 5 5
19．已知函数 f ( x) ( x 1)e x ax 2 ，其中 a R ，e 是自然对数的底数． （1）若 a 0 ，求函数 y f ( x) 的单调增区间； （2）若函数 f ( x) 为 R 上的单调增函数，求 a 的值； （3）当 a 0 时，函数 y f ( x) 有两个不同的零点 x1 ，x2 ，求证： x1 x2 0 ．
x2 y 2 1(a 0, b 0) ，因为双曲线 C 的渐近线 a 2 b2
2018年高考模拟试卷 数学-(15224)
2018年高考模拟试卷 数学本试卷分为选择题和非选择题两部分。
考试时间120分种。
请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。
参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24πS R = V=Sh球的体积公式 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高34π3V R =台体的体积公式： 其中R 表示球的半径 V=31h （2211S S S S ++）棱锥的体积公式 其中21,s s 分别表示台体的上、下底面积，V=31Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积， 如果事件A B ，互斥，那么h 表示锥体的高 ()()()P A B P A P B +=+选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,0][1,)-∞+∞ D ．(,1)(0,)-∞-+∞【命题意图】：主要考察充分条件与必要条件及集合间的相互关系。
【预设难度系数】0.85【答案】------------A 【原创】2. 已知,a R ∈i 是虚数单位，若3,4z ai z z =+⋅=,则=a （ ） A ．1或-1 B ．15 C ．-15 D ．3-3或 【命题意图】：主要考察复数的定义与运算。
【预设难度系数】0.85【答案】------------A 【原创】3．对于直线l 和平面βα,，下列命题中，真命题是 ( )A ． 若ββα////l 且，则α//lB ．若,βαβ⊥⊂且l 则α⊥lC ． 若βαβ⊥⊥且l ，则α//lD ．若βαβ//且⊥l ，则α⊥l 【命题意图】：本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察。
2018年高考数学理科(课标版)仿真模拟卷(二)(含新题附答案)
2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|x2-x≤0},N={x|-1<x<1},则M∩N=()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x≤1}2.设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数=()A.iB.iC.-iD.-i3.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=()A. B.2 C. D.104.已知等差数列{a n}的公差为2,且a4是a2与a8的等比中项,则a n=()A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+15.下图是1951~2016年中国年平均气温变化图.根据上图,下列结论正确的是()A.1951年以来,我国年平均气温逐年增高B.1951年以来,我国年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来,我国年平均气温都高于1981~2010年的平均值D.2000年以来,我国年平均气温的平均值高于1981~2010年的平均值6.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成(凿去的部分看成一个简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示,则凿去部分的体积为()A.63πB.72πC.79πD.99π7.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.+1B.C.D. 18.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[2]=2,[3.6]=3.右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图,则输出a=()A.9B.16C.23D.309.已知函数f(x)=sin ωx的图象关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω=()A. B.3 C. D.610.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的倾斜角为()A.15°B.30°C.45°D.60°11.若函数f(x)=2x+1-x2-2x-2,对于任意x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,3]D.(-∞,4]12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N 两点,若AA1与平面α所成角为45°,则截面A1MN面积的最小值是()A.2B.4C.4D.8二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若变量x,y满足-则z=3x+y的最小值为.14.已知(1+ax)(1+x)3的展开式中x3的系数为7,则a=.15.已知函数f(x)=--则函数f(x)的零点个数为.16.将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1,a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,…,构成的数列为{b n},S n为数列{b n}的前n项和.若S n=2b n-1,则a56=.三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17.(12分)已知△ABC的面积为3,AC=2,BC=6,延长BC至D,使∠ADC=45°.(1)求AB的长;(2)求△ACD的面积.18.(12分)某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物的情况,从这一天交易成功的所有订单中随机抽取了100份,按购物金额(单位:元)进行统计,得到的频率分布直方图如图所示.(1)该商家决定对这100份订单中购物金额不低于1 000元的订单按区间[1 000,1 200),[1 200,1 400]采用分层抽样的方法抽取6份,对买家进行售后回访,再从这6位买家中随机抽取3位赠送小礼品.求获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1 200,1 400]的概率.(2)若该商家制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场购物每满200元减40元,每满600元减150元,每满1 000元减300元,以上减免只享受最高优惠.例如:购物金额为500元时,可享受最高优惠80元;购物金额为900元时,只享受最高优惠190元.利用直方图中的数据,计算说明哪种方案的优惠力度更大.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AB=2CD.平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,点E在PC上,DE⊥平面PAC.(1)证明:PA⊥平面PCD;(2)设AD=2,若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°,求DE的长.20.(12分)已知直线l1:ax-y+1=0,直线l2:x+5ay+5a=0.(1)直线l1与l2的交点为M,当a变化时,求点M的轨迹C的方程;(2)已知点D(2,0),过点E(-2,0)的直线l与C交于A,B两点,求△ABD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=e x-ln(2x+a)-b.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0,求a,b的值;(2)当0<a<2时,存在实数x0,使f(x0)<0,求实数b的最小整数值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.23.选修4—5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=|x-a|+(a≠0,a∈R).(1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.2018高考仿真卷·理科数学(二)1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.C9.A10.B11.D12.B13.714.215.316.1 02417.解(1)由S△ABC=3,得S△ABC=6×2sin∠ACB=3,所以sin∠ACB=,∠ACB=30°或150°.又∠ADC=45°,所以∠ACB=150°.由余弦定理得AB2=12+36-2×26cos150°=84,所以AB==2(2)在△ACD中,因为∠ACB=150°,∠ADC=45°,所以∠CAD=105°.由正弦定理得,所以CD=3+所以S△ACD=AC·CD·sin∠ACD=(3+)×2+1).18.解(1)在这100份订单中,购物金额位于区间[1000,1200)的有10份,位于区间[1200,1400]的有5份,则购物金额位于区间[1000,1400]的订单共有15份,利用分层抽样抽取6份,则位于区间[1000,1200)的有4份,位于区间[1200,1400]的有2份,设事件A表示“获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1200,1400]”,则P(A)=1-(2)由直方图知,各组的频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,方案一:商家最高优惠的平均值为(300×0.1+500×0.2+700×0.25+900×0.3+1100×0.1+1300×0.05)×0.2=150(元);方案二:商家最高优惠的平均值为40×0.1+80×0.2+150×0.25+190×0.3+300×0.1+340×0.05=161.5(元),由于150<161.5,所以方案二的优惠力度更大.19.解(1)由DE⊥平面PAC,得DE⊥PA,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA.又因为CD∩DE=D,所以PA⊥平面PCD.(2)取AD的中点为O,连接PO,因为PA=PD,所以PO⊥AD,则PO⊥平面ABCD,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图,由AD=2得PA=PD=,OP=1,设CD=a,则P(0,0,1),D(0,1,0),C(a,1,0),B(2a,-1,0),则=(-a,2,0),=(a,1,-1),设m=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量,由得--取m=(2,a,3a),由(1)知n==(a,0,0)为平面PAD的一个法向量, 由|cos<m,n>|=,解得a=,即CD=,所以在Rt△PCD中,PC=,由等面积法可得,DE=20.解(1)设M(x,y),由-消去a得曲线C的方程为+y2=1.(y≠-1,即点(0,-1)不在曲线C上,此对考生不作要求)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my-2,由-得(m2+5)y2-4my-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,△ABD的面积S=2|y2-y1|=2-=2,设t=,t∈[1,+∞),则S=, 当t=2,即m=±时,△ABD面积取得最大值21.解(1)f(x)的定义域为-,因为点(0,f(0))在切线x+y+1=0上,所以f(0)=-1,所以1-ln a-b=-1.又因为f'(x)=e x-,所以f'(0)=1-=-1,所以a=1,b=2.(2)∀a∈(0,2),∃x0∈R,使f(x0)<0,即e x-ln(2x+a)-b<0,即b>e x-ln(2x+a).而对x>0,0<a<2,e x-ln(2x)>e x-ln(2x+a),只需∃x0∈R+,使b≥e x-ln x-ln2成立.令g(x)=e x-ln x-ln2,所以g'(x)=e x-,而g'(x)在(0,+∞)上单调递增,g'-2<0,g'(1)=e-1>0,则存在唯一的m,使g'(m)=0,即e m-=0.所以g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(m)=e m-ln m-ln2=-lne-m-ln2=m+-ln2.所以b≥m+-ln2.而m,则1<2-ln2<m+-ln2<-ln2<2,所以b的最小整数值为2.22.解(1)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.(2)将直线l的参数表达式代入曲线C得t2+(4cosα)t+3=0,由Δ=(4cosα)2-4×3>0⇒cos2α>,t1+t2=-4cosα,t1·t2=3,又|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1·t2⇒(t1+t2)2=5t1·t2,得(-4cosα)2=5×3,解得cos2α=,满足cos2α>,所以sin2α=,tan2α=,所以k=tanα=±23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=----①当x>1时,由2x+1≤5得x≤2,故1<x≤2;②当-2≤x≤1时,由3≤5得x∈R,故-2≤x≤1;③当x<-2时,由-2x-1≤5得x≥-3,故-3≤x<-2.综上,不等式的解集为[-3,2].(2)f(x)=|x-a|+--,当且仅当(x-a)0,即-x≤a(a>0)或a≤x≤-(a<0),取“=”,此步对考生不作要求所以,g(a)=,因为=|a|+2=2,当且仅当|a|=,即a=±时,取“=”, 所以,g(a)min=g(±)=2。
山东省临沂市2018届高三第三次高考模拟考试数学(理)试题有答案
2018年普通高考模拟考试理科数学2018.5本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}x x a >，B={}232x x x -+>0，若A ∪B=B ，则实数a 的取值范围是(A) (),1-∞ (B) (],1-∞ (C) ()2,+∞(D) [)2,+∞2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+ (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3．给出以下三种说法：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+<”； ②已知,p q 为两个命题，若p q ∨为假命题，则()()p q ⌝∧⌝为真命题； ③命题“,a b 为直线，α为平面，若//,//,a b αα，则//a b ”为真命题． 其中正确说法的个数为 (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个4．已知4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= (A) 725- (B) 15- (C) 15 (D) 7255．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= (A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2 6．执行如图所示的程序框图，则输出的a = (A)6.8 (B)6.5 (C)6.25 (D)67．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则()()32018f f +=(A)－2(B)－1 (C)1(D)28．一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“▂”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概率为12，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域内的概率为(A)67(B)37 (C) 34 (D) 389．记不等式组10,330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域为D ，若对任意点(00,x y )∈D ，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 (A) (],4-∞- (B) (],1-∞-(C) [)4,-+∞(D) [)1,-+∞10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 13π+(B) 223π+(C) 23π+(D) 123π+11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且112::AF BF BF =3：4：2，则双曲线C 的离心率为(A)(B)10(C)(D) 1012．在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且满足∠DAC=90°，sin ∠BAD=13，若S △ADC =3S △ABD ，则cosC=(A)(B)6 (C)23(D)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年湖北省高考数学理科试卷及解析(全部题目)
2018年湖北省高考数学理科试卷及解读1.i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解读】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B. 34 C.1 D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解读】选C . 因为1r T +=rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1.3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,UA CB C⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A =，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解读】选B .画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2），<2,2,0），<1,2，1），<2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解读】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x>，()g x满足11()g()d0f x x x-=⎰，则称f(x>，()g x为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22f x xg x x==；②()1,g()1f x x x x=+=-；③2(),g()f x x x x==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是< ）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解读】选C. 对①，1111 111111(sin cos)(sin)cos|0 2222x x dx x dx x---⋅==-=⎰⎰，则)(xf、)(xg为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为< ）A.81B.41C. 43D.87 【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
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2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4]2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x24＋y23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.124．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πxn(x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋16．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．22B ．4C ．32D ．68．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．12πC ．24＋12πD ．16π9．[2016·南京模拟]已知四面体P －ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( )A ．22B ．23C ．42D ．4310．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434 B.494 C.37＋634D.37＋233411．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S12－S6S6－7·S6－S3S3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157B.95C.53D.7512．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2<e B.1e <x 1x 2<1 C ．2<x 1x 2<2eD.2e <x 1x 2<2第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x<1，x2－4x ＋2，x≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C 处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离．18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款半价7折8折原价(1)(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ－sinθ)＝6.(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；(2)设P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的最大距离．23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝x－2＋11－x的最大值为M.(1)求实数M的值；(2)求关于x的不等式|x－2|＋|x＋22|≤M的解集．参考答案(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4] 答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B.2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x24＋y23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.12 答案 B解析 由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k＝±32.4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πxn(x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n24＋3⇒n ＝2，故选B.5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析 由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C 解析 因为3⎠⎛12t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪21＝8－1＝7，∴g(x)＝2e x ＋x －7，g ′(x)＝2e x ＋1>0，g(x)在R 上单调递增，g (－3)＝2e －3－10<0，g (－1)＝2e －1－8<0，g (1)＝2e －6<0，g (2)＝2e 2－5>0，g (3)＝2e 3－4>0，故选C.7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝()A．22 B．4 C．32 D．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x ＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝错误!＝3错误!.故选C.8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，P A＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，P A⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为()A．22 B．23 C．42 D．43答案 A解析 P A ⊥平面PBC ，AC ＝27，P A ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为22.故选A.10．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434 B.494 C.37＋634D.37＋2334答案 B解析 由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为23.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2m ax ＝494，选B.11．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S12－S6S6－7·S6－S3S3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157B.95C.53D.75 答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S12－S6S6＝q 6，S6－S3S3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2<e B.1e <x 1x 2<1 C ．2<x 1x 2<2e D.2e <x 1x 2<2答案 B解析 依题意得f ′(x )＝－2k e－2x，f ′(0)＝－2k ＝－1，k ＝12.在同一坐标系下画出函数y＝f (x )＝12e －2x 与y ＝|ln x |的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12e －2，12，12e －2x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln (x 1x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，于是有e －12<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析 若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T＝2π3，又因为T ＝2π5|a|，所以2π5|a|＝2π3，解得a ＝±35.15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1.16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x<1，x2－4x ＋2，x≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个． 答案 2 解析 由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x<1，x2－4x ＋2，x≥1与y ＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.(2分) 在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝PA2＋AB2－PB22PA·AB ＝错误!＝错误!，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝PA2＋AC2－PC22PA·AC ＝x2＋502－x22x·50＝25x .(4分)∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos2∠PAD ＝42131，(9分) ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)红球个数 3 2 1 0 实际付款半价7折8折原价(1) (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝332，(2分)两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P ＝1－P (A )P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3322＝1831024.(4分) (2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分) 若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160,224,256,320. P (X ＝160)＝332，P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝332，(9分)则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240.∵270>240，∴第二种方案比较划算．(12分)19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值． 解 (1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC .即AB 2＋a 2＝BC 2⇒12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1.(2分) 若AD ⊥BC ，因为AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， 所以AD ⊥面ABC ⇒AD ⊥AC ，即AD 2＋a 2＝CD 2⇒(2)2＋a 2＝12⇒a 2＝－1，无解， 故AD ⊥BC 不成立．(4分)(2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22，所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD .(6分)过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ， 以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，则易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，33，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， 显然，面BCD 的法向量为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63.(8分)设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，63，所以⎩⎨⎧6x ＝3y ，23y ＝6z.令y ＝2，得n ＝(1，2，2)，(10分) 故二面角A －CD －B 的余弦值即为 |cos 〈OA →，n 〉|＝26363·1＋2＋4＝277.(12分) 20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a2＝a －b a2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2，所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1－12，S △PQF ＝|a －b|2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1－12＝|a －b|2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1x ，当a ≤0时，f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，当a >0时，令f ′(x )＝0，则x ＝1a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，(3分)∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上为增函数．(4分) (2)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x －4，由(1)知：f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，而[m ，n ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，∴f (x )在[m ，n ]上为增函数，结合f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k m ＋1，k n ＋1知：f (m )＝k m ＋1，f (n )＝k n ＋1，其中12≤m <n ，则f (x )＝k x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上至少有两个不同的实数根，(6分)由f (x )＝kx ＋1，得k ＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，记φ(x )＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则φ′(x )＝4x －1x －ln x －3， 记F (x )＝φ′(x )＝4x －1x －ln x －3，则F ′(x )＝4x2－x ＋1x2＝错误!>0，∴F (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，即φ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，而φ′(1)＝0，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，(10分) 而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3ln 2－92，φ(1)＝－4，当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，故结合图象得： φ(1)<k ≤φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12⇒－4<k ≤3ln 2－92，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，3ln 2－92.(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离． 解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分)∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x23＋y24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cosθ，y ＝2sinθ(θ为参数)．(5分)(2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cosθ－2sinθ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝25.(10分)23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M . (1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集． 解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2错误!＝3错误!，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝32.(5分)(2)由(1)知M ＝32.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝32.所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分)由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32， 所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为 {x |－22≤x ≤2}．(10分)。