一类指数型差分方程系统正解的渐近行为
一类差分方程解的全局性分析
可 参见 文献 ［ —５ ． 文 献Ｅ ］ ， ａｎ ｕｉ 研 究 了差分 方程 １ ］在 ６ 中 Ｃ ｒｏ ｚ ｓ
ｚ ＋ 一
Ａ＋Ｂ Ｃ ， ｚ ＋ ｘ一 ’ ２
±
一 ｏ， ， … １ ２， ” ’
（ Ｅ 、
的全局性 质 ， 中初始 值 ｚ 。 Ｘ ｚ ∈ （ ，。 ，， Ａ∈［ ， 。 ，＋ ， ＣＥ（ ，。 ， 到 了 方程 （ 其 一 ， 一 ， 。 ０ 。 ） 卢 ， Ｏ ＋。 ）ｐ Ｂ， Ｏ 。）得 Ｅ）
一｛ ， ， ｝口 １ ２ … ，一ｍａ ｛ ｑ ， １ ７ ， ，ｐ Ｃ ， ｚ … ， ｘ ， ） ７ ，ｚ … ｙ ， Ｃ ， Ｃ
∈ ｏ１， ∑ 一 ∑ Ｃ一 ， 值ｚ， …，一 （， ） ［， 满足 ］ ｉ１ 初始 。 一， Ｘ ｏ。 ． ｚ ∈ 。
一
１
Ｊ １ 一
当 ＋１ ≤Ａ 时 ， 方程 （ ） １ 只有 ０平 衡解 ； 当 ＋ Ｉ ＞Ａ 时 ， 程 （ ） 两 个 平衡 解 ， 方 １有 分别 是 ０平 衡 解 和 正平 衡解 ＝ ＝ ＝ ．
目（０ ８ ０ ９ ０ ０ Ｍ４ ） ２ ０ １ ５ ３ ７ １ ３
８ ６
大 学 数 学
第２ ７卷
２ 主 要 结 论 及 证 明
ｏｚ ｚ ＋＂Ｌ１ｗ旨 ＜一， ＂Ｎ，＜ ， 一 ＇ ＿ｚ ９ Ｕ 那 对 有ｚ —， ｚ 旨 么 所 ，Ｎ ａ＜ ． ≥ ０ ＜
（） ２
ｌ ｔ ｘ ， ｌ —ｌ ｐ ｋ … ｎ ｌ —Ｘ ｉ ＋ ｍ —ｓ ｉ ｓ ｘ≥昔． ａ ｒｕ
—
’。。
Ｕ
定 理 １ 设 Ａ≥ １ ｛ 善 。 ，ｚ ｝ 是方 程 （ ） １ 的一个 正解 ， 则存 在 Ｎ＞Ｏ 使得 ，
一类差分方程系统正解的存在性
（ ）ｆ ： Ｏ 。 ）× ［ ，。 一 ［ ，。 ， ＝ １ ２ 是 连续 的 ； Ｈ１ ｉ ［ ，。 Ｏ 。 ） ０。 ）ｉ： ，， ＝
（ ）ａ（）是定 义在 ［ ， Ｈ２ ￡ １ Ｔ＋ １ ］上 的正 值 函数 ， ＝ １ ２ ｉ ，． 近 年来 ， 有关 Ｌ ｐａｉ ａｌ ａ ｃ ｎ差 分方 程边值 问题 正解 的存 在性及 多 解性 的 研究 比较 多
，
，
如文 献 ［ １～ ８ ． ］ 然
而 ， 于 ｐ Ｌ ｐａｉｎ差分方 程 系统正 解 的研究 却 很少 见 ， 于此 我们考察 系统 （ ） （ ）正解 的存 在 性 、 对 － ａ ｌｃ ａ 基 １ ２ 不存
在性 及多解 性． 为证 明主要结 果 ， 以下定 理． 需
定理 １ 设 Ｂ是 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 问 ， Ｐ是 Ｂ 上 的锥 ， 设 Ｑ ， 是 Ｂ 的 开子 集 ， ０∈ Ｑ 假 Ｑ２ 且 。ｃ 历 ｃ 。 ， 令 ０ Ｓ： Ｆ ＼ 一Ｐ， Ｐ Ｎ（ｈ Ｑ ） Ｓ是全连 续算 子 ， Ｓ满 足 ： 若
（） ＪＳ ａ ｆ ｕＪ ｆ≤ Ｊ ｆ， Ｖ ∈ Ｐ Ｎ ａ ｆ 』 Ｑ 且 ｆ
则 Ｓ在 Ｐ Ｎ （ ＼ 孬： Ｑ ）中 有 一 个 不 动 点 ．
．
ｆ ［ｐＡ －￡ ）］ ￡， （１￡， （ ） ０ ｔ ［ ， １ △ （ ｕ （一１） ＋口（） ｌ （ ￡ 一 ， ∈ １Ｔ＋ ］ ） ） 【 声 （ ｕ（一 １） ＋ 口（） ２“ （） ２ ）＝ ０ ￡ ［ ， △［ｐＡ ２￡ ）］ ２￡厂 （１￡， （） ， ∈ １ Ｔ＋ １ ］
，
ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ｎｖ ｌ ｉ ｈｅ ｐ－ ｐｌｃ ａ ｅ ａ ｏｒｗａ ｉ ｃ ｓ ｄ ｈ ｒ Ｔｈ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔｏ ｓｆ ｒｔ ｅ ｅ — ｎ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｉ ｏ ｖ ｎｇ ｔ Ｌａ ａ ｉｎ ｏｐ ｒ ｔ ｓ ｄ ｓ ｕｓ ｅ ｅ ｅ ｅ ｓ ｆｉ ｅ ｔ ｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｈ ｘ ｃ ｉ
一类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性
㈩
其 中 Ｆ — ｆ（ … １ 一２ … ， ｎｒ ， — ｇ（ ， 一 ２… ， 一 ， — ｈ ｘ 一１ 一２・ ，ｎＰ ， ｘ ， ， ， Ｘ －ｋ Ｇ ） ｘ一 １ ， ） Ｈ （ ｐ， ，・ Ｘ －１ ）
∈ Ｃ（ Ｏ，。） （ 。 ） ｇ ∈ Ｃ（ Ｏ，。）， Ｏ， 。 ） ｈ∈ Ｃ（ Ｏ 。 ） ， Ｏ 。 ） ， Ｚ ｉ∈ ｛ ， ３ … ｝ ０≤ ｒ ≤ （ 。 ， Ｏ，。） ， （ 。 （ 。 ） ， （ ， 。 （ ， 。 ） ｋ， ， １ ２， ， ， ，
．
一
吉 一
＃等 一 ＋ ＋ ＋ ６ ＋ ６ ｎ ６ １ ＋ 易 ｎ ＋
ｎ ＋ ｎ ＋ ６ ＋ ｃ ＋ ｃ ＋
若 ｎ≥ １ ６＜ １ ｃ １ 则有 ｎ— ｎ ６一 ， ，＜ ， ， ， ． （ ）可得 ≥ １ 故 ｃ一 由 ２ ，
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ３ ２ ０— ７２
Ｖ０＿ Ｎｏ １ ｌ７ ．
Ｍ ａ ． ２０ ｒ ０８
２０ ０ ８年 ３月
一
类高阶有理差分方程 的全局渐进稳定性
牛 文 英 王 小梅 闰卫 平
（ 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
［ 要 ］ 对 一 类 高 阶 有 理 差 分 方 程 的 唯 一 正 解 及 其 全 局 渐 进 稳 定 的 充 分 条 件 进 行 了研 究 ， 摘 并
盘 ｃ ＋ 盘 ＋ ｂ － ｂ Ｉ ｌ －ｃ ａ ． Ｃ － ＋ １ ｂ ２ ｌ －ａ Ｉ Ｃ ｌ －ｂ
１
。ｂ
１
。Ｃ
同 ，ａ， 足余 种 形 ， 得 ｝昙十 理当， 满 其 四情 时也 ＝ ６ ｃ 可 去 ＿
一类时滞差分方程解的性态
中图分类号 ： １５ ０ ７
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ￣６ ３—１２ ２ １ １ ０ ０ ０ １７ ６ Ｘ（０ １ ０ — ０ １— ３ １
口
Ｓ ｌ ｉ ｎ Ｂｅ ａ ｉ ｒ ｏ Ｃｌ ｓ ｆＤｅ ａ ｆｅ ｅ ｅ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｏ ｕｔｏ ｈ ｖ ｏ ｆＡ ａ ｓ ｏ ｌ ｙ Ｄｉｆ ｒ ｎｃ ｕ ｔｏ
ｉ ０ ：
。≥ ０， 使方程 的解 ｛ ｝ 足 满
≤
０— ６
则 ｌ ＝ｘ ｉ ｍｘ ．
≥ 或 ≤ ， ∑
６
一
＋～ ＋
证 明 下 面只证 ≥ ｘ时的情 形 ， 当 ≤ 时 的情形证 明是 完 全类 似 的
ＷＡ Ｇ Ｘａ — ， Ｉ ｅｗ ｉ ＷＡ Ｇ Ｘ ａ －ａ Ｎ ｉ ｌ ＬＵ Ｋ — ｅ， Ｎ ｉｏ ｉ ｏｉ ｊ
（ ｅａｔ ｅｔ ｆ ａｈｍ ｔ ｓ ｅ ｉ ｎ ｅｓｙｏ Ｔ ｃｎｌｇ ，Ｈ ｆ ２ ０ ０ ， ｈｎ Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ｔｅ ａｉ ，Ｈ ｆ ｉ ｒｉ ｆ ｅｈ ｏ ｙ ｅ ｉ ３０ ９ Ｃ ｉａ） ｍ Ｍ ｃ ｅＵ ｖ ｔ ｏ ｅ
１ 知 识 背 景
随着 计算 机技 术 的发 展 和普及 ， 分方 程在 工 程技 术 、 济 与管 理 、 理 等方 面都 有 着越 来 越 广泛 的 差 经 物 应 用 ， 出 了许 多 由差 分方 程 描述 的数 学模 型 －１在 文献 ［ ］ 提 ６． １ 中研 究 了 一类 离 散 型 的 Ｌｇ ｔ 模 型 的振 ｏｉｉ ｓｃ 动性 和 全 局吸 引性 ． 文献 ［ ］ 把 差分 方 程 的理论 应用 于血 红 细胞 增 长 差 分模 型和 Ｌｇ ｔ 在 ２中 ｏｉｉ ｓｃ差分 模 型 ． 本 文 主要研 究 一类 时滞 差分 方 程所 有 正解 的全 局 吸引性 态 ．７８ ［ －
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
差分方程特解形式表
差分方程特解形式表1. 什么是差分方程？差分方程是一种用来描述离散时间系统行为的数学模型。
与连续时间系统不同，差分方程将时间视为离散的点，而不是连续的流。
差分方程通常用递推关系来表示系统的演化规律，其中每个时间点的状态依赖于前一个时间点的状态。
一个一阶差分方程的一般形式为：x(n+1) = f(x(n))其中，x(n)表示第n个时间点的状态，x(n+1)表示下一个时间点的状态，f(x(n))表示状态之间的关系。
2. 差分方程的特解形式差分方程的特解是指满足差分方程的特殊解。
对于一般的差分方程，特解的形式不是唯一的，可以根据具体情况选择合适的形式。
常见的差分方程特解形式有以下几种：2.1. 线性方程特解对于线性差分方程，特解的形式通常可以选择为线性函数。
例如，对于一阶线性差分方程：x(n+1) = a * x(n) + b特解的形式可以选择为：x(n) = c * r^n + d其中，r是差分方程的特征根，c和d是待定系数。
2.2. 指数方程特解对于指数差分方程，特解的形式通常可以选择为指数函数。
例如，对于一阶指数差分方程：x(n+1) = a * x(n) + b^n特解的形式可以选择为：x(n) = c * r^n其中，r是差分方程的特征根，c是待定系数。
2.3. 递推方程特解对于递推差分方程，特解的形式通常可以选择为递推函数。
例如，对于一阶递推差分方程：x(n+1) = a * x(n) + f(n)特解的形式可以选择为：x(n) = c * r^n + g(n)其中，r是差分方程的特征根，c是待定系数，g(n)是递推函数。
2.4. 其他特解形式除了以上几种常见的特解形式外，还可以根据具体情况选择其他形式的特解。
例如，对于非线性差分方程，特解的形式可以选择为多项式、三角函数等。
3. 差分方程特解的求解方法求解差分方程的特解可以使用多种方法，具体选择方法取决于差分方程的形式和特征。
常见的求解方法包括：3.1. 递推法递推法是一种简单直接的求解差分方程特解的方法。
中立型Logistic差分方程的Flip分支
中立型Logistic差分方程的Flip分支梁璐莎;陈斯养【摘要】讨论了中立型时滞Logistic差分方程稳定性以及Flip分支存在性;应用Jury判据和特征值理论给出正平衡态局部渐进稳定的充分条件;以种群的内禀增长率为分支参数,运用中心流形定理和分支理论得到了方程Flip分支的存在条件与分支方向;通过举例及数值计算验证了定理条件和结论的一致性.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(034)001【总页数】7页(P41-47)【关键词】中立型;时滞;稳定性;Flip分支【作者】梁璐莎;陈斯养【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言在生物数学中，Logistic模型是描述单种群密度变化的经典模型[1]，考虑到时滞对种群密度的影响，文献[2-5]对具有时滞的Logistic模型解的渐进性态、产生Hopf分支的条件以及实际应用情况做了详细的讨论.在实际情况中，并不是一个线性函数，Smith[6]讨论了形如模型解的渐进性态.Gopalsamy[7]提出了如下中立型Logistic模型文献[8-12]对其解的渐进性态做了进一步的讨论.在生态数学中，对于生命长、世代重叠并且数量很大的种群常近似采用微分方程模型，文献[13-20]讨论了多个具有时滞的连续性泛函微分方程解的渐近性态；对于生命短、世代不重叠或是生命长、世代重叠但其数量较少的种群经常采用差分方程模型.本文主要研究了具有时滞的连续中立型微分方程对应的中立型Logistic差分方程x(n+1)-x(n)=rx(n)(1-a1x(n)-a2(x(n+1-τ)-x(n-τ)))(1)当τ=1,2时正平衡态的存在唯一性和局部渐进稳定性，分支的存在性及其方向和稳定性等问题，其中r表示种群的内禀增长率，a1、a2表示种群在第n代、第n-τ代种群的密度制约系数,r、a1、a2∈R+.特别地，当a2=0时，(1)式即为经典的Logistic模型.1 正平衡态稳定性与分支存在的条件本节讨论模型(1)在τ=1,2两种情况下正平衡态的稳定性以及分支存在的条件.1.1 τ=1时正平衡态稳定性与分支存在条件将(1)写作(2)令对(2)做无量纲变化后其等价为y(n+1)=by(n)(1-y(n)+ay(n-1))(3)设y*是方程(3)的平衡态，其满足方程y*=by*(1-y*+ay*)，解得y*则y*是正平衡态的充要条件是0<a<1.经计算可知(3)在y*处线性近似系统为y(n+1)-y*(4)所以(4)对应的特征方程为(5)下面应用Jury判据[21]给出模型(3)正平衡态局部渐近稳定的条件.定理1 模型(3)的正平衡态y*局部渐进稳定，当且仅当证明：若模型(3)满足如下三个条件，则正平衡态y*局部渐进稳定.(Η1)p(1)>0; (Η2)(-1)2p(-1)>0；对条件(Η1)：计算后得p(1)=b-1>0恒成立；对条件(Η2)：化简后可得如下结论：对条件(Η3)：计算可得对(Η2)和(Η3)求交集可得定理中所给结论，证毕.定理2 在模型(3)中，若则(3)的正平衡态y*局部渐进稳定；若则(3)存在一个λ=-1的特征根，且不存在λ=1和一对位于单位圆环上共轭的特征根；若则(3)的正平衡态y*不稳定，模型产生Flip分支.证明由定理1可知，若的正平衡态y*局部渐进稳定；若特征方程(5)等价于即方程有两个单实根λ1=-1和证毕.1.2 τ=2时正平衡态稳定性与分支存在条件当τ=2时，(1)式为令则(6)与如下方程(7)等价y(n+1)=by(n)[1-y(n)-ay(n-1)+ay(n-2)](7)设是方程(7)的平衡态，则其满足等式解得即也是(7)的正平衡态.经计算(7)式在处的线性近似系统为(8)则(8)的特征方程为p(λ)=λ3-(2-b)λ2-(a-ab)λ-(ab-a)=0(9)根据文献[21]，得到模型(7)正平衡态局部渐近稳定的条件.定理3 模型(7)的正平衡态局部渐进稳定，当且仅当满足以下条件之一：当时，当时，当时，证明：根据文献[21]，若模型(7)满足如下三个条件：(Η1)|-2+b-ab+a|<1-a+ab;(Η2)|a-ab|<1;(Η3)|1-(ab-a)2|>a(b-1)2则正平衡态局部渐进稳定.对条件(Η1)：化简后得到如下条件(i)和(ii)：(i)当时,当时,1<b恒成立；对条件(Η2)：计算后可得：对条件(Η3)：化简后得到如下条件：对(Η1)和(Η2)化简后的结果求交集得：当时，当时，再将如上条件与(Η3)化简后结果进一步求交集可得定理结论，证毕.以下对定理3中(1)的情况给出产生分支的条件，情况(2)，(3)的分支条件可同理给定理4 在模型(7)中，若当时，(7)的正平衡态局部渐进稳定；当时，(7)存在一个λ=-1的特征根，且不存在λ=1和一对位于单位圆环上共轭的特征根；当时，(7)的正平衡态不稳定，模型产生Flip分支.证明由定理3可知，若时，当时，(7)的正平衡态局部渐进稳定；若特征方程(9)等价于方程(9)存在λ=-1的特征根，将λ=1代入，可得恒成立，即(9)不可能有λ=1的特征根.令对应的故g(λ)=0有两个实根，即特征方程(9)不存在一对位于单位圆环上共轭的特征根，证毕.2 分支的方向以及稳定性和规范形本节选取种群的内禀增长率r做无量纲变化后对应的参数b作为分支参数，利用分支理论和中心流形定理讨论模型(3)和(7)Flip分支的方向和稳定性，应用文献[22]中的投影方法计算其中心流形.2.1 τ=1时分支的方向以及稳定性和规范形τ=1时，将(3)式做如下变化：(10)(10)式在平衡态E(y*,y*)的临界Jacobi矩阵由定理2可知D0存在λ=-1的特征根.矩阵D0和满足且其特征向量分别为：为使其特征向量<p,q>=1，取为了应用文献[22]中的投影法计算中心流形，现将系统(3)化为如下形式(11)其中是光滑函数且在平衡态E(y*,y*)的Taylor展开式为B(x,y)和C(x,y,z)在坐标下的分量分别为：i=1,2,...,n.映射(11)经坐标变化可变换成限制规范性形式：η→-η+cη3+O(η4)，其中临界规范性系数c决定反转分支的非退化性，且可以预测周期2环的分支方向，系数c由下面公式给出：(12)根据以上理论，经计算得B(x,y)=(-2bx1y1+ab(x1y2+x2y1),0)T，C(x,y,z)=0将p,q代入上式可得则求得其中(13)根据文献[22]，可得如下定理：定理5 当b=b0时，模型(3)在正平衡态y*产生Flip分支；若c>0，则模型(3)从正平衡态y*分支出唯一稳定的超临界Flip分支；若c<0,则模型(3)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.根据定理5，由(13)式可知，当0<a<1时，c恒大于0，即模型(2)从正平衡态y*分支出唯一稳定的超临界Flip分支.2.2 τ=2时正平衡态稳定性与分支存在条件将(7)式做如下变化：(14)映射(14)式在平衡态的临界Jacobi矩阵为由定理4可知D1存在λ=-1的特征根.矩阵D1和满足且其特征向量分别为：q～(1,-1,1)T，p～(-1,3-b,ab-a)T，为使其特征向量<p,q>=1，取如下应用文献[22]中的投影法计算中心流形，将系统(7)写为如下形式其中g1=bx1(1-x1-ax2+ax3)-(2-b)x1-(a-ab)x2-(ab-1)x3.类似2.1中计算可得B(x,y)=(-2bx1y1-ab(x1y2+x2y1)+ab(x1y3+x3y1),0,0)T，C(x,y,z)=0将p,q代入上式可得经计算可得其中(14)根据文献[22]，可给出如下定理6.定理6 当b=b1时，模型(6)在正平衡态产生Flip分支；若c>0，则模型(6)从正平衡态分支出唯一稳定的超临界Flip分支;若c<0,则模型.(6)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.根据定理6，由(14)式可知，当时，c>0，即模型(6)从正平衡态分支出唯一稳定的超临界Flip分支；当时，c<0，即模型(6)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.3 数值模拟下面通过两个举例，运用Matlab软件绘出模型解的图形，验证以上结论与条件的可实现性，并说明该模型动力学行为的复杂性.例1 τ=1时，最大Lyapunov指数图以及取a=0.124 5,b0=2.557 1时，模型(3)随b变化的分支图(图1)，取b=2.507 1<b0时模型(3)在E(0.686 6,0.686 6)处局部渐进稳定图(图2)以及取b=2.567 1>b0的周期解图(图3)如下所示：图1 随b变化的最大Lyapunov指数图和分支图(τ=1) 图2 b=2.507 1<b0稳定图(τ=1)Fig.1 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation Fig.2 Stability solution map (b=2.507 1 map vs.the parameter b <b0)(τ=1)图3 b=2.567 1>b0周期解图(τ=1) 图4 随b变化的Lyapunov指数图和分支图(τ=2)Fig.3 Period solution map (b=2.5671> b0)(τ=1) Fig.4 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation map vs.the parameter b例2 τ=2时，最大Lyapunov指数图以及取a=0.124 5,b1=3.663 1时，模型(7)对应随b变化的分支图(图4)，b=3.662 6<b1时模型(7)在E(0.727,0.727,0.727)处局部渐进稳定图(图5)以及b=2.5671>b1的周期解图(图6).图5 稳定图(b=3.662 6<b1)(τ=2) 图6 周期解图(b=3.7131>b1)(τ=2)Fig.5 Stability solution map (b=3.662 6 <b1)(τ=2) Fig.6 Period solution map (b=3.713 1> b1)(τ=2)4 结论本文应用Jury判据、分支理论及中心流形投影等理论给出了Logistic中立型差分方程解的稳定性及Flip分支的存在性以及稳定性条件.通过数值模拟验证了所得结论的正确性，并且包含了经典Logistic差分模型的结论(当a2=0时).在对方程参数做了细微的改动后，模型的性状发生了巨大的变化进而出现混沌，可知模型的动力学行为的复杂性.参考文献:【相关文献】[1] 陈兰荪，宋新宇，路征一.数学生态学模型与研究方法[M].成都:四川科学技术出版社,2008.[2] CUSHING J M.Integrodifferential equations and delay models in populationdynamics[M].New York:Springer-Verlag,1977.[3] MURRAY J D.Mathematical Biology[M].New York:Springer-Verlag,1989.[4] OKUBO A.Diffusion and ecological problems:mathematical models[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.[5] WRIGHT E M.A nonlinear difference-differential equation[J].J.Reine Angew.Math,1955 (194):66-87.[6] SMITH F E.Population dynamics in Daphnia magna and a new model for population growth[J].Ecology,1963 (44):651-663.[7] GOPALSAMY K,ZHANG B G.On a neutral logistic equation [J].Dynamics and Stability of Systems，1988 (2):183-195.[8] FREEDMAN H I,Kuang Y.Stability switches in linear scalar neutral delayequations[J].Funkcialaj Ekvacioj，1991 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一类变分问题的最优性理论
一类变分问题的最优性理论
高淑萍;伍小林
【期刊名称】《西安电子科技大学学报》
【年(卷),期】1994(021)002
【摘要】文中引入了一类广义不变凸函数，对一类变分问题给出了最优解的充分性条件以及对偶理论。
【总页数】6页(P242-247)
【作者】高淑萍;伍小林
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O224
【相关文献】
1.一类广义凸多目标规划的最优性条件及对偶理论 [J], 叶提芳
2.一类η-凸多目标规划的最优性必要条件和对偶理论 [J], 李明光;邓声南
3.第二基本型的一类幂函数型泛函的变分问题 [J], 刘进
4.一类具有临界指数增长的分数阶p-Laplace方程的变分问题 [J], 李娜; 贺小明
5.多目标分式变分问题的最优性条件 [J], 曹志刚;尹玉枝
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差分方程的特征方程
差分方程的特征方程差分方程是描述离散时域系统的数学模型，与连续时域系统的微分方程相对应。
特征方程是差分方程解的重要性质之一，它描述了解的增长和衰减的特性。
在本文中，我们将讨论差分方程的特征方程及其相关概念。
首先，我们考虑一个一阶线性时不变差分方程的常系数形式：\[a_ny(n+1)+b_ny(n)=0\]其中，\(y(n)\)是未知的离散函数，\(a_n\)和\(b_n\)是系数。
我们可以使用推导的方式将差分方程转化为差分方程的特征方程。
假设\(y(n)\)有形式\(y(n)=r^n\)的解，其中\(r\)是常数。
我们可以将\(y(n)\)代入差分方程，得到：\[a_nr^{n+1}+b_nr^n=0\]进一步整理得到特征方程：\[a_nr+b_n=0\]这是一个关于\(r\)的代数方程，称之为差分方程的特征方程。
解特征方程得到的根\(r\)被称为特征根。
特征根的性质和其对应的解有关。
特征根可以是复数，实数或复共轭对。
特征根的实部和虚部确定了解的增长和衰减的特性。
当特征根是实数时，其符号决定了解的增长和衰减的特性。
如果特征根是正实数，解将增长；如果特征根是负实数，解将衰减。
这与连续时域系统中微分方程的特征根的性质类似。
当特征根是复数时，解会出现振荡。
具体地说，如果特征根具有非零的实部和虚部，解将是指数形式的正弦和余弦函数的组合。
特征根的实部决定振荡的频率，虚部决定振荡的阻尼。
特征根的模长决定了振荡的衰减速度。
特征方程的解对于理解离散系统的稳定性和动态特性至关重要。
如果特征根的模长小于1，则解是稳定的，系统在长时间内将趋于平稳。
如果特征根的模长大于1，则解是不稳定的，系统将出现增长或振荡。
特征根的模长等于1时，解是边界稳定的，系统在长时间内将保持在一些稳定状态。
特征方程的解可以通过求根公式来获得。
对于一般的二阶线性差分方程，特征方程为：\[a_nr^2+b_nr+c_n=0\]我们可以使用一般的求根公式来计算特征根的解。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论试题与答案《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A 的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。