棱柱、棱锥和棱台的结构特征
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课件5：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第2课时）
(2)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 _三__棱__锥___、_四__棱__锥___、_五__棱__锥___、……. (3)棱锥的底面是__正__多__边__形___，_它__的__顶__点__又__在__过__底__面__正___ _多__边__形__中__心__与__底__面__垂__直__的__直__线__上___，则这样的棱锥叫做正棱锥． 正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些三角形底边上的高都 相等，叫做棱锥的__斜__高____．
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 第2课时 棱锥和棱台
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1．棱锥 (1)棱锥是__有__一__个__面__是__多__边__形__，__其__余__各__面__都__是__有__一__个____ __公__共__顶__点__的__三__角__形___，这样的一些面所围成的几何体． 棱锥中，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的____侧__面______；各 侧面的公共顶点叫做棱锥的___顶__点___；相邻两侧面的公共边叫做 棱锥的___侧__棱___；多边形的面叫做棱锥的__底__面____；顶点到底面 的距离叫做棱锥的___高_____．
[解] 如图，设 PO 是正三棱锥 P－ABC 的高，D 是 BC 的中点， 连接 PD、OB、OD，则 PO⊥OB，PO⊥OD，PD⊥BC，则 PD 为正三棱锥的斜高．
在等边△ABC
中，OB＝23×
23×4＝4
3
3，OD＝12OB＝2
3
3 .
在 Rt△POD 中，PD＝ PO2＋OD2
＝
(
3)2＋(2 3 3)2＝
2．棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截，底面与截面间的部分叫做 ___棱__台___． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_下__底__面___和_上__底__面___， 其他各面叫做棱台的__侧__面____；相邻两侧面的公共边叫做棱 台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的___高_____． (2)由正棱锥截得的棱台叫做__正__棱__台__，正棱台各侧面都是全 等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的___斜__高___． (3)棱台可用表示上、下底面的字母来命名．
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱锥也用表示顶 点和底面各顶点 的字母表示,左图 可表示为棱锥 S -ABCD
第1课时
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棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
续表 名 称 结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱 台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱 台的下底面、上底面.棱台也有侧面、 侧棱、顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱 锥……截得的棱台分别叫做三棱台、 四棱台、五棱台…… 图形 表示 棱台与棱柱 的表示一样, 左图棱台可 表示为棱台 ABCD A'B'C'D'
第1课时
问题导学
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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KEQIAN YUXI DAOXUE
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KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
例 3(1)请画出如图所示的几何体的表面展开图.
(2)根据下面所给的平面图形,画出立体图形.
思路分析:由题意首先弄清几何体的侧面各是什么形状 ,然后再通 过空间想象或动手实践进行展开或折叠.
第1课时
问题导学
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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三、简单几何体的表面展开与折叠问题
活动与探究 棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是什么形状? 提示:棱柱的侧面展开图是多个平行四边形相连,棱锥的侧面展开 图是多个共顶点的三角形相连,棱台的侧面展开图是多个梯形相连.
第一章
空间几何体
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
A
B
侧面与底面的公共顶点. 底面
C顶 点
棱柱的结构特征
棱柱的分类 1、按侧棱与底面是否垂直可分为： 1） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。
2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。
3） 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱 柱。
2、按底面的边数分为：
棱柱的底面可以是三角形、四边形、 五边形、……
把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱、……
长方体：侧面和底面都是矩形的棱柱. 正方体：侧面和底面都是正方形的棱柱.
1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
棱锥结构特征
有一个面是多
边形，其余各面都
是有一个公共顶点
的三角形。
侧棱
A
顶点 S
侧面
D
C
底面
B
棱锥的结构特征
1.棱锥的概念：
一般地，有一个面是 多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三角 形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥.
四棱锥
五棱锥
棱柱 棱锥 棱台
棱台结构特征
用一个平行于棱
D’
锥底面的平面去截棱
D
锥,底面与截面之间 A’
的部分是棱台.
A
C’
B’
C
B
棱台的结构特征
1.棱台的概念：
棱台的底面：
原棱锥的底面和截
面分别叫做棱台的下底
面和上底面。
侧
棱
上底面
侧 面
下底面 顶 点
棱台的结构特征
1.棱台的概念：
用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥，底 面与截面之间的部分， 这样的多面体叫做棱台.
图形
相关 概念
面：围成多面体的各个
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
C
棱锥的底面
思考：你能将下面的棱锥分类吗？
三棱锥
四棱锥
五棱锥
六棱锥
探究3：棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？
答：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是 三角形，且各个三角形有公共顶点．
多面体３——棱台
棱台的定义： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面 之间的部分叫做棱台。
A1
D1 B1C1
D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
观察下面的棱柱的区别，你能将它们分类吗？
根据底面分：底面是三角形、四边形、五边 形……的棱柱 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… E’
A’
D’
C’
B’
E D
A BC
思考：倾斜后的几何体还是棱柱吗？ 它和原来的棱柱有什么区别呢？
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体1——棱柱
1.棱柱的概念: 一个多面体有两个面 互相平行，其余各面
都是四边形 ，每相邻两个四边形的公共边
都 互相平行 ，这样的多面体叫做 棱柱
2.棱柱各部分名称
底面 侧面 侧棱
顶点
3.棱柱的表示 可以用两底面多边形的字母表示棱柱, 如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
E’ F’ A’
D’
C’ B’
E
F A
D C
B
侧棱不
垂直于 底面
斜棱柱
棱柱
侧棱垂直 于底面
直棱柱
探究1：棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面 是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样 的？
棱锥的底面
思考：你能将下面的棱锥分类吗？
三棱锥
四棱锥
五棱锥
六棱锥
探究3：棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？
答：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是 三角形，且各个三角形有公共顶点．
多面体３——棱台
棱台的定义： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面 之间的部分叫做棱台。
A1
D1 B1C1
D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
观察下面的棱柱的区别，你能将它们分类吗？
根据底面分：底面是三角形、四边形、五边 形……的棱柱 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… E’
A’
D’
C’
B’
E D
A BC
思考：倾斜后的几何体还是棱柱吗？ 它和原来的棱柱有什么区别呢？
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体1——棱柱
1.棱柱的概念: 一个多面体有两个面 互相平行，其余各面
都是四边形 ，每相邻两个四边形的公共边
都 互相平行 ，这样的多面体叫做 棱柱
2.棱柱各部分名称
底面 侧面 侧棱
顶点
3.棱柱的表示 可以用两底面多边形的字母表示棱柱, 如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
E’ F’ A’
D’
C’ B’
E
F A
D C
B
侧棱不
垂直于 底面
斜棱柱
棱柱
侧棱垂直 于底面
直棱柱
探究1：棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面 是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样 的？
课件10：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[规律方法] 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些
说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点
延长后相交于一点
[跟踪训练] 2．如图 1-1-2 所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是 ( )
【答案】C 【解析】对于 A、B、D，显然是正确的；对于 C，棱柱的 定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成 的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱． 如图所示的几何体就不是棱柱，所以 C 错误．
【答案】(1)B (2)②③ 【解析】(1)剩余部分为四棱锥，选 B. (2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截 棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④错误，如图所示，四棱锥被平面 PAC 截成的两部分都是棱锥．
A．①是棱台 C．③是棱锥
B．②是圆台 D．④不是棱柱
【答案】C 【解析】图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形， 所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③中的几何体是棱锥．图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行 四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选 C.
(2)如图 1-1-4 是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课件
第一章
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
温故知新 在初中，我们学习了一些平面几何知识，了解了三角形、 四边形、圆等一些平面图形的性质，也直观地认识了一些简单 的几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等，在此基础 上你能用六根火柴首尾相连最多拼成几个全等的等边三角 形？(提示：若你能在空间中思考这个问题，就会知道答案 4 个)
基础巩固训练
1．下列物体不．能．抽象成旋转体的是( )
A．篮球
B．日光灯管
C．电线杆
D．国家游泳馆水立方
[答案] D
[解析] 水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日 光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．
2．棱柱的侧棱( ) A．相交于一点 B．平行但不相等 C．平行且相等 D．可能平行也可能相交于一点
[答案] C
3．八棱锥的侧面个数是( )
A．8
B．9
C．10
D．11
[答案] A
4．棱台不一定具有的性质是( ) A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
[答案] C
5．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱
B．棱锥
C．棱台
D．长方体
[答案] B
[解析] 棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平 行，所以不可能是棱锥．
有关 ；其他各面叫做棱台的 侧面 ；相邻侧面的公共边 叫 概念 做棱台的侧棱；底面与 侧面 的公共顶点叫做棱台的
顶点
图形
表示 用表示底面各顶点的 字母 表示棱台，如上图 法 中的棱台可记为棱台 ABCD－A′B′C′D′
按底面多边形的 边数 分为三棱台、四棱台、 分类
五棱台……
[破疑点]判断几何体是不是棱台，就是看它是否符合棱台 的定义，其中关键的一点就是各条侧棱延长后必须交于一 点．棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫 做棱台．所以把一个棱台的各条侧棱延长后就会还原为原来 的棱锥，即交于一点．同时，这里必须注意的一个词是“平 行于底面的平面”，否则，虽然各侧棱延长交于一点，但也 不是棱台．
课件9：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
题型二：简单几何体中的计算问题 [典例] 正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 3，求正三棱锥的高．
[解] 作出正三棱锥如图，SO 为其高，连接 AO，作 OD⊥AB 于 点 D，则点 D 为 AB 的中点． 在 Rt△ADO 中，AD＝32，∠OAD＝30°，
3 故 AO＝cos∠2OAD＝ 3. 在 Rt△SAO 中，SA＝2 3，AO＝ 3， 故 SO＝ SA2－AO2＝3，其高为 3.
延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．
A．①
B．②
C．③
D．④
(2)下列命题：
①各侧面为矩形的棱柱是长方体；②直四棱柱是长方体；
③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱
柱．其中正确的是________(填序号)．
[解析] (1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故 ①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧 棱的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点故④错误． (2)①中一定为直棱柱但不一定是长方体；②直四棱柱的底面可以是任意的四 边形不一定是矩形；③符合直棱柱的定义；④中的棱柱为一般直棱柱，它的 底面不一定为正方形． [答案] (1) C (2) ③
(3) 凸 多 面 体 ： 把 一 个 多 面 体 的 任 意 一 个 面 延 展 为 平 面 ， 如 果 其 余 的 各
面 都在这个平面的同一侧 ，则这样的多面体就叫做凸多面体．
2．棱柱、棱锥、棱台
名称
棱柱
棱锥
棱台
定义
条件：①有两个
互相平行 的面；
条件：①有一个 棱锥被 平行于
面是 多边形 ；
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(二)棱柱,棱锥,棱台 棱柱,棱锥,
1.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四 .棱柱:有两个面互相平行, 边形, 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行, 平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
顶点 侧面 底面
用表示底面各顶点表示棱柱. 用表示底面各顶点表示棱柱.
侧棱 按底面多边形的边数分为三棱柱,四棱柱,五棱柱… 按底面多边形的边数分为三棱柱,四棱柱,五棱柱
3.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分叫做棱台. 底面与截面之间的部分叫做棱台.
上底面
棱台用表示底 面各顶点的字 母表示. 母表示.
按底面多边形的边 数为三棱台, 数为三棱台,四棱 五棱台…. 台,五棱台
下底面
棱柱,棱锥, 棱柱,棱锥,棱台的结构特征比较
上底面
下底面Biblioteka 棱台和圆台统称为台体. 棱台和圆台统称为台体. 台体
球的结构特征
球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆 以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 面旋转一周形成的几何体叫做球体 球体. 面旋转一周形成的几何体叫做球体.
球心
A
直径
O
C
大圆
B
圆柱,圆锥,圆台, 圆柱,圆锥,圆台,球的结构特征比较
问题2 与其他多面体相比,图片中的多面体 问题2:与其他多面体相比,图片中的多面体(14), , (15)有什么样的共同特征? 有什么样的共同特征? 有什么样的共同特征
思考:长方体被截去一部分, 思考:长方体被截去一部分,剩下的部分 是棱柱吗? 是棱柱吗?
A D E H G C F B
2.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都 .棱锥:有一个面是多边形, 是有一个公共顶点的三角形, 是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围 成的几何体叫做棱锥.
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20
例2．已知集合 A={正方体}，B={长方体}， C={正四棱柱}，D={平行六面体}，E={四 棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）
B
（A） A B C F D E
（B） A C B F D E
（C） C A B D F E
（D）它们之间不都存在包含关系
余各面都是平行四边形，
但不满足“每相邻两个
面的公共边互相平行”，
所以它不是棱柱。
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14
3．棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等（见图）
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15
（2）按侧棱与底面的关系分类： 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱； 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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19
解：①不正确。 除底面是矩形外还应满足侧 棱与底面垂直才是长方体。
②不正确。 当底面是菱形时就不是正方体。
③不正确。 是两条侧棱垂直于底面一边而非 垂直于底面，故不一定是直平行六面体。
④正确。 因为对角线相等的平行四边形是矩 形，由此可以推测此时的平行六面体是直平 行六面体。 故而选A.
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5
3．多面体的分类： （1）按照多面体是否在任一面的同一侧 分为凸多面体和凹多面体； （2）按照围成多面体的面的个数分为四 面体、五面体、六面体等。
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6
一、 观察下列几何体并思考：具备哪 些性质的几何体叫做棱柱?
D1
C1
A1
B1
A1
C1 B1
A1 B1
E1 D1 C1
D A
如果多边形水平放置，则移动后的多边 形也水平放置。
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12
② 棱柱的主要结构特征： 1）两个底面互相平行； 2）其余每相邻两个面的交线互相平行， 各侧面是平行四边形。
Байду номын сангаас
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13
③ 但是注意“ 有两个面
互相平行，其余各面都 是平行四边 形”的几何 体未必是棱柱。
如图所示的几何体虽有
两个平面互相平行，其
C BA
C A
BB
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E D
C
7
二. 棱柱及相关概念
1．定义：
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点
侧面
底面
侧棱
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8
2．相关概念： （1）棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱 的底面，简称底； （2）其余各面叫做棱柱的侧面； （3）两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点；
（3）棱和棱的公共点
叫做多面体的顶点；
（4）连接不在同一个面上的两个顶点的
线段叫做多面体的对角线；
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4
（5）凸、凹多面体：把一个多面体的任 意一个面延展为平面，如果其余各面都在 这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫 做凸多面体，其他的多面体叫做凹多面体； （6）截面：一个几何体和一个平面相交 所得到的平面图形（包括它的内部），叫 做这个几何体的截面；
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9
底面
侧面 侧棱 顶点
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10
（5）棱柱中不在同一面上的两个顶点的 连线叫做棱柱的对角线 ； （6）棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱 的高。
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11
如何理解棱柱？
① 从运动的观点来看，棱柱可以看成是 一个多边形（包括图形围成的平面部分） 上各点都沿着同一个方向移动相同的距离 所经过的空间部分。
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
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25
3．一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证 它是直棱柱的是（ A ）
（A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）五棱柱 （D）六棱柱
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26
4．六棱柱有 9 条对角线.
5．一个无盖的正方体盒
子展开后的平面图形如
图所示，A，B，C是展 开图上的三点，同在正
方体盒子中，∠ABC的
A
则 EF2+EG2=a2+b2+a2+c2>FG2.
C1 G
B1 C
F
B
由余弦定理得∠FEG是锐角。
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23
练习题：
1．下面没有体对角线的一种几何体是 （ A）
（A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）五棱柱 （D）六棱柱
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24
2．用一个平面去截正方体，截面多边形
的边数不可能是（ D ）
大小是 60°
。
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27
6．若两个长方体的长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm，把它们两个相等的面 重合在一起组成一个大长方体，则大长
方体的对角线最长为 5 5 .
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28
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台 的结构特征（一）
第四高中
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1
一．多面体及相关概念
1．多面体：多面体是由若干个平面多边 形所围成的几何体，如下图中的几何体 都是多面体.
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2
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3
2．相关概念：
（1）围成多面体的各个
多边形叫做多面体的面；
（2）相邻两个面的公共
边叫做多面体的棱；
直平行六面体；
（3）底面是矩形的直平行六面体叫做长
方体；
（4）棱长都相等的长方体叫做正方体.
可编辑ppt
18
例1．设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有 两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面 体是直平行六面体；④对角线相等的平 行六面体是直平行六面体。以上四个命 题中，真命题的个数是（ A ）
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16
4．棱柱的表示：
（1）用表示各顶点的字母表示棱柱：
如棱柱ABCD－A1B1C1D1； （2）用一条对角线端点的两个字母来
表示，如棱柱AC1.
D1
C1
A1 D
B1 C
A
可编辑ppt
B
17
5．特殊的四棱柱：
（1）底面是平行四边形的棱柱叫做平行
六面体；
（2）侧棱与底面垂直的平行六面体叫做
可编辑ppt
21
几种四棱柱（六面体）的关系：
底面是 平行四边形
侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是 矩形
长方体
底面为 正方形
侧棱与底面 边长相等
正四棱柱
可编辑ppt
正方体
22
例3. 将长方体截去一角，
D1
求证：截面是锐角三角形。
提示：设B1E=a，
E A1
D
B1F=b，B1G=c，