高中数学必修1映射

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北师大版高中数学必修一学第二章映射讲解与例题

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。

人教版高中数学必修一教案：映射的概念

映射的概念1、映射的概念：设A,B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，使对于-______________________，在B 中都有 ______________________，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的 _______，记作_______2、对应与映射，映射与函数的关系_______ 二、例题分析：例1、如图所示的对应中，哪些是A 到B 的映射？例2、在下列集合A 到集合B 的对应中是映射的是（）A:*N B A ==,对应法则：|3|:-→x x fB:}1,0{,==B R A ，对应法则：⎩⎨⎧<≥→)0(0)0(1:x x x f C:R B A ==，对应法则：x x f ±→: D:Q B Z A ==,，对应法则：:f 取倒数例3、已知映射},|),{(,:R y R x y x B A B A f ∈∈==→，:f A 中的元素),(y x 对应B 中的元素为)134,123(-++-y x y xa 1a 2 a 3 a 4b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 a 2 a 1 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4a 2a 1b 1 b 2 b 3 b 4 a 2a 1b 1 b 2a 2 a 1 a 3 a 4b 1 b 2(1) (2)(3)(4)(5) (6)求A 中元素(1,2)与B 中的哪个元素对应？ A 中哪些元素与B 中元素（1,2）对应？例4、①集合{1,2,3,4},{5,6}A B ==，则A 到B 的不同映射有_______个。

②集合}1,0,1{},,,{-==N c b a M ，映射NM f →:满足0)()()(=++c f b f a f ，那么映射N M f →:的个数是_______个。

练习若B={-1，3，5}，试找出一个集合A ，使得:21f x x →-是A 到B 的映射。

湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1

预习测评
1．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_．在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
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高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数在上是减函数,则的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称指数函数对数函数一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点０,1 1,０图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称；函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

高中数学 2.2.3《映射》双基达标+综合提高北师大版必修1

高中数学北师大版必修一：2.2.3《映射》双基达标+综合提高1．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x解析选项C 中，集合M 中元素6没有像，不是映射．答案 C2．已知集合A ＝N ＋，B ＝{a |a ＝2n －1，n ∈Z }，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是( )． A ．3 B ．5 C ．17 D ．9解析利用对应法则转化为解方程．由题意，得2a －1＝17，解得a ＝9. 答案 D3．定义在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则y ＝f (x ＋1)的值域为( )． A ．[a ，b ]B ．[a ＋1，b ＋1]C ．[a －1，b －1]D ．无法确定解析将函数y ＝f (x )的图像向左平移一个单位得函数y ＝f (x ＋1)的图像，由于定义域均是R ，则这两个函数图像上点的纵坐标的取值范围相同，所以y ＝f (x ＋1)的值域也是[a ，b ]．故选择A. 答案 A4．设集合A 和B 都是自然数集，映射f ：A →B 把A 中的元素n 映射到B 中的元素2n＋n ，则在映射f 下，A 中的元素________对应B 中的元素3.解析对应法则为f ：n →2n ＋n ，根据题意2n＋n ＝3，可得n ＝1. 答案 15．已知：A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，从A 到B 建立映射f ，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射共有________个．解析 ∵B ＝{1,2}，f (a )＋f (b )＋f (c )＝4， ∴f (a )，f (b )，f (c )当中有一个取2，另两个取1. ∴只有3种对应方法．答案 36．A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x 、y ∈R }，f ：A →B ，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)． (1)求A 中元素2的像；(2)B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原像．解 (1)x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3， ∴2的像是(2＋1,3)．(2)设B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原像为x ，则⎩⎪⎨⎪⎧32＝x ＋1，54＝x 2＋1，得x ＝12.∴B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原像为12. 综合提高限时25分钟7．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )． A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法则是x →y ＝1＋x1－x解析判断映射方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受f 作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多的对应；C 命题中的元素0没有像；D 命题集合S 中的元素1也无像．答案 A8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)：表1 映射f 的对应法则原像 1 2 3 4 像3421表2 映射g 的对应法则原像 1 2 3 4 像4312则与f [g (1)]相同的是( )A ．g [f (1)] B ．g [f (2)] C ．g [f (3)] D ．g [f (4)]解析 f (a )表示在对应法则f 下a 对应的像，g (a )表示在对应法则g 下a 对应的像．由表1和表2，得f [g (1)]＝f (4)＝1，g [f (1)]＝g (3)＝1，g [f (2)]＝g (4)＝2，g [f (3)]＝g (2)＝3，g [f (4)]＝g (1)＝4，则有f [g (1)]＝g [f (1)]＝1.答案 A9．已知集合M ＝{a ，b ，c ，d }，P ＝{x ，y ，z }，则从M 到P 能建立不同映射的个数是________．解析集合M 中有4个元素，集合P 中有3个元素，则从M 到P 能建立34＝81个不同的映射．答案 8110．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．答案 (7,12) (－2,3)或(3，－2)11．已知集合A ＝{1,2,3，k}，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，求a 及k 的值．解 ∵B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，∴A 中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a 4＝10或a 2＋3a ＝10. ∵a ∈N ，∴由a 2＋3a ＝10，得a ＝2. ∵k 的像是a 4，∴3k ＋1＝16，得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.12．(创新拓展)已知集合A ＝{x |(x －1)(x 2＋3x －4)＝0}，集合B ＝{a ，a ＋5，a 2－2a －5}，映射f ：A →B 是“加2”，求实数a 的值，并判断映射f ：A →B 是不是一一映射？解 ∵(x －1)(x 2＋3x －4)＝0，∴x 1＝x 2＝1，x 3＝－4， ∴集合A ＝{1，－4}，∵映射f ：A →B 是“加2”， ∴1＋2＝3∈B ，－4＋2＝－2∈B .①当a ＝3时，a ＋5＝8，a 2－2a －5＝－2， ∴B ＝{3，－2,8}．此时8无原像，∴f ：A →B 不是一一映射． ②当a ＝－2时，a ＋5＝3，a 2－2a －5＝3. ∴B ＝{－2,3}，与B 有三个元素矛盾，∴a ≠－2. ③当a ＋5＝－2时，a ＝－7，a 2－2a －5＝58， ∴B ＝{7，－2,58}，与3∈B 矛盾，∴a ≠－7. ④当a 2－2a －5＝－2时，a 1＝3，a 2＝－1.当a＝3时，B＝{3，－2,8}；当a＝－1时，a＋5＝4，B＝{－2，－1,4}，与3∈B矛盾，则a≠－1. ∴a＝3，B＝{－2,3,8}，映射f：A→B不是一一映射．。

人教版高中数学必修1：1.2.2《映射》课件【精品课件】

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思考3:下图中的对应是不是映射？为什么？
A
图1
B
A
图2
B
思考4:在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？
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知识探究（二）
思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？
思考2:映射有哪几种对应形式？
一对一，多对一思考3:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.
高一年级
第一章 1.2.2 课题:
数学
函数的表示法映射
1
问题提出
1.设集合A={x|x是正方形}，B={y|y>0},对应关系f：正方形→面积，那么从集合A到集合B的对应是否是函数？为什么？ 2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？
2
知识探究（一）
考察下列两个对应：
A 图1
B
A
图2
B
思考1:上素和它对应.
3
思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射. 其中集合A中的元素x称为原象，在集合B 中与x对应的元素y称为象.
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例3 下列对应关系f是否为从集合A到集合B的函数？
(1) A R, B { y | y 0}, f : x | x |; (2) A R, B R, f : x x ;
2
(3) A Z , B R, f : x x ; (4) A Z , B Z , f : x x 3.

湘教版高中数学必修一课件1.2.1对应、映射和函数

课堂讲义
• 要点三映射的个数问题 • 例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A
到集合B的所有不同的映射有多少个？
解分两类考虑： (1)集合 A 中的两个元素都对应 B 中相同元素的映射有 3 个．
课堂讲义
(2)集合 A 中的两个元素对应 B 中不同元素的映射有 6 个．
∴A 到 B 的映射共有 9 个．
• (2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映
解射(1f)的可以个建数立．以下 8 个不同的映射：
课堂讲义
(2)符合要求的映射 f 有以下 3 个：
课堂讲义
要点四函数的概念例 4 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )
有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象．
课堂讲义
• 规律方法 1.解答此类问题的关键是： • (1)分清原象和象； • (2)搞清楚由原象到象的对应法则； • 2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法
则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．
60°相对应的 B 中的元素是________，与 B 中元素
2 2
相对应的 A 中的元素是________．
答案
(1)D
3 (2) 2
45°
课堂讲义
解析 (1)由映射定义知，B 中至少有元素 1,2,3,4，即 B 中至少有 4 个元素，选 D. (2)60°角的正弦等于 23，45°角的正弦等于 22，所以 60°的象是 23， 22的原象是 45°.
都有 2 个 y 值与之对应，不是函数，C 项中由于 x－2≥0 且 1

高中数学第2章函数2.3映射的概念课件苏教版必修1

(1)A=B=N*,f:x→|x-3|; (2)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},f:x→(x-1)2;
(3)A=B=R,f:x→±x;
(4)A={x|x是三角形},B=R,f:x→x的面积.
典例导学即时检测一二三
解(1)对于集合A中的元素3,在f作用下得0∉B,即3在集合B中没有对应元素,所以不是映射.
(4)是映射,也是函数.因为当x≥2时,x-3≥-1,而y=x2-4x+3=(x-2)21≥-1,所以对集合A中每一个元素,在集合B中都有唯一元素与之对应.A,B是非空数集,所以该对应既是映射,又是函数.
典例导学即时检测一二三
判断下列对应关系,哪些是集合A到B的映射,哪些不是?为什么? (导学号51790059)
(2)在f作用下,集合A中的0,1,2,9分别对应到集合B中的1,0,1,64,所以是映射.
(3)对于集合A中元素1,在f作用下得±1,该对应是“一对多”,故不是
映射. (4)对于集合A中的每一个三角形,在f作用下,都有唯一的一个面
积相对应,所以是映射.
典例导学即时检测一二三
映射的判断要严格按照定义,映射定义包括如下性质:①方
典例导学即时检测一二三
解(1)是映射,也是函数.因为集合A中的每一个元素在集合B中都能找到唯一的元素与之对应.又A、B均为非空数集,所以该映射是函数.
(2)不是集合A到B的映射,更不是函数,因为集合A中元素0,在集合 B中无对应元素.
(3)不是集合A到B的映射,也不是函数,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任一元素,在集合B中都有两个元素与之对应,所以不是映射.
�� + �� = 2,解得 �� = 3,

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质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={ P | P 是数轴上的点}，B=R，对应关系 f
：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P 是平面直角坐标中的点}， B (x, y) | xR, y R,
对应关系 f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
900
3
2
1
（2） A 乘以2 B
1 －1
2 －2
1 4 9
3
－3
（3）1Βιβλιοθήκη 1223
3
4
5
6
（4）
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课堂小结：
提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一” 或“多对一”的对应形式．
知识应用
1. 已知集合A＝{x│x≠0，x∈R}，B＝R，对应法则是“取负倒数” (1) 画图表示从集合A到集合B的对应（在集合A中任取四个元素）； (2) 判断这个对应是否为从集合A到集合B的映射；是否为一一映射？ (3) 元素－2的象是什么？－3的原象是什么？ (4) 能不能构成以集合B到集合A的映射？
a＝2 , k＝5
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问题探究
.判断下列对应是否Ａ到Ｂ的映射和一一映射？
(1) A R, B R , x A, f : x | x | (2) A N , B N , x A, f : x | x 1 | (3) A {x | x 2, x Z}, B {y | y 0, y N} x A, f : x y x2 2x 2 (4) A [1,2], B [a,b](a b), x A f : x y (b a)x 2a b
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知识应用
2. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)， (1)求点（２，３）在映射f下的像；
（２）求点(4，6)在映射f下的原象.
(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）
3.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a}, 其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1 与A中元素x对应，求a及k的值.
集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是：集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其对应的平方数.
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三个对应的共同特点：
（１）第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素；
（２）对于第一个集合中的每一个元素在
第二个集合中的对应元素是唯一的.
映射的概念
两个集合Ａ与Ｂ间存在着对应关系，而且对于Ａ中的每一个元素x，Ｂ中总有唯一的一个元素 y与它对应，就称这种对应为从Ａ到Ｂ的映射，
Ａ中的元素x称为原像，Ｂ中的对应元素y称为x的像，
记作
f:x y
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思考交流
１.Ｐ３７练习１
2.函数与映射有什么区别和联系？
结论：1.函数是一种特殊的映射; ２.两个集合中的元素类型有区别; ３.对应的要求有区别.
一一映射：是一种特殊的映射
1.Ａ中的不同元素的像也不同
2.Ｂ中的每一个元素都有原像
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二．教学重点：映射的概念教学难点：映
射的概念. 三．学法与教学方法:1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学方法：探究交流法。 2
四．教学过程
实例分析
❖ １.集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班
同学的姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个同学在集合Ｂ中都有一个属于自己的姓. •２.集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝，Ｂ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关系是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合Ｂ中都有一个首都与它对应. •３.设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝，
高中数学必修1
法门高中姚连省制作
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一．教学目标：1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
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作业：Ｐ３3，1,2 教学反思：
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（3）Af ={三角形}，B= {x | x是圆}, 对应关系 f
：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={ x | x 是新华中学的班级}，B x | x是新华中学的学生,
f 对应关系：每一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系 f 改为：每一个圆都对应它的
f 内接三角形；（4）中的对应关系
改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应
：B→A是从集合B到集合A的映射吗？ 9
例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？
A开平方B
A 求正弦 B
3
－
9
3
4
2
1
－
2
1
－
（1）1
A 求平方 B
1
2
300
2
450 600
2