探究斐波那契数列
有关斐波那契数列及性质的研究
有关斐波那契数列及性质的研究斐波那契数列是一个非常经典的数列，起源于意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci）。
该数列定义如下：第一个元素是0，第二个元素是1，从第三个元素开始，每个元素都是前两个元素的和。
因此，斐波那契数列的前几个元素是0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144...斐波那契数列拥有独特的性质和应用。
以下是对斐波那契数列的几个方面进行研究的一些基本信息：1.数列性质：-递推关系：斐波那契数列的第n个元素可以通过前两个相邻元素相加得到，即Fn=Fn-1+Fn-2-比值性质：斐波那契数列中，除第一个元素外，每个元素与它前一个元素的比值逐渐趋近于黄金比例（约为1.618）。
-近似性质：斐波那契数列中，每个元素的平方近似等于它前一个元素与后一个元素的乘积减一，即Fn^2≈Fn-1*Fn+1-1-整数性质：斐波那契数列中的每个元素都是整数。
2.应用领域：-自然界：斐波那契数列在自然界中广泛存在，如植物叶子的排列、树干的分支形态、蜂巢的形状等。
-数学问题：斐波那契数列可以用于解决一些数学问题，如兔子繁殖问题、解线性递推关系等。
-金融领域：斐波那契数列与黄金比例的关系应用于金融分析和投资策略，如股票价格波动、期权定价等。
-计算机算法：斐波那契数列的性质经常被用在算法设计中，如递归算法、动态规划等。
3.推广形式：-斐波那契数列可以推广为矩阵形式，以矩阵的乘法运算来计算斐波那契数列的第n个元素。
-斐波那契数列还可以推广为多项式形式，通过多项式的运算来计算斐波那契数列的第n个元素。
4.斐波那契数列的扩展：- Lucas数列：Lucas数列与斐波那契数列非常相似，只是起始元素不同，第一个元素为2而不是0。
-线性递推数列：斐波那契数列是最简单的线性递推数列，其他线性递推数列也有类似的性质和应用。
总之，斐波那契数列作为一个经典的数列，不仅有着独特的数学性质，还广泛应用于生物学、数学、金融和计算机科学等领域。
斐波那契数列的6大结论
斐波那契数列的6大结论斐波那契数列，这个名字听起来就像是数学界的魔法。
没错，斐波那契数列的魅力就在于它看似简单，却藏着无尽的奥秘。
今天咱们就来聊聊这条神秘的数字之路，顺便带点幽默，轻松一下。
1. 斐波那契数列是什么？1.1 说白了，斐波那契数列就是这样一串数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21，依此类推。
你可能会问，这数字有什么了不起的？其实，这串数字的产生规则非常简单：前两个数相加，得到下一个数。
就像做饭，先放盐再放胡椒，最后成了一道美味的菜。
1.2 你看，这数列不光是数学家们的心头好，艺术家、建筑师也爱得不得了。
比如，著名的“黄金比例”就跟它有千丝万缕的联系。
可以说，斐波那契数列就像是宇宙的乐谱，处处都能听到它的旋律。
2. 自然界的魅力2.1 斐波那契数列在自然界中无处不在，这可不是我随便说说。
你注意过向日葵的花瓣吗？它们的排列方式就遵循这个数列，真是神奇得让人赞叹不已。
就像大自然的设计师，精心安排了一切。
2.2 除了花瓣，松果、贝壳甚至是一些水果的种子分布也都跟斐波那契数列有关。
这让人不禁想，难道自然界也在暗自欣赏这串数字的美妙？就像人们欣赏一幅完美的画作，心里忍不住咯噔一下。
3. 斐波那契与生活3.1 在我们的日常生活中，斐波那契数列其实也无处不在。
比如说，咱们日常见到的许多设计和建筑，往往都运用了这个数列的美学原则。
你看看那些高楼大厦，有的外形简直就是一幅现代艺术画，背后其实都有数学的影子。
3.2 另外，许多经济学模型也利用了斐波那契数列来预测市场走势。
这就像在打麻将，灵活运用每一张牌，才能获得胜利。
数列的神秘力量在这里展露无遗，让人不禁感慨：数字背后藏着多少智慧呀！4. 学习与探索4.1 学习斐波那契数列，简直就像是一场冒险旅行。
起初可能有点不知所措，但随着深入，真的会发现不少惊喜。
就像走进一个藏满宝藏的洞穴，越走越想探索下去。
4.2 斐波那契数列的应用范围广泛，甚至可以帮助我们理解一些复杂的现象。
mathematics数学实验报告
mathematics数学实验报告
实验名称：研究斐波那契数列的性质
实验目的：探究斐波那契数列的性质及其在数学中的应用
实验步骤：
一、研究斐波那契数列的定义和性质
斐波那契数列是指一个由0和1开始的序列，后面的每一项都是前面两项的和。
即：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……
斐波那契数列的性质有：
1.每一项都是前两项的和。
2.每一项都是前一项的约等于1.618倍。
3.重要的黄金比例，相邻两项的比值逐渐趋近于黄金比1.618。
4.斐波那契数列中的某一项和在之后的项中的比例也趋近于黄金比
1.618。
二、探究斐波那契数列的规律及其在数学中的应用
斐波那契数列的规律有：
1.逐位相加，得到的数字都是3的倍数。
2.斐波那契数列从任意两个相邻项开始，其值之比越来越接近黄金分割比例1.618。
斐波那契数列在数学中的应用有：
1.数学中有许多的定理和公式都与斐波那契数列有关。
2.斐波那契数列在生物学和物理学中有一些重要的应用。
实验结论：
斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它具有很多的性质和规律。
在
数学中，斐波那契数列是一个非常重要的数列，它广泛应用于数学、物理、生物学等领域。
在生活中，斐波那契数列也有着相当的应用，比如许多人
用它来设计衣服和首饰，还有人用它来设计花卉和建筑。
总之，斐波那契
数列是一个非常有趣和有用的数列，其应用前景非常广阔。
《斐波那契数列》主题探究教学设计方案讲解
《斐波那契数列》主题探究教学设计方案一、概述本主题为人教课标必修5第二章——《数列》中关于有阅读与思考的内容．本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性．斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质．使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识．二、教学目标分析1．进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题．2．初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识．三、学习者特征分析学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识，能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系：等差或等比关系，能用相关知识解决相应的问题．部分学生有一定的自主学习能力、协作学习能力．但应用意识不强，创新能力不强，因此需要一定的指导．学生具有一定的计算机运用能力，能够通过网络搜索相关资源，能借助计算机解决相应的问题．四、教学策略选择与设计主要采用网络探究，小组协作的方式，在复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用、特征，教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价．五、教学资源与工具设计1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5；2．网络课件；3．斐波那契数列计算器；4．网络型多媒体教室．六、教学过程本主题共需1个课时．具体安排如下：（一）问题引入由学生计算，教师给予相应的指导．如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？提示：每月底兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，50个月后是12586269025 对．这就是著名的斐波那契数列．或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列．你能写出以后的项吗？设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识．（二）数列知识1．数列的起源人们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以及出于对自然数的喜爱．数是刻画静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为数列（sequence of number）．数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存款利息、细胞分裂等问题都与数列有关．在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．他们将数用小石子排列成各种形状，可以排成三角形的小石子数称为三角形数，可以排成正方形的小石子数称为正方形数．三角形数：正方形数：五边形数：每种多边形数均是一个数列．设计意图：让学生对于数列的起源有所了解，便于理解研究数列的意义．2．数列的相关知识让学生快速梳理数列的基本知识：（1）数列的一般形式：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,321n a a a a ，简记为}{n a ．（2）数列的表示方法：（1）列表法；（2）图象法；（3）通项公式法．（3）数列的分类：项数有限无限：⎩⎨⎧无穷数列有穷数列 项数的随序号的变化情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧摆动数列常数列递减数列递增数列（4）数列通项公式：)(n f a n =；主要方法：①观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系．②化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）． ③逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列）．例如：数列}{n a 中，n a a a n n 2,111=-=-，求n a ．④逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）．例如：数列}{n a ，12,111-=÷=-n n a a a n n ，求n a ． ⑤正负相间：利用n )1(-或1)1(--n ．⑥（隔项有零：利用]1)1[(21+-n 或]1)1[(211+--n ．（5）数列求和的主要方法①利用等差或等比的求和公式．②利用通项列项求和．③错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和．④倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导．⑤配对法：适合某些正负相间型的数列．学生思考：若我们分别以n n n P T S ,,来代表下图的正方形数、三角形数及五边形数，你能发现求出通项公式吗？三者的关系呢？（可以借助图形特点）n 个n 个 n 个n 个教师给予适当的指导．提示：由上图我们不难看出：2n S n =． 而2)1(+=n n T n ． 每个正方形数都可以看成两个三角形数的和1-+=n n n T T S ．观察五角形数n 个可以知道1)(32)-(3741)13(]}1)1(3[{)13(11+++⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅=+++-+=++=-+n n ••••••••n n P n p P n n n 即2)13(22)1(3)23(23)23(11-=-+=-=-=-=∑∑==n n n n n •••n T n •••k k P n n k n k n设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题．3．数列与函数的关系让学生回顾．数列可以看成是定义域为正整数集*N （或它的有限子集）的函数．当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数．数列具有函数的一般性质，可以借助数形结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等．设计意图：回顾函数与数列的关系，进一步加深认识研究数列的角度和意义．4．特殊数列让学生填写下列表格：设计意图：对比中学中重要的两个特殊数列：等差数列和等比数列的性质，加深对这两种数列的理解和应用，通过系统比较能更好的理解．（三）斐波那契教师适当的加以介绍，可以在让学生利用互联网收集相关资料．中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭．因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学．成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛．斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究．他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展．他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料．回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）．《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家．继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作．《算经》在当时的影响是相当巨大的．这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作．在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”．斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌．他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏．在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明．书中记载的一个有趣的问题：理想中的兔子繁殖问题，兔子每个月对数就构成了著名的斐波那契数列．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数}{n F ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，...命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用．1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究数列．设计意图：了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神．（四）斐波那契数列特性小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它性质．教师对于各小组的探究过程加以评价．斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……1．通项公式观察斐波那契数列项数之间有什么关系？提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用n F 表示第n 项，则有)3(21≥+=--n ••F F F n n n ．通过递推关系式⎩⎨⎧≥+==--)3(2,1121n ••F F •••••••••n F n n n ，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的．我们必须找到更为科学的计算方法．你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否给予证明？提示：1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n S 25125151，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式．可以利用归纳法证明．网络资源：求斐波那契数列的通项公式．2．项间关系根据下列问题分组探究，写下探究的结果．有能力的学生可以继续研究其他性质．提供斐波那契数列计算器的网页．斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质： （1）问题：观察相邻两项之间有什么关系？ 相邻两项互素，（1,+n n F F ）（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， …第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？ 提示：能够被 2 整除．第4项、第8项、第12项，能够被 3 整除． 第 5项、第 10 项、……的数字，能够被 5 整除． 你还能发现哪些类似的规律？ （3）23211+=++⋅⋅⋅+++n n F F F F F如果你把前五加起来再加 1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加 1，就会得出第八项．那么前 n 项加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 项呢？提示：1 + 1 +2 +3 + 5 + 1 = 13 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一项都是其前两项的和，所以23211+=++⋅⋅⋅+++n n F F F F F（4）如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？1 +2 + 5 = 8 1 + 2 + 5 + 13 = 21 1 + 1 + 3 + 8 = 13 1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 提示：我们可以得到下列的结果：nn F F F F 21231=+⋅⋅⋅++-122421+=+⋅⋅⋅+++n n F F F F你是否能给出证明？（5）不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项．22 + 32 = 4 + 9 = 13 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233试试看其它的情形．12212++=+n n nF F F 是不是都成立呢？（6）更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？ 提示：3．黄金分割动手做一下：把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项， 得到一个新的数列，并画出图象，分析新数列的特点．提示：1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618， .....下图中横轴为 n 的值，纵轴为nn F F 1+的取值：nn F F 1+看起来好像会趋近某个定值，大约为 1.61……．这为人所知作为金黄比率, 并且因此斐波那奇的序列并且称金黄序列， 开普勒发现斐波那契数列的黄金比率．4．探究其它特性利用斐波那契数列计算器和互联网，每小组探究斐波那契数列的其它性质，然后利用网络搜索所得到的性质，是否已经被发现。
深度学习观下数列名题探究---对斐波那契数列的学习及思考
深度学习观下数列名题探究 ---对斐波那契数列的学习及思考关键词：数学思想；深度学习；历史名题；探究深度学习是学生在教师引领下，围绕着具有挑战性的学习主题，在思维、情感、意志、价值观上做到全身心投入，认真参与、积极建构、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。
教学的本质是“学”而非“教”，本质在于根据学生经验，设计出据有挑战性的问题，引发学生深度思考，提升学生高阶思维能力，关注知识与技能的同时，挖掘知识与技能背后蕴藏的数学本质，思考其体现的数学思想，最终达成学生形成和发展数学学科核心素养的目标。
斐波那契数列，数列学习中最经典的数列，来自自然，和谐而有趣。
它在2019新课标人教A版选择性必修第二册第四章数列4.1数列的概念的阅读与思考内容中呈现，主要是研究了斐波那契数列的来源（兔子数列）和递推关系，还有相邻两项的关系构成的新数列。
笔者希望能以数列核心思想作引领，从数学文化视角探究斐波那契数列，让学生通过自主探究、合作探究等方式获得新知，实现课堂从浅层学习到深度学习的转型，对数列知识和方法进行反思内化再建构，充分理解本质，达到深度学习数列知识、思想与方法的目的。
一、教学片段（一）认识数列一般而言，兔子在出生两个月后就有防止能力一对兔子每个月能生出一对小兔子来，如果所有的兔子都不死。
[1]问：分别求第1个，第3个，第7个，第12个月的兔子数。
师：大家有什么好的研究方法呢？生：这简单，枚举法，从第1个月开始排列一下。
师：同桌之间合作，把讨论结果填写在下面的表格中。
学生独立思考，填写表格。
教师展示（图1）（图1）师：兔子的只数形成的是一个非常美丽、和谐的数列，各项分别为：师：当时间推长，继续列举下去吗？请观察一下各项之间有什么联系？生：前面两个数之和就是第三个数。
生：前两项不符合的，应该修正一下。
从第三项起，前面两个数的和是第三个数。
师：很好，同学的观察能力很强，逻辑严谨！请同学们用一般性的语言，用数列的语言表达出这个结论。
斐波那契数列研究
斐波那契数列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年, 27岁的他将其所学写进计算之书。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契，其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》。
《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。
现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。
《几何实践》则着重叙述希腊几何与三角术。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，斐波那契论证其根不能用尺规作出，他还未加说明地给出了该方程的近似解。
微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。
微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。
在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。
二、《算盘原理》《算盘原理》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
数学探究小报告
数学探究小报告数学探究小报告引言•数学是一门理性而有趣的学科，它通过探究和解决问题，帮助我们理解世界的运行规律。
•在这篇小报告中，我们将探究数学的一些有趣话题，并分享一些有趣的发现。
调查主题：斐波那契数列什么是斐波那契数列•斐波那契数列是由0和1开始，后续的数是前两个数相加而得到的。
•斐波那契数列的前几个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …探索斐波那契数列的特性1.斐波那契数列具有递推性质，即每一个数字都是前两个数字的和。
2.斐波那契数列的比值会无限接近黄金比例。
3.斐波那契数列具有自相似性，即它的任意连续子序列也是斐波那契数列。
实验研究：质数分布规律什么是质数•质数是只能被1和自身整除的数，如2, 3, 5, 7, 11, …研究问题：质数的分布规律•我们将研究质数在整数序列中的分布规律。
•通过计算大量的数字，我们可以发现质数在整数序列中逐渐减少，但它们的分布相对均匀。
结论•数学探究能够帮助我们发现世界的规律和趋势。
•通过对斐波那契数列和质数的研究，我们可以发现数学中隐藏的美妙和有趣。
以上是本篇报告的内容，希望能引发你对数学的兴趣，并激发你探索更多有趣数学话题的欲望！数学探究小报告引言•数学是一门理性而有趣的学科，它通过探究和解决问题，帮助我们理解世界的运行规律。
•在这篇小报告中，我们将探究数学的一些有趣话题，并分享一些有趣的发现。
调查主题：斐波那契数列什么是斐波那契数列•斐波那契数列是由0和1开始，后续的数是前两个数相加而得到的。
•斐波那契数列的前几个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …探索斐波那契数列的特性1.斐波那契数列具有递推性质，即每一个数字都是前两个数字的和。
2.斐波那契数列的比值会无限接近黄金比例。
3.斐波那契数列具有自相似性，即它的任意连续子序列也是斐波那契数列。
实验研究：质数分布规律什么是质数•质数是只能被1和自身整除的数，如2, 3, 5, 7, 11, …研究问题：质数的分布规律•我们将研究质数在整数序列中的分布规律。
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探究斐波那契数列
教学目标：
1．通过了解斐波那契数列，激发学生的学习兴趣，体会抽象数学概念的实际意义，更好地理解、掌握数学。
2．通过展示生活中的数学，让学生欣赏数学的外在美和，体会数学的内在美，感受数学的神奇美，欣赏数学的艺术美。
3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识、学习知识进而解决问题。
教学重点：
1．认识斐波那契数列。
2、感受数学美和数学思想。
教学难点：
1．指导学生克服数学材料文章的抽象符号越多、阅读困难的问题。
2．提高探究内容的的可读性、趣味性。
教学内容分析：
中数学课程提倡把数学探究以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中。
《斐波那契数列》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书〃数学〃必修5》第37页的阅读材料，是学生在学习完数列的概念与表示方法后安排的一节课外学习内容。
斐波那契数列有广泛的应用价值。
如（1）叶子在植物梗予上的排列（2）花朵的花瓣数（3）蜜蜂的繁殖（4）人口年龄结构的预测（5）优选法（6）方程论，它涉及面之广，引起了科学家的密切注意和极大的兴趣，美国专门出版了一份《斐波那契季刊》，登载斐波那契数列在应用上的新发现及相关理论。
这些内容有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。
教学方式和手段：
本节课采用高中数学课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
本节课以“数学探究”的学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
在教学手段上，采用PowerPoint，Excel、几何画板等多媒体技术手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，提高了课堂效率、丰富课堂内容。
教学过程：
1．1数学在人类历史上的作用。
1．2波那契兔子问题、递推关系式、斐波那契的国籍、生平、著作、介绍斐波那契的图书、杂志。
1．3组的分工。
2．1第一小组汇报
内容：斐波那契数列通项公式、前n 项和公式，用几何画板验证，用Excel 求解斐波那契。
探究结果：
（1）通项公式为a n = 15 [(1+52 )n －(1-52 )n ] （2）S n = 15 [(1+52 )n+2 －(1-52 )n+2] -1 （3）可以用Excel 计算机求斐波那契数列，发现12-=+n n a S 。
2．2第二小组汇报
探究内容：斐波那契与动植物生长
探究结果：
斐波那契与枝叶生长：波兰数学家史坦因豪在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
斐波那契与蜜蜂繁衍：从蜜蜂的繁殖来看，蜜蜂的生长规律是很有趣的，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后)，末受精的孵化为雄蜂、人们在追溯雄蜂的祖先时，发现一只雄蜂的第n 代的祖先数目刚好就是斐波那契数列的第n 项Fn ．如以*表示雄蜂，×表示雌蜂，就得雄蜂的家属结构图(图2)：雄蜂第六代的排列情况与钢琴的13个半音阶排列也完全吻合。
因此音调也与斐波那契数列有关．
2．3第三小组汇报
探究内容：斐波那契数列与螺线
探究结果：
蓟，它们的头部几乎呈球状。
在图【3－1】里，标出了两
条不同方向的螺旋。
我们可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共
有13条，而逆时针旋转的则有21条。
例如带小花的大向日葵的
管状小花排列成两组交错的斐波那契螺旋，并且顺时针和逆时
针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项，其中顺时针的
螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条。
蒲公英和松塔、蜘蛛网、
水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等也是按照斐波那契螺旋排列的。
法国数学物理学家杜阿迪和库因此创立了一门新的学科：植物生长动力学。
他们指出：植物的相继原基沿着一条很精密盘绕的螺线（生成螺线）十分稀疏地相间排列，而且相继原基之间的夹角恰是82137'
，这个角恰恰是将圆周分成1：0.618…..的两个半径夹角，这样原基可以最有效地挤在一起，这是让实粒按两条螺线分布且它们紧密而不会留下空隙地唯一角度。
2．4第四小组汇报
探究内容:斐波那契数列的简单性质
探究结果：
斐波拉契的性质与魔术。
)3()1(122≥--=--n a a a n n n n
例如：12=1〃2-1； 22=1〃3+1；32=2〃5-1；52=3〃8+1；82=5〃13-1；132=8〃21+1；；212
=13〃34-1；342=21〃55+1
这与平时的拼剪魔术有关，例如：82 ←→ 5〃13（即64=65）
其它性质：（1）)3(12211≥=----+n a a a a a n n n n n （2）)3(12212≥=+--n a a a n n n 2．5第五小组汇报
探究内容：斐波那契数列与黄金分割。
探究结果：用斐波拉契数列1,1),3(2121==≥+=--a a n a a a n n n ，构造新数列1+=n n n a a b ，请写出数列}{n b 的前5项，发现规律618.0215lim 1
≈-=+∞→n n n a a 2．6第六小组汇报
探究结果：
F n =⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++++⋯+++-+----为奇数时当为偶数时当）（n C C C C n C C C C n n n
n n n n n n n 212)1(222211022110s 2．7第七小组汇报
探究内容：斐波那契与叶序、花瓣数现象
探究结果：叶子的排列，能够用以下的叶序分数来表示，每一循回的叶数
完成的旋转圈数，樱树的叶序分数为52，榆树、郁金香、梨树、柳树的叶序分数为 21、31、83，13
5，还有其它的叶序分数为
55213413218，，，所有的叶序分数都是斐波那契数列中交错的两项组成，此外，不少植物叶状虽然不同，但其排布却有相似之处，比如相邻两张叶片在与垂直平面上的投影夹角是82137'
，科学家经过计算表明：这个角度对植物叶子通风，采光来讲，都是最佳的。
3．1师：小结
4练习
4．1、一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬到9号蜂房，问有多少种不同的爬法？（2003年全国希望杯数学邀请赛）
4．2、有一条n 级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，要登上第n 级台阶，共有几种走法？。