有趣的斐波那契数列例子

斐波那契数列斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列通项公式通项公式(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。

那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，显然这是一个线性递推数列。

方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。

∵F(1)=F(2)=1。

∴C1*X1 + C2*X2。

C1*X1^2 + C2*X2^2。

解得C1=1/√5，C2=-1/√5。

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）设常数r，s。

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

则r+s=1，-rs=1。

n≥3时，有。

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。

……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。

联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。

上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 。

那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。

……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。

=(s^n - r^n)/(s-r)。

r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}。

方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。

解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。

得α+β=1。

αβ=-1。

构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。

所以。

an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1 )`````````1。

an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1 )`````````2。

由式1,式2,可得。

an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。

an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。

将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。

而且当n无穷大时(an-1)/an越来越逼近黄金分割数0.618。

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…。

..越到后面，这些比值越接近黄金比.证明:a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

两边同时除以a[n+1]得到：a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以极限是黄金分割比。

奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。

比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢？随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）多了的一在哪？如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。

2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。

3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。

4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。

5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。

6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。

利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。

怎样实现呢？伪代码描述一下?7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。

8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。

9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。

10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f(1)=C(0,0)=1 。

f(2)=C(1,0)=1 。

f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2 。

f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3 。

f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5 。

f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8 。

F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13 。

……F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个数有且只有一个被2整除，每4个数有且只有一个被3整除,每5个数有且只有一个被5整除，每6个数有且只有一个被8整除,每7个数有且只有一个被13整除，每8个数有且只有一个被21整除,每9个数有且只有一个被34整除，.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契数列的素数无限多吗？斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21………………………紫宛②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。