校本课程(有趣的斐波拉契数列)
斐波那契数列的一些有趣性质
斐波那契数列的一些有趣性质斐波那契数列是一种数学的概念，被认为是数学界“最丰富的宝藏”之一。
关于斐波那契数列，常言道"一对兔子一年能生兔子吗？这就是斐波那契数列！" Quora中关于斐波那契数列最受欢迎的话题之一就是“有趣”。
由此可见，斐波那契数列在数学界受到了广泛的关注。
首先，斐波那契数列可以用来计算任意项数字之和。
比如，任意选择一个整数n，通过以下公式可以计算前n项数字之和：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
斐波那契数列也可以用来求解最优的问题，如现在有一个有N种币值的集合，欲从中拿取某些币值使之等于给定的金额。
利用斐波那契数列可以让众多排列组合归为一个类别进行递推，而得到一个最优组合。
In addition,斐波那契数列可以利用渐近法来寻找循环规律。
斐波那契数列的循环规律能够指导我们去寻找更加有效的计算方法，从而找到更加快捷的计算结果。
特别是，在计算机领域，斐波那契数列的循环规律也可以用来进行诸如排列组合和回溯的操作。
最后，斐波那契数列也有一定的实际应用价值。
斐波那契数列可以用来描述曲线、研究天文学、计算金融、计算动态规划问题、生物序列分析以及其他各种领域。
在自然界，许多树叶也按斐波那契数列的规律出现，尽管我们仍然无法确定斐波那契数列的确切来源，但通过这种序列的研究能够体现它在自然界的重要性。
总而言之，斐波那契数列是无比复杂且有趣的数学形式，它在数学领域乃至互联网领域都有重要的应用价值。
循环规律尤为强大，因此这种数学形式被认为是最丰富的宝藏之一。
小学数学《斐波那契数列课题》教学设计新部编版
优选授课授课设计设计| Excellent teaching plan教师学科授课设计[ 20–20学年度第__学期]任授课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校《斐波那契数列的应用》课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却向来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却向来没有亲自领悟感觉过数学的奇异，有没有一个课题能让学生感觉到学习数学的目的，特别是让学生亲自领悟感觉一下数学的美，感觉大自然的造物的奇异呢？我思虑再三最后确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。
二、课题的部署与指导：《斐波那契数列的应用》是数学史上特别出名的一个数列，课本是作为一段阅读资料表现的，以《兔子的生殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主若是经过研究让孩子们领悟学习数学的目的，感觉一下数学自己的魅力以及大自然造物的奇异。
我是从四个方面来部署的课题研究任务： 1、以《兔子的生殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。
前一天进行了部署，第二天我们就进行了交流告告，孩子们研究的不错。
于是又接着分组部署了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的奥秘。
第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察可否有斐波那契数列。
孩子们真的是很善于思虑，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。
第三小组的费枫舒在和妈妈去商场买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。
而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，健步如飞的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的奥秘，组成了课题研究的第四小组。
我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最后确定了把数列的产生不纳入到本节课的报告中间。
神奇的数学世界斐波那契数列的课程设计
神奇的数学世界斐波那契数列的课程设计斐波那契数列在数学领域中具有独特的魅力，其数列特性在各个领域中都有广泛的应用。
本课程设计旨在引导学生深入了解斐波那契数列的概念、性质和应用，并通过实际问题的探索，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
1. 引言斐波那契数列是一个非常特殊的数列，起初被提出用于描述兔子繁殖的规律，但随后发现其数学特性与实际问题的联系更为广泛。
本课程设计将带领学生探索斐波那契数列的奥秘。
2. 斐波那契数列的定义和性质2.1 定义斐波那契数列是一个以0和1开头，之后的每一项都是前两项之和的数列，数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21...。
2.2 递推公式学生将学习到斐波那契数列的递推公式，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
2.3 黄金分割学生将了解到斐波那契数列与黄金分割的关系，即相邻两项之比趋近于黄金分割比例0.618。
3. 斐波那契数列的应用3.1 自然领域中的应用通过学习斐波那契数列在自然界中的应用，如植物的叶子排列、鳞片的分布等，学生将深入理解数列的普适性和实际应用性。
3.2 美学领域中的应用学生将研究斐波那契数列在艺术、建筑等领域的应用，如黄金矩形、黄金螺旋等，培养学生的审美素养和对美的感知能力。
3.3 金融领域中的应用通过了解斐波那契数列在金融领域中的应用，如投资策略、股票价格波动等，学生将学会应用数列进行金融分析和决策。
4. 斐波那契数列的探索活动为了帮助学生更好地理解和掌握斐波那契数列的概念和应用，设计以下探索活动：4.1 斐波那契数列的绘制学生将使用纸和铅笔，根据斐波那契数列的定义，绘制数列的图形，并观察规律。
4.2 斐波那契数列的探究学生将使用计算器或电脑编程，通过循环和递归的方式计算斐波那契数列的前n项，并观察数值规律。
4.3 斐波那契数列的应用问题设计一些实际问题，鼓励学生运用斐波那契数列解决问题，如兔子繁殖问题、图形排列问题等。
5. 总结与展望通过本课程设计，学生将深入了解斐波那契数列的定义、性质和应用，并通过探索活动培养数学思维和解决问题的能力。
校本课程(有趣的斐波拉契数列)
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月
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解 答
5月 6月
7月
月份1
23
4
5
6
1
12
3
5
8
兔子对数
月份7
8
兔子对13数 21
9 10 34 55
11 12 89 144
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，… 从第三项起，每一项都是前两项之和
1 1 2 3 5 8 13 21 34 +55 =
？
3 5 8 13 21 34 55 89 144 +233 =
？
143
605
13 21 34 55 89 144 233 377 610 +987 =？
2563
大自然中的斐波那契数列
马蹄莲 1
白鹤芋 花烛 滴水观 音 独角莲 喇叭花
虎
2
刺
一
二
三
四
五
六
1
1
2
3
5
8
七
13
菜花表面排列的螺旋线数（5-8）
34
向日葵花盘上的螺旋线 数，顺时针数２１条； 反向再数就变成了３４ 条．是不是很有意思呀！
这种现象在几个世纪前已经被注意到， 此后被广泛研究，但直到1993年才给 出了合理的解释.这是植物生长的动力 学特性造成的，这使得种子具有差不多 的大小却又疏密得当，堆积率达到最高， 能充分地利用阳光和雨露.
9
,
1
414 4, 24330….6180.3.. 233
黄金分割：把一条线段分
其比值是
斐波那契数列教案 适合小学
拓展课斐波那契数列【教学内容】斐波那契数列相关知识。
【教学目标】1. 使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性，并探究著名的兔子问题。
2. 在经历感知、分析、归纳和应用过程中培养学生的思维能力，会利用从易入难的数学思想方法解决问题，培养良好的思维品质。
3. 在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。
【教学重难点】重点：发现斐波那契数列的规律，探究兔子问题难点：会利用从易入难的数学思考方法解决问题【教学准备】课件、学习单【教学流程】一、图片欣赏，引出课题1．出示自然界中的图片师：一起欣赏这些大自然的图片，它们都有什么特点？预设：它们都有螺旋线2.出示鹦鹉螺师：鹦鹉螺的内部是非常美丽的螺旋线，我们可以把它画出来。
3. 出示斐波那契螺旋线，观察是怎么画出来的师：用数学的眼光看一看，说说它是怎么画出来的。
引导学生从最小的正方形数起。
预设：最小的正方形边长是1，有2个这样的小正方形预设：是正方形的对角线师：是的，需要先从里到外画出正方形，再画出正方形对角顶点相连的弧提问：这些正方形的边长都是多少？1,1,2,3,5,8,13,21……师：老师加了省略号是为什么？预设：还可以继续画下去。
师：你们发现后面应该是几了吗？预设：34预设：这串数字是有规律的，每次都是前两个数字之和师小结并揭示课题：像这些正方形的边长形成的一列有序的数，我们叫它数列（板贴：数列）。
4. 出示人物介绍，认识斐波那契最早研究这个数列的是莱昂纳多斐波那契，他是中世纪意大利的一位数学家。
因此这个数列就已他的名字命名，叫斐波那契数列。
（板贴：斐波那契）今天我们一起来研究学习斐波那契数列。
（指着板贴读课题）二、探究问题，学习新知1.兔子繁殖问题师：这个数列可不是斐波那契凭空想出来的，最早是斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，让我们也像数学家一样研究兔子繁殖的规律吧。
出示兔子繁殖的故事，请学生朗读，并加以理解。
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件.doc
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件假设: : 一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔子，并且此后每个月都会生一对小兔子，一年内没有死亡，那么，12 个月后会有多少对兔子呢？1 123 5 8 6 月 5 月4 月 3 月 2 月 1 月1 123 5 8 6 月 5 月4 月 3 月 2 月 1 月斐波那契斐波那契（（1170 1250 ）意大利杰出的数论学家。
1202 年著作《算盘书》。
1 12 13 24 35 56 87 138 21 9 34 10 55 11 89 12 144 【第1 年】 13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 418120 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 51422930 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 345702887 35 9227465 36 14930352 37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976 斐波那契数列与数学4807526976 【第2 年】【第3 年】【第4 年】1 123 5 8 斐波那契螺旋黄金螺旋黄金矩形大自然中的斐波那契数列鹦鹉螺大自然中的斐波那契数列种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 8种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 13大自然中的斐波那契数列有13 条逆时针螺旋和21 条顺时针螺旋有13 条顺时针螺旋和21 条逆时针螺旋蓟大自然中的斐波那契数列大自然中的斐波那契数列 21 条和34条条最多可达89 条和144条条 34 条和55 条 55 条和89条条台风旋转云图台风旋转云图水流漩涡水流漩涡星云星云1 123 5 8斐波那契数列。
基于信息技术的数学探究课题设计一例——“斐波那契数列”教学课例
基于信息技术的数学探究课题设计一例——“斐波那契数列”教学课例【关键词】斐波那契数列信息技术探究《普通高中数学课程标准》设置了数学建模和数学探究的学习活动。
计算机技术和数学软件的飞速发展使人们对“数学课程与信息技术的整合”有了更深刻的理解，我们可以且应该用计算机“做数学”、“表现数学”，帮助学生学习数学、理解数学、欣赏数学，让学生在已有的认知结构基础上去发现和建构新知识。
这样的数学实验提供了一种全新的数学教学手段和模式，受到了大中小学广泛的关注。
人民教育出版社和江苏教育出版社出版的课标教材都介绍了斐波那契数列；人民教育出版社教材中的研究性学习课题“上楼问题的数列模型”是一个与斐波那契数列密切相关的经典名题。
我们选择斐波那契数列作为高中二年级数学探究性学习课题，设计了一节数学探究实验展示课。
一、教学目标1．知识方面：使学生理解斐波那契数列，掌握斐波那契数列通项公式的求法，能应用斐波那契数列解决日常生活中的一些问题。
2．能力方面：培养学生的观察能力、发现能力、解决实际问题的能力和审美意识。
3．品质素养方面：使学生体会数学来源于生活的大众数学思想，培养学生的实践能力和应用意识。
二、重点难点重点：斐波那契数列、斐波那契数列的应用。
难点：斐波那契数列通项公式的求法，将实际问题转化为数学问题。
三、教学手段多媒体辅助教学。
四、教学过程（一）创设情境今天这节课我们来看一个有趣的问题，它最初是由一名意大利数学家斐波那契在13世纪初提出的：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若生下的小兔都不死的话）?先让学生自由讨论，教师再辅以课件分析。
我们用●表示一对大兔，用〇表示一对小兔，则可逐月统计得到每月的兔子对数：如此推算下去，我们不难得出下面结果：∴第八个月共有21对兔子。
如果我们用Un表示第n月后的兔子数，则有：{Un}:1,2,3,5,8,13,2l,…这个数列被称为斐波那契数列，我们这节课就来研究这个有趣的数列问题。
斐波那契数列教学设计
《斐波那契数列》教学设计杨遇春教学背景：《斐波那契数列》是江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页的阅读材料，是学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的一节课外学习内容。
考虑到本节内容学生自学有一定难度，同时本节课对培养学生学习数学的兴趣，提高自己对数列的认识和后续学习都很有帮助，而且本课所强调的自主探索、合作交流的学习能力在我们的学生中还有待进一步提高，因此我决定用一节课引导学生学习本节内容。
多媒体技术是现代课堂教学的重要手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，是提高课堂效率、丰富课堂内容的有效途径。
在本节课我主要借助PowerPoint演示加网络搜索的方法教学，用PowerPoint来向学生展示本节的主要学习思路和大纲，然后问题引导学生用网络搜索引擎查找问题答案展开学习。
教学目标：1．使学生了解了斐波那契数列；2．向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想；3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题。
教学重点：认识斐波那契数列教学过程：1、斐波那契数列的由来（创设情景，引入主题）先用PowerPoint让学生看一个有趣的问题：有一个人第一月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，次后每个月生一对小兔。
如果不发生死亡，那么到年底这个人有多少对兔子先由学生自己思考，我不急于公布答案，而是与同学们共同做如下研：我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数（用PowerPoint逐月显示，加以讲解，务必要学生理解递推的本质）第1月底○第2月底◎第3月底◎○第4月底◎○◎第5月底◎○◎◎○第6月底◎○◎◎○◎○◎记第n 月底的兔子对数为n F ，则：1F =1，2F =1，3F =2，4F =3，5F =5，6F =8，…观察数列{n F }规律很容易发现，从第三项起，每一项都是它前两项的和，即2n F + = 1n F + + n F （n ∈N ＊） 这样很容易知道年底共有144对兔子。
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3 5 8 13 21 34 55 89 144 +233 =？
13 21 34 55 89 144 233 377 610 +987 =？
143 605 2563
大自然中的斐波那契数列 • 花瓣的数目
马
蹄
莲
1
白鹤芋
花烛
喇叭花
独角莲
滴
水
观
音
1 2
虎刺梅
九头狮子草
紫
露
草
1 2
3
三角梅（光叶子花） 慈 姑
13
5
8
13
21
34
• 树木枝桠的数目（树的分杈）
由于新生的枝条，往往需要 一段“休息”时间，供自身 生长，之后才萌发新枝.因 此，一株树苗在一段时间间 隔后，例如一年，会长出一 条新枝，第二年新枝“休 息”，老枝依旧萌发，此后， 老枝与休息过一年枝同时萌 发，当年生的新枝则次年 “休息” .这样，一株树木 的枝桠数，便构成斐波那契 数列.
七 13
六
8
五
5
四
3
三
2
二
1
一
1
• 螺旋线数目
松果种子的排列
31
松果种子的排列
32
松果种子的排列
33
菜花表面排列的螺旋线数（5-8）
34
向日葵花盘上的螺旋线数，顺时针数
２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
这种现象在几个世纪前已经被 注意到，此后被广泛研究，但直到 1993年才给出了合理的解释.这是植 物生长的动力学特性造成的，这使 得种子具有差不多的大小却又疏密 得当，堆积率达到最高，能充分地 利用阳光和雨露.
斐波那契数列与自然、生活、科 学上的联系其实还有很多，数学的美 无处不在。它是一门科学，同时也是 一种语言，一种艺术。
斐波那契数列的奇妙属性
连续三项关系
1,1,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…
n 4
n为偶数时， an2 an 1 an 1 1
n为奇数时， an2 an 1 an 1 1
通项公式
an
1 5
n
5 1 2
水 鳖
冠
果
木
草
通
泽 泻
吊竹梅
12
5
3
4
苹果花
梅花 耧斗菜
金凤花
蝴蝶花（三色 堇、猫脸花）
飞燕草
金露梅
蔷薇
大花剪秋萝 石竹花
柚子花
樱花
柑 橘 花
波斯菊（格桑花、 八瓣梅）
8 12
7
3
6 54
血根草
紫 苑
13 1 2 3
12
11
4
花
10 98
5 6 7
宝蓝瓜叶菊
雏菊，它的花瓣数大多是34，55或89
5
1
n
2
斐波那契数列1,1,3,5,8,13,21,34,55, 89,…这样一个完全是自然数的数列，通项公 式居然是用无理数来表达的
黄金分割 1,1,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…
1 1, 1
1 0.5, 2
2 0.66667, 3
月份 7 8 9 10 11 12
兔子 对数
13
21
34
55
89 144
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，… 从第三项起，每一项都是前两项之和
这一问题，是 1902年意大利数学 家斐波那契在他出 版的《算盘全书》 一书中提出的，所 以把这个数列称为 斐波那契数列.
有趣的 斐波那契数列
• 斐波那契螺旋（黄金螺旋）
绮狮螺
鹦鹉螺
生活中的斐波那契数列
在绘画、摄影、设计方面，人们并 不直接利用斐波那契螺旋线的形状，而 是运用其螺旋线发散的走向与收缩中心 的位置关系进行构图暗示。将视觉中心 放置在了画面最吸引人的地方，使人获 得了非常自然并且良好的观看体验，从 而心理感受良好，进而体会到美。
3 0.6, 5
5 0.625, 8
8 0.61538, 13Biblioteka 13 0.61904, 21
21 0.61764, 34
34 0.61818, 55
55 0.61798, 89
89 0.61806, 144
144 0.61803... 233
前项与后项的比值趋近于0.618---黄金分割
黄金分割：把一条线段分割为两部分， 使较大部分与全长的比值等于较小部分 与较大部分的比值，则这个比值即为黄 金分割（中外比）.
大段 小段 全长 大段
5 -1
其比值是 2 ，近似值为0.618. 常用希腊字母 表示这个比值.
游戏
在十秒计算 出下面连续 十个斐波那 契数的和
1 1 2 3 5 8 13 21 34 +55 =？
兔子问题
如果一对兔子每月能生1对小兔子 （一雄一雌），而每1对小兔子在它 出生后的第三个月里，又能生出1对 小兔子，假定在不发生死亡的情况 下，由1对初生的小兔子开始，50个 月后会有多少对兔子？
解答
1月 2月 3月 4月
5月
5月 6月
7月
月份 1 2 3 4 5 6 兔子 1 1 2 3 5 8 对数