斐波那契数列
费波那契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
斐波那契数列 通项公式
斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。
这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。
斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。
斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。
它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。
斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。
斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。
它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。
此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。
斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。
总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。
掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。
斐波那契数列的奥秘
斐波那契数列的奥秘1. 什么是斐波那契数列斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因13世纪的意大利数学家斐波那契（Leonardoda Fibonacci）而得名。
这个数列从0和1开始，之后的每一个数都由前两个数相加得到：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……以此类推。
2. 斐波那契数列的应用斐波那契数列并不只是一种数学上的抽象概念，它在现实世界中有着广泛的应用。
其中一个典型的例子就是菠萝的结构。
菠萝的鳞片排列呈现出斐波那契数列的规律，这种规律使得菠萝更加紧密地生长。
同时，在生物学领域，许多植物的花朵、树叶等都呈现出斐波那契树形态，这种形态美感十足，而且有助于植物的生长和传播。
3. 斐波那契数列的几何意义斐波那契数列还与黄金分割密切相关。
黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例即为金子比（约1.618），也被称为黄金分割点。
如果我们取斐波那契数列中相邻两个数的比值，会发现随着数列增长，这个比值越来越逼近黄金分割点。
这说明斐波那契数列具有很强的几何意义，与自然界中许多规律相吻合。
4. 斐波那契数列在艺术中的运用除了在自然界中呈现，斐波那契数列还被广泛运用在艺术领域。
许多艺术作品中都能看到斐波那契数列的身影，如建筑设计、绘画作品等。
艺术家们通过运用这种神秘而美妙的数字序列，使作品更加富有节奏感和动态美。
5. 斐波那契数列在计算机科学中的应用在计算机科学领域，斐波那契数列也有着重要的应用价值。
它被广泛应用在算法设计、数据结构等方面。
特别是在递归算法中，经常会看到斐波那契数列的身影。
6. 斐波那契数列与金融市场斐波那契数列还被运用于金融市场的技术分析中。
通过观察股票或者外汇市场走势图表上出现的斐波那契比例线（Fibonacci Retracement Levels），交易者可以预测价格可能出现支撑或阻力，并做出相应交易决策，提高投资成功率。
斐波那契数列及其特点
斐波那契数列及其特点斐波那契数列是数学中一列相邻两项之和等于后一项的数列，以0和1作为起始项的斐波那契数列如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, ...斐波那契数列最早出现在12世纪的西方数学和艺术领域，由意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）发现并命名。
斐波那契数列的特点使其在数学、自然科学、计算机科学等领域具有广泛的应用。
斐波那契数列的特点：1. 递推关系：斐波那契数列的第n项等于前两项之和，即F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
这种递推关系定义了斐波那契数列的生成规则，使得我们可以通过计算前两项的和得到后一项。
2. 黄金比例：斐波那契数列中，相邻两项的比例趋于黄金比例φ（约等于1.61803）。
当n趋于无穷大时，F(n)/F(n-1)将趋近于φ。
这一特性使得斐波那契数列与黄金分割点在数学和美学上具有广泛的应用。
3. 自然界中的应用：斐波那契数列在自然界中有许多应用。
例如，植物的花瓣数、种子排列、螺旋状物体的形态等都与斐波那契数列相关。
许多花朵的花瓣数目就是斐波那契数列中的某个数。
4. 黄金矩形：斐波那契数列还与黄金矩形密切相关。
黄金矩形是指矩形的长宽比接近黄金比例φ。
斐波那契数列的性质使得将正方形按照斐波那契数列依次放大，得到的长方形就是黄金矩形。
5. 近似无理数：斐波那契数列中的项数随着n的增大而趋近于无穷大，使得斐波那契数列中的每一项都是近似无理数。
虽然每一项不是真正的无理数，但它们可以无限接近黄金比例，从而在实际应用中具有重要价值。
总结起来，斐波那契数列是一种具有递推关系的数列，其中相邻两项的比例趋近于黄金比例。
斐波那契数列不仅在数学领域有重要应用，还广泛应用于自然科学、美学和计算机科学等领域。
通过了解斐波那契数列的特点，我们可以更好地理解和应用这一数列。
斐波那契数列
∴ F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2
F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0
(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0
∴ p+q=1,pq=-1 是其中的一种方程组 ∴ F n-pF n-1= q n-2(F 2-pF 1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+… ))=q n-1+pq n-2+p 2qn-3+… +p n-1 不难看出，上式是一个以 p/q 为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到：
为了方便，我们记
，则：
令 p,q,r 满足 g(n)- pg(n-1)- q=r(g(n-1)- pg(n-2)- q)，则得到：
这个方程会发现没有实数解，于是我们只能使用复数了： p=- 0.228 …-0.32963360796702 … i q=0.297 …+0.863 …i r=-0.228 … +0.32963360796702 … i 继续上面的递推式，则有 g( n)- pg(n-1)- q=r n-2(g(2)- pg(1)- q)。记 T= g(2)- pg(1)-q，则： g(n)= pg(n-1)+ rn-2T+q=p(pg(n-2)+ rn-3T+q)+rn -2T+q =pn-1g(1)+ pn-2T+pn-3rT+…＋rn-2T+q+pq+…＋pn-2q
斐波纳契数列通项公式
斐波纳契数列通项公式斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！斐波那契数列是这样一组数：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…… 从第三个数开始，每一个数都等于前两个数的和。
那它的通项公式是啥呢？咱们来好好说道说道。
斐波那契数列的通项公式为：$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这个公式看起来有点复杂，对吧？别担心，咱们慢慢捋捋。
还记得我读高中那会，有一次数学课上，老师讲到了斐波那契数列。
当时大家都被这个神奇的数列吸引住了。
老师在黑板上写下了一长串数字，然后问我们能不能发现其中的规律。
大家都瞪大眼睛，苦思冥想。
我当时也抓耳挠腮的，心里想着：“这到底是啥呀？” 后来，老师一点一点地引导我们，从最初的两个数字 0 和 1 开始，逐步相加，得出后面的数字。
当我们终于弄明白这个规律时，那种恍然大悟的感觉，真的太棒了！那这个通项公式到底有啥用呢？它可以让我们快速地计算出斐波那契数列中任意一项的值，而不需要一个一个地去相加。
比如说，我们想知道第 20 个数是多少，直接把 20 代入通项公式里，经过一番计算就能得出答案。
在实际生活中，斐波那契数列也有不少应用呢。
比如在植物学中，很多植物的花瓣数量就遵循着斐波那契数列的规律。
像百合花有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，向日葵的花盘里，种子的排列也呈现出斐波那契数列的特点。
还有在金融领域，斐波那契数列也能帮助投资者分析股票价格的走势。
虽然不是绝对准确，但能提供一些参考和思路。
再比如在计算机编程中，我们可以利用这个通项公式来编写程序，快速生成斐波那契数列的各项值。
总之，斐波那契数列及其通项公式虽然看起来有点高深，但却在很多领域发挥着作用，展现着数学的神奇和美妙。
希望通过我的介绍，能让您对斐波那契数列的通项公式有更多的了解和认识。
斐波那契数列的几条性质及其证明
斐波那契数列的几条性质及其证明斐波那契数列也叫兔子数列，它的前几项是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，递推公式是：n a =1-n a +2-n a ，其中1a =2a =1。
1、斐波那契数列前n 项的和等于第n +2项的值减去1。
即：1a +2a +…+1-n a +n a =2+n a -1证明：左边=2a +1a +2a +…+1-n a +n a -2a=（2a +1a ）+2a +…+1-n a +n a -2a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =（3a +2a ）+…+1-n a +n a -2a 以此类推最后得：左边=1+n a +n a -2a =2+n a -2a =2+n a -1。
等式得证。
2、斐波那契数列前n 项的平方和等于第n 项和第n +1项的值乘积。
即：21a +22a +……+2n a =n a 1+n a证明：根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得，左边=21a +2a （3a -1a ）+3a （4a -2a ）+……+n a （1+n a -1-n a ）=21a +2a 3a - 1a 2a +3a 4a -2a 3a +……+n a 1+n a -1-n a n a因为21a =1a 2a ，所以合并同类项后得，左边=n a 1+n a 。
等式得证。
3、斐波那契数列前n 项相邻两项乘积之和，当n 是奇数时等于第n +1项的值的平方，当n 是偶数时等于第n 项和第n +2项的值之积。
即：1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a 当n 是奇数时等于21+n a ，当n 是偶数时等于n a 2+n a 。
证明：（1）、当n 是奇数时，1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a =21+n a左边=1a 2a +2a （4a -2a ）+3a 4a +4a （6a -4a ）+……+1-n a （1+n a -1-n a ）+n a 1+n a =1a 2a +2a 4a -2a 2a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a 因为1a 2a =2a 2a ，所以上式=2a 4a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a =（2a +3a ）4a -4a 4a +（4a +5a ）6a -6a 6a +……-1-n a 1-n a +（1-n a +n a ）1+n a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =4a 4a -4a 4a +6a 6a -6a 6a +……+1-n a 1-n a -1-n a 1-n a +1+n a 1+n a=21+n a等式得证。
斐波那契数列常用结论
斐波那契数列常用结论
1斐波那契数列
斐波那契数列又称黄金分割数列，是指从0和1开始，之后的每一项都是前两项之和的自然数序列，即：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>1，n∈N*），那么形成了如下数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……
斐波那契数列可以用来表示各种有规律变化的现象，如天文学中行星轨道运行的规律、物理学中光衍射和电磁波传播的规律、生物学中由细胞分裂形成的规律等。
2常用结论
1.黄金比例
斐波那契数列中的两个相邻数的比值，比如5和8的比为8/5等于1.618，34和55的比为55/34也等于1.618。
这就是著名的黄金分割比例，也常被称为黄金比例，具有美观耐看性，在艺术、建筑中广泛应用。
2.斐波那契数列的通项公式
从斐波那契数列的定义可以发现，任何一项的斐波那契数都可以用前两项来计算出来，比如F(5)=F(4)+F(3)，那么我们可以用下面这个公式来表示斐波那契数列的每一项：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，这就可以用来计算出任意的项的斐波那契数了。
3.斐波那契数列的正则表达式
斐波那契数列可以用下面的正则表达式完美地描述出来：
F(n)=2*F(n-1)+F(n-2)，用此正则表达式可以轻松实现斐波那契数列的自动构建。
4.完美数
斐波那契数列中的完美数是指那些满足F(n)=2^n-1的斐波那契数，即F(0)=0，F(1)=1，F(2)=3，F(3)=7，F(4)=15，F(5)=31，如果除了0和1外，它们都等于2的次方数减1，都称之为完美数。
从上面几条结论来看，斐波那契数列不仅应用于数学领域，在多个领域也有着广泛的应用，对于研究具有重要意义。
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思考：教材P76上的流程 图和右方流程图功能上有 什么不一样？
输出前n个斐波那契 数列的流程图
k3 输出a、b k<n y c a+b 输出c k k+1 ab n
结束
编程：将右边的流程图 转换成VB程序
b c
2013-7-24 6
寻找有关斐波拉契数列的实例
• 树叶的形状
• 树丫的数目
主题：有趣的斐波拉契数列
我们将去认识斐波拉契数列 输出前n个斐波拉契数列的算法 生活中的斐波拉契数列 我们会爱上这个奇妙的数列
2013-7-24
1
兔子的谜惑
在第一个月时，只有一 对小兔子，过了一个月，那 对兔子成熟了，在第三个月 时便生下一对小兔子，这時 有两对兔子。再过一个月， 成熟的兔子再生一对小兔子， 而另一对小兔子长大，有三 对小兔子……
2013-7பைடு நூலகம்24 3
问题提出：使用递推算法思想， 输出前n个斐波那契数列。
2013-7-24
4
斐波那契数列的算法实现分析
递推过程： 1 (第1次) (第2次) (第3次) (第4次) a +
1
b a +
2
c b a +
3
5
8……
c b a + c b c
2013-7-24
5
起始 输入n a1、 b1
如果您一直做下去，你 会发现兔子数目会组成数列： 1,1,2,3,5,8,13,21……，這 就是著名的斐波那契数列。
2013-7-24 2
有关Fibonacci
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175约1240)也许是在生活在丢番图 (Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 的数论学家。我们对他的生平知道得 很少。他出生在意大利那个后来因为 伽里略做过落体实验而著名的斜塔所 在的城市里，现在那里还有他的一座 雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北 非和欧洲旅行，大概就是由此而学习 到了世界各地不同的算术体系。在他 最重要的著作《算 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印 度-阿拉伯数码（包 括0）及其演算法 则。数论方面他在丢番图方程和同余 方程方面有重要 贡献。
• 花瓣的瓣数 • 美丽的螺旋
2013-7-24 7
树叶的形状
从某一叶子开始，使其 位置对着自己，然后向 上寻找第二片亦对着自 己的叶子，若数一数那 两片叶子之间的其他叶 子数目，这必定是斐
波拉契数列中的某一
项。例如：在两片同向 的叶子之间有些相隔五 片，有些相隔八片，有 些相隔十三片等等。
2013-7-24 8
2013-7-24
19
？ ？ ？
网上资料
搜索引擎： goolge搜索 中文雅虎 适合学生交流的网站： 花瓣知多少? .tw 斐波那契螺旋 /Article_Show.asp?ArticleID=283 /main/Article_Print.asp?ArticleID=379
树丫的数目
13 8
5 3 2 1 1
2013-7-24 9
花瓣的数目
你对植物稍加注意，会发现大多数花朵的花瓣 数目是3，5，8，13，21，34，55，89， … 例如百合花是三瓣，梅花五瓣，飞燕草八瓣， 孤挺花十三瓣。向日葵不是21瓣，就是34瓣。 雏菊都是34，55，或89瓣。其他数目則很少出 現。 当看到花瓣繁多(多过一百瓣)的花朵，你不妨 数数看，保证不是144瓣，就是233瓣。
一个13至16公分大的向日葵花头上，通常有34条向左展开的螺 旋线与55条向右展开的螺旋线。较细的花头上其左右展开的螺旋 线数目为21及34，较大的有89和144条，它们都是斐波那契数列中 2013-7-24 16 的相邻两项。
利用黄金分割作出螺旋线
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还有许多奇妙的性质 噢！
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一般来说：
多数植物的花瓣 数目都属于下列 这个数列：3，5， 8，13，
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美丽的螺旋
对角螺旋线 由中心以顺时针方向展开；由中心以逆时针方向展开 这两种方向展开的螺旋线的数目各为斐波那契数列中的两个连 续的数。
数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长的问题：如果一棵树 苗在一年以后长出一条新技，然后休息一年．再在下一年又长出一条新枝， 并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝．那么第1年它只有主干1枝，第2 年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝等等. 每年的分枝数顺次 组成的数列符合斐波那契数列（除第一项外）.