2018中考数学专题：特殊四边形

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质． 【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可． 【解答】解：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，添加一个适当的条 件为：AC⊥BC 或∠AOB=90°或 AB=BC 使其成为菱形． 故答案为：AC⊥BC 或∠AOB=90°或 AB=BC 5. (2013 山东烟台)如图，□ABCD 的周长为 36．对角线 AC，BD 相交于点 O ．点 E 是 CD 的中点．BO=12 ．则△DOE 的周长为 __________________. 【答案】15 【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出 OD、OE+DE 的长，即可求解. ∵□ABCD 的周长为 36，∴BC+CD=18，∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴O 是 BD 的中点， ∴OD=6, 又 ∵E 是 CD 的 中 点 ， ∴OE 是 △BCD 的 中 位 线 ， ∴OE+DE=9 ， ∴△DOE 的 周 长 =OD+OE+DE =6+9
四边形 AECF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 AF=CE，根据相似
三角形的性质得到
，于是得到 AE=AF，列方程即可得到结论．
【解答】解：过 F 作 FH⊥AE 于 H，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∵AE∥CF，】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练 掌握矩形的性质是解本题的关键． 3. （2016·云南省昆明市·4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AB 上一点， 过点 E 作 EF∥AD，与 AC、DC 分别交于点 G，F，H 为 CG 的中点，连接 DE，EH，DH， FH．下列结论： ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 = ，则 3S△EDH=13S△DHC， 其中结论正确的有（ ）
在△EHF 和△DHC 中，
，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ④∵ = ， ∴AE=2BE， ∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， ∴FH=GH，∠FHG=90°， ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH 和△DFH 中，
，
∴△EGH≌△DFH（SAS）， ∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形， 过 H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，如图所示： 设 HM=x，则 DM=5x，DH= x，CD=6x，
4
则 S△DHC= ×HM×CD=3x2，S△EDH= ×DH2=13x2， ∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确； 故选：D．
4．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， 请你添加一个适当的条件 AC⊥BC 或∠AOB=90°或 AB=BC 使其成为菱形（只填一个即 可）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则 GF=FC，则 EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF； ②由 SAS 证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而 ∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°； ③同②证明△EHF≌△DHC 即可； ④若 = ，则 AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF 且 EH=DH，则 ∠DHE=90°，△EHD 为等腰直角三角形，过 H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，设 HM=x，则 DM=5x，DH= x，CD=6x，则 S△DHC= ×HM×CD=3x2，S△EDH= ×DH2=13x2． 【解答】解：①∵四边形 ABCD 为正方形，EF∥AD， ∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴DF=CF， OF=EF， DC⊥OE，
∵DE∥OA，且 DE=OA，
∴四边形 ADEO 为平行四边形，
∵AD=2 ，DE=2，
∴OE=2 ，即 OF=EF= ，
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理得：DF=
=1，即 DC=2，
2
则 S 菱 形 ODEC= OE•DC= ×2 ×2=2 ． 故选 A
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】连 接 OE，与 DC 交 于点 F，由 四边 形 ABCD 为矩形得到对角线互相
平 分 且 相 等 ，进 而 得 到 OD=OC，再 由 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 为 平 行 四 边
形得到 ODEC 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形
3
∴△CFG 为等腰直角三角形， ∴GF=FC， ∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC， ∴EG=DF，故①正确； ②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， ∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF 和△DHC 中，
，
∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF=∠HDC， ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确； ③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， ∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
ODEC 为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形 OCEF 的面积即可．
【解答】解：连接 OE，与 DC 交于点 F，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且 AC=BD，即 OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE， OC∥DE，
∴四边形 ODEC 为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形 ODEC 为菱形，
2018 年中考数学专题：特殊四边形
1．（ 2016•舟 山 ） 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， AD=2， AB=3， 过 点 A， C 作 相 距 为 2 的平行线段 AE，CF，分别交 CD，AB 于点 E，F，则 DE 的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】过 F 作 FH⊥AE 于 H，根据矩形的性质得到 AB=CD，AB∥CD，推出
∴DE=BF，
∴AF=3﹣DE，
∴AE=
，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°， ∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°， ∴∠DAE=∠AFH， ∴△ADE∽△AFH，
∴
，
∴AE=AF，
∴
=3﹣DE，
∴DE= ，
1
故选 D．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平 行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（ 2016•兰 州 ） 如 图 ， 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O， CE∥BD，DE∥AC，AD=2 ，DE=2，则四边形 OCED 的面积（ ）