江苏专转本高数 第六节 极限存在准则
第六节极限存在准则
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
江苏专转本高等数学考纲及重点总结
江苏专转本高等数学考纲及重点总结一、考纲概述江苏省专升本高等数学考纲主要包括以下几个部分：数列的概念及运算、函数的概念与性质、极限与连续、导数与微分、计算题和应用题等。
下面将更具详细的内容进行总结。
二、考纲详解1.数列的概念及运算(1)数列的概念和基本性质：如等差数列、等比数列等。
(2)数列的运算：包括加减、乘除以及幂运算等。
2.函数的概念与性质(1)函数的定义与性质：如定义域、值域、单调性等。
(2)复合函数与反函数。
(3)高次函数的性质：如奇偶性等。
3.极限与连续(1)极限的定义和性质：如无穷小量、无穷大量等。
(2)极限存在准则与计算：如夹逼准则、拉格朗日中值定理等。
(3)连续性：如连续函数的性质。
4.导数与微分(1)导数的定义与性质。
(2)函数的求导法则：如和差积商等。
(3)高阶导数和隐函数求导等。
(4)函数的微分与高阶导数的应用。
5.计算题该部分主要考察学生对数学基本运算和推理能力的运用，题型多样，如解方程、求极限、求导数、求积分、解微分方程等。
重点是考察基础知识的灵活运用。
6.应用题该部分主要考察学生对数学知识在实际问题中的应用能力。
题型较多样化，如最优化问题、曲线的切线与法线等。
三、重点内容总结根据考纲的要求，我们可以总结出以下几个重点内容：1.等差数列和等比数列学生需要掌握这两种特殊数列的概念和性质，能够进行数列的运算，如求通项、求和等。
2.函数的性质和复合函数、反函数的运算学生需要理解函数的定义域、值域、单调性等性质，能够进行复合函数和反函数的运算。
3.极限和连续性学生需要理解极限的定义和性质，熟练掌握极限存在的判定准则，能够计算极限，理解连续函数的性质。
4.导数的计算和应用学生需要熟练掌握导数的定义和性质，能够进行函数的求导计算，掌握常见函数的导数公式，能够计算高阶导数和隐函数的导数，理解微分的概念和应用。
5.计算题和应用题学生需要熟练掌握数学基本运算和推理能力，灵活运用基础知识解决各类计算题，理解数学在实际问题中的应用。
江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)
高等数学复习提纲一、 极限（一）极限七大题型 1. 题型一()lim()m xn P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。
2. 题型二()limx a a 有限分子分母将a 带入分母 3. 题型三（进入考场的主要战场）()lim v x xau x注：应首先识别类型是否为为“1”型！公式：1lim(1)e 口诀：得1得+得框，框一翻就是e 。
（三步曲） 4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→）（1）A:同阶无穷小：lim0()xf fg 是g 的同阶；B:等价无穷小：lim1(g )xf fg 和等价；C:高阶无穷小：lim0(g )xf f g是的高阶.注意：f g 和的顺序ln(1)~+cos ~212 -n特别补充：21sec 1~2-（3）等价替换的的性质： 1）自反性：~;αα2）对称性：~~αββα若，则；3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换题型五lim ()()0(()0,())x axf xg x f x g x 不存在但有界有界：,|()|M g x M有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）识别不存在但有界的函数：sin,cos,,2e5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限（1）极限存在条件 0lim ()(0)(0)xx f x Af x f x A 左左右右（2）极限的连续性 000lim ()()()xx f x f x f x xx 即在连续0(0)(0)()f x f x f x（3）间断点及分类（★难点）把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。
江苏省专转本《高等数学》考试大纲
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载江苏省专转本《高等数学》考试大纲地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容江苏省专转本《高等数学》考试大纲一、答题方式答题方式为闭卷，笔试二、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题、填空题、解答题、证明题、综合题三、考试大纲（一）函数、极限、连续与间断考试内容函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
江苏专转本数学知识点分布（20200511213512）
江苏专转本数学知识点分布（20200511213512）江苏专转本数学知识点分布(仅供参考)1．区间与邻域2．函数(1) 函数的定义(2) 函数的表示法与分段函数(3) 函数的几何特性：单调性(4) 复合函数(5) 反函数有界性、奇偶性、周期性(6) 常见的经济函数：成本函数、收益函数、利润函数、需求函数二、考核目标和基本要求1．理解区间和邻域的概念。
2．理解函数的定义，会区别两个函数的相同与不同，会求函数的定域。
3．能熟练地求初等函数、分段函数的函数值。
4．掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和简单的几何性质。
5．理解复合函数的概念，会正确地分析复合函数的复合过程，理解初等函数的概念。
6．了解反函数的概念，会求简单函数的反函数。
7．了解常见的经济函数：需求函数、成本函数、收益函数、利润函数，会建立一些较简单的经济问题的函数关系。
第二章极限与连续一、考核知识点1．数列的极限(1)数列(2)数列的极限定义2．函数的极限( 1) x?x0 时函数极限的定义( 2)单侧极限及x?x0 时f(x) 极限存在的充分必要条件(3)x?g时函数的极限( 4 )极限的性质3．极限的运算法则4．极限存在的准则和两个重要极限5．函数的连续性( 1)函数的连续性定义(2) 函数的间断点( 3)初等函数的连续性( 4)闭区间上连续函数的性质6．无穷小量与无穷大量( 1 )无穷小量与无穷大量( 2 )无穷大量及它与无穷小量的关系( 3 )无穷小量的阶二、考核目标和基本要求1．了解数列与函数极限的概念(分析定义不作要求)(1)能将简单数列的前若干顶用数轴上的点表示出来，从而观察出它是否存在极限(2)知道常见发散数列有振荡发散和无穷发散两种情形(3)能从函数图象x?xO或x?s时，它是否存在极限2．能正确运用极限的四则运算法则、两个重要极限求数列与函数的极限。
3．了解无穷小量与无穷大量的概念，能判别无穷小量与无穷大量的关系，会对无穷小量的阶进行比较。
高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
1 当 x > 0 时 1 x x 1 x 1 由夹逼定理得 lim x[ ] 1. x 0 x
【注】记住[x]的运算性质： x 1 [ x ] x
7
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
18
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当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 e , lim (1 ) lim (1 ) x x [ x] 1 [ x] 1
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n
A 3 A,
2
1 13 1 13 1 13 lim x . n 解得 A , A (舍去) n 2 2 2
10
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
2
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x ,
于是有sin x BD,
OAB的高为BD ,
专升本高等数学定理及性质集锦
专升本高数定理及性质集锦1、数列极限的存在准则定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：（1），（2），则定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。
2、数列极限的四则运算定理（1）（2）（3）当时，推论：（1）（2），（3）3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。
反之，如果左、右极限都等于A，则必有。
4、函数极限的定理定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2），则有。
5、无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
6、等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。
7、重要极限Ⅰ8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：9、（2）（3）10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。
定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。
定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。
定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）11、闭区间上连续函数的性质在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
高数6极限存在准则PPT课件
即 亦故即有
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
π 2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
π
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求 lim tan x . x0 x
n
f
(xn ) 不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
(1) lim sin 1
1
sin t
1
t
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例4.
求
lim 1
x0
cos x2
x
.
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
1 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2 sin
π n
cos
π n
n
证明: lim
n
An
π
R2
.
证:
lim
0 x x0 时, 有 f (x) A .
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第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 思考题
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2/22
一、极限存在准则
1.【夹逼准则】
【准则Ⅰ】 如果数列 xn , yn及 zn满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
2 作单位圆的切线，得ACO . 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
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sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于
2
x
0也成立.当 0
x
x0 x 【解】 换元法
令 t arcsin x 则 x sin t
当 x 0 时，t 0 于是由复合函数的极限运算法则可得
lim arcsin x lim t 1
x0 x
t0 sin t
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(2)
lim(1 1 )x e
1
或 lim(1 x)x e
n2 n
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加
广义单调数列
x1 x2 xn xn1 , 单调减少
【准则Ⅱ】 单调有界数列必有极限.
【几何解释】
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
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教材 【例2】
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
2sin2 x
【解】原式 lim x0
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
1
sin lim(
x 2
)2
2 x0 x
2
1 12 1 .
2
2
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教材【例3】 求 lim arcsin x .
如 xn n
显有 xn1 xn 1 ①
记
lim
n
xn
lim
n
xn1
A
①式两端取极限后 得 A A 1
从而得 0 1 矛盾
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二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
10/22
C
B
o
x
D
A
设单位圆O, 圆心角AOB x, (0 x )
x x
x0
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1 型
【定义】 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1 )n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
2! n
n! n n
lim
n
zn
a,
那末数列 xn的极限存在,
且
lim
n
xn
a.
【证】 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
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3/22
当n N1时恒有 yn a ,
当n Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时恒有 zn a ,
取 N max{ N1, N2 },
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
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【补例1】 求 lim( 1 1 1 ).
式)的极限存在,并求此极限. xn1 3 xn
推 公
【证】 显然 xn1 xn , xn 是单调递增的 ;
式
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
lim n
xn
A 存在.
？ xn1
3 xn , xn21 3 xn注, 意到
n n2 1 n2 2
n2 n
【解】 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim
n
lim
1
1,
n n2 n n 1 1
lim
n
lim
1
n
1,
n n2 1
n
1
1 n2
由夹逼准则得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n
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类似地, x 1 1 1 (1 1 )
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n1
2! n 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn , xn 是单调递增的;
上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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【准则Ⅰ′】 如果当 x U ( x0 , ) (或 x M )时,有
时,
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin2 x 2( x)2 x2 ,
222
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
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相应地，函数极限也有类似的准则
【准则Ⅱ】（以 x x0 为例，叙述如下）
设函数f ( x)在点x0的某个左邻域内单调且有界 则f ( x)在x0的左极限f ( x0 )必定存在. 准则Ⅱ及 准则Ⅱ 统称为单调有界准则
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【补例2】证明数列 xn 3 3 3 (n重根 递
lim
n
xn
lim
n
xn1
lim
n
x
2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A,
解得 A 1 13 , 2
A
1 2
13(舍去)
lim n
xn
1 2
13 .
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论