第02课时(正弦定理(2))
高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1
正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。
其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。
所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。
2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。
3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
6.4.3余弦定理、正弦定理(第二课时)课件(人教版)
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
答案：A.
巩固练习
解：由正弦定理 ，得：
此时，
巩固练习
此时，
跟踪训练
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，视察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.1 Nhomakorabeac
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
高中数学必修二课件：正弦定理(第二课时)
例2 当△ABC为钝角三角形时，求证：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
【证明】 不妨设B为钝角，如图，过A作AD⊥CB交CB的 延长线于D，
则AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin(180°－B)＝ABsin B＝csin B. 又AD＝AC·sin C＝bsin C，∴csin B＝bsin C. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsin B＝12absin C.同理S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B. 所以S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
6．4.3 余弦定理、正弦定理(二)(第2课时) 正弦定理
要点1 正弦定理的常见变形
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R；
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
课后巩固
1．(高考真题·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
π
π
知b＝2，B＝ 6 ，C＝ 4 ，则△ABC的面积为( B )
A．2 3＋2
B. 3＋1
C．2 3－2
D. 3－1
解析
A＝π－(B＋C)＝π－
π6 ＋π4
＝
7π 12
，由正弦定理
a sin
A
＝
b sin
B
5．(2016·北京)在△ABC中，A＝2π 3 ，a＝ 3c，则bc＝____1____．
解析 ∵a＝ 3c，∴sin A＝ 3sin C，∵A＝2π3 ，∴sin A＝ 23，∴sin C＝ 12，又C必为锐角，∴C＝π6 ，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π6 ，∴B＝C，∴b＝c，∴ bc＝1.
6.4.3第二课时 正弦定理PPT课件(人教版)
则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2 3asin B，得sinb B＝2 33a，根据正弦定理，
得sinb B＝sina A，所以sina A＝2 33a，即sin A＝ 23.又角A是锐
角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 4650°°＝ 6.
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第二课时 正弦定理
[思考发现]
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由 正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正 弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推 知④正确．故选B. 答案：B
由sina A＝sinc C得，c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．所以A＝45°，c＝4(
3＋1)．
2
已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
1.1正弦定理(两课时)
3.思维误区警示：
(1)正弦定理可以解任意三角形； (2)运用该定理解决“已知两边和其中一边 的对角，求另一边的对角，进而求其它 元素”这类问题时，注意对解的判断.
a sin C c 49.57 sin A
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°， c= ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
13 3
注意：
无解
三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解；
然后用大角对大边或三角形三边三角关系进行检验。
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 求角B，C和边c 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
sin A sin B b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16 3
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当 Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32 .
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它 们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三
角形
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
。 。
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 求 C a,b. 解： a c ∵
高中数学平面向量及其应用6.4.3第2课时正弦定理课件
=
×°
=
∴B=45°,∴A=180°-60°-45°=75°.
答案:75°
,
4.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且
判断△ABC 的形状.
解法一:由
=
=
得
=
,
,
=
,
∴sin B=cos B,∴tan B=1.
故 B=60°或 B=120°.
①当 B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.
在 Rt△ABC 中,C=90°,a=2 ,b=6,c=4 ,
故 ac=2 ×4 =24.
②当 B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,
∴A=C,则有 a=c=2 .
(2)由正弦定理,得 sin A=
=
°
=
.
∵0°<A<180°,∴A=60°或 A=120°.
当 A=60°时,C=75°,
∴c= =
°
°
+
=
;
当 A=120°时,C=15°,
∴c= =
°
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 已知两角和一边解三角形
【例1】 在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=2,求C,a,b.
分析:先根据三角形的内角和定理求出角C,再由正弦定理求
a,b.
解:在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.
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1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 2．在ABC ∆中，若
2
cos
2cos
2cos
C c B b A a =
=
，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等边三角形
3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=
a ，则
=++++C
B A c b a sin sin sin ________________．
4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．
5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．
例题剖析
例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，
在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
D A
C
B
在ABC ∆中，已知C
c B
b A
a cos cos cos =
=
，试判断ABC ∆的形状．
在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DC
BD BD
AB =
．
巩固练习
1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 2
2
2
sin
sin
sin =+； （2）B b A a cos cos =．
2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求
C
B A c b a sin sin sin ++++的值．
3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B
两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．
课堂小结
正弦定理的应用．
例2 例3
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名：____________
一 基础题
1．在ABC ∆中，已知2
cos sin sin 2A C B =，则ABC ∆的形状是________________．
2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则
b
c 的取值范围是________________．
3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，2
13)2cos 1)(2cos 1(-=
++C A ，
则b a 2+
________c 2（填不等号）
． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31
tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________．
5．在ABC ∆中，已知)(4
12
2b a S ABC +=∆，求C B A ，，．
6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和
︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？
二 提高题
7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？
8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DC
BD AC
AB =
．
9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a ∙=∙=∙，
证明ABC ∆为正三角形．
三 能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，
β=∠BCD ，BD AD CD ∙=2
，求证：
βαs i n s i n s i n s i n =B A ．
A
B
C D。