《线性代数及其应用》要点整理

《线性代数及其应用》要点整理[使用方法：同学们参照这个目录进行回忆，发现没有掌握的部分立即查阅教材或复习资料]

一、必须掌握的核心计算方法

1、求线性方程组的解；

2、矩阵的加法及数乘；

3、矩阵乘法；

行列法则，矩阵乘法的性质，矩阵的幂；

4、求线性变换的标准矩阵；

5、矩阵的LU分解；

6、矩阵的转置

7、求矩阵的逆；

化简增广矩阵[A I]，逆矩阵公式（伴随矩阵的求法）；

8、求矩阵的行列式值：

余因子展开法（降阶法），行变换法，三角矩阵行列式值

的特殊求法；

9、通过行列式求平行四边形面积和平行六面体的体积；

10、求矩阵的零空间、列空间的基；

11、求向量在向量空间中相对于一组基的坐标；

12、求矩阵的特征向量和特征值；

13、矩阵的对角化；

14、向量的内积、长度（范数）；

15、向量的正交化：

正交分解，正交投影，The Gram-Schmidt Process，一组基

的正交化、单位正交化；

16、矩阵的QR分解；

17、最小二乘问题：

求最小二乘解，最小二乘误差，求解法方程；

18、对称矩阵的对角化；

19、二次型：

将对称矩阵写为二次型，将二次型还原为对称矩阵，二次

型的变量代换（消去交叉项）；

二、核心概念

1、线性方程组（齐次、非齐次，相容、不相容）；

2、矩阵（系数、增广，阶梯型、简化阶梯型，奇异、非奇异、

可逆、不可逆，单位、初等、对角、三角、对称、相似，

正交）；

3、线性无关和线性相关；

4、线性变换；

5、子空间（零子空间，矩阵的行、列、零空间，同构）；

6、向量空间的维数和秩；

7、向量空间的基；

8、行列式；

9、特征方程、特征值、特征向量；

10、向量的内积、长度；

11、正交集，正交投影，正交补；

12、最小二乘解，最小二乘误差；

13、二次型（正定、负定、不定，几何理解）。

三、核心定理(注明格式m.n；m代表章节数，n代表定理序号，如

1.1代表第一章定理1)

[老师提及过的定理都应该掌握，这里列出最核心的可供同学们发散开来构造知识体系的定理]

1、满射和单射的相关定理（1.11，1.12）；

2、可逆矩阵定理（可查分章概念总结第二章的第2点）；

3、张成集定理（4.5），基定理（2.15，4.12）；

4、行列式的性质定理（5.3）；

5、对角化定理（5.5）；

6、谱定理（7.3）；