百校联盟2021届旧高考9月份联考试题+数学(理)含解析
2021年河南省九师联盟高考(理科)数学联考试卷(解析版)
2021年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）一、选接题（共12小题）.1．已知a，b∈R，复数z1＝a+i，z2＝2﹣bi（i为虚数单位），若，则a+b＝（）A．1B．2C．3D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤3〉，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3]B．（3，5]C．[3，5）D．[1，3）3．若双曲线的虚轴长为，则其渐近线的方程是（）A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．下列说法正确的是（）A．“”的否定为“”B．“A＞B”是“sin A＞sin B”的必要条件C．若x＜1，则x2＜1的逆命题为真命题D．若“x＞a”是“log2x＞2”的充分条件，则a≤45．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1．若f（x0）＞﹣1，则x0的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）6．为了计算S＝3+33+333+3333+33333，设计了如图所示的程序框图，则①和②处的框内可以分别填入（）A．S＝S+3×10i﹣1和i＝i+2B．S＝S+（10i﹣1）÷3和i＝i+1C．S＝S+3×10i和i＝i+3D．S＝S+（10i﹣1﹣1）÷3和i＝i+17．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧．“二四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（）A．春分、秋分B．雨水、处暑C．立春、立秋D．立冬、立夏8．函数f（x）＝ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，，AC＝3，BC＝4，点D，G分别在边AC，BC上，点E，F在AB上，且四边形DEFG为矩形（如图所示），当矩形DEFG的面积最大时，在△ABC 内任取一点，该点取自矩形DEFG内的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，给出下列结论：①A＝2，ω＝1，b＝﹣1；②A＝ω＝2，b＝﹣1；③点（，﹣1）为f（x）图象的一个对称中心；④f（x）在[﹣，﹣]上单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于点A，B，与l交于点D，若，|AF|＝4，则p＝（）A．2B．3C．4D．612．《九章算术》卷五《商功》中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”．现有阳马P﹣ABCD（如图），PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．已知向量，满足||＝1，||＝2，当|2﹣|＝2时，向量，的夹角为．14．已知（1+x）（2﹣x）9＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a9＝．15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥PO的侧面展开图的圆心角为；△PEF面积的最大值为．16．已知数列{a n}是公差为d的等差数列，设，若存在常数m，使得数列{c n+m}为等比数列，则m的值为．三.解答题，共70分。
【名师伴你行】2021届高考理科数学二轮复习专题-提能专训2-第2讲-数形结合思想Word版含解析
提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2022·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2022·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝()A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.3．(2022·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2022·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案]B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2022·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2022·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( ) A.613 B.365 C.65 D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“美丽 图象”．下列函数的图象为“美丽 图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，由于y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，由于x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排解C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，依据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2022·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.10．(2022·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B [解析]画出函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2022·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，明显在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，由于函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．由于C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2022·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x 2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观看得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2022·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．[答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA→＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，简洁得到∠ACB ＝120°.∵CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2022·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P.(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0， x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x－x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k ＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2022·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a ∈R . (1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0， ∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0， ∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32， x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增； x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减； ∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln xx 2有唯一正实数根， 令φ(x )＝－x －ln xx 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2xx 4＝x －1＋2ln xx 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增． 即φ(x )≥φ(1)＝－1， 又当x →0时，φ(x )→＋∞， 而当x →＋∞时，φ(x )→0且φ(x )<0，故满足条件的实数a 的取值范围为：{a |a ≥0或a ＝－1}．。
百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学(理)试题
（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为 ，求 的分布列以及数学期望；
（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况.
21．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
图（1）
图（2）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线 ： 上的点 到焦点 的距离为 ，若点 在 ： 上，则点 到点 距离的最小值为（）
A． B． C． D．2
5．已知两个随机变量 ， 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设 ， ，利用最小二乘法，得到线性回归方程 ，则（）
A．变量 的估计值的最大值为 B．变量 的估计值的最小值为
故所求表面积 .
故答案为：C.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.
4．B
【分析】
根据抛物线焦半径得到 ，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.
【详解】
依题意， ，故 ，则 ；
由对称性，不妨设 ，
故 到点 距离的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.
三、解答题
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，点 在线段 上， ，求 的余弦值.
18．已知数列 满足 ，且 ，数列 是公差为 的等差数列.
（1）证明 是等比数列；
（2）求使得 成立的最小正整数 的值.
19．已知长方体 中， ， ，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 在线段 上.
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}=04A x x ≤≤，{}28150B x x x =-+>，则()AB =R（ ）A ．[]4,5B ．[]0,3C ．[]3,4D ．()3,4【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合B,根据补集的定义求出B R，根据交集的定义，计算求得结果.【详解】由281503x x x -+>⇒<或5x >，则[]3,5RB =，则()[]3,4R A B ⋂=,故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查补集、交集的运算，属于基础题. 2．已知复数21z i=-，则z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+-，则z =故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题 3．命题:p “0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x <”的否定p ⌝为（ ） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x ≥B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ D ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ 【答案】C【分析】全称命题的否定：将∀→∃，否定结论即可.【详解】由原命题p 可知：其否定为0:0,2p x π⎛⎫⌝∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，则9S =（ ） A ．36 B ．40 C ．72 D ．80【答案】A【分析】由根与系数的关系可得378a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可求得结果【详解】因为3a ，7a 是方程28130x x --=的两根， 所以378a a +=， 所以()()19379993622a a a a S ++===， 故选：A【点睛】此题考查等差数的性质的应用，考查等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题5．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（ ） A ．4- B ．4 C ．5 D ．5-【答案】D【分析】由定积分得tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2α=，再由2sin cos 2tan 1cos sin 1tan αααααα++=--即可求解. 【详解】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选：D.【点睛】本题考查定积分的计算，三角函数的诱导公式的应用及正余弦齐次式计算，属于基础题.6．已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其期望()3E X =，随机变量Y 服从正态分布()1,2N ，若()0P Y p >=，则()02P Y <<=（ ） A ．23B ．34C ．14D ．12【答案】D【分析】由()3E X =得到p ，根据正态分布的性质再由()0P Y >得到()01P Y <<及()02P Y <<可得答案.【详解】由()3434E X p p ==⇒=，则()304P Y >=，则()31101424P Y <<=-=，则()()1022012P Y P Y <<=<<=，故选：D.【点睛】本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题 。
2021届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题Word版含解析
2021届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数3(2i)i -的虚部为（ ） A.2- B.2C.1-D.1【答案】A【解析】根据21i =-化简3(2)=12i i i ---根据虚部的定义即可选出答案。
【详解】由3(2)(2)12i i i i i -=--=--，所以虚部为2-．故选A ． 【点睛】本题考查复数的运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b ，属于基础题。
2．已知集合2{|4}A x x x =<，{|25}B x x =<<，则A B =（ ）A.{|02}x x <<B.{|45}x x <<C.{|24}x x <<D.{|05}x x <<【答案】D【解析】解出A 集合，再由并集的定义写出A B 即可。
【详解】由2{|4}A x x x =<⇒{|04}A x x =<<，则{|05}A B x x ⋃=<<．故选D ． 【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。
属于基础题3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米【答案】C【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案。
【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ． 【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案。
2021年山东省百师联盟高考数学二轮联考试卷(二)
2021年山东省百师联盟高考数学二轮联考试卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则（∁U A）∪B＝（）A．（1，2]B．[3，+∞）C．（﹣∞，1]∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）2．（5分）设复数z满足（﹣i）z＝2（i为虚数单位），则＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（）＝（）A．﹣16ln2B．16ln2C．﹣8ln2D．﹣32ln24．（5分）已知平面α，β，γ，直线m，n，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β5．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，a1＝2，4a8+2a12＝9a10，数列{b n}满足b n＝log2a n+n，则b2+b4+b6+b8+b10＝（）A．40B．55C．35D．606．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，钢架雪车，跳台滑雪，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有（）种A．180B．225C．200D．4008．（5分）已知双曲线C：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过点F2与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF2|＝2|BF2|，∠BAF1＝，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）2020年7月16日，国家统计局发布2020年上半年中国经济数据．数据显示，上半年，较2019年上半年全国人均消费支出10330元，下降约5.9%（不考虑价格因素），则下列说法正确的是（）A．2020年上半年较2019年上半年人均生活用品及服务消费支出减少了B．2019年上半年人均衣着消费支出和人均居住消费支出的总和超过了人均食品烟酒消费支出C．2020年上半年较2019年上半年人均居住消费支出减少了D．2020年上半年较2019年上半年人均教育文化娱乐消费支出比重降幅最大10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（）A．f（x）＝sin（2x+）B．函数f（x）在[，]上单调递减C．函数g（x）＝cos2x的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称11．（5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件B．若a＞b＞1，则log a2021＜log b2021C．若a＞b＞e（e为自然对数的底数），则a b＞b aD．若+＝1，则a+b≥912．（5分）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，如图，将△ABD沿BD翻折（点P为点A翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．△PBD的外接圆半径为2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC．存在某一位置，使得PB⊥CDD．若PD⊥DC，则此时三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若tan（π﹣α）＝4，则cos（2α+）＝．14．（5分）已知向量，满足＝﹣1，|，|﹣|＝，则向量与．15．（5分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝2axe x﹣（a﹣1）e2x+x2，x∈（﹣1，1），若f（x）有两个不同的零点．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①2a sin C＝c tan A；②2a cos B＝2c﹣b；③2cos2＝cos2A+1；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）求A的值；（2）若△ABC面积为，周长为5，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+n，数列{b n}满足b n＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P﹣ABCD中，P A＝2，AC与BD交于点O，且与P A，PC，N，Q三点，点E在线段PD上（1）证明：OE∥平面BMQN；（2）求直线NQ与平面P AB所成角的正弦值．20．（12分）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）过直线l′：x＝﹣2上一点M做抛物线C的两条切线，设切点为P，Q．求证：直线PQ过定点．21．（12分）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，否则获得2分，进行若干轮游戏，则游戏结束，可得到200元礼券，则游戏结束，可得到纪念品一份（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为p i，（初始得分为0分，p0＝1）．①证明数列{p i﹣p i﹣1}，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：+x2﹣x＞﹣．2021年山东省百师联盟高考数学二轮联考试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
2021年-有答案-某校六年级(上)月考数学试卷(9月份)
2021学年某校六年级（上）月考数学试卷（9月份）一、填空．（25分、第1、2小题每空0.5分，其余每空1分）1. 0.52吨=________千克 2小时15分=________小时12日=________时 600升=________立方米 214平方米=________平方米________平方分米。
2. 0.6=3()=12：________=()30=________÷100．3. 30004005读作________，省略万位后面的尾数约是________．4. 1吨：250千克，化简比是________，比值是________．5. 如果a =2×3×7，b =2×3×5，那么a 和b 的最大公因数是________，最小公倍数是________．6. 既不是质数也不是合数的数是0.1的________倍。
7. 712的分数单位是________． 0.35的倒数是________．8. 甲、乙、丙三个数的平均数是7.5，则甲、乙、丙三个数的和是________．9. 47×3表示________，3×47表示________，47÷13表示________．10. 57×74○5723÷13○2356÷1○56．11. 3米长的铁丝用去23后，又用去13米，还剩________米。
12. 56+56+56+56=________×________．13. 25与它的倒数的和是________．二、判断．（3分）真分数的倒数都比1大。
________．（判断对错）1米的23和2米的13一样长。
________．（判断对错）因为78×87=1，所以78是倒数。
________． 三、选择．（把正确答案的字母填在括号里．7分）男生人数的34是女生人数，这句话中把（ ）看作单位“1”．A.男生人数B.女生人数C.男女生总人数23的45是多少？列式为（ ）A.23×45B.45×23C.23÷45比24的34多7的数是（ ）A.24B.25C.26把一根3米长的铁丝平均分成4段，每段占全长的（ ）A.34米B.14C.34把5克糖加入100克水中，糖占糖水的（ ）A.120B.121C.11910吨减少25吨是多少吨？列式是（ ）A.10×25B.10−10×25C.10−254×(34+12)=4×34+4×12运用了（ ） A.加法结合律B.乘法结合律C.乘法分配律 四、计算．（40分）简算。
百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考(三)-全国卷Ⅰ理科数学试卷及参考答案
百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考全国甲卷数学(理)真题(答案+解析版)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B.143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}45x x ≤< D.{}05x x <≤【答案】B 【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.+==,故A正确；该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+⨯==,故B正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为++⨯==>,故D正确；0.100.140.2020.6464%50%该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+ D.32i --【答案】B 【解析】【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈）A.1.5 B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C 【解析】【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C .5.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72B.132C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为1.732≈）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B 【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以210042''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos 4α∴==，sin tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.11.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212 B.312C.24D.34【答案】A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以1112211332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94-B.32-C.74D.52【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PF PF ⊥，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.16.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；选②③作条件证明①时，设出an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+=，即=，)1n -=+-=所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）112B D =【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AB ⊥因为11//A B AB ，11BF A B ⊥，所以BF AB ⊥，又1BB BF B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2B A C B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．（1）因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．（2）设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅===⋅ ．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ63=．所以()minsin 3θ==，此时112B D =．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出(),0,2D a （02a ≤≤），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为(3)3y x -=-，又1313313131,03A A y y k y x x y y -====∴=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|1y y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)a xx f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x '--=== ,令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =,在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,e e ⋃+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设),Mθθ+，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)MθθAP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时a的值可求.【详解】（1）可得2,2 ()22,2x xf x xx x-<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg x x x x xx⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a+=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f xg x图像，()y f x a=+是()y f x=平移了a个单位得到，则要使()()f x ag x+≥，需将()y f x=向左平移，即0a>，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号；2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑选项，非选择题在答题卡上作答；3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
1.(5分) 设集合M={x|0<x<4}，N={x|≤x≤5}，则M∩N=（）A。
{x|0<x≤} B。
{x|≤x<4} C。
{x|4≤x<5} D。
{x|0<x≤5}2.(5分) 对某地农村经济情况进行抽样调查，得到收入频率分布直方图。
下列结论中不正确的是（）A。
低于4.5万元的农户比率估计为6%B。
不低于10.5万元的农户比率估计为10%C。
农户年收入平均值不超过6.5万元D。
有一半以上的农户年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.(5分) 已知，则z=（）A。
-1-i B。
-1+i C。
+i D。
-i4.(5分) 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）1.5、1.2、0.8、0.65.(5分) 已知双曲线C的两个焦点为F1和F2，点P在C上且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A.≈1.259 B。
C。
D.6.(5分) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E、F、G。
该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（）A。
B。
C。
D.7.(5分) 等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(5分) 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。
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则点 M 到点 N 距离的最小值为
A. 26 －1 B. 43 －1 C. 33 －1 D.2
5.根据散点图可知，变量 x，y 呈现非线性关系。为了进行线性回归分析，设 u＝2lny，v＝(2x
－3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程 u＝－ 1 v＋2，则 3
A.变量 y 的估计值的最大值为 e
D. y 1 x 4
7.已知函数 f(x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)，若 f(－ )＝3，f( )＝0，则ω的最小值为
3
3
1
3
A.
B.
C.2 D.3
2
4
8.(3x－2)2(x－2)6 的展开式中，x4 的系数为
A.0 B.4320 C.480 D.3840 9.已知圆 C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线 l：12x－5y－1＝0 与圆 C 交于 M，N 两点，
BCA，D，E，F 分别为线段 AB，BC，AC 的中点，则直线 SA，SB，AC，SD 中，与平面 SEF
所成角为定值的有
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
ex
2
12.已知函数 f(x)＝ －m(lnx＋x＋ )恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为
x
x
1
A.(－∞， ]
2次或两次，则获得 300 积分，若摸出“2 张奖券”的次数为零，则获得 0 积分；获得的积分 扣除花费的 100 积分，则为该顾客所得的最终积分；最终积分若达到一定的标准，可以兑换 电饭锅。洗衣机等生活用品。
(1)求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为零的概率； (2)记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为 X，求 X 的分布列以及数学期望； (3)试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最 终积分情况。
则|MN|＝
A.3 B.4 C.6 D.8
10.已知角α的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中 m>0；若 tan2α
12
＝－ ，则 cos(2α＋mπ)＝
5
A.－ 6 13
B.－ 12 13
6
C.
13
12
D.
13
11.已知三棱锥 S－ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC＝∠ABC＝90°，∠BAC＝2∠
2
1e e
C.( ， )∪( ，＋∞)
23 3
1e
D.(－∞， ]∪( ，＋∞)
23
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
x 2 0
13.若实数 x，y 满足 x y 0 ，则 z＝2x＋y 的最大值为
。
x y 3 0
14.已知|a|＝5，|b|＝3，若 a 在 b 方向上的投影为－3，则|2a＋3b|＝
百校联盟 2021 届普通高中教育教学质量监测考试 全国卷 理科数学
注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟。 5.考试范圃：必修 1～5，选修 2－1，2－2，2－3。
B.变量 y 的估计值的最小值为 e
-1-
C.变量 y 的估计值的最大值为 e2
D.变量 y 的估计值的最小值为 e2
6.函数 f(x)＝ln2x－x3 的图象在点( 1 ，f( 1 ))处的切线方程为 22
A. y 5 x 3 44
B. y 5 x 2 4
C. y 1 x 1 44
。
15.已知三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，SA＝AB＝4，BC＝6，AC＝2 13 ，则三棱锥 S
-2-
－ABC 外接球的表面积为
。
16.已知
O
为坐标原点。双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左、右焦点分别为
F1，F2，
OA AF2 ，以 A 为圆心的圆 A 与 y 轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点 O，P，记双曲
三等分点，点 N 在线段 B1C1 上。
(1)求证：BM⊥MN； (2)求二面角 C－B1M－C1 的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) 疫情过后，为了增加超市的购买力，营销人员采取了相应的推广手段，每位顾客消费达到 100 元以上可以获得相应的积分，每花费 100 积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽 奖箱中放有 2 张奖券，3 张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮抽 奖游戏；若摸出的结果是“2 张奖券”三次，则获得 10100 积分，若摸出的结果是“2 张奖券”
线 C 的左顶点为 M，若∠PMF2＝∠PF2M，则双曲线 C 的渐近线方程为
。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分)
5acosC
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b－
＝5cosA。
c
(1)求 c；
(2)若 b＝7，B＝ ，点 M 在线段 BC 上，AM＝5，求∠MAC 的余弦值。
3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一
“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为 1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为
A.9π＋9 2 ＋9 B.18π＋18 2 ＋9 C.18π＋18 2 ＋18 D.18π＋9 2 ＋18 4.已知抛物线 C1：y2＝6x 上的点 M 到焦点 F 的距离为 9 ，若点 N 在 C2：(x＋2)2＋y2＝1 上，
3
18.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}满足 a2＝2a1＝4，且 an＋1－bn＝2an，数列{bn}是公差为－1 的等差数列。
(1)证明{an－n}是等比数列；
(2)求使得 a1＋a2＋…＋an>2200 成立的最小正整数 n 的值。
19.(本小题满分 12 分)
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，BB1＝3 2 ，点 M 是线段 AA1 上靠近 A 的
第I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若 z＝2－i，则|z2－z|＝
A.3 B.2
C. 10
D. 26
2.若集合 A＝{x|y＝log3(x2－3x－18)}，B＝{－5，－2，2，5，7}，则 A∩B＝ A.{－2，2，5} B.{－5，7} C.{－5，－2，7} D.{－5，5，7}