江苏省泰州市姜堰区2016届高三下学期期初考试数学试题附加题
2016-2017学年江苏省泰州二中高三(下)开学数学试卷
2016-2017学年江苏省泰州二中高三（下）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=．5．（5分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和S n，若S n=2，S3n=14，则S6n=．9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．10．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．11．（5分）已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．13．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．14．（5分）已知实数a1，a2，a3不全为零，正数x，y满足x+y=2，设的最大值为M=f（x，y），则M的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M 和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．16．（15分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．17．（15分）如图，F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．18．（15分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．19．（15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k （k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．20．（15分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n（n=1，2，3，…）．（1）若b n=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n（n=1，2，3，…）”．+12016-2017学年江苏省泰州二中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，16}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=3﹣4i．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=log319．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1不满足条件n＞3，执行循环体，n=3，不满足条件n＞3，执行循环体，n=19，满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319．故答案为：log319．5．（5分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是．【解答】解：同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），基本事件总数n=6×6=36，点数和为5，包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），有4个，∴点数之和是5的概率p==．故答案为：．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和S n，若S n=2，S3n=14，则S6n=126．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比等于q，∵S n=2，S3n=14，∴=2，=14，解得：q n=2，=﹣2．则S6n =（1﹣q6n）=﹣2（1﹣64）=126．故答案为：1269．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．【解答】解：A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，由题意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，求得T=，故答案为：．10．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π11．（5分）已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．【解答】解：∵+2+3=，∴++2+2=，取AC，BC的中点分别为E，F；∴2+4=0，记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AE|=|EC|=，|EH|=2xcosA，故=cosA，即=2cosA，解得cosA=或cosA=﹣（舍去），故A=，故答案为：．12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣213．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．14．（5分）已知实数a1，a2，a3不全为零，正数x，y满足x+y=2，设的最大值为M=f（x，y），则M的最小值为．【解答】解：若a2=0，则=0，若a2≠0，则=≤≤=，∴M=，∵正数x，y满足x+y=2，即y=2﹣x，∴x2+y2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2，当x=1时，x2+y2取最小值2，∴M的最小值为．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M 和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M=BN．所以MC1NB为平行四边形．所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N；（2）因为CC1⊥底面ABC，所以AC⊥CC1．因为AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB．16．（15分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．【解答】（本题满分14分）解：（1）化简得：f （x）=sin（2x﹣）（x∈R），所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分）（2）因为f （A）=sin（2A﹣）=1．因为A为锐角，所以2A﹣∈（﹣，），所以2A﹣=，所以A=．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）17．（15分）如图，F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵动弦AB平行于x轴，∴|F1B|=|F2A|，且|F1A|+|F1B|=4，∴|F2A|+|F1A|=4=2a，解得a=2．又2c=2，解得c=．∴b2=a2﹣c2=2．∴+=1．（2））F1，F2．设A（x0，y0），B（﹣x0，y0），P（m，n）（P≠A，B），=1，=1．直线PA方程：y﹣n=（x﹣m），可得：M．直线PB方程：y﹣n=（x﹣m），可得：N．∴k1=，k2=，∴k1k2=×===﹣1为定值．18．（15分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsinθ，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC=∠DOF，可知，…（2分）又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，在△DFO中，有，可得…（5分）所以S=S+S ODF+S OCE=S△COD+2S ODF=△COD=…（8分）（2）…（10分）=（其中）…（12分）当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．又，所以S的最大值为．…（14分）19．（15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k （k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．【解答】解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解得，故k=1≠0，a存在，所以f（x）=x2∈M．（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=﹣（k+），由于|k+|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1）和（nπ，﹣1），n∈Z．（3）因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的函数．若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（x），若2＜x＜3，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos（x），若3＜x＜4，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos（x），f（x）=故f（x）=当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016．20．（15分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n（n=1，2，3，…）．（1）若b n=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）”．【解答】解：（1）由b n=10﹣n，可得b n+1﹣b n=（9﹣n）﹣（10﹣n）=﹣1，故{b n}是等差数列．所以a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）=…（4分）（2）a2n+3﹣a2n+1=（a2n+3﹣a2n+2）+（a2n+2﹣a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+231﹣2n）﹣（22n+1+232﹣2n）=22n+1﹣231﹣2n…（6分）由a2n+3＜a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＜0⇔n＜7.5，a2n+3＞a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＞0⇔n＞7.5，…（8分）故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，所以数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．…（10分）法二：由，…（5分）可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n==…（8分）（当且仅当22n+1=233﹣2n，即n=8时取等号）所以数列{a2n+1}中的第8项最小．…（10分）（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则c n+1﹣c n=（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）=d+2d=3d为常数，所以数列{c n}为等差数列．…（12分）由b n=a n+1﹣a n=d（n=1，2，3，…），可知b n≤b n+1（n=1，2，3，…）．…（13分）若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，则c n+1﹣c n=（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）=b n+2b n+1=D（n=1，2，3，…），…（15分）又b n+1+2b n+2=D，故（b n+1﹣b n）+2（b n+2﹣b n+1）=D﹣D=0，又b n+1﹣b n≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n=b n+2﹣b n+1=0（n=1，2，3，…），…（17分）所以b n+1=b n（n=1，2，3，…），故有b n=b1，所以a n+1﹣a n=b1为常数．故数列{a n}为等差数列．综上可得，“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）”．…（18分）。
江苏省泰州市姜堰区2016届高三下学期期初考试数学试题(含附加题)
姜堰区2015-2016学年第二学期期初联考高三数学(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．设U=R,A={x|x<1} 则C U A= . 2．计算i+i 3= （i 为虚数单位）．3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁 的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工 中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人。
4．如图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.5．若以连续掷两次骰子得到的点数m,n 分别作为点P 的横、纵坐标，则 点P 在直线x+y=4上的概率为 ．6．函数f(x)=2sinx+3cosx 的极大值为 .7．抛物线y 2=4x 上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F 的距离相等，则该定点F 的坐标为 ．8．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，满足2n=，则数列{a n }的公差d= ．9．函数 f(x)=e x 可以表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数h(x) 之和，则g(x) 。
10.圆C 过点A(2,0),B(4,0)，直线l 过原点O ，与圆C 交于P ，Q 两点，则OP ·OQ= 。
11．已知非零向量a b c 、、满足x 2a +x b +c =0,x ∈R ．记△=b 2-4a c c ，下列说法正确的是 .（只填序号）①若△=0，则x 有唯一解； ②若△>0，则x 有两解； ③若△<0，则x 无解。
12．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4)= f(x)，且在[0,2] 上f(x)= (1),(01,sin ,(12x x x x x π-≤≤⎧⎨<≤⎩则2941()()46f f +=_______. 13．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij (i,j ∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左 往右数第j 个数，如a 42=8,若a ij =2015，则i+j=14．在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=1，P 为平行四边形内一点，且 ，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈ ，则λ的最大值为___________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD 底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点F. （Ⅰ）求证：PA ∥平面EBD （Ⅱ）求证：PB 平面EFD 16．（本题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=btanA ，且B 为钝角．(Ⅰ)证明：B-A=2π； (Ⅱ)求sinA+sinC 的取值范围． 17．（本题满分14分）已知数列{a n }为等差数列，首项a 1=5,公差d= -1，数列{b n }为等 比数列，b 2=1，公比为q （q>0），c n =a n b n ，S n 为{c n }的前n 项和，记S n =c 1+c 2+..+c n . （Ⅰ）求b 1+b 2+b 3的最小值； （Ⅱ）求S 10；（Ⅲ）求出使S n 取得最大的n 的值。
2016江苏省南通、泰州、扬州、淮安高中三年级第二次模拟考试数学试卷(含答案)
南通市、泰州市、扬州市、淮安市 2016 届高三第二次调研测试数学Ⅰ注意事项1. 本试卷共 4 页，包括填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务势必自己的姓名、 考试证号等用书写黑色笔迹的 0.5 毫米署名笔填写在答题卡上。
3. 作答试题一定用书写黑色笔迹的 0.5 毫米署名笔写在答题卡的指定地点， 在其余地点作答一律无效。
若有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚。
参照公式：1棱锥的体积公式： V 棱锥 = Sh ，此中 S 为棱锥的底面积， h 为高 .一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应地点上 .．．．．．．．． 1.设复数 z 知足 (1 2i ) z3 （ i 为虚数单位），则复数 z 的实开始部为.k 02. 设会合 A{ 1, 0, 1}，Ba 1, a1，A B{0} ，则实数aNk 2kk 2a 的值为.k > 93. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是.Y输出 k4. 为认识一批灯泡 （共 5000 只）的使用寿命， 从中随机抽取了100 只进行测试，其使用寿命（单位： h ）以下表：（第 3题）结束使用寿命[500 ，700)[700 ，900)[900 ， 1100)[1100 ，1300) [1300 ，1500)只数52344253依据该样本的频数散布，预计该批灯泡使用寿命不低于 1100 h 的灯泡只数是.5.电视台组织中学生知识比赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义中心价值观、依法治国理念、中国优异传统文化、创新能力 . 某参赛队从中任选 2 个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是.y6.已知函数 f x a(x b a且 a， b R的图象 f ( x)log a (x b)( )log)(1)以下图，则 a b 的值是.+-3O x 7.设函数 y sin x(0x) ，当且仅当 x时，-2312y 获得最大值，则正数的值为.（第 6题）8.在等比数列 { a n } 中， a21，公比 q 1 .若 a2，4 a3，7 a5成等差数列，则 a6的值是.9.在体积为3的四周体ABCD中，AB平面 BCD， AB ，BC ，BD ，则 CD 长度的全部值2=1=2=3为.10.在平面直角坐标系xOy 中，过点 P，0)的直线与圆x2 y2相切于点 T，与圆(-2+ =1( x a) 2( y3) 2 3 订交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为.11.已知 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且对于随意的x[0,) ，知足 f ( x+2)=f ( x). 若当x[0, 2)时， f ( x)| x2x 1| ，则函数y=f ( x)-1在区间[-2,4] 上的零点个数为.A12. 如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线m，n 的同侧，且 A 到Bmm，n 的距离分别为 1，3.uuur uuur点 B，C分别在 m，n 上，|AB AC| 5，uuur uuur.n 则 AB AC 的最大值是C设实数 x，y 知足x2（第 12 题）13.y21，则 3x22xy 的最小值是.414.若存在 ,R ，使得tcos32cos，则实数 t的取值范围是.≤ t ≤5cos二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分.请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 14 分）在斜三角形 ABC中， tan A tan B tan A tan B 1.（ 1）求 C 的值；（）若 A 15o, AB 2 ，求△ABC的周长.216.（本小题满分 14 分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M， N， P 分别为棱 AB， BC，C1D1的中点 .求证：（ 1） AP∥平面 C1MN；D 1P C111（ 2）平面 B1 BDD⊥平面 CMN.B1A1DCNA M B（第 16 题）17.（本小题满分 14 分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30 m的围墙 . 现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形 AEB（∠ AEB=90o ），如图 1 所示，此中 AE+EB=30 m；方案② 多边形为等腰梯形 AEFB（ AB>EF），如图 2 所示，此中 AE=EF=BF=10 m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确立使苗圃面积最大的方案.A B A BE E F图1图2（第 17 题）18. （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆x2y21(a b 0) 的离心率为 2 . A 为椭圆a2b22uuur uuur y 上异于极点的一点，点P知足OP2AO .（ 1）若点 P 的坐标为(2，2 2)，求椭圆的方程；BP C（ 2）设过点P 的一条直线交椭圆于B， C 两点，且uuur uuur1，务实数 m BP mBC ，直线 OA， OB 的斜率之积为2的值 .O x A（第 18 题）19. （本小题满分 16 分）设函数 f ( x) ( x k 1) x k , g( x)x k 3 ，此中k是实数.（ 1）设 k=0，解不等式x f ( x) ≥1x 3 g( x) ；2（ 2）若 k≥0，求对于 x 的方程f ( x)x g( x) 实根的个数.20.（本小题满分 16 分）设数列 { a n} 的各项均为正数， { a n } 的前 n 项和 S n 1( a n 1)2，n N * .a4（）求证：数列{}为等差数列；1n（ 2）等比数列 { b n } 的各项均为正数，b n b n 1≥S n2， n N *，且存在整数 k ≥ 2 ，使得 b k b k 1 = S k 2 .（i ）求数列 { b n} 公比 q 的最小值（用 k 表示）；（ii ）当n≥2时，b n N*，求数列 { b n} 的通项公式 .2016 届高三第二次调研测试数学试题 1 参照答案一、填空题：31. 【答案】 5【分析】由于 z3 3(1 2i ) 3 6i3 ，因此 z 的实部为 .1 2i (1 2i )(1 2i) 552.【答案】 1【分析】∵ A B{0} ，∴ 0B ，∴ a 1 0 或 a1 经查验当 a1 时，切合题意 .0 ，解得 a 1 .a3. 【答案】 17【分析】当 k =0 时，循环结果为 k =1；持续循环，结果k =3；持续循环，结果 k =17.退出循环，输出 k的值 .4. 【答案】 1400【分析】使用寿命不低于1100h 指的是使用寿命在[1100, 1300) 和[1300 ， 1500) 范围以内，故使用寿命不低于 1100h 的灯泡数目预计是 25 3500 1400 .1005. 【答案】25【分析】 从 5 个主题中选择 2 个主题作答， 共有 10 种结果， 此中“立德树人” 主题被选中的结果有 4 种，故“立德树人”主题被选中的概率 = 4 2.10 56.【答案】 92b ) ，190=log a= ，【分析】∵函数( ) 的图象经过点(-3 ， 0) 和点 (0 ， -2) ，∴有(-3+ 解得 a2∴+=.f x-2=log a (0+ b ) ，=4， a b 2b7. 【答案】 2【分析】∵ 0 x且仅当 x 时 y 取最大值，∴最大值为 1，且32k( k z) ，解得1212224k 2(kz) . 又∵仅当 x时 y 取最大值，∴函数周期知足：3T ，即32，即12223 ，∴2 .8.【答案】 149【分析】∵ a 1， 4a 3， 7a 5 成等差数列， ∴ 2 4a 3 a 1 7a 5 ，即 8a 1 q2a 1 7a 1 q 4，解得 q 21, 1，∵ q1，7∴ q1，∴ a 6 a 2 q 4 (q 2 )21 .7499. 【答案】 7， 49【分析】由题意知四周体ABCD 的体积 V1S BCD AB1S BCD3，∴S BCD3 3 .3322又1 且 BC ，BD ，∴ 3 o或 120 o ， 由余弦定SBCDBCBD sinCBDsin CBD，∴CBD60=2=322理得 CD 2BC 2 BD 22BC BD cos CBD 7 或 19，故 CD 7或 19.10. 【答案】 4【分析】如图，连结OT ，∵ OT =1， OP =2，∴∠ TPO =30o ，∴直线 PT 方程为： y3( x 2) ，即 x 3y 2 0 .3y54又2213 ，且 PT RS ，∴，3PT2RS 3=SR由弦长公式可知，圆心(a ， 3) 到直线 PT 的距离 d 为3， 22T1| a3 3 2 |，∴ a 4 .P又∵ d–3 –2 –1O 1234x22–11( 3)11. 【答案】 7–2【分析】由 f ( x +2)= f ( x ) 知 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数，–3函数 y =f ( x )-1 的零点个数由 y =f ( x ) 与 y =1 的交点个数确立 .画出函数 y =f ( x ) 在区间 [-2, 4]上的图象，与直线 y =1 有 7 个交点，故函数 y =f ( x )-1 有 7 个零点 .y321y=1–2–1O 12 3 4x–112. 【答案】214【分析】成立以下图的直角坐标系，yAmBnOCx此中， (0，3)，设 (，2)， (，0) ，则uuuruuuruuuruuurAB (b, 1) ，AC (c,3)， 由| AB AC| 5知 ，AB bC c( b c)2( 1 3) 25 ，化简得 (bc)29 ，由 (bc)2≥ 4ab 得 ab ≤9.4uuur uuur bc 3≤ 9321，当且仅当 b =c 时取最大值 .∴ AB AC4413.426x x1 x t 1，yt 3x 22 xy 6 2t 2≥6 42.2y tt112y (t ，2 )t14.2，13s cos[ 1,1]s0t0 .s[ 1,0) t s 2s2t 2s 22s2t 2s22t 2s 2t≥2s 32 s≤ t ≤5ss [ 1,0)3ss2t ≤2s5s2 sp( s)2s3[1,0) 2s32 s2smin2 3q(s)2s 35s21,0)2s 3 5s 22[1t ,1 .2 s2smax3tan Atan B tan A tan B1tan Atan B 1tan A tan B1 tan A tan B 01ABCtan(AB) tan A tan B 141 tan A tan B 1tan(180oC) 1tan C10oC180o C135o .62ooB 180 oA C 30 o .ABCA 15，C135BCCAABBC CA AB29sin Asin BsinC sin15 osin30 oosin135BC 2sin15o2sin(45o30o) 2(sin 45ocos30ocos45osin30 o)6212CA 2sin30 o 1 2ABCABBC CA2 16 22 6 21422.D 1PC 1B 1-1111P1 1A 1ABCDAB C DMAB CDAM =PC 1.AM CD PC 1 CDAM PC 1 AMC 1PD( 16 ).AP C1M.4AP C1MN C1M C1MN AP C1MN .6 2AC ABCD AC BD.M NAB BCMNAC.MNBD.8ABCD-A1B1C1D1DD1ABCD MNABCDDD1MN.10DD1∩ DB=D DD1DE BDD1B1MN BDD1B1.12MN C1MN B1BDD1C1MN.1417.S1 S2.=S113AE x x(30 x)22255 (x=15“=”).≤ 1 x (30 x)5 222BAE=θS2100sin (1cos，， .8 )02S2'100(2cos 2cos1) 0cos1cos1.1020,230,33,32 S2'+0-S2( S2 )max75 312 3255753BAE=3.225522.m， 753m=2BAE314uuur uuur 2)， 2 18.OP2AOP(2,A11.211 1a 2 2b 22 b 2 2 1.2a 222 a 2=2 b 2=1 x22A ( x 1 y 1) B ( x 2 y 2) C ( x 3 y 3).24y 2 1 .6uuur uuurOP 2AOP (-2 x 1 -2 y 1).uuuruuurx 1- x 2 -2 y 1- y 2)= m ( x 3- x 2 y 3- y 2)BPmBC (-22x 1x 2 m( x 3 x 2 ) ，x 3 =m 1x 2 - 2x 1，mm92 y 1 y 2 m( y3 ， y 3 =m 1y 2 - 2y 1 .y 2 )mm22m 1x 22x 1 m 1y 22y 1mmmm1a 2b24x 1 2 y 1 2 (m 1)2x 2 2 y 2 2 4(m 1) x 1 x 2y 1 y 2 1.12m2a 2b 2m 2a 2b 2 m 2 a 2 b 2A Bx 1 2 y 12 1， x 22y 22a 2b 2a 2b 2 1 .OA OB1y 1 y 21 x 1x2 y 1 y 2 0.14x 2a 2b 22x 124( m 1)21m 5.16m2m22x ≥ ，19.1 k =0f ( x)( x1) x ，g( x)x3 .x ≥ 0 .2x3≥ 0( x 1)x ≥ 1( x3)2 x 2x 3≥ 02x ≤3[1， ) .5x ≥ 1.22f (x) x g( x)( xk 1)x k x x k 3 .xk ≥ ，x ≥ kx ≥ 0 xk1 0 .xk 3≥ 0(2 k 1)x 2 (k 2 1)x k (k 1)20( x ≥ k ) .7k1 x 32.2k1 (k 1)2 (3k 1)22ik1x4 1.103=033ii0≤ k1k1[(2 k1)x k( k 1)]( x k 1) 023x 1k (k1)x 2 k 1 .1 2k>0x 1x 2x 2k1 k x 1k3k 2≥ 0x 1 ≥ k .1 2k.14iiik1k 3k 2 0x 1 kx 1.ii x 11 2k2x 2 k 1k .k ≥1k1230 ≤ k1k1.1623，2k 1，ii2x k 2 1k .2(2 k 1) k ，h(k ) 3k 2 ，S n1( a n 1)24S n 11(a n 1 1)2， n ≥ 2.4-(a n a n 1)(a nan 12) 0， n ≥ 22{ n }a n a n 1 0，n ≥ 2 .aa na n 1 2， n ≥ 2{ a }.4n2 I n =1 a 1=1 a n =2n -1S n =n 2 .由 b k b k 1 S k 2 (k ≥ 2) 得， b 1k 2 1 ，kq2n 1因此 b nkb 1 q n 1 k 2 q2，③由 b n b n 1 ≥ S n 2 得， k 4 q 2 n 2 k ≥ n 4 ，即 q n k ≥n2， ④k当 = 时，④恒成立 .n kk ln q lnn n 1k+1 时，④两边取自然对数，整理得：k . ⑤当 ≥ ≥n≥12n 1 kkk1 1 ln 1设 f ( x)ln x( x 1) ，则 f '( x)x 1)2x ，x1( x记 g( t)1 t ln t ， 0t 1，则 g '(t)1 t0 ，t故 g(t) 为（ 0， 1）上增函数，因此g(t) g (1)0 ，进而 f '( x) 0 ，ln n1 . 故 f ( x) 为 (1，+ ) 上减函数，进而k 的最大值为 k ln1nk1k⑤中，k ln q≥ k ln 11，解得 q ≥1 21 .10 分2kk1 2当 n ≤ k 1 时，同理有 q ≤ 1，k112因此公比 q 的最小值为1（整数 k ≥ 2） .12 分k（Ⅱ）依题意， qN * .1 22由（ 2）知， q,111k （整数 k ≥ 2），k11 21 2因此 q ≥ 11 ， q ≤ 1 ≤ 4 ，kk1 进而 q {2,3, 4} ，1 21 27当 q =2 时，1 ≤ 21 ，只好 k =3，此时 b nn≤ 9 2 2，不符；kk 12016江苏省南通、泰州、扬州、淮安高中三年级第二次模拟考试数学试卷(含答案)1212n5q=31≤ 3≤ 1k=2b n 4 22 k k11212q=41≤ 4≤ 1k=2b n22 n 3.k k1b n22n 3 .16。
数学---江苏省泰州市第三中学2016届高三下学期期中考试(解析版)
江苏省泰州市第三中学2016届高三下学期期中考试考生注意：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
）1.命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．2.已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．3．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）．4.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离5.已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．6.两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是7.如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是8.已知点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于9．“0＜a＜3”是“双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）10.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆上，且|AF 2|=6，则△AF 1F 2的面积是11.已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m 的值为： ．12.过直线2=y x 上的一点P 作22:(2)(1)1-+-= M x y 的两条切线12l l ，，,A B 两点为切点．若直线12l l ，关于直线2=y x 对称，则四边形PAMB 的面积为13．已知x ∈R ，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x 2﹣4x ﹣12≤0”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．14．已知直线l 的方程是60x y +-=，,A B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形 （O 为坐标原点），则△OAB 外接圆的方程是 ．二、解答题（本大题共六小题，共计90分15.16.17每题14分18.19.20每题16分。
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姜堰区2015-2016学年第二学期期初联考高三数学(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．设U=R,A={x|x<1} 则C U A= .2．计算i+i 3= （i 为虚数单位）．3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁 的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工 中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人。
4．如图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.5．若以连续掷两次骰子得到的点数m,n 分别作为点P 的横、纵坐标，则 点P 在直线x+y=4上的概率为 ．6．函数f(x)=2sinx+3cosx 的极大值为 .7．抛物线y 2=4x 上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F 的距离相等，则该定点F 的坐标为 ．8．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，满足2n=，则数列{a n }的公差d= ．9．函数 f(x)=e x可以表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数h(x) 之和，则g(x) 。
10.圆C 过点A(2,0),B(4,0)，直线l 过原点O ，与圆C 交于P ，Q 两点，则OP ·OQ= 。
11．已知非零向量a b c 、、满足x 2a +xb +c =0,x ∈R ．记△=b 2-4a c c ，下列说法正确的是.（只填序号）①若△=0，则x 有唯一解； ②若△>0，则x 有两解； ③若△<0，则x 无解。
12．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4)= f(x)，且在[0,2]上f(x)= (1),(01,sin ,(12x x x x x π-≤≤⎧⎨<≤⎩则2941()()46f f +=_______. 13．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij (i,j ∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左 往右数第j 个数，如a 42=8,若a ij =2015，则i+j=14．在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=1，P 为平行四边形内一点，且，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λ的最大值为___________． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分 14 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点F. （Ⅰ）求证：PA ∥平面EBD （Ⅱ）求证：PB 平面EFD 16．（本题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=btanA ，且B 为钝角． (Ⅰ)证明：B-A=2π； (Ⅱ)求sinA+sinC 的取值范围． 17．（本题满分14分）已知数列{a n }为等差数列，首项a 1=5,公差d= -1，数列{b n }为等 比数列，b 2=1，公比为q （q>0），c n =a n b n ，S n 为{c n }的前n 项和，记S n =c 1+c 2+..+c n . （Ⅰ）求b 1+b 2+b 3的最小值； （Ⅱ）求S 10；（Ⅲ）求出使S n 取得最大的n 的值。
数学---江苏省泰州市第三中学2016届高三下学期期中考试
江苏省泰州市第三中学2016届高三下学期期中考试 本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合{}54321，，，，=A ，{}8,7542，，，=B ，则=B A ．2．复数23i z =-的实部是 ． 3．函数)2ln(1)(x x x f -+-=的定义域为 ． 4．设幂函数()为实数ααx x f =)(的图像经过点()8,4，则=)(x f ．5．已知函数⎩⎨⎧<≥+=-4,24,32)(1x x x x f x ，则[]=)3(f f ． 6．计算()=+-32272lg 4lg 32lg ． 7．用反证法证明命题“设,a b 是实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的反设是 （填序号．．．） （1）方程30x ax b ++=恰好有两个实根 （2）方程30x ax b ++=至多有一个实根 （3）方程30x ax b ++=至多有两个实根 （4）方程30x ax b ++=没有实根8．已知函数52lg )(-+=x x x f 的零点()()Z k k k x ∈+∈1,0，则=k ．9．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，72)(2-=x x f ，则=-)2(f ．10．已知212+=a ，函数x x f a log )(=，若正实数n m ,满足)()(n f m f >，则n m ,的大小关系是 ．11．若复数z 满足324i z z -=+ ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ．12．已知函数)(1)()1(x f x f x f +=+，且1)1(=f ，则=)10(f ．13．将全体正整数排成一个三角形数阵：51 41 31 21 1101 9 8 765 4321按照以上的排列规律，第20行第2个数是 ． 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-=1,21211,22)(x x x x f x ，若存在实数21x x <，使得()()21x f x f =，则)(12x f x 的取值范围是 ．二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分。
江苏省省2016届高三第四次模拟5月考试数学试题Word版含答案
省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学 试 题命题：高三数学组(考试时间：120分钟 总分：160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1、已知集合}02|{2≤--=x x x A ，集合}31|{≤<=x x B ，则B ⋃A = 2、已知i 为虚数单位，复数ii z ++=122，则复数z 的模为 3、命题“∃x ≥0，使x (x ＋3)≥0”的否定是 4、下列程序： 1←SFor I From 1 to 10 Step 3 I S S S ⨯+← End ForPrint S输出的结果S 是5、在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+ y ≤ 0的概率为6、底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 ．7、函数3sin 32cos 6)(2-+=x xx f ωω(0>ω)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形，则ω=8、已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则tan ∠AOB 的最大值等于 9、0,0>≥y x ，2≤+y x ，则yx y x +++2124最小值10、已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是11、设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是△12PF F 的内心，若△1IPF ，△2IPF ，△12IF F 的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为12、已知函数||)(a x x x f -=，]3,2[1∈∀x ，]3,2[2∈∀x 21x x ≠， 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+，则实数a 的取值范围 13、已知点O 为△ABC 的垂心，032=++OC OB OA ， 则角A=14、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=4028，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15、（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．．．．，14BC CC ==,D 是11A C 中点. （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ； （Ⅱ）求点B 到平面1B CD 的距离.16、（本小题满分14分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式及定义域； （2）设()6()1g x m f x =⋅+ (0,)3x π∈，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为3(1,]2？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．17、（本小题满分14分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域O AB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切． AB1AC1C D 1B（1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．18、（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，设椭圆上任一点到点Q(0,6)的距离为d ．（1）求d 的最大值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点,l 为椭圆的右准线．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．19、（本小题满分16分） 已知函数0,0|,|)(ln )(><--+=c a c x c x x a x f(1)当41,43=-=c a 时，求函数)(x f 的单调区间； (2)当12+=a c 时，若41)(≥x f 对任意),(+∞∈c x 恒成立，求实数 a 的取值范围;x O y P F TAlS(3)设函数)(x f 的图像在两点P ))(,(11x f x ，Q ))(,(22x f x 处的切线分别为l 1,l 2，若21ax -=，c x =2，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值.20、（本小题满分16分）已知有穷数列}{n a 各项均不相等，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列}{n P ，称}{n P 为}{n a 的“序数列”，例如数列：1a ，2a ，3a 满足1a >3a >2a ，则其序数列}{n P 为1，3，2．(1)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n P 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列；(2)若项数不少于5项的有穷数列}{n b ，}{n c 的通项公式分别是)()53(*N n n b n n ∈⋅=，)(*2N n tn n c n ∈+-=，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；(3)若有穷数列}{n d 满足1d =1，)()21(||*1N n d d n n n ∈=-+，且}{12-n d 的序数列单调减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学试题附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21、A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥.22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点DAC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =， 3DE =，求BD 的长. B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥. ABDEOC·22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.高三数学四模参考答案1、[-1,3]2、23、∀x ≥0，使x (x ＋3)<04、8805、41 6、4+45 7、4π 8、 9、 10、54- 11、2 12、a 3≥ 13、4π14、33915（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………6分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h ，则1111123=3C B C D B C D V S h -△，1=4h CC =由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥， ∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1=23,25B D CD =1=215B CD S ∆设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --1231454=3B CD S h h ''⇒=△以B 到平面1B CD 45……………14分 15. 解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33BC ABx x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin 3BC x π=，sin()32sin3x AB ππ-=…………………………………………4分 ∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=•=⋅-⋅231cos sin )sin 322x x x =- 11sin(2)(0)3663x x ππ=+-<<……………………………………… 6分 （2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+-+<<假设存在实数m 符合题意，(0,)3x π∈∴512sin(2)(,1]66662x x ππππ<+<+∈，则 ……………………9分 当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π=+-+的值域为(1,1]m +又()g x 的值域为3(1,]2，解得 12m = ………………11分当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π=+-+ 的值域为[1,1)m +又∵()g x 的值域为3(1,]2解得m 无解………………………13分 ∴存在实数12m =，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分 17解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ． ∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ， ∴r Psin θ＋r P ＝80，………4分∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………6分(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝r P sin θ－r Qsin θ＝r P ＋r Q∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………10分法一：令t ＝1＋sin θ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t )t 2＝80⎝⎛⎭⎫－1－2t 2＋3t令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2＋3m －1) ∴m ＝34时，有最大值10．………13分 注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ2 ∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)28∴r Q ≤10．此时sin θ＝13………14分 注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令t ＝sin θ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2)(1＋t )2，∴r Q '＝80(1－3t )(1＋t )3令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝13时，⊙Q 的半径的最大值为10．………13分 注意：不列表扣1分答：⊙Q 的半径的最大值为10．………14分 注意：应用题不写答扣1分18(1)由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．d=8 ………5分（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分；当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，BPQ且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 24＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 2 4＋5k 2，－4k 4＋5k 2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－ 45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ．综上，直线OP 平分线段ST ．………10分（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t 4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k5—x 1＋k＋t —4k 5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k 2＝2k＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t 4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．………6分综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．19、函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥-+=,0,)(ln ,,)(ln )(22c x c x x a c x c x x a x f 求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<++-≥+-=c x x a cx x c x xacx x x f 0,22,,22)('22 (1)当43-=a ，41=c 时，⎝⎛<<-+-≥--=410,4328,41,4328)('22x x x x x x x x x f若0<x<14 ，则04328)('2<-+-=xx x x f 恒成立，所以f(x)在(0，14 )上单调递减若x ≥14 ，则xx x x f 4)34)(12()('-+=，令f'(x)=0，解得x=34 或x=- 12 (舍去)当14 ≤x<34 时，f'(x)<0，f(x)在[14 ，34 ]上单调递减； 当x>34 时，f'(x)>0，f(x)在(34，+∞)上单调递增综合，函数f(x)的单调减区间是(0，34 )，单调增区间是(34，+∞)(2)当x>c ，c=a 2 +1时， xa x x x f )2)(1()('--=，而c=a2 +1<1所以当c<x<1时，f'(x)<0，f(x)在(c ，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增 所以函数f(x)在(c ，+∞)上的最小值为f(1)=a24 ，所以a 24 ≥14 恒成立，解得a ≤-1或a ≥1(舍去)又由c=a2+1>0，得a>-2，所以实数a 的取值范围是(-2，-1] (3)由l 1⊥l 2知， )(')2('c f a f -=-1，而f'(c)=ac ，则a c a f -=-)2('，若c a ≥-2，则c aa ac a a f 2222)2(2)2('-=-+---=-，所以-2c=-c a ，解得a=12 ，不合题意故2a -<c ，则222)2(2)2('aaa c a a f -+-+--=-=--8a +2c=-c a ，整理理，128+-=a a a c ，由c>0，得a<- 12 ，令-8a =t ，则a=- t 28 ，t>2，所以821482322-=+-⋅-=t t t tt c ，设g(t)=8223-t t ，则g'(t)=2222)82()12(2--t t t 当2<t<2 3 时，g'(t)<0，g(t)在(2，2 3 )上单调递减； 当t>2 3 时，g'(t)>0，g(t)在(2 3 ，+∞)上单调递增所以函数g(t)的最小值为g(2 3 )=3 3 2 ，故实数c 的最小值为3 3220．(1)充分性：当数列{a n }为单调数列时，即a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a m-1<a m ，所以其序数列{p m }为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，均为等差数列必要性：当列{a m }的序数列为等差数列时，其序数列{p m }必为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，所以有a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a n-1<a n ，所以数列{a n }为单调数列综上，有穷数列{a m }的序数列{p m }为等差数列的充要条件是有穷数列{a m }为单调数列 (2)由题意得，b n+1-b n =(35 )n ·3-2n5 ，当n=1时，易得b 2>b 1，当n ≥2时，b n+1<b n ，又b 1=35 ，b 3=3×（35 ）3，b 4=4×(35 )4，b 4<b 1<b 3，即b 2>b 3>b 1>b 4>…>b n ，故数列{b n }的序数列为2，3，1，4，…，n ，则数列{c n }的序数列 所以对于数列{c n }有2<t 2 <52，解得4<t<5(3)因为{d 2n +1}的序数列单调递减，所以{d 2n-1}是递增数列，故d 2n+1-d 2n-1>0，于是(d 2n+1-d 2n )+(d 2n -d 2n-1)>0，又(12 )2n <(12 )2n-1，所以|d 2n+1-d 2n |<|d 2n -d 2n-1|，从而d 2n -d 2n-1>0，d 2n -d 2n-1=(12 )2n-1=1222)1(--n n，因为{d 2n }的序数列单调递增，所以{d 2n }是递减数列，同理可得d 2n+1-d 2n <0，故d 2n+1-d 2n =-(12 )2n =n n 2122)1(+-，由①②得d n+1-d n =nn 2)1(1+- 所以d n =d 1+(d 2-d 1)+(d 3-d 2)+…+(d n -d n-1)=1+122)1(2121--+++n n=1+211)21(1211+--⋅-n=12)1(3134--⋅+n n， 即数列{d n }的通项公式为d n =12)1(3134--⋅+n n(n *N ∈)解：MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦1021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由逆矩阵公式得， 1()MN -=20102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦……4分 即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ……6分1,22x x y y ''==， ……8分代入得：1sin 22y x ''=， 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =． ……10分 C （1）m=1 ……4分 (2)32……10分解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的分布列为ξ 2930 31 32 33 34 35P 0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=23．（1）解：由原递推式得到11(1)1n n n nn t a a a t ++-=+-22121(1)1(1)12t a a t a t -==-+-3233232221(1)(1)(1)1231)3(1)2t t t a t a a t t -⋅---===+-- 猜想得到1nn t a n -=…………（2分） 下面用数学归纳法证明1n n t a n-= 10当n=1时 a 1=t —1 满足条件20假设当n=k 时，1k k t a k -=则1111(1)(1)k k kk k t t a t t k k++--+-=- ∴1111k k k t a k k ++--⋅= ∴1111k k t a k ++-=+, 即当n=k+1时，原命题也成立。
江苏省泰州市姜堰区2016届高三上学期期中考试数学(理)Word版含答案
姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理） 2015．11命题人：史记祥（省姜堰二中） 审核人：王如进 孟太数学Ⅰ（本卷考试时间：120分钟 总分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若复数(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．2．已知[1,4],(,]A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ▲ ．3．若样本数据1210,,...,x x x 的平均数为8，则数据121021,21,...,21x x x ---的平均数为 ▲ ．4．若,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必 要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ． 8．将函数()cos f x x =图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到（第5题图）的图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x ，则()g x = ▲ ．9．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若6a B C π===，则b = ▲ ．10．在ABC ∆中，点,M N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN xAB y AC =+，则x y += ▲ ．11．若函数6,2()(0,1)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是▲ ．12．过点(1,0)P -作曲线:xC y e =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，依次下去，得到第1n +()n N ∈个切点1n T +，则点2015T 的坐标为 ▲ ．13．如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1[,2]2单调递减，则mn 的最大值为 ▲ ．14．设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲（写出所有正确条件的编号）①0,2a b ==；②3,2a b ==；③3,3a b =-=-；④3,2a b =-=；⑤3,2a b =-> 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()sin cos sin 222x x xf x =-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,0]π-上的最小值．16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)2m n x x x π=-=∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．17．（本小题满分14分）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=．（1）若方程的一根在区间(2,0)-内，另一根在区间(0,4)内，求实数m 的取值范围； （2）若方程的两根都在区间(0,2)，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分16分）强度分别为,a b 的两个光源,A B 间的距离为d ．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为(0,)k k k >为常数．线段AB 上有一点P ，设AP x =，P 点处总照度为y ．试就8,1,3a b d ===时回答下列问题．（注：P 点处的总照度为P 受,A B 光源的照度之和）（1）试将y 表示成关于x 的函数，并写出其定义域； （2）问：x 为何值时，P 点处的总照度最小？19．（本小题满分16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列， {}n b 是等差数列，且111,a b ==2332,b b a +=5237a b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*,n n n c a b n N =?，其前n 项和为n T ．①求n T ；②若(3)n n T λ≤-对任意n N +∈恒成立，求λ的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()(1)f x k x >-．数学Ⅱ（本卷考试时间：30分钟 总分40分）21A ．（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，已知2sin 2sin sin B A C =，90B =，且a = 求ABC ∆的面积．21B ．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式．22．（本小题满分10分）投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m ，可获得利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需场地1002m ，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地9002m ，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？23．（本小题满分10分）已知函数4()4,f x x x x R =-?． （1）求()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £．姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）参考答案数学Ⅰ1.22.4a ≥3.154.25.76.充分不必要7.568.1cos()26x π- 9.32或3 10.1311.12a <≤ 12.2014(2014,)e 13.18 14. ①②③⑤ 15. 解：（1）sin 1cos 11()(sin cos )2222x x f x x x -=-=+-1)42x π=+- -----------4分所以()f x 的最小正周期221T ππ== -----------7分（2）因为[,0]x π∈-，所以3[,]444x πππ+∈------------9分所以当42x ππ+=-，即34x π=-时 -----------11分()f x 取最小值为12------------14分16．解：（1）因为m n ⊥，所以2(,(sin ,cos )m n xx ⋅=⋅ 0x x =-= -----------4分所以sin cos x x = 因为(0,)2x π∈，所以tan 1x =-----------7分（2）由cos 3||||m n m n π⋅== sin()4x π=------------10分因为(0,)2x π∈，所以(,)444x πππ-∈------------12分所以46x ππ-=，即512x π=-----------14分17．解：（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，由题意可知(2)0(0)0(4)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即42(3)00164(3)0m m m m m --+>⎧⎪<⎨⎪+-+>⎩-----------4分 解得405m -<< -----------7分 （2）由题意可知23032(3)40042(3)0m m m m m m -⎧<-<⎪⎪⎪--≥⎨⎪>⎪+-+>⎪⎩ -----------10分解得213m <≤ -----------14分 18．解：（1）由题意可知：P 点处受A 光源的照度为1228ka ky x x== -----------2分P 点处受B 光源的照度为122(3)(3)kb ky x x ==-- -----------4分 从而，P 点的总照度为228(3)k ky x x =+-， -----------6分其定义域为{|03}x x << -----------7分（2）对函数求导，可得'33162(3)k ky x x =-+-， -----------9分令'0y =，得33331622160,(3)(3)k k k kx x x x -+==--， 因为0k >，所以3318(3)x x=-，所以338(3)x x =-，解得2x = -----------11分当''02,0;23,0x y x y <<<<<> -----------13分因此，2x =时，y 取得极小值，且是最小值 -----------15分答：2x =时，P 点处的总照度最小 -----------16分19．解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知,有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩ -----------1分 解得2,2q d == -----------3分所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ----------5分（2）由（1）有()1212n n c n -=- ，则()0121123252212,n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯()1232123252212,n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯----------7分两式相减得()()2312222122323,n n n n T n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323n n T n =-+ -----------10分（3）令(3)(23)2n n n e n T n n =-=- 由1n n e e +<，得1(23)2(1)(21)2nn n n n n +-<+-，即(23)2(1)(21)n n n n -<+-解得对任意n N +∈成立，即数列{}n e 为单调递增数列， 所以{}n e 的最小项为12e =------------13分因为n e λ≤对任意n N +∈恒成立，所以2λ≤-， 所以λ的最小值为2------------16分20．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞ -----------1分对函数求导，得2'11()1x x f x x x x-++=-+= -----------2分由'()0f x >，得2010x x x x >⎧⎪⎨-++>⎪⎩，解得0x <<故()f x的单调递增区间为 -----------4分证明：（2）令()()(1),(1,)F x f x x x =--∈+∞，则有2'1()x F x x-= -----------5分当(1,)x ∈+∞时，'()0F x <，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减， -----------7分故当1x >时，()(1)0F x F <=，即1x >时，()1f x x <- -----------9分解：（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意； -----------10分当1k >时，对于1x >，有()1(1)f x x k x <-<-，则()(1)f x k x <-，从而不存在01x >满足题意； -----------12分当1k <时，令()()(1),(1,)G x f x k x x =--∈+∞则有2'1(1)1()1x k x G x x k x x-+-+=-+-=由'()0G x =得，2(1)10x k x -+-+=．解得120,1x x =<=> -----------14分 所以当2(1,)x x ∈时，'()0G x >，故()G x 在2(1,)x 内单调递增，从而当2(1,)x x ∈时，()(1)0G x G >=，即()(1)f x k x >-综上，k 的取值范围是1k < -----------16分数学Ⅱ21A ．解：由题意及正弦定理可知：22b ac =； -----------3分因为90B =，由勾股定理得222a c b +=； -----------5分又a =，所以解得c a ==； -----------7分所以ABC ∆的面积112S ==． -----------10分21B ．解：由已知12n n S a a =-，有1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12(2)n n a a n -=≥. -----------5分 从而21312,4a a a a ==，又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，所以11142(21)a a a +=+，解得12a =； -----------8分 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =. -----------10分22.解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为2314290x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ； -----------3分目标函数为32S x y =+ . -----------5分作出可行域，将目标函数32S x y =+变形为322S y x =-+ 这是斜率为32-，随S 变化的一族直线.2S 是直线在y 轴上的截距，当2S 最大时，S 最大. 由图象可知，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2314x y +≤与29x y +≤的交点(3.25,2.5)此时14.75S = -----------9分 答：生产A 产品325吨，生产B 产品250米时，获利最大，且最大利润为1475万元. --10分23.解：（1）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-, -----------1分当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞. -----------4分（2）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- -----------5分 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-,即()()()00g x f x x x '=-；令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- -----------6分则()()()0F x f x f x '''=-；由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减， 所以()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=，所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, -----------8分 所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤=，即对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £. ――----10分。
江苏省姜堰中学2016届高三上学期期初考试数学 Word版含
2015年江苏省姜堰中学高三期初学情检测数学试题与参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是 ▲ ．（全对）答案：2π；提示：变式：1sin 42y x =；242T ππ==．■ 2．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ．答案：3-；提示：设 ()z a bi a b R =+∈、，(4)32(4)323i a bi i b a i i b +-=+⇒-+-=+⇒=-．■ 做错者．．．：王睿泽、吴 桐．（要订正20条） 3．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为 ▲ ．答案：56；提示：古典概型，正难则反；事件总数为246C =，无甲无乙仅1种，∴15166P =-=．■ 做错者．．．：李慧敏、郭大为、焦晓佳．（要订正20条） 4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座号），并以输出的值作为下一个输入的值；若第一次输 入的值为8，则第三输出的值为 ▲ ．答案：8；提示：48152988→→→−−−→．■做错者．．．：陆冰冰、翟荣蓉、潘倩玉．（要订正20条） 5．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ ．答案3；提示：底面半径为13213133V π=⋅=．■ 做错者．．．：翟逸笑、蒋沛清．（要订正20条） 6．已知将函数sin y x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移4π个单位，可得到函数()y f x =的图象，则()f x = ▲ ． 答案：sin()312x y π=+；提示：4sin sin sinsin()33312x x x y x y y ππ+=→=→==+．■做错者．．．：李慧敏、陈婷婷、卢稷楠．（要订正20条） 7．若实数, x y 满足102030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则24x y z =的取值范围是 ▲ ．答案：1[, 1]16；提示：变式：2224x x y y z -==，设2t x y =-，则[4, 0]t ∈-，从而1[, 1]16z ∈．■做错者．．．：郑天宇、李慧敏、缪沁杨、陈煜琪、潘倩玉、徐雨桐．（要订正20条） 8．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是▲ ．答案：35；提示：“切化弦”、“正、余弦定理”同时发挥作用，通常着落在角．上，偶尔在边．上； 变式：2225sin 35sin 33sin cos cos cos 52B B B B B B a c b ac=⇒=⇒=+-．■ 做错者．．．：王睿泽．（要订正20条） 9．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ▲ ． 答案：3；提示：圆锥曲线的核心解法是“紧扣定义”；设右焦点为2F ，连结2PF ，则OD 是12PF F ∆的中位线，3a =，c =由定义和中位线定理得：周长3a c =+=■ 做错者．．．：刘剑雨、王钱益、顾 盼、窦慧星．（要订正20条） 10．已知函数()f x 对任意的x R ∈满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+；若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．答案：(2, )+∞；提示：偶函数，4个零点，则当0x ≥时，必有2个；由二次函数的性质可知：对称轴在y 轴右侧且顶点在x 轴下方；02a >且()02af <，即0a >且24a >，故2a >．■做错者．．．：黄少峰、仲建宇、刘剑雨、乔森、陈婷婷、许黄蓉、郭大为、贺文杰、陈子慧、窦慧星、卫世杰、徐雨桐．（要订正20条）11．设a b R ∈、，已知关于x 的方程22(1)(1)0x ax x bx -+-+=的四个实数根构成以q 为公比的等比数列，若1[, 2]3q ∈，则实数ab 的取值范围是 ▲ ．答案：112[4,]9；提示：二次函数的灵魂是“开口方向．．．．、对称轴．．．、是否过定点．．．”； 变式：2222(1)(1)010 1=0x ax x bx x ax x bx -+-+=⇔-+=-+或；（本题有点难）考察两个函数：2()1f x x ax =-+和2()1g x x bx =-+；开口向上，过共同的定点(0, 1)K ；故两函数的零点是同号的，又由于公比q 是正数，不妨设四个实数根均为正数，且a b <；令四个根为1234x x x x 、、、，1234(0)x x x x <<<<； 它们构成以q 为公比的等比数列； 由图象可知：23x x 、是()f x 的零点，14x x 、是()g x 的零点；∴23x x a +=，14x x b +=，23141x x x x ⋅=⋅=； 再结合等比数列可得：21()x q q a += ①，31(1)x q b += ②，2311x q ⋅= ③；①⨯②÷③得：23321232()(1)(1)(1)q q q q q ab q q q q q q--++++===+++ 211()()2q q q q=+++-；令1t q q =+，则由于1[, 2]3q ∈，有10[2, ]3t ∈，再由22ab t t =+-在10[2, ]3t ∈上是增函数；故112[4,]9ab ∈．■ 做对者．．．：王宇嘉、武朝钦、季小淇、林 芮、常毅琛、刘冬兰、石金鹏、韩婷婷、乔 森、陆冰冰、陈 胜、翟逸笑、李慧敏．共13人．12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A B 、两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ ． 答案：10；提示：A B C 、、均在圆上，平方得：22225930cos 161616OC OA OB OA OB AOB =++⋅∠； 即222225930cos 161616r r r r AOB =++∠，化简：3cos 5AOB ∠=-；设圆心到直线的距离为d ；则22d =22312cos 2cos ()12(152AOB AOB -=∠=∠-=⨯-；（画图便知）解得：210r =即r ．■（本题不难）做对者．．．：王宇嘉、武朝钦、季小淇、洪宇晨、王亚丽、杨 晨、常毅琛、杭 慧、袁峥嵘、袁 鑫、王小雨、孙 琴、陈 胜、 王 倩、王睿泽、黄河清、缪沁杨、王 荣、钱 睿、徐亚敏、翟荣蓉、陈婷婷、许黄蓉、王钱益、郭大为、蒋沛清、焦晓佳．共27人．13．若x y z 、、均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z xyz+的最小值为 ▲ ．答案：3+提示：注意到：222x y xy +≥，考虑保留z ，构造关于z 的一元二次不等式；设2(1)2z t xyz +=，则2(1)2z xy tz +=，且0t >；结合题设，有：22(1)1z z tz +-≥， 即2(1)(1)(1)tz z z z -+≥+；再由题设知：01z <<；有10z +>，10z -> ∴(1)1tz z z -≥+即2211112(1)(1)3(1)23[(1)]1z z z t z z z z z z z z +++≥===--+-+++--+++；∴考察上式右端分母的最小值为3-，从而右端的最大值为3+；故所求式子的最小值为3+（本题有点难）做对者．．．：林 芮、洪宇晨、王亚丽、杨 晨、郑天宇．共5人．14．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >，且2a 是14a a 、的等比中项；记2n n b a =(*)n N ∈，则对任意的正整数n 均有121112nb b b ++⋅⋅⋅+<，则公差d 的取值范围是 ▲ ． 答案：1[, )2+∞；提示：由题意可得：222141111()(3)a a a a d a a d a d =⇒+=+⇒=，从而n a nd =；从而21111222n nn n n n b a d b d d ==⇒==⋅；∴1111111111()(1)222nn n k k n k k k k b d d d ====⋅==-∑∑∑；∴有11(1)22n d -<对任意正整数n 恒成立；易知：1[, )2d ∈+∞．■（本题不难）做对者．．．：季小淇、林 芮、杨 晨、刘冬兰、李慧敏．共5人．C 1CC 1二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2cos()2sin 2C B A -=； （1）求sin sin A B 的值；（2）若3a =，2b =，求ABC ∆的值．解析：（1）由条件可得cos()1cos 1cos()B A C B A -=-=++；………………………………………… 4分∴cos cos sin sin 1cos cos sin sin B A B A B A B A+=+-； 即1sin sin 2B A =．…………………………………………………………………………… 7分（2）由正弦定理得：32sin sin sin sin ab A B A B=⇒=，可设sin 3A k =，sin 2Bk =；（这里有点难） 再由（1）得：2162k k =⇒=sin A =，sin B =；……………………… 9分由锐角三角形可得：1cos 2A =，cos B ； 从而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+；…………………………… 12分∴11sin 2322ABC S ab C ∆==⨯⨯=．■ ……………………………… 14分失分者．．．：刘剑雨7-、陆冰冰7-、王 倩7-、张楷文7-、许黄蓉7-、潘倩玉7-、陈子慧7-、缪沁杨4-、钱 睿4-、 吴 桐4-、仲建宇4-．共11人．（要订正5条）16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 为BC 的中点，点E 为BD 的中点，点F 在1AC 上， 且14AC AF =；（1）求证：平面ADF ⊥平面11BCC B ； （2）求证：直线//EF 平面11ABB A ．证明：（1）由直三棱柱的定义可知：1CC ⊥平面ABC ；而AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥；………………… 2分 ∵AB AC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥；∵1BC CC C =，BC ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ； ∴AD ⊥平面11BCC B ；……………………………… 5分∴平面ADF ⊥平面11BCC B ．……………………… 7分 （2）连结CF 并延长交1AA 于G ，连结GB ；∵14AC AF =，11//AA CC ， ∴3CF FG =；∵D 是BC 的中点，E 是BD 的中点；∴//EF BG ；……………………………………… 11分 而EF ⊄平面11ABB A ，BG ⊂平面11ABB A ；∴//EF ；平面11ABB A ．■ ……………………… 14分失分者．．．：王宇嘉4-、季小淇4-、王亚丽4-、杨 晨3-、翟逸笑4-、张楷文7-、黄河清4-、王 荣5-、钱 睿4-、陈婷婷7-、王钱益5-、贺文杰7-、焦晓佳7-、窦慧星4-、徐雨桐5-．共15人．（要订正5条）17．（本题满分14分）如图，一楼房高AB 为BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60︒，安装过程中，一身高为米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．解析：（1）作CG AE ⊥于G ，作FH AB ⊥于H ，交CG 于M ，作BN CG ⊥于N ，则CFM BFH θ=∠-∠； 在直角BCN ∆中，4BC=，60CBN ∠=︒， 则2BN =，CN =； 在直角CFM ∆中，有tan CM CN NM CFM MF AE BN +∠===- 在直角BFH ∆中， 有tan BH BFH HF ∠==∴tan tan tan tan()1tan tan CFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠=∠-∠=+∠⋅∠==再由题意可知：监理人员只能在G 点右侧，即(2, )x ∈+∞． (7)分（2）由（1）得：218tan 21080x x x θ+=-+； 令18t x =+，则(20, )t ∈+∞； ∴221tan1440(18)2(18)108038144038t tt t t t ttθ===≤---+-++-，当且仅当1440tt=即t=18x=；又易知：θ是锐角，即(0,)2πθ∈，而tanyθ=在(0,)2πθ∈是增函数；∴当18x=时，θ取最大值．■ (14)分得满分者：王宇嘉、季小淇、洪宇晨、杭慧、袁鑫、孙琴、石金鹏、黄少峰、仲建宇、刘剑雨、翟逸笑、张楷文、李慧敏、陈婷婷、贺文杰．共15人．得0分者：韩婷婷、乔森、李继强、黄河清、缪沁杨、王荣、王赵晨、徐智雅、陈煜琪、郭大为、顾盼、刘晓宇、唐潇、贾幼、焦晓佳、陈子慧、窦慧星、徐雨桐．另加：曹伟（仅得2分），共19人．（要订正5条）18．（本题满分16分）如图，椭圆C的中心在原点，左焦点为1(1, 0)F-，右准线方程为：4x=；（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点(, 0)M m(02)m<<的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标；（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A B、是所围成的矩形在x 轴上方的两个顶点；若P Q、是椭圆C上两个动点，直线OP OQ、与椭圆的另一个交点分别为11P Q、；且有直线OP OQ、的斜率之积等于直线OA OB、的斜率之积，试探求四边形11PQPQ的面积是否为定值，并说明理由．解析：（1）设椭圆的方程为：22221 (0)x ya ba b+=>>，c为半焦距；由题意可得：1c=，24ac=；解得：2a=，从而有2223b a c=-=；∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．…………………………………………………… 4分（2）设(, )N x y ，由定点(,0)M m 则222()MN x m y =-+22()3(1)4x x m =-+-221234x mx m =-++； 二次函数的图象对称轴为4x m =； 由椭圆方程知：22x -≤≤；……… 6分 由题设知：048m <<； 分类讨论：①当042m <≤即102m <≤时，在4x m =时有22min 331MN m =-+=； 解得：22134m =>，不符合题意，舍去； ②当42m >即122m <<时，由单调性知：在2x =时有22min 41MN m m =-+=； 解得：1m =或3m =（舍）；综上可得：m 的值为2，点N 的坐标为(2, 0)．…………………………………… 10分（3）由椭圆方程可知：四条垂线的方程分别为：2x =±、y =则(2,A 、(2,B -；∴34OA OB k k ⋅=-；设11(, )P x y 、22(, )Q x y ，则有1212OP OQ y yk k x x ⋅=； ∴由题意可得：121234y y x x =-（*），而点P Q 、均在椭圆上，有22113(1)4x y =-、22223(1)4x y =-； ∴将（*）式平方并代入可得：2222221212129169(4)(4)x x y yx x ==--，即22124x x +=；………12分()a 若12x x =，则11P P Q Q、、、分别是直线OAOB、与椭圆的交点；∴四个点的坐标分别为：、、(、( ； ∴四边形11PQPQ 的面积为14分()b 若12x x ≠，则可设直线PQ 的方程为：211121()y y y y x x x x --=--； 化简可得：21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=；∴原点O 到直线PQ 的距离为d =，而PQ =∴12211122OPQ S PQ d x y x y ∆=⋅=-=== 根据椭圆的对称性，该四边形11PQPQ 也是关于O 成中心对称；∴四边形11PQPQ 的面积为4OPQ S ∆，即为定值综上所述：四边形11PQPQ 的面积为定值，该定值为 (16)分得10分以上者：武朝钦15+、刘剑雨13+、季小淇12+、袁峥嵘12+、郑天宇12+、张楷文12+、许黄荣12+、潘倩玉12+、王亚丽11+、乔 森11+、韩婷婷11+．共11人．19．（本题满分16分）对给定数列{}n c ，如果存在实常数p q 、使得1n n c pc q +=+对任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是“线性数列”；（1）若2n a n =，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p 和q ，若不是，请说明理由；（2）求证：若数列{}n a 是“线性数列”，则数列1{}n n a a ++也是“线性数列”；（3）若数列{}n a 满足12a =，132 (*)n n n a a t n N ++=⋅∈，t 为常数，求数列{}n a 的前n 项的和． 解析：（1）本小题的思路是：紧扣定义．∵2n a n =，∴12n n a a +=+，(*)n N ∈；∴数列{}n a 是“线性数列”，对应的实常数分别为1，2；……………………………………2分∵32n n b =⋅，∴12n n b b +=，(*)n N ∈；∴数列{}n b 是“线性数列”，对应的实常数分别为2，0．……………………………………4分（2）本小题的思路依旧是：紧扣定义．∵数列{}n a 是“线性数列”，∴存在实常数p q 、，使得1n n a pa q +=+对任意*n N ∈恒成立；再进一步有：21n n a pa q ++=+对任意*n N ∈恒成立； ∴有121()()2n n n n a a p a a q ++++=++对任意*n N ∈都成立，∴数列1{}n n a a ++也是“线性数列”，对应的实常数分别为 2p q 、．………………………10分（3）本小题的思路是：成对出现，奇偶分清．当n 是偶数时，3112341()()()323232n n n n S a a a a a a t t t --=++++⋅⋅⋅++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅23112(14)3(222)32214n n n t t t t -+-=++⋅⋅⋅+=⋅=⋅--；…………………… 13分当n是奇数时，241123451()()()2323232n n n n S a a a a a a a t t t --=+++++⋅⋅⋅++=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1224114(14)23(222)2324214n n n t t t t --+-=+++⋅⋅⋅+=+⋅=⋅-+-；故1122, 242, n n n t t n S t t n ++⎧⋅-⎪=⎨⋅-+⎪⎩为偶数为奇数．■ ……………………………………………………16分得满分者：王 倩、缪沁杨．得10分及以上者32人． 得4分以下者：李慧敏、卢稷楠、刘晓宇、徐雨桐．（要订正5条）20．（本题满分16分）已知函数32()f x ax bx cx d =+++()a b c d R ∈、、、，设直线12l l 、分别是曲线()y f x =的两条不同的切线；（1）若函数()f x 为奇函数，且当1x =时，()f x 有极小值为4-；()i 求a b c d 、、、的值；()ii 若直线3l 亦与曲线()y f x =相切，且三条不同的直线123l l l 、、交于点(, 4)G m ，求实数m 的取值范围；（2）若直线12//l l ，直线1l 与曲线()y f x =切于点B 且交曲线()y f x =于点D ，直线2l 与曲线()y f x =切于点C 且交曲线()y f x =于点A ，记点A B C D 、、、的横坐标分别为A B C D x x x x 、、、，求():():()A B B C C D x x x x x x ---的值．解析：（1）()i 本小题：紧扣定义，用好条件，注意检验．∵()f x 是奇函数，且x R ∈；∴(0)0f d ==，且3232a bx cx a bx cx -+-=---即0b =； ∴3()f x ax cx =+；∴2'()3f x ax c =+，而当1x =时有极小值4-； (2)分∴3'(1)0302()26(1)446f a c a f x x x f a c c =+==⎧⎧⎧⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-+=-=-⎩⎩⎩； …………………………… 4分经检验3()26f x x x =-满足题意，则2060a b c d ===-=、、、． (5)分()ii 本小题：三次函数的切线处理方法要洞明．设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，由()i 知：300026y x x =-，200'()66f x x =-；∴过P 点的切线方程为：2000(66)()y y x x x -=--，消去0y 即得：2300(66)4y x x x =--； 由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条； 又由奇函数性质可知：点3(1, 4)P -是极大值点；从而3:4l y =是一条切线且过点(, 4)m ； 再设另两条切线的切点为111(, )P x y 、222(, )P x y ，其中121x x ≠≠-；则可令切线23111:(66)4l y x x x =--，23222:(66)4l y x x x =--； 将(, 4)G m 代入12l l 、的方程中，并化简可得：23113(1)2(1)m x x -=+且23223(1)2(1)m x x -=+；从而有：21112(1)3(1)x x m x -+=-且22222(1)3(1)x x m x -+=-； (8)分∴12x x 、是方程22(1)3(1)x x m x -+=-的两根；（下面考察m 取何值时，该方程有两个不相等的实根）构造函数：22(1)21()(11)3(1)31x x g x x x x -+==-++--， 221'()[1]3(1)g x x =--；由'()00 2g x x x =⇒==或，而2(0)3g =-，(2)2g =，结合图象可得：实数m 的取值范围是：2(, 1)(1, )(2, )3-∞---+∞．……………… 10分（2）注意：第1小题与第2小题没有递进关系．令1B x x =，2C x x =；由2'()32f x ax bx c =++及12//l l 可得：2211223232ax bx c ax bx c ++=++；而12x x ≠，化简可得：1223b x x a +=-，即2123bx x a=--；………………………………… 12分（下面求A x 和D x ）将切线1l 的方程21111(32)()y y ax bx c x x -=++-代入()y f x =中并化简得：（注意切点横坐标是其一解）322321111(32)20ax bx ax bx x ax bx +-+++=，即211()(2)0b a x x x x a -++=，∴12D b x x a =--； 同理，21223A b b x x x a a =--=+；则13A B b x x x a -=+，1223B C b x x x a -=+，13C D bx x x a-=+；∴():():()1:2:1A B B C C D x x x x x x ---=．■ ………………………………………………16分得最高分者：王宇嘉9分；得最低分者：王荣1分．附加题与参考答案21．（本题满分20分）B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线:1C xy =在矩阵cos sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(0)2πθ≤<对应的变换作用下得到曲线F ，且F 的方程为222 (0)x y a a -=>，求θ和a 的值．解析：设00(, )P x y 是曲线C 上任意一点，00(, )P x y 在矩阵cos sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换下变为：00(, )P x y '''；则有0000cos sin sin cos x x y y θθθθ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴000000cos sin sin cos x x y y x y θθθθ⎧'=+⎪⎨'⎪=-+⎩；代入到222x y a -=中， 有：2220000(cos sin )(sin cos )x y x y a θθθθ+--+=，且001x y =； (5)分化简得：222220000()(cos sin )4sin cos x y x y a θθθθ--+=即2222200()(cos sin )4sin cos x y a θθθθ--+=；∴22cos sin 0θθ-=且24sin cos a θθ=，而[0, )2πθ∈，0a >；∴4πθ=，a =■……………………………………………………………………………… 10分被扣分者：陈子慧5-、徐亚敏10-、王 倩5-、翟逸笑5-、潘倩玉5-、孙 琴10-、刘晓宇5-、季小淇10-、田景明5-、许黄蓉10-、张慧雯10-、徐智雅10-、蒋沛清10-、黄河清5-、徐雨桐5-、贾 幼5-、武朝钦5-、曹伟10-、陈 胜10-、王睿泽5-、贺文杰5-、卫世杰10-．共22人．（要订正5条）C ．（本小题满分10分，极坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为54x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）；圆C 的参数方程是cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），与直线l 交于两个不同的点A B 、，点P 在圆C 上运动，求PAB ∆面积的最大值． 解析：直线l 的普通方程是：10x y +-=，圆C 的普通方程：221x y +=；它们的交点分别为(1, 0)A 、(0, 1)B ； (5)分设点(cos , sin )P θθ(02)θπ≤<，则点P 到直线l 的距离为：d =，当54πθ=时，d而AB =，∴当P为( 时，PAB S ∆取最大值．■…………………… 10分22．（本题满分10分）如图，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是PB 的中点；（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值．解析：（1）分别以 AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴；建立如图所示的平面直角坐标系；则(0, 0, 0)A ，(1, 0, 0)B ，(1, 1, 0)C ，(0, 3, 0)D ，(0, 0, 1)P ，11(, 0, )22E ；∴11(, 0, )22AE =，(0, 1, 0)BC =，(1, 0, 1)BP =-；∵0AE BC ⋅=，0AE BP ⋅=；∴AE BC ⊥，AE BP ⊥即AE BC ⊥，AE BP ⊥； 而BC BP ⊂、平面PBC ，且BCBP B =；∴AE ⊥平面PBC ．…………………………………………………………………… 4分 （2）设平面的法向量为：(, , )n x y z =，而(1, 2, 0)CD =-，(0, 3, 1)PD =-；则由02023030n CD x y x yy z z y n PD ⎧⋅=-+==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎩⎪⎩；取1y =，则2x =，3z =即(2, 1, 3)n =；又由（1）AE ⊥平面PBC ，∴AE 是平面PBC 的法向量，而11(, 0, )22AE =；∴310cos , 14AE n AE n AE n++⋅<>===⋅，即AE 与n； 故由图形可知：二面角B PC D --的余弦值为．■ …………………… 10分 得满分者：共28人．被扣分者：洪宇晨5-、杭 慧5-、石金鹏5-、翟逸笑5-、张楷文5-、刘正宇5-、李慧敏5-、郭大为5-、刘晓宇5-、焦晓佳5-；共10人．23．（本题满分10分）设正整数m n 、满足1n m <≤，1F ，2F ，3F ，…，k F 为集合{1, 2, 3, , }m ⋅⋅⋅的n 元子集，且1i j k ≤<≤；（1）若,k a b F ∀∈，满足1a b ->；()i 求证：12m n +≤；()ii 求满足条件的集合k F 的个数； （2）若ij F F 中至多有一个元素，求证：(1)(1)m m k n n -≤-．解析：（1）()i 本小题关键：写明白．．．题设条件，用好题设条件． 设123{, , , , }k n F a a a a =⋅⋅⋅，其中1231n a a a a m ≤<<<⋅⋅⋅<≤， ∵a b 、是正整数，∴12a b a b ->⇔-≥；则有：212a a -≥，322a a -≥，432a a -≥，…，12n n a a --≥； 累加上述各式得：112(1)n m a a n -≥-≥-，即12m n +≤．………………………… 3分()ii 本小题关键：读懂．．题设条件，用好等价转化． 由题设可知：“任意两个元素之差的绝对值大于1”⇔“子集中没有数值相邻的元素”； 于是原题转化为：“从m 个元素中，任取n 个元素，其中任意两个元素都不是相邻整数，有多少种取法？”下面采用“插空重组法”求出k F 的个数．具体操作是：S1 插空 S2 重新编号． 第一步：先取出n 个元素，后将剩下的m n -个元素排成一列，各元素之间，包括两端，一共有1m n -+空档，再将n 个元素放回这1m n -+空档中．第二步：记着放回的元素，它们都不相邻，重新进行编号；回放的元素相当于取的新号元素．计 数：上述不同的放法，对应不同的一组新号，这些新号一定不相邻；这种放回的种数就是所求的k F 的个数；由排列组合知识可得：共有1nm n C -+个．故满足条件的k F 的个数是1nm n C -+． (6)（2）本小题关键：读懂．．题设条件，用好反证法． 由题设知：集合(1, 2, 3, , )i F i k =⋅⋅⋅是n 元子集，ij F F (1)i j k ≤<≤没有相同的二元子集；否则与“至多有一个元素”矛盾；而每一个i F 的二元子集的个数为2n C ，其中1, 2, 3, , i k =⋅⋅⋅，则所有的i F 的二元子集的个数不超过2n kC ，又对于全集{1, 2, 3, , }m ⋅⋅⋅来说，所有的二元子集的个数是2m C ，故2222(1)(1)m nmnC m m kC C k k n n C -≤⇒≤⇒≤-．■ (10)分得2分者：王宇嘉、王亚丽、杭 慧、潘倩玉；共4人．得1分者：季小淇、王小雨、陆冰冰、陈 胜、李慧敏、徐亚敏、曹 伟、卢稷楠、吴 桐、贺文杰、窦慧星、徐雨桐；共12人．。
江苏省泰州市姜堰区2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应的位置上.）1．已知直线l：x﹣y﹣1=0，则直线的斜率为．2．直线ax﹣y﹣1=0过点（1，3），则实数a=．3．以（﹣1，1）为圆心，半径为2的圆的标准方程是．4．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y=0，则圆心坐标为．5．在△ABC中，，，，则B=．6．在△ABC中，a：b：c=2：4：3，则△ABC中最大角的余弦值是．7．已知数列{a n}为等差数列，a4+a9=24，a6=11，则a7=．8．已知数列{a n}为等比数列，a2=2，a3=4，则S5=．9．直线y=﹣x+2与圆x2+y2=3相交于A、B两点，则线段AB的长是．10．若直线mx+2y+6=0与直线x+（m﹣1）y+m2﹣1=0平行，则实数m=．11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1+=，则角A 的大小为．12．已知数列{a n}通项公式a n=，则数列{a n}的前8项和为．13．已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是．14．△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.）15．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，满足b=2，c=，∠A=．（1）求△ABC的面积；（2）求边BC的长．16．已知直线过点P（2，1）．（1）若直线与3x﹣2y+4=0平行，求直线的方程．（2）若直线与3x﹣2y+4=0垂直，求直线的方程．（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．17．已知公差不为0的等差数列{a n}的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=n•2an，求数列{b n}的前n项的和S n．18．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的坐标为（1，），求切线PA，PB方程；（2）求四边形PAMB面积的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．19．如图是一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°．拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．设EB=x，EF=y（单位：m）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）试确定点E，F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应的位置上.）1．已知直线l：x﹣y﹣1=0，则直线的斜率为1．【考点】I3：直线的斜率．【分析】根据题意，将直线方程变形为斜截式方程，由斜截式方程的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x﹣y﹣1=0，变形可得y=x﹣1，则其斜率k=1，故答案为：1．2．直线ax﹣y﹣1=0过点（1，3），则实数a=4．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】将点代入直线ax﹣y﹣1=0，即可求得实数a的值．【解答】解：直线ax﹣y﹣1=0过点（1，3），则a﹣3﹣1=0，解得a=4，故答案为：4．3．以（﹣1，1）为圆心，半径为2的圆的标准方程是（x+1）2+（y﹣1）2=4．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由圆心的坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由圆心坐标为（﹣1，1），半径r=2，则圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=4．4．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y=0，则圆心坐标为（2，﹣1）．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】根据圆的一般方程的特征，求得圆的圆心坐标．【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y=0，即（x﹣2）2+（y+1）2 =5，则圆心坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．5．在△ABC中，，，，则B=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由三角形中大边对大角可得B＜A，故B＜．再由正弦定理解得sinB=，由此求得B的值．【解答】解：在△ABC中，，，，则由大边对大角可得B＜A，故B＜．再由正弦定理可得=，解得sinB=，故B=，故答案为．6．在△ABC中，a：b：c=2：4：3，则△ABC中最大角的余弦值是．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据三边之比表示出a，b，c，得到b对的角最大，利用余弦定理即可求出cosB的值．【解答】解：根据题意得：a=2k，b=4k，c=3k，（k＞0）且最大角为B，∴cosB===﹣．故答案为：﹣．7．已知数列{a n}为等差数列，a4+a9=24，a6=11，则a7=13．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a7．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a4+a9=24，a6=11，∴，解得a1=1，d=2，∴a7=a1+6d=1+12=13．故答案为：13．8．已知数列{a n}为等比数列，a2=2，a3=4，则S5=31．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】首先根据a2=2，a3=4求出等比数列的公比q和首项，然后利用等比数列的前n项的求和公式，进而求得结果．【解答】解：∵a2=2，a3=4，∴q=2，a1=1，∴S5==31，故答案为：31．9．直线y=﹣x+2与圆x2+y2=3相交于A、B两点，则线段AB的长是2．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=3的圆心O（0，0），半径r=，先求出圆心O（0，0）到直线y=﹣x+2的距离d，再由线段AB的长|AB|=2，能求出结果．【解答】解：圆x2+y2=3的圆心O（0，0），半径r=，圆心O（0，0）到直线y=﹣x+2的距离d==，∴线段AB的长|AB|=2=2=2．故答案为：2．10．若直线mx+2y+6=0与直线x+（m﹣1）y+m2﹣1=0平行，则实数m=﹣1．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行，它们的斜率相等或斜率都不存在的性质求解．【解答】解：∵直线mx+2y+6=0与直线x+（m﹣1）y+m2﹣1=0平行，∴﹣=﹣，解得m=﹣1，或m=2，当m=2时，两直线重合故答案为：﹣111．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1+=，则角A的大小为．【考点】HP：正弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】把已知条件利用切化弦及正弦定理化简可得，，利用两角和的正弦公式化简整理可求得，结合A的范围可求A【解答】解：由1+=可得由正弦定理可得，，整理可得，，∴sin（A+B）=2sinCcosA，，∵0＜A＜π∴，故答案为：．12．已知数列{a n}通项公式a n=，则数列{a n}的前8项和为190．【考点】8E：数列的求和．【分析】分类，当n为奇数时，a1+a3+a5+a7=﹣1+3+7+11=20，当n为偶数时，则a2+a4+a6+a8=2+23+25+27=170，即可求得S8．【解答】解：当n为奇数时，a n=2n﹣3，由a1+a3+a5+a7=﹣1+3+7+11=20，当n为偶数时，a n=2n﹣1，则a2+a4+a6+a8=2+23+25+27=170，数列{a n}的前8项和S8=a1+a3+a5+a7+a2+a4+a6+a8=20+170=190，故答案为：190．13．已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是[0，2] ．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y0表示出x0，代入到表示出OP的长中，根据PO2≤4列出关于y0的不等式，求出不等式的解集即可得到y0的范围，进而求出x0的范围．【解答】解：由分析可得：PO2=x02+y02，又因为P在直线x﹣y﹣2=0上，所以x0=y0+2，由分析可知PO≤2，所以PO2≤4，即2y02+4y0+4≤4，变形得：y0（y0+2）≤0，解得：﹣2≤y0≤0，所以0≤y0+2≤2，即0≤x0≤2，则x0的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]14．△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．【考点】HP：正弦定理．【分析】作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．【解答】解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）2=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα=AM：sin∠BBM：sinβ=AM又有sinβ=cos∠AMC=cos（α+∠B），联立消去BM，AM得sin∠Bcos（α+∠B）=sinα，拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，构造二次齐次式，同除cos2∠B，可得tanα=，若，则cos∠BAM=，tan∠BAM=，解得tan∠B=，cosB=易得sin∠BAC=．另解：作MD⊥AB交于D，设MD=1，AM=3，AD=2，DB=x，BM=CM=，用△DMB和△CAB相似解得x=，则cosB=，易得sin∠BAC=．故答案为：二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.）15．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，满足b=2，c=，∠A=．（1）求△ABC的面积；（2）求边BC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据三角形的面积公式代值计算即可，（2）由余弦定理即可求出=bcsinA=×2××=，【解答】解：（1）S△ABC（2）由余弦定理可得，所以a=1．16．已知直线过点P（2，1）．（1）若直线与3x﹣2y+4=0平行，求直线的方程．（2）若直线与3x﹣2y+4=0垂直，求直线的方程．（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）设直线方程为，过点P（2，1），代入解得m即可得出．（2）设直线方程为，过点P（2，1），代入解得n即可得出．（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x．②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，把点（2，1）代入可得：a．【解答】解：（1）设直线方程为，过点P（2，1）…所以3+m=1，所以m=﹣2从而直线方程为…（2）设直线方程为，过点P（2，1）…所以，所以从而直线方程为…（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x，即x﹣2y=0．②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，把点（2，1）代入可得：a=2+1=3．可得直线方程为x+y﹣3=0．综上可得：要求的直线方程为：x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．17．已知公差不为0的等差数列{a n}的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=n•2an，求数列{b n}的前n项的和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式求得2a1+3d=10，由等比数列的性质，即可求得a1=d，联立即可求得d=2，a1=2，利用等差数列通项公式即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由b n=n•=n•4n，利用“错位相减法”即可求得数列{b n}的前n项的和S n．（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，即2a1+3d=10，【解答】解：①由a1，a2，a4成等比数列，则a22=a1•a4，则（a1+d）2=a1（a1+3d），整理得：a1=d，②由①②解得d=2，a1=2∴a n=a1+（n﹣1）d=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；…（2）由（1）可知：b n=n•=n•4n，，…所以﹣3S n=4+42+43+…+4n﹣n×4n+1，=﹣n×4n+1，从而，∴数列{b n}的前n项的和S n，．…18．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的坐标为（1，），求切线PA，PB方程；（2）求四边形PAMB面积的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，当切线斜率存在时，设直线方程为，由直线和圆相切，求出，由此能求出切线PA，PB 方程．（2），当PM最小时，四边形面积最小．由此能求出四边形PAMB面积的最小值．（3）设点P（），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，由此能求出定点坐标．【解答】解：（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1…当切线斜率存在时，设直线方程为，因为直线和圆相切，所以，解得，此时直线方程为y=﹣（x﹣1）+，即5x+12y﹣11=0，所以切线PA，PB方程x=1，5x+12y﹣11=0．…（2）…故当PM最小时，四边形面积最小．而所以四边形PAMB面积的最小值…证明：（3）设点P（），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆即（）2+（）2=（）2，…所以，从而，解得定点坐标为（0，2）或（，）．…19．如图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，AB=20m ，BC=10m ，∠ABC=120°．拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．设EB=x ，EF=y （单位：m ）（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点E ，F 的位置，使直路EF 长度最短．【考点】5D ：函数模型的选择与应用；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）当点F 与点C 重合时，S △BEC =S ▱ABCD ，即•EB•h=AB•h ，从而确定点E 的位置；（2）点E 在线段AB 上，分10≤x ≤20与0≤x ＜10讨论以确定y 关于x 的函数关系式，从而利用分段函数解得；（3）当0≤x＜10时，y=2由二次函数求最小值，当10≤x≤20时，y=由基本不等式求最值；从而可得．【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，∴S▱ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×=100．=x•BF•sin120°=25得，BF=，由S△EBF所以由余弦定理得，y=EF==，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，=（x+CF）×10×sin60°=25得，由S四边形EBCFCF=10﹣x，当BE≥CF时，EF=，当BE＜CF时，EF=，化简均为y=EF=2，综上所述，y=；（3）当0≤x＜10时，y=2，当x=时，y有最小值y min=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥=10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．20．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】8K：数列与不等式的综合；8D：等比关系的确定；8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．（3）由（1）中T n的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．【解答】解：（1）在a n2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，得，即解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．∵==（﹣），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=．（2）①当n为偶数时，要使不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．②当n为奇数时，要使不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，即需不等式λ＜=2n﹣﹣15恒成立．∵2n﹣是随n的增大而增大，∴n=1时，2n﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（3）T1=，Tm=，Tn=，若T1，T m，T n成等比数列，则（）2=（），即=．由=，可得=＞0，即﹣2m2+4m+1＞0，∴1﹣＜m＜1+．又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T n}中的T1，T m，T n成等比数列．2017年6月17日。
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(1)证明：CD∥AB; (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明：A，B，G，F 四点共圆． （本小题满分 10 分，矩阵与变换） B． 已知矩阵 A
2 1 ． 1 4
（1）求 A 的逆矩阵 A1 ；
（2）求矩阵 A 的特征值 1 、 2 和对应的一个特征向量 1 、 2 ．
2x2 2 y2 2z2 x yz yz zx x y
高三数学试卷（附加题）第 1页，总 2页
［必做题］第 22 题，第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 22.(本小题满分 10 分) 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为矩形， PA 是四棱锥的高，
2
Q，且 | QF |
5 | PQ | . 4
（1）求 C 的方程； （2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相较于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程.
高三数学试卷（附加题）第 2页，总 2页
PB 与 DC 所成角为 45 ， F 是 PB 的中点， E 是 BC 上的动点.
（Ⅰ）证明： PE AF ； （Ⅱ）若 BC 2 BE 2 3 AB ，求直线 AP 与平面 PDE 所成角的大小.
P
F
A D C E
B
23.(本小题满分 10 分) 已知抛物线 C： y 2 px( p 0) 的焦点为 F，直线 y 4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为
数学试题(附加题)
(考试时间：30 分钟 满分：40 分)
［选做题］请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两 21.（ 题记分． （本小题满分 10 分，几何证明选讲） A． 21．如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC＝ED.
（本小题满分 10 分，坐标系与参数方程选讲） C． 在直角坐标系 xoy 内，直线 l 的数方程
x 2 2t （ t 为参数） ，以 OX 为极轴建立极坐 y 1 4t
标系，圆 C 的极坐标方程为 2 2 sin
． 4
（１）求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （２）确定直线 l 和圆 C 的位置关系． （本小题满分 10 分，不等式选讲） D． 设 x, y, z R ，求证：