集合总复习要点

第一章 集 合1.1 集合的含义与表示1、集合与元素（1）元素 一般地，我们把研究对象称为元素，元素常用小写字母a,b,c …表（2）集合 把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）集合通常用大写字母表示A ，B ，C ，…表示①集合的概念是一种描述性说明，因为集合时数学中最原始的，不加定义的概念，这与我们初中学过的点，直线等概念一样，都是用描述性语言表述的②注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象③集合时一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义。

因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象④构成集合的对象必须是“确定”的，其中“确定”是指构成集合的对象具有明确的特征，这个特征不是模棱两可的⑤集合中的元素是互不相同的，即相同的元素归入集合时，该元素只能出现一次例 1 下列每组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家 （2）某校2011年在校的所有高个子同学 （3）不超过20的非负数 （4）方程092=-x 在实数范围内的解 （5）直角坐标平面内第一象限的一些点 （6）3的近似值的全体2、元素与集合的关系有属于与不属于两种：”读作“，记作不属于集合元素”读作“，记作属于集合元素_____________,_____________,A a A a A a A a ∉∈且只有一种成立这两种情况中必有一种与，在与可知对任何元素的确定性，中的元素。

根据集合中是不是集合取决于与）（A a A a A a A a A a A a ∉∈∉∈1之间的关系示集合与集合间的关系，不能用来表”是表示元素与集合之”“）符号“（∉∈2{}{}{}a a a a a a a ∈，他们之间联系为元素只有一个表示一个集合，该集合表示一个元素，的区别和联系：与）（3例 2 集合A 是由形如),(3Z N Z m n m ∈∈+的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素3、常用数集（1）自然数集：全体非负整数的集合，也称为非负整数集，记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N +或N +（3）整数集：全体整数的集合，记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q（5）实数集：全体实数的集合，记作R例 3 下列说法正确的个数是 （）①集合N 中最小的数是1；②若N a ∈，则N a ∉-；③若N b N a ∈∈,，则b a +的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合；⑤R ∈π⑥Q ∉3⑦+∈N 0⑧+∉N 4- A 0 B 1 C 2 D 34、集合的分类 集合可以根据所含元素的多少分为三类：有限集、无限集、空集（1）含有有限个元素的集合叫做有限集。

特点：集合中元素的个数是可数的（2）含有无限个元素的集合叫做无限集合。

特点：集合中元素的个数是不可数的（3）不含任何元素的集合叫做空集。

如：方程052=+x 在实数范围内的解为空集，记作∅ 例 4 判断下列集合属于有限集、无限集、或空集的哪一类（1）不超过10的非负偶数的集合 （2）大于10的所有自然数组成的集合（3）方程042=-x 的解集 （4）在平面上到定点A 、B 距离相等的点的集合（5）方程012=+x 的解集5、集合元素的三种属性：确定性、无序性、互异性例 5 判断下列说法是否正确？并说明理由（1）参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； （2）未来世界的高科技产品构成一个集合； （3）1,0.5,3/2,1/2组成的集合含有四个元素； （4）高一（三）班个子高的同学构成一个集合例 6 已知集合{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值及集合A6、集合的表示方法：自然语言法、列举法、描述法、图示法例7 列举法表示下列集合：（1）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈=Z x N x M 16，求M （2）方程组⎩⎨⎧==+0_2y x y x 的解集 （3）由),(R b a b b a a∈+所确定的实数集合例8 用描述法表示下列集合（1）所有正偶数组成的集合；（2）方程022=+x 的解的集合；（3）不等式564<-x 的解集；（4）函数32+=x y 的图像上的点集例9 用适当的方法表示下列集合（1）比5大3的数；（2）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（3）二次函数102-=x y 的图像上的所有点组成的集合1.2 集合间的基本关系1、子集 对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们说集合A 含于集合B ，或说集合B 包含集合A ，记作____________(集合A 时集合B 的子集） 注意：（1）“A 是B 子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意A x ∈能推出B x ∈；当A 不是B 的子集时，我们记作___________；（3）任何一个集合是它本身的子集，因为对于任一个集合A ，它的每一个元素都属于本身，记作_______例1 设集合{}{}1,1,,3,12+-==a a B a A ，且B A ⊇，求a 的值2、集合相等如果集合A 中任何一个元素都是集合B 中元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A= B ，读作“A 等于B ”只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，当已知两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的：①个数相等，②对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中也都可以找到这个元素。

下列各组中的两个集合是否相等？为什么？{}{}{}{}{}{}Rx x y x R x x y y ∈=∈=,,32,72,723,44,3)1(22和）（）（和）（和3、真子集 如果集合A 时集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集例2 由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a ，2，b ”三个元素构成的集合时同一个集合，求a ，b 的值例3 集合{}{}Z k k y y Y Z n n x x X ∈±==∈-==,14,,12，试证明X=Y例4 设集合{}{}43,2,,8,22+-==a a B a A ，B 是A 的真子集，求a 的值4、元素与集合、集合与集合之间的关系元素与集合的关系式属于与不属于的关系，用符号_______表示；集合与集合之间的关系式包含、不包含、真包含、相等的关系，用符号________________表示例5 写出集合{}2,1,0的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集6、有限集合的子集的个数个非空真子集个元素的集合有个非空子集个元素的集合有个真子集个元素的集合有个子集个元素的集合有2-2)4(1-2)3(1-2)2(2)1(n n n n n n n n例6 同时满足：{}有的非空集合则，M M a M a M ∈∈⊆-6,5,4,3,2,1（） A 16个 B 15个 C 7个 D 6个例7 （1）已知集合{}{}A B m x m x B x x A ⊆+<<-=≤≤-=且,112,43的取值范围求实数m（2）本例（1）中，若将””““B A A B ⊆⊆,其他条件不变，则实数m 的取值范围是什么？例8 设集合{}{}R a a x a x x B x x x A ∈=-+++==+=,01)1(2,04222，如果,A B ⊆求实数a 的取值集合例9 已知集合{}{}22,21<<-=<<=xxBaxxA，是否存在实数a，满足BA⊆?若存在，求出a的范围1.3 集合的基本运算1、并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与 B的并集，记作A∪B；例1 设{}{}是顿角三角形，是锐角三角形xxBxxA==，求A∪B例2 已知集合{}{}0)3()2()2()1(=-⋅+==+⋅-=xxxBxxxA，，求集合A∪B2、交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B例3 设{}{}35),(64),(-==+-==xyyxBxyyxA，，求A∩B3、全集一般的，如果一个集合有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U例4 已知全集U=R，则正确表示集合{}{}01,0,12=+=-=xxxNM和的关系的Venn图是什么？请你画出图补集 对于一个集合A 由全集U 中______________________ 称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集例5 设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则=⋂)(B A C U ___________ 4、集合的运算性质及运用A ∩A=A ∪AA ∩∅=∅，A ∪∅=AA ∩B=B ∩AA ∪B=B ∪A=⋂=⋃)(,)(A C A U A C A U U ∅A B A B A B A A B A B C A C B A C BC A C B A C AA C C U U U U U U U U ⊆⇔=⋃⊆⇔=⋂⋂=⋃⋃=⋂=,)()()(例6 设{}{}04)2(2,08222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，其中R a ∈，如果 A ∩B=B ，求实数a 的取值范围例7 若集合{}{}41,32>-<=≤≤-=x x x B x x A 或，则集合A ∩B 等于_________ 《集合综合练习题》{}{}{}{}9,6,4)()(,3,2,8,1)(,,101=⋂=⋂=⋂⊆⊆=B C A C B A B A C U B U A U U U U 且，的正整数小于、已知全集 （1）求集合A 与B（2）求[])()(B A C U C Z R ⋂⋃(其中R 为实数集，Z 为整数集）2.已知集合{}{}52,2312≥-≤=-<<-=x x x B m x m x A 或，是否存在实数m ，使A ∩B ≠∅？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由3.已知{}{}51,32>-<=+≤≤=xxxBaxaxA或。

（1）求若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若A∪B=R，求a的取值范围4定义集合运算：{}ByAxyxxyz zBA∈∈+==⊗,),(。

设集合{}{}3,2,1,0==BA，则集合BA⊗的所有元素之和为___________5集合{}1,0,1-=P，集合{}3,2,1,0=Q，定义{}QPyQPxyxQP⋃∈⋂∈=*,),(,则QP*的元素的个数为___________。