(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：6.3利用导数解决实际问题含解析

6.3 利用导数解决实际问题

新版课程标准学业水平要求

利用导数解决与函数有关的问题1.借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用.(数学运算)

2.能利用导数解决简单的实际问题.(数学运算)

关键能力·素养形成

类型一函数的图象问题

【典例】给定函数f=e x -x.

(1)判断函数f的单调性,并求出f的值域;

(2)画出函数f的大致图象;

(3)求出方程f=m在区间[-1,2]的解的个数. 【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;

(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;

(3)利用图象的交点个数判断解的个数.

【解析】(1)函数的定义域为R.

f′=e x-1,令f′=0,解得x=0.

f′,f的变化情况如表所示:

x 0

f′- 0 +

f单调递减 1 单调递增

所以,f在区间上单调递减,在区间上单调递增.当x=0时,f的极小值f=1.

也是最小值,故函数f的值域为.

(2)由(1)可知,函数的最小值为1.

函数的图象经过特殊点f=+1,f=e2-2,f=1,

当x→+∞时,f→+∞,f′→+∞;

当x→-∞时,指数函数y=e x越来越小,趋向于0,因此函数f图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f的大致图象如图所示.

(3)截取函数f在区间[-1,2]上的图象如图所示.

由图象得:当f

即m∈时,方程f=m在区间上恰有两个不同的实根;

同理,当m=1或+1

当m<1或m>e2-2时,方程f=m在区间上无实根.

【内化·悟】

作函数的图象时需要关注哪些方面?

提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等.

【类题·通】

作函数f图象的步骤

(1)求出函数的定义域;

(2)求导数f′及函数f′的零点;

(3)用f′的零点将f的定义域划分为若干个区间,列表给出f′在各个区间上的正负,并得出f的单调性与极值;

(4)确定f的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;

(5)画出f的大致图象.

【习练·破】

函数f(x)=(x2+tx)e x(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 ( )

【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)e x+(x2+tx)e x=[x2+(t+2)x+t]e x,

当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D.

类型二实际生活中的最值问题

【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);

(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.

【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值. 【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].

(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)

=(10-x)(18+2a-3x),

令L′(x)=0,得x =6+a或x=10(舍去).

因为1≤a≤3,所以≤6+a≤8.

所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.

当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.

【类题·通】

解决实际优化问题时应注意的问题

(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;

(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值. 【习练·破】

(2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y,

则由题意有πr2h=V,所以h=.

蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr=πr2+(r>0).

令y′=2πr-==0,得r=.

检验得,当r=时表面积取得最小值,即所用的材料最省.

类型三利用导数研究函数的问题

角度1 恒成立问题

【典例】(2020·龙凤高二检测)函数f(x)=e x-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是( )

A.k≤1

B.k≤2

C.k≤e

D.k≤

【思维·引】转化为最值问题.

【解析】选C.依题意,e x-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,

即k≤在(0,+∞)上恒成立,

令g(x)=(x>0),则g′(x)==,

当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.

【素养·探】

将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理.

将本例改为在区间上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围. 【解析】在区间上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间上存在x,使k≤成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)==,

因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,

又g=2,g=e3,所以g(x)max=g=e3.

所以k≤e3.