等角的证法

等角的证法
（一）知识点归纳 证明两角相等，主要有下面的途径：
1.全等三角形的利用;
2.等腰三角形的利用;
3.平行线和平行四边形的利用;
4.证明两角是等角(同角)的补角、余角,或证这两角等于同一角,或分别等于两个相等角,抑或证两角是等角的和、差、二倍或一半；
5.应用定理“两三角形若有两角相等,则第三角亦等”,或应用“三角形一角的外角等于另外两内角之和”；
6.关于圆心角、圆周角、弦切角等的度量的应用；
7.相似形的应用；等等。

（二）例题讲解
例一.设AD 、BE 、CF 是ABC 的高线，则DEF 称为ABC 的垂足三角形
112.
13.
ABC H ABC H D C E FCE B C E F FCE FBH B D H F ∠=∠=∠∠=∠=∠=∠∠∠∠∠ 。

证： 设是锐角三角形（如图）
为的垂心，则、、、四点共圆，从而又、、、四点共圆，故最后从、、、四点共圆得1=FBH= 4.即AD 平分EDF.仿此证明另两条高线也平分垂足三角形的另两角
.
2,ABC AD AE AF DEF 。

。

设为钝角三角形（如图）.H 为垂心,容易看出,点A 是锐角三角形HBC 的垂心,而DEF 是HBC 的垂足三角形.所以根据1的证明结果、、是的内角平分线，
从而ABC 的三条高线依次内分、外分垂足DEF 的角.2.,..
O P PC PD CD M AB
PO APB ∠例从圆外一点引切线和通过弦的中点任作一弦求证平分22
Rt OCP PO PM PC PC PB PE PO PM PB PE M O B E ===∠∠∠∠∠≡∠ 证1:从
看出，又，则有
，故四点、、、共圆.于是有1=2=3=4= 5.最后得到EMO AMO,从而EM=AM.最后,从三角形MAP 和三角形MEP 合同,知道PO 平分APE.
∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ 证:作公切线PD(如图),则BPC=BPD+DPC.但BPD=PAC, DPC=DCP=ACP.
故 BPC=PAC+ACP=EPC.即PC 是APB 的外角平分线.4.()(O L OM 例蝴蝶定理从圆心向已知直线作垂线如图,L 与圆相交,当L 与圆相切或不相遇时,命题也成立),通过垂足M 任作两直线AB 及CD,交圆于A 、B 、C 、D.
求证:AD 、BC 交L 之点P 、Q 与M 等距.
'''''
'12 3.()3 4.1 4..
5 5.
.,.DD L OM BCDD M Q B D MD Q MBQ ABC ADC MD MD MD Q MDP MQ MP ∠=∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠=∠=∠=∠=∠∠∠=≡= ' '
证： 作点D 关于直径OM 的对称点D ，和同垂直于，
因而平行，于是有后一等式应用了对称性由圆内接四边形有故从而，，，四点共圆于是 又由对称性 1=1，故有证毕.
3.∠例二圆外切于P,一圆在其上一点C 的切线交另一圆于A 、B ，求证：PC 是APB 的外角平分线.22:().
.,
Rt OCP OM MP MC MA MB DM MC MC MO MP MA MB P A O B ====∴ 证2如图从得另外又有故有可见四点、
、、共圆，从而命题得证.(四点P 、A 、O 、B 共圆，
圆周角OPA 和OPB 对等弦即对等弧）
（三）综合训练：
2.设四边形有一双对边相等，证明这两边（所在直线）跟另两边中点的连线的交角相等。

3.四边形ABCD 中，设AD=BC 。

且M ，N 是对角线AC ，BD 的中点，证明直线AD ，BC 与MN 成等角。

:
,,M ACBD L M OM L AD BC P Q OPQ 本题另一种叙述设是圆内接四边形的对角线的交点是过与直径垂直的直线交、于、，则是等腰三角形.
1.A B AC AD ∠∠两圆相交于两点、，在每一圆中各作一弦、使切于另一圆，求证：ABC=ABD.
..180()().
DAB C CAB D C CAB D DAB ABC CAB C DAB D ABC ABD ∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=-∠+∠∠-∠+∠∴∠=∠ 0证明：， 又 ABD=180
':,,,,.:.()
ABCD AD BC E F AB CD EM D CMF =∠=∠已知在四边形中是的中点求证如图
':,,,.12,3 4.11,,,,2 3.
22
14,.
BD G EG FG EG AD FG BC AD BC EG FG EM D CMF ∠=∠∠=∠===∴=∴∠=∠∠=∠∠=∠证明连接取中点连结则又即即
∴∠∠证:取AB,CD 的中点E,F,连结NE,NF,ME,MF.由条件可知,四边形EMFN 为菱形,故对角线EF,MN 垂直平分,1= 2.
D
D
F
04.90ABC A AB AC D AC AE BD E ∠==⊥∠∠ 如图，在中，，，为的
中点，于点，延长AE 交BC 于点F 。

求证：ADB=
CDF.
0000:,45.
,,45.90...
,,45,..
,.
BAC BD BAG DAG ABG CAF AB AC BAG C ABG BAE DAE ABG CAF AG CF DCF DAG AD DC C DAG AG CF DCF DAG ADG CDF ADB CDF ∠∠∴∠=∠==∠=∠=∴∠=-∠=∠∴≡∴==∠=∠==∴≡∴∠=∠∠=∠ 0证明作的平分线交于点G,BAC=90在和中在和中
即
5.,,,.,.:.
PA PB O A B OP AB C EF C APE BPE ∠=∠ 如图分别切于交于弦过求证:,,,..,,
.,,,,,,
,.,,,,,14,2 3.,12,3 4...
OE OF OA OB PA O A PB O B PA OA PB
OB A P B O OC CP AC CB AC CB EC CF OC CP EC CF E O F P OE OF APO BPO APE BPF ⊥⊥===∠=∠∠=∠=∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠ 证明连结因切圆于切圆于故所以四点共圆有所以所以四点共圆得又因所以
P
P
'''6.,,,,.,.
:.O O A B BA P O PCD O C D O PEF O E F DCF DEF ∠=∠已知圆与圆交于在延长线上取一点圆的割线交圆于圆的割线交圆于求证0:,,
.,..::.
,..
180..
PCD PAB O PC PD PA PB PE PF PA PB PC PD PE PF PC PE PF PD DPF DEP FCP DEP FCP DEF DEP DCF FCP DCF DEF ∴==∴==∠∴∴∠=∠∠+∠=∠+∠=∴∠=∠ 证为圆的割线同理即又公用
又
1117,,,,,,.
.:.
O P BE O C PB O D PC A AB CD PE BPA EPA ∠=∠ 222和O 内切于点O 的弦与相切于交于的延长线交O 于连结求证1:,.//,.,.,.
P MN MPB PCD A CD AB ABC BCD BC O BCD BPA ABC EPA BPA EPA ∠=∠=∠∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠ 证过点作两圆公切线则是圆的切线。