证两角相等两道典型例题
证明两角相等的方法20170727
徐老师模型数学20170727证明两角相等的方法百汇学校徐国纲一、相交线、平行线1、对顶角相等；2、同角或等角的余角（或补角）相等；3、两直线平行，同位角相等、内错角相等；4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补；5、凡直角都相等；6、角的平分线分得的两个角相等；二、三角形7、等腰三角形的两个底角相等；8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角；9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和；10、全等三角形的对应角相等；11、相似三角形的对应角相等；12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三、四边形13、平行四边形的对角相等；14、菱形的每一条对角线平分一组对角；15、等腰梯形在同一底上的两个角相等；四、圆16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等；17、同弧或等弧所对的圆周角相等；18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角；20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角；21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；五、三角函数23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等；六、等式性质24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3；25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3.第1 页共1 页。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
相似三角形的判定典型例题
H 相似三角形的判定典型例题知识要点：1． 相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形。
2． 相似三角形的识别方法： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧例、两三角形相似直角边、斜边对应成比角形相似三边对应成比例，两三角相等两三角形相似两边对应成比例，且夹相似两角对应相等两三角形④③②① 典型例题例1（2002年哈尔滨）△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中⑴∠ACP=∠B ⑵∠APC=∠ACB ⑶AC 2=AP ·AB ⑷AB ·CP=AP ·CB 其中能满足△APC 和 △ACB 相似的条件的是（ ） A ⑴⑵⑷ B ⑴⑶⑷ C ⑵⑶⑷ D ⑴⑵⑶分析：本题主要是考查相似三角形的识别，由于在识别相似的两个三角形中，隐含了一个公共角，因此依据三角形相似的识别方法①或②，只要附加一个条件∠ACP=∠B 或∠APC=∠ACB 或APAC AC AB =即可，因此应选（D ） 例2：（2004安徽）已知△ABC ，△DEF 为正三角形，D 、E 分别在AB 、BC 上，请找出一个与△DBE 相似的三角形并证明分析：本题是考查相似三角形的识别的开放题，由题意可知∠B=600，，因此与△DBE 相似的三角形一定含有600角证明：∵△ABC 和△DEF 都为正三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=600∴∠1+∠2=1800 —∠DEF=1200 在△DBE 中，∠2+∠3=1800—∠B=1200 ∴∠1=∠3 ∴△DBE ∽△ECH例3 如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 边上的点，过D 作DG ∥BC ，过E 作EH ∥CA ，过F 作FI ∥AB ，（1）求证：△HIG ∽△ABC 。
（2）如果将题目已知中的平行变为DG ⊥AB ，EH ⊥BC 、FI ⊥CA ，△HIG ∽△ABC 还成立吗？请证明你的结论。
分析：（1）利用图中平行线只要能够证明∠1=∠B ，∠2=∠C ，就可证△HIG ∽△ABC 。
证明两角相等的方法
证明两角相等的方法四川 侯国兴证明两角相等与证明两线段相等都是证明题中的常见题型，本文将举例介绍证明两角相等的常用方法，供学习参考．一. 利用平行线的性质证明例1.已知：如图1，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠图1 图2简析：可考虑由AC ∥DF 而得到结论．． 证明：因为 12,32∠=∠∠=∠（对顶角相等）所以 13∠=∠所以 BD ∥CE （同位角相等，两直线平行）所以 D B A C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为 C D ∠=∠，所以 DBA D ∠=∠所以 AC ∥DF （内错角相等，两直线平行）所以 A F ∠=∠ （两直线平行，内错角相等）二. 利用全等三角形的性质证明例2.已知，如图2，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC=BC ，AD 为BC 边的中线，CE AD ⊥于E ，交AB 于F ，求证：ADC BDF ∠=∠．简析：考虑ABC 为等腰直角三角形，其典型辅助线是作底边上的高（作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ），也是底边上的中线，这样，可设法证CGD BFD ≅ 而得到结论． 证明：作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ，则45ACG B ∠=∠=因为 CE AD ⊥，所以 CAG BCF ∠=∠又因为 AC=BC 所以 AGC CFB ≅ （ASA ）所以 CG=BF （全等三角形的对应边相等）又因为 45DCG B ∠=∠= ，CD=BD 所以 C G D B F D ≅ （SAS ）所以 A D C B D F ∠=∠ （全等三角形对应角相等）．三. 利用等腰三角形的性质证明例3. 已知 ：如图3，AB=AC ，,,CE AB AD BC ⊥⊥且DEB B ∠=∠，求证：12∠=∠．图3 图4简析：因为1∠、2∠是DCE 的两内角，可证ED=CD 而得结论．证明：因为 DEB B ∠=∠ ，所以BD=ED （等角对等边）因为 ,AB AC AD BC =⊥，所以 BD=CD （等腰三角形的“三线合一性”）所以 ED=CD ， 所以 12∠=∠ （等边对等角）四. 利用等量代换证明例4．如图4，ABC 的三条内角平分线相交于点O ，且OG BC ⊥，垂足为G ．求证： BOD COG ∠=∠．简析：当用上面三种方法都难以奏效时，可考虑所要证明的两个角都等于第三个角，利用等量代换而得结论．证明：由已知条件得：12BOD ∠=∠+∠1122BAC ABC =∠+∠ 11(180)9022ACB ACB =-∠=-∠ 又因为 OG BC ⊥， 所以 1902COG ACB ∠=-∠ 所以 B O D C O G ∠=∠． 待同学们学习了平行四边形知识以及在九年级学习的部分知识后,还有别的方法证明两角相等.在此不再赘述.【热身练习】：1. 已知：如图5，点C 是AB 的中点，AC=CE ，12∠=∠，求证：34∠=∠．（提示： 利用全等三角形的性质证明）2. 已知：如图6，AD 是A ∠的平分线，E 是AB 上的一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分DEF ∠．（提示：利用等量代换证明）图5 图6。
几何专题(三)怎样证明两角相等及怎样证明两直线平行
几何专题（三）怎样证明两角相等【知识要点】本单元中证明两角相等的方法主要有： （1） 对顶角相等；（2） 同角（或等角）的余角相等； （3） 同角（或等角）的补角相等； （4） 两直线平行，同位角相等； （5） 两直线平行，内错角相等； （6） 两直线平行，同旁内角互补；（7） 如果两个角都与第三个角相等，或都与某两角的和、差、倍、分相等，则这两个角相等。
（即等量代换法）【典型例题】能力挑战1、已知：如图所示，B ∠=∠1，CD 平分ACB ∠，求证：32∠=∠．能力挑战2、已知：如图所示，21∠=∠，C A ∠=∠．求证：D B ∠=∠．AD E B 1 23AE B N M D FC 12 3 4能力挑战3、如图所示，在ABC ∆中，AD CE ⊥∠=∠，21交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于F ，AD 、EC 交于M 点，求证：FEC DEC ∠=∠．【课堂练习】1、如图所示，点O 在AB 上，OD 平分OD OE AOC ⊥∠，．求证：OE 是BOC ∠的平分线．2、如图所示，AB 和CD 相交于点O ，B A ∠=∠，求证：D C ∠=∠．3、已知：如图所示，AB ∥CD ，AC ∥DE ．求证：D A ∠=∠．O A BD CE AO BDABCED1 2 A FE C D B M4、已知：如图所示，AB ∥CD ，21∠=∠，求证：F E ∠=∠．5、已知：如图所示，F E BC DF BC AE 、，，⊥⊥为垂足，1∠=∠A ．求证：DF 平分BDC ∠．A BCDEF12A D GB E F C1 2 3怎样证两直线平行【知识要点】本单元中证两直线平行的方法主要有： （1） 同位角相等，两直线平行； （2） 内错角相等，两直线平行； （3） 同旁内角互补，两直线平行；（4） 都与第三条直线平行的两直线互相平行； （5） 垂直于同一条直线的两直线平行。
【能力挑战】能力挑战1、已知：如图所示，BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，且D ACB ABC ∠=∠∠=∠1，． 求证：CF ∥DE ．能力挑战2、如图所示,在ABC ∆中,P 、Q 分别是BC 、AC 上的点,作AC PS AB PR ⊥⊥，，垂足分别是R 、S ．若AQ=PQ ，PR=PS ．求证： QP ∥AR ．AF E B D 1 2 A PBC Q R【练习】1．如图所示，已知AB ∥CD ，D B ∠=∠，求证：AD ∥BC ．2．如图所示，已知AB ∥CD ，EM 、FN 分别平分BEF ∠和CFE ∠．求证：EM ∥NF ．3．如图所示，点O 在CD 上，AB OE ⊥于E ，当1∠是什么角时AB ∥CD ？4．如图所示，已知D B ∠=∠，AB ∥CE ，求证：CE ∥DF ．5．如图所示，已知BE 、CE 分别平分ABC ∠、BCD ∠，且︒=∠+∠9021．求证：AB ∥CD ．A BCDA N MBE D C F12A B EC DO1ABC D FE E C D B A 12。
两个相等三角形练习题
两个相等三角形练习题一、选择题1. 在下列图形中，能判断出两个三角形全等的是（）A. SASB. ASAC. AASD. SSD2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，则这两个三角形（）A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 无法判断3. 在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，那么这两个三角形（）A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 无法判断二、填空题1. 若两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，则这两个三角形是______三角形。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则这两个三角形是______三角形。
3. 在两个全等三角形中，它们的对应边长之比是______。
三、判断题1. 两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等。
（）2. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。
（）3. 两个全等三角形的周长之比是1:1。
（）四、解答题1. 在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，求证：∠ADB=∠ADC。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，求证：△ABC≌△DEF。
3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC，求证：∠BAD=∠CAD。
4. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEF。
五、综合题1. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,7)，点C(6,3)，判断△ABC是否为全等三角形，并说明理由。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF，且∠A=∠D，求证：△ABC≌△DE F，并求出它们的面积。
六、作图题1. 已知线段AB=6cm，∠C=45°，请在AB上作一个点C，使得△ABC是一个等腰直角三角形。
2. 已知线段DE=8cm，点F在DE上，且DF=4cm，请作一个全等三角形，使其与△DEF全等。
三角形全等的应用2 证角相等 (含详细解答)
二、利用全等三角形证角相等
1-1.若△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，则△ABC是直角三角形（自己画图）
分析：本题属于证角的题型。
虽然是证一个角为900.但不能直接得证，要通过证全等三角形角相等来实现，所以其实际上是证角相等的题型。
图形中不能直接找到全等的两个三角形，必须根据已知条件和图形特点添加辅助线来构造全等三角形。
构造全等三角形要根据三种基本模型（旋转型，平移型，翻转型）来构造。
利用这个图形要证出结论不可能，因此要添加适当的辅助线，如何添加辅助线呢？若利用已知条件AC=2BC，添加辅助线，倍长BC 或取AC的中点都不能证出结论；因此利用已知条件∠C=2∠A添加辅助线。
作∠ACB的平分线CD交AB于D（利用角的两倍关系做角平分线，构造等腰三角形，这个技巧值得记住），这样就产生了等腰三角形ADC（光有等腰三角形还没有构造成功两个全等的三角形，如果再把等腰三角形垂直平分就可构造成两个全等三角形，这个技巧值得记住），再作DE⊥AC交AC于E，只要证△DEC和△DBC全等就可以了，这样∠1=∠B=90°，此题结论得以论证。
（证明略）。
沪科版-数学-八年级上册-14.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形 作业
两角及其夹边分别相等的两个三角形1.在△ADF和△BCE中，AD=BC，∠A=∠B，直接利用“ASA”证得△ADF≌△BCE的条件是(B)A.AF=BEB.∠D=∠CC.∠F=∠BD.CE=DF2.如图，若利用“ASA”来判定△ACD≌△ABE，则可以添加的条件是 (D)A.∠AEB=∠ADC，∠C=∠BB.∠AEB=∠ADC，CD=BEC.AC=AB，AD=AED.AC=AB，∠C=∠B3.如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是(C)A.SSSB.SASC.ASAD.AAS4.如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，测出BD=10，ED=4，则AB的长是(C)A.5B.10C.4D.以上都不对5.如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF.求证:AF=DF.证明:∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，∴△A BF≌△DEF(ASA)，∴AF=DF.6.如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(C)A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠ABC=∠EFD，BC=FD7.如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加的一个条件是∠EDA=∠FDA(答案不唯一) .8.如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B'，使∠ACB'=∠ACB，这时只要量出AB'的长，就知道AB的长，为什么？解:∵AC⊥AB，∴∠CAB=∠CAB'=90°.在△ABC和△AB'C中，∴△ABC≌△AB'C(ASA)，∴AB=AB'.9.如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加一个条件.(1)小明添加的条件是:AP=BP.你认同吗？(2)你添加的条件是∠APO=∠BPO ，请用你添加的条件完成证明.解:(1)不认同，按小明添加的条件，并不能证明全等.(2)理由:∵点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，∴△AOP≌△BOP(ASA).10.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由.解:BD=2CE.理由如下:延长BA，CE相交于点F.∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBE.在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE(ASA).∴CE=EF.∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°.∴∠ABD=∠ACF.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF(ASA).∴BD=CF.∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE.11.(宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下:如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度.解:∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD=OB，在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD=AB=20米.12.(南充中考)已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:∠M=∠N.证明:(1)在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M=∠N.13.如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下:①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上;②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O;③画DF⊥CD，使F，O，A在同一直线上;④在线段DF上找一点E，使E与O，B共线.他说测出的线段EF的长就是船B与码头A的距离.他这样做有道理吗？为什么？解:有道理.理由:∵DF⊥CD，AC⊥CD，∴∠C=∠D=90°，∵O为CD的中点，∴CO=DO，在△ACO和△FDO中，∴△ACO≌△FDO(ASA)，∴AO=FO，∠A=∠F，在△ABO和△FEO中，∴△ABO≌△FEO(ASA)，∴AB=EF.14.如图，点A，B，E，F在同一直线上，有下列命题:“若AE=BF，∠A=∠B，则△ACF≌△BDE.”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明;如果是假命题，请再添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.解:命题“若AE=BF，∠A=∠B，则△ACF≌△BDE”是假命题，可添加条件AC=BD，使它成为一个真命题.证明如下:∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE(SAS).(本题答案不唯一，合理即可)。