1.1.1《不等式基本性质》课件(新人教选修4-5)

a1 a2 an ≤ a1 a2 an .
推论 2： 如果 a、b、c 是实数,那么 a c ≤ a b b c , 当且仅当 (a b)(b c ) ≥ 0 时,等号成立.
课堂练习： 1.(课本 P15 例 1)已知 ε 0, x a ε , y b ε ， 求证： 2 x 3 y 2a 3b 5ε . 2.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a b a b ≥ 2 a ;⑵ a b a b ≤ 2 b 3. (课本 P20 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ xa xb ≥ ab ; ⑵ xa xb ≤ ab
1.提示 :恰当运用重要不等式 : a1 a2 a3 ≤ a1 a2
2.提示 :
a3 .
⑴ a b 2c a c b c ,…… ⑵ 3a 3c (a b 2c) (b c 2a) ,……
作业:课本 P 第 2， 4， 5 题 20
证明 :对于 a 2 b 2 ，可想到直角三角形的斜边， 这时可构造出图形： 以 a+b+c 为边长画一个正方形，如图
2 2 2 2 则 AP1 a b , P1 P2 b c ,
P2 B c 2 a 2 ， AB 2(a b c ) .
显然 AP1 P1 P2 P2 B ≥ AB ， 即 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ≥ 2 (a b c ) .
| a | | b | | a | | b | 综合10,20知定理成立.
定理 1 如果 a, b 是实数， 则 ab ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.） ⑴若把 a, b 换为复数 z1 , z2 ，
结论： z1 z2 ≤ z1 z2 成立吗？
z1 z2
可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。
这节课我们来研究:绝对值有什么性质? 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: a (a 0) ⑴ a 0 (a 0) ;（定义） a (a 0) | a | a x 0 ⑵ a 的几何意义: O A
关于绝对值还有什么性质呢?
答案继续
-2 x 30 ( x 10) S ( x) 10 (10 ≤ x ≤ 20) 2 x 30 ( x 20)
所以（ S x）的最小值是10, 60 当 10 ≤ x ≤ 20 时取到. 40
答: 生活区建于两路碑 间的任意位置都满足条 件.
20 0
1.在" (1)若a b, 则 , ( 2)若ac 2 bc 2 , 则a b, a b ( 3)若a b 0, c d 0, 则ac bd , ( 4)若a b, 则 b b x " 这四个命题中 , 正确的个数是 C a a x
z1 z2
z2
z1
z2
z2
⑵若把 a, b 换为向量 a , b 情形又怎样呢？
定理 1（绝对值三角形不等式）如果 a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.） 如果把 a, b 换为向量 a , b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
x a y b
成立的（ C
） B. 必要不充分条件
A. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
a b （1）若c>a>b>0，则 （真命题） c a c b 1 1 （2）若a>b, ，则a>0，b<0。 （真命题） a b
①a a
2
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
a a ② ab a b , ,…… (从运算的角度来看绝 b b
对值的特点,你发现了什么?)
思考 : 用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出 来，你能发现它们之间的什么关系?
注：绝对值的几何意义: ⑴ a 表示数轴上的数 A 对应的点与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a b 表示数轴上的数 A 对应的点与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 即 a = OA ， a b AB
2 2 2
20. 当ab<0时, ab | ab |,
| a b | (a b )2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2
2
2
| a | 2 | a || b | | b | (| a | | b |)
2
| a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2
猜想： a b ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
证明猜想 定理延伸
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
ab | ab |, | a b | (a b ) a 2ab b
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修4－5
1.1.1《不等式基本性质》
第一讲不等式和绝对值不等式（二）
欣赏
新问题研 究
探究性质
绝对值三角 形不等式
例2
作业:课本 P 第 2， 4， 5 题 20
第一讲不等式和绝对值不等式（二）
[欣赏] 已知 a 、b 、c R ， 求证： a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ≥ 2 (a b c )
ab a b
a
ab
b
由这个图，你还能发现什么结论？
推论 练习
定理（绝对值三角形不等式） 如果 a, b 是实数，则 a b ≤ a b ≤ a b
注：当 a、b 为复数或向量时结论也成立.
我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：
推论 1（运用数学归纳法可得） ：
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
c d 2.已知三个不等式 : ab 0, bc ad 0, 0 a b (其中a , b, c , d均为实数), 用其中两个不等式作为 条件, 余下的一个作为结论组 成一个命题 , 可组成 的正确命题的个数是 D
A.0个
B.1个
C.2个
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地 点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里 和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共 同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地 点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程 之和最小,生活区应该建于何处?
· 10 · x · 20
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两 施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
D.3个
3.已知0 x y a 1, 则有 D
A. log a ( xy ) 0 C .1 loga ( xy ) 2
B.0 log a ( xy ) 1
D. loga ( xy ) 2
x y a b 4、若a、b、x、y∈R，则 是 ( x a )( y b) 0
课外思考:
1.已知函数 f ( x ) ax 2 bx c , 当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) ≤ 1 求证: a b c ≤ 17
2. a、b、c 均为实数 , a b, b c, a c , a b 2c b c 2a c a 2b 3 2. 求证 : ≤ 2 a b bc c a