初中数学竞赛《容斥原理》练习题及答案 (61)

初中数学竞赛《容斥原理》练习题

1.从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保

留．划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数．【分析】因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60﹣20﹣15+5＝30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个．因2002＝36×55+22，说明2002是56段中的第22个数．

【解答】解：先考虑1到60的整数

在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60﹣20﹣15+5＝30个．

又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6＝36个

因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个．因为2002＝36×55+22，所以第2002个数是56段中的第22个数．

又因为第一段中的第22个数是37，

所以该序列中第2002个数是55×60+37＝3337．

答：该序列中第2002个数是3337．

【点评】本题考查了数的整除性的知识，最小公倍数的应用．解决本题的关键是以60做为分段．