弹塑性力学浙大1ppt课件
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弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
为非负，即有 0
功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
Ñ W
0 ij
ij
0 ij
d ij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循环
中是可逆的，因而
( ij
0 ij
)
d
e
ij
0
0 ij
于是有：
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有一
塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函
数，记为：
g I1, J2, J3, H 0
或
g ij , H 0
式中， H 为硬化参数。
塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达
式来表示，即：
d
p ij
d
g
ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学01ppt课件
第1章 绪论1-2
线性弹性力学的发展，出现了许多分支学科，
如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、 粘弹性力学、各向异性弹性力学等。
37
弹性力学解法也得到不断发展
数值解法 微分方程的差分解 [迈可斯(1932)] 有限单元法 [1946年]
第1章 绪论1-2
复变函数（20世纪30年代）萨文和穆斯赫利什维利 作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等 问题。
14
固体材料的弹塑性简单 说明（简单拉伸性能）
弹性极限（屈服 极限）
比例极限
弹性 阶段
塑性阶段（强化）
第1章 绪论
卸加载 （弹性）
弹性应变 塑性应变
低碳钢试件简单拉伸试 验应力—应变曲线图
弹性应变
15
第1章 绪论
• “完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力 和应变之间一一对应的关系。 这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
38
钱伟长
钱学森
胡海昌 徐芝伦
39
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力（重力、惯性力） z
大小： 平均集度
体力
lim F f V 0 V
O
x
fz V
F f
fy
fx
P
y
图11a 40
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
方向 f的方向就是ΔF的极限方向
矢量f在坐标轴x、y、z上的投影fx、 f y、 fz ，称为
材料的应力和应变关系通常称为 本构关系
——物理关系或者物理方程
• 线性弹性体和非线性弹性体
弹塑性力学第一章 PPT资料共54页
16.11.2019
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
16.11.2019
11
§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
16.11.2019
12
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j
i1
33
1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
16.11.2019
32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
《弹塑性力学》第一章 绪论.ppt
2021/3/11
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
2021/3/11
假设4：应力与应变关系为线性。此假设适 用于线弹性理论。
2021/3/11
13
§1-2 基本假设和基本规律
2.2 基本规律
完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基 本规律（或应满足的三方面的条件）：
1. 平衡规律：固体受到外力与自身的内力要 满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方 程（3个）。
2021/3/11
矢量的符号记法。 矢量也可以用它的标量表示：
x3 r
3
r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei
e3 x2
i 1
x1 e1 e2
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20
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张
量基本知识
其中 e1、e2、e3为坐标的基方向（单位向量），
r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有
14
§1-2 基本假设和基本规律
2. 几何连续性规律：要求变形前连续的物 体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立 几何方程（6个）或变形协调方程，均为微 分方程。
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15
§1-2 基本假设和基本规律
3. 物理（本构）关系：应力（内力） 与应变（变形）之间的关系，据材料的 不同性质 来建立，最常见的为各向 同性材料。
2021/3/11
3
弹塑性力学浙大1ppt课件
八个面组成的图形，称为八面体。
1
• 八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3 l12 l22 l32 1
l1 l2 l3 1 / 3 (1.19)
或 arccos(l1) arccos(l2) arccos(l3) 5444'
• 八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P1 1l1 1 / 3, P2 2l2 2 / 3, P3 3l3 3 / 3 (1.20)
31 32 33
代入式(1.14)后得:
3 3 2 6 8 0 ( 4)( 1)( 2) 0
解得主应力为: 1 4; 2 1; 3 2;
23
1.2 应力偏量张量
1).应力张量分解
物体的变形
体积改变 形状改变
球应力状态/静水压力
由各向相等的应力状态引起的
弹性性质
材料晶格间的移动引起的
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC 的面积为1
SOBC SOAC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SOAB 1 cos(n, x3 ) l3
J1 11 22 33 kk
是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
J2
11 21
12 22
22 32
23 33
33 13
31 11
1 2
(ii kk
ik ki
)
(1.15)
11 12 13 J3 21 22 23 ij
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
【弹塑性力学】1 绪论ppt课件
6
弹塑性力学的基本假设
（1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用 连续函数表示。
（2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。 即连续介质和小变形假设。
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点: 应力－应变之间具有一一对应的关系， 且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。 塑性变形的特点： 应力－应变关系不再一一对应， 且一般是非线性的
5
1.1 基本概念
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹 性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、 土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天 等广泛的工程领域。
目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹 塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程 结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构 物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理 论基础。
从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。
1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
17
1.3 塑性力学的主要内容
（1）建立屈服条件。 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界
限而进入塑性状态，即材料是否屈服 （2）判断加载、卸载。 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。 （3）描述加载（或变形）历史。 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加
于第三类方程
14
1.2 弹塑性力学发展历史
1678年胡克（R. Hooke）提出弹性体的变形和 所受外力成正比的定律。
19世纪20年代，法国的纳维（C. I. M. H. Navier ）、柯西（A. I. Cauchy）和圣维南（A. J. C. B. de Saint Venant）等建立了弹性理论
弹塑性力学的基本假设
（1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用 连续函数表示。
（2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。 即连续介质和小变形假设。
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点: 应力－应变之间具有一一对应的关系， 且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。 塑性变形的特点： 应力－应变关系不再一一对应， 且一般是非线性的
5
1.1 基本概念
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹 性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、 土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天 等广泛的工程领域。
目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹 塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程 结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构 物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理 论基础。
从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。
1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
17
1.3 塑性力学的主要内容
（1）建立屈服条件。 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界
限而进入塑性状态，即材料是否屈服 （2）判断加载、卸载。 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。 （3）描述加载（或变形）历史。 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加
于第三类方程
14
1.2 弹塑性力学发展历史
1678年胡克（R. Hooke）提出弹性体的变形和 所受外力成正比的定律。
19世纪20年代，法国的纳维（C. I. M. H. Navier ）、柯西（A. I. Cauchy）和圣维南（A. J. C. B. de Saint Venant）等建立了弹性理论
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2 、杨桂通
《弹塑性力学》
3 、徐秉业
《应用弹塑性力学》
9
第一章 弹塑性力学基础
1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
10
1.1 应力张量 ～力学的语言
1).一点的应力状态
n
lim
A0
pn A
正应力
n
lim
A0
ps A
剪应力
(x, y, z) (x1, x2, x3) xi (i 1, 2,3)
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
6
0.3 几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程
N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） SNi ijl j i1l1 i2l2 i3l3
过C点可以做无 穷多个平面K
z
O
x
不同的面上的应 力是不同的
n
C
A n
y
到底如何描绘一 点处的应力状态11 ?
1.1 应力张量
C
z
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
应力张量
ij yxx
xy y
xz yz
(1.1)
zx zy z
z
zx
zy yz
y
yx xz x
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
j 1
S
N
2
21l1
22l2
23l3
3
2 jlj
(1.3)
j 1
3
S
N
3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
SNi ijl j (1.4)
i ：自由下标；j为求和下标
（同一项中重复出现）。
13
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
l2
11 1
l2
22 2
l2
33 3
212l1l2
2 23l2l3
2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
N
SN2 1
SN2 2
S
2 N
3
2 N
(1.6)
14
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面 主应力--λ:主平面上的正应力
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC 的面积为1
SOBC SOAC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SOAB 1 cos(n, x3 ) l3
4
0.3 几个基本概念
张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量
温度、质量、力所做的功
除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
Aijk L Bijk Cijk
2 、张量的乘法
第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
3 、张量函数的求导
aijbkl Cijkl
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui,i
ui xi
u1 x1
(i :自由下标，j :哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
dij
1, 0,
i i
j j
1 0 0
张量表示：dij 0 1 0
0 0 1
7
0.3 几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为：
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。
确定一般工程结构的承载能力。
为研究一般工程结构的强度、振动、
稳定性打下理论基础。
3
0.2 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的 3).物体的变形属于小变形 4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
yz P zy
xy x xy xz
zx
y yx
B
A
z
y
用张量下标记号法
O
一点的应力状态
11 12 13
x
ij 21
22
23
(1.2)
数学上，在坐标变换时，服从一
31 32 33
下标即1、x、2、y、3表z方示向坐标x1、x2、x3
定坐标变换式的九个数所定义的
量叫做二阶张量。
12
1.1 应力张量
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学1 院
0.1 弹塑性力学的研究对象和任务
弹塑性力学:
固体力学的一个分支学科
研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。
研究对象:
P
对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。
P
P
2
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
SSNN21
ห้องสมุดไป่ตู้
l1 l2
(1.7)
代入
u2 x2
u3 x3
ui, jk
2ui x j xk
2ux x jxk
, 2uy x jxk
, 2uz x jxk
8
0.4 主要参考书目
1 、Y.C.Fung(冯元桢)
《Foundations of Solid Mechanics》 《固体力学导论》 《A first course in continuum mechanics 》《连续介质力学导论》
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
5
0.3 几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区
别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
《弹塑性力学》
3 、徐秉业
《应用弹塑性力学》
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第一章 弹塑性力学基础
1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
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1.1 应力张量 ～力学的语言
1).一点的应力状态
n
lim
A0
pn A
正应力
n
lim
A0
ps A
剪应力
(x, y, z) (x1, x2, x3) xi (i 1, 2,3)
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
6
0.3 几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程
N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） SNi ijl j i1l1 i2l2 i3l3
过C点可以做无 穷多个平面K
z
O
x
不同的面上的应 力是不同的
n
C
A n
y
到底如何描绘一 点处的应力状态11 ?
1.1 应力张量
C
z
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
应力张量
ij yxx
xy y
xz yz
(1.1)
zx zy z
z
zx
zy yz
y
yx xz x
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
j 1
S
N
2
21l1
22l2
23l3
3
2 jlj
(1.3)
j 1
3
S
N
3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
SNi ijl j (1.4)
i ：自由下标；j为求和下标
（同一项中重复出现）。
13
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
l2
11 1
l2
22 2
l2
33 3
212l1l2
2 23l2l3
2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
N
SN2 1
SN2 2
S
2 N
3
2 N
(1.6)
14
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面 主应力--λ:主平面上的正应力
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC 的面积为1
SOBC SOAC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SOAB 1 cos(n, x3 ) l3
4
0.3 几个基本概念
张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量
温度、质量、力所做的功
除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
Aijk L Bijk Cijk
2 、张量的乘法
第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
3 、张量函数的求导
aijbkl Cijkl
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui,i
ui xi
u1 x1
(i :自由下标，j :哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
dij
1, 0,
i i
j j
1 0 0
张量表示：dij 0 1 0
0 0 1
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0.3 几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为：
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。
确定一般工程结构的承载能力。
为研究一般工程结构的强度、振动、
稳定性打下理论基础。
3
0.2 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的 3).物体的变形属于小变形 4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
yz P zy
xy x xy xz
zx
y yx
B
A
z
y
用张量下标记号法
O
一点的应力状态
11 12 13
x
ij 21
22
23
(1.2)
数学上，在坐标变换时，服从一
31 32 33
下标即1、x、2、y、3表z方示向坐标x1、x2、x3
定坐标变换式的九个数所定义的
量叫做二阶张量。
12
1.1 应力张量
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学1 院
0.1 弹塑性力学的研究对象和任务
弹塑性力学:
固体力学的一个分支学科
研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。
研究对象:
P
对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。
P
P
2
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
SSNN21
ห้องสมุดไป่ตู้
l1 l2
(1.7)
代入
u2 x2
u3 x3
ui, jk
2ui x j xk
2ux x jxk
, 2uy x jxk
, 2uz x jxk
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0.4 主要参考书目
1 、Y.C.Fung(冯元桢)
《Foundations of Solid Mechanics》 《固体力学导论》 《A first course in continuum mechanics 》《连续介质力学导论》
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
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0.3 几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区
别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。